ДИНАМИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ ЗУБЧАТО-РЕМЕННОЙ ПЕРЕДАЧИ
20 А. К. Беляев
УДК 534
А. К. БЕЛЯЕВ
ДИНАМИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ ЗУБЧАТО-РЕМЕННОЙ ПЕРЕДАЧИ
Рассмотрена проблема динамической устойчивости зубчато-ременной передачи. Предложен метод и получены уравнения для построения областей устойчивого поступательного движения зубчатого ремня. Построены две области неустойчивости прямолинейного движения ремня: область дивергентной неустойчивости и область параметрического резонанса.
Ключевые слова: зубчато-ременные передачи, дивергентная неустойчивость, параметрический резонанс.
Введение. Зубчато-ременные передачи широко распространены в различных устройствах и механизмах: в средствах оргтехники (принтеры, плоттеры, сканеры), двигателях и коробках передач автомобилей и пр. Это обусловлено, в первую очередь, тем, что благодаря зубчато-ременной передаче достигается высокая точность позиционирования приспособлений, управляемых ремнем. К неоспоримым плюсам следует также отнести низкий уровень шума, что немаловажно во всех сферах деятельности человека и является одним из требований, предъявляемых организациями технического надзора. Кроме того, зубчато-ременная передача достаточно проста в обслуживании и контроль ее технического состояния не представляет особой трудности.
Основное требование к зубчато-ременным передачам — точная передача крутящего момента от ведущего колеса к ведомому. Это настолько важное условие, что во многих мехатронных устройствах зубчатый ремень называется синхронным ремнем, гарантирующим синхронность вращений и тем самым точность позиционирования. Например, в двигателях автомобилей неточность в передаче крутящего момента от коленчатого вала к распределительному влечет за собой несвоевременное открытие впускных и выпускных клапанов, т.е. неустойчивую работу всего двигателя. Известно, что ошибка в 1 % приводит к повышенной эмиссии выхлопных газов, а ошибка в 3 % — к повреждению клапанов у дизельных двигателей. Другим примером точного позиционирования является использование зубчатых ремней в печатающих механизмах, где от точности подведения печатающей головки напрямую зависит качество печати.
В настоящей статье исследуется движение зубчатого ремня в зубчато-ременной передаче; предлагается вывод дифференциального уравнения движения ремня; приводятся расчет и метод построения областей устойчивого и неустойчивого движения в зависимости от скорости движения и силы натяжения ремня.
Постановка задачи динамической устойчивости. Зубчато-ременная передача схематически изображена на рис. 1. Исследуем устойчивость равномерного движения участка ремня 0 ≤ x ≤ l , для чего он аппроксимируется двуопертой балкой. Для получения дифференциального уравнения применим принцип Гамильтона — Остроградского. Кинетическая энергия участка ремня 0 ≤ x ≤ l определяется как
∫ ∫K
=
1 2
l
Vаb2ρAdx
0
=
1 2
l 0
⎣⎡V 2
+
( y&
+ Vy′)2
⎤⎦ ρAdx ,
где ρ — плотность материала ремня, A — площадь поперечного сечения; горизонтальная и вертикальная проекции абсолютной скорости Vаb элемента ремня равны соответственно V и
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 2
Динамическая устойчивость зубчато-ременной передачи
21
( y& +Vy′) , где V — переносная скорость движения элемента ремня вдоль оси x , а точка и штрих обозначают соответственно производную по времени и по x .
y F(t)
y(x,t)
V
F(t) x
M(t) M(t)
ρ, E, I, A Ωz
l
Рис. 1
Потенциальная энергия изгибной деформации ремня
∫Π
=
1 2
l 0
EI
(
y
′′)2
dx
,
где EI — изгибная жесткость ремня.
Вследствие малости прогиба ремня выражение, характеризующее работу, вызванную
силой натяжения ремня, допускает упрощение:
∫ ∫WF
=
−F
l 0
(1−cos
y′)dx
≈−
1 2
F
l 0
y′2
( x, t )dx
,
а работа моментов определяется выражением
WM = M (0, t) y′(0,t)+ M (l, t) y′(l, t) .
Применяя принцип Гамильтона [1], получаем дифференциальное уравнение движения
ремня
ρA&y&+(V 2ρA− F ) y′′+2V ρAy&′+ EIy′′′′ = 0
(1)
и следующие граничные условия
EIy′′(0, t) = −M (t), EIy′′(l,t) = M (t) .
(2)
Определение границ области устойчивости. Для сведения полученной граничной задачи, состоящей из дифференциального уравнения в частных производных (1) и граничных условий (2), к обыкновенному дифференциальному уравнению применим метод Галеркина. Решение будем искать в следующем виде:
y( x, t )
=
M (t) 6lEI
(2x3
−
3lx2
+
l 2 x)
+
q(t) sin
πx l
,
(3)
здесь первое слагаемое введено для преобразования граничных условий к однородным; q(t) — обобщенная координата; выбрана базисная функция sin(πx / l) , поскольку она одно-
временно является первой формой колебаний и формой потери статической устойчивости ремня.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 2
22 А. К. Беляев
Подставим выражение (3) в уравнение движения (1) и применим метод Галеркина, т.е. умножим полученное выражение на базисную функцию sin(πx / l) и проинтегрируем по переменной x . В результате получим
q&&(t ) +
π2 l2
⎡ ⎢ ⎢⎣
1 ρA
⎛ ⎜⎜⎝
F
+
EI
π2 l2
⎞ ⎟⎟⎠
−V
2
⎤ ⎥ q(t) = ⎦⎥
4lV (12−π2 ) 3EI π3
M&
(t) .
(4)
Сила натяжения ремня имеет две составляющие: F (t ) = F0 + F 1Φ(t) , здесь F0 — посто-
янная составляющая, обозначающая силу первоначального натяжения ремня, а F1Ф(t) — периодическая составляющая, вызванная контактами зубьев ремня и колеса при движении ремня, причем функция Φ(t) имеет период T = πr /Vz , где r — радиус зубчатого колеса, z —
число зубьев колеса.
Полученное дифференциальное уравнение (4) может быть записано в форме классиче-
ского уравнения Хилла:
q&&(t)
+
Ω2 (1 +
2µΦ(t))q(t)
=
4lV (12 − π2 ) 3EI π2
M&
(t )
,
(5)
где
Ω=
π2 l2
EI F0 + F* − V 2ρA ρA F*
— собственная частота нагруженного ремня,
F*
=
π2 l2
EI
—
( )критическая сила Эйлера,
µ=
2
F1 F0 + F* − V 2ρA
— коэффициент осевого возбуждения.
Как показано в работе [2], уравнение Хилла имеет области неустойчивости, причем первое приближение к границе области устойчивости может быть получено, если ограничиться
первой гармоникой ряда Фурье периодической функции Φ(t) , т.е. принять Φ(t) = Φ1 cos ωt .
Тогда уравнение Хилла преобразуется в уравнение Матье [2] (ниже рассматривается только однородное уравнение Матье):
q&&(t) + Ω2 (1 + 2µΦ1 cos ωt)q(t) = 0 .
(6)
Верхняя и нижняя границы области неустойчивости определяются выражением
ω = 2Ω 1 ± µ (см. [2]). Так как в выражениях (5) и (6) Ω и µ зависят от силы первоначального
натяжения F0 и скорости движения ремня V , то область устойчивости строится на плоскости
параметров F0 , V . Проанализируем формулу для критической скорости. Как следует из выражения для
собственной частоты ремня, Ω обращается в нуль при критической скорости
Vкр =
F0 + F* , ρA
т.е. при V > Vкр наблюдается дивергентная неустойчивость поперечного движения ремня.
Пример. Рассмотрим построение областей неустойчивости зубчатого ремня трапецеи-
дального профиля DIN 7721-16T10×880 / DIN 7721-18T10N2. Расчеты контактного взаимодействия при движении зубчатого ремня по зубчатому колесу, с момента начального контакта до момента полного схода зуба ремня с зуба шестерни, были проведены с использованием конечно-элементного пакета ANSYS. Были приняты следующие физико-механические характеристики зубчатого ремня: модуль Юнга Е = 1⋅109 Н/м2 и коэффициент Пуассона ν = 0, 2 , а для
зубчатого колеса Е = 1⋅1011 Н/м2 и ν = 0,3 . Значения горизонтальной проекции силы, воз-
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 2
Динамическая устойчивость зубчато-ременной передачи
23
никающей при движении, иллюстрируются графиком, представленным на рис. 2. Номер за-
дачи (N) по оси абсцисс соответствует определенному углу поворота ϕ зуба, так что фактически горизонтальная ось соответствует повороту колеса на один зуб.
Fx, Н
12
8
4
0 1 2 3 4 5N Рис. 2
Аппроксимация данной зависимости функции на интервале от 0 до 2π имеет следующий вид:
Fx = 0, 00139ϕ5 + 0, 0337ϕ4 − 0, 685ϕ3 + 2,89ϕ2 − 1, 71ϕ + 7, 29 . Разложение данной зависимости в ряд Фурье позволяет вычислить значение перемен-
ной составляющей силы, возникающей при движении зубчатого ремня: F1 = 3, 058 H. Для построения областей неустойчивости были взяты следующие параметры:
А = 2,8 ⋅10−5 м2, ρ = 3 ⋅10−3 кг/м3, l = 0,3 м, ЕI = 0, 045 H⋅м2, z = 16 , r = 24 ⋅10−3 м.
Построенные области динамической неустойчивости (дивергентная неустойчивость и параметрический резонанс) графически представлены на рис. 3, а; область параметрического резонанса (неустойчивость) представлена в увеличенном масштабе на рис. 3, б.
а) б)
V, м/с Область дивергентной
100 неустойчивости
V, м/с 4
80 V >Vкр 60
V =Vкр
3,8 3,6
40 3,4
20
Область параметрического резонанса
3,2
3
–20
20 40 60 80 F0, Н
100 106 112 118 F0, Н
Рис. 3
Выводы. Рассмотрена проблема динамической устойчивости зубчато-ременной переда-
чи. Предложен метод и получены уравнения для построения областей устойчивого поступа-
тельного движения зубчатого ремня.
Построены две области неустойчивости прямолинейного движения ремня принципи-
ально различной природы. Первая — область дивергентной неустойчивости — расположена
над кривой критической скорости; вторая, гораздо меньшая область является областью пара-
метрического резонанса.
Как известно, в процессе эксплуатации любой системы в ней происходят некоторые из-
менения характеристик и настроек. В зубчато-ременных передачах одной из таких характе-
ристик является сила натяжения ремня, изменение которой может повлечь попадание рабоче-
го состояния системы в область неустойчивости. Изменения силы натяжения ремня вызыва-
ется множеством причин. В первую очередь, это естественный износ и вытягивание ремня,
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 2
24 В. Н. Шамберов
ослабление крепежных и натягивающих механизмов, а также изменение температурного режима в процессе работы. Как следует из диаграммы устойчивости, неустойчивость возможна не только при превышении некой критической скорости для конкретной силы натяжения (т.е. дивергентная неустойчивость), но и изменение силы натяжения может привести к попаданию в область параметрического резонанса. Несмотря на кажущуюся узость области параметрического резонанса для выбранных параметров, она может оказать существенное влияние на рабочую область системы.
Таким образом, при проектировании систем с зубчато-ременными передачами необходимо учитывать существование дополнительных областей неустойчивости.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Лурье А. И. Аналитическая механика. М.: Наука, 1961.
2. Болотин В. В. Динамическая устойчивость упругих систем. М.: Наука, 1956.
Александр Константинович Беляев
Сведения об авторе — д-р физ.-мат. наук; Институт проблем машиноведения РАН; зам.
директора по научной работе; E-mail: vice.ipme@gmail.com
Рекомендована кафедрой мехатроники СПбГУ ИТМО
Поступила в редакцию 15.06.09 г.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 2
УДК 534
А. К. БЕЛЯЕВ
ДИНАМИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ ЗУБЧАТО-РЕМЕННОЙ ПЕРЕДАЧИ
Рассмотрена проблема динамической устойчивости зубчато-ременной передачи. Предложен метод и получены уравнения для построения областей устойчивого поступательного движения зубчатого ремня. Построены две области неустойчивости прямолинейного движения ремня: область дивергентной неустойчивости и область параметрического резонанса.
Ключевые слова: зубчато-ременные передачи, дивергентная неустойчивость, параметрический резонанс.
Введение. Зубчато-ременные передачи широко распространены в различных устройствах и механизмах: в средствах оргтехники (принтеры, плоттеры, сканеры), двигателях и коробках передач автомобилей и пр. Это обусловлено, в первую очередь, тем, что благодаря зубчато-ременной передаче достигается высокая точность позиционирования приспособлений, управляемых ремнем. К неоспоримым плюсам следует также отнести низкий уровень шума, что немаловажно во всех сферах деятельности человека и является одним из требований, предъявляемых организациями технического надзора. Кроме того, зубчато-ременная передача достаточно проста в обслуживании и контроль ее технического состояния не представляет особой трудности.
Основное требование к зубчато-ременным передачам — точная передача крутящего момента от ведущего колеса к ведомому. Это настолько важное условие, что во многих мехатронных устройствах зубчатый ремень называется синхронным ремнем, гарантирующим синхронность вращений и тем самым точность позиционирования. Например, в двигателях автомобилей неточность в передаче крутящего момента от коленчатого вала к распределительному влечет за собой несвоевременное открытие впускных и выпускных клапанов, т.е. неустойчивую работу всего двигателя. Известно, что ошибка в 1 % приводит к повышенной эмиссии выхлопных газов, а ошибка в 3 % — к повреждению клапанов у дизельных двигателей. Другим примером точного позиционирования является использование зубчатых ремней в печатающих механизмах, где от точности подведения печатающей головки напрямую зависит качество печати.
В настоящей статье исследуется движение зубчатого ремня в зубчато-ременной передаче; предлагается вывод дифференциального уравнения движения ремня; приводятся расчет и метод построения областей устойчивого и неустойчивого движения в зависимости от скорости движения и силы натяжения ремня.
Постановка задачи динамической устойчивости. Зубчато-ременная передача схематически изображена на рис. 1. Исследуем устойчивость равномерного движения участка ремня 0 ≤ x ≤ l , для чего он аппроксимируется двуопертой балкой. Для получения дифференциального уравнения применим принцип Гамильтона — Остроградского. Кинетическая энергия участка ремня 0 ≤ x ≤ l определяется как
∫ ∫K
=
1 2
l
Vаb2ρAdx
0
=
1 2
l 0
⎣⎡V 2
+
( y&
+ Vy′)2
⎤⎦ ρAdx ,
где ρ — плотность материала ремня, A — площадь поперечного сечения; горизонтальная и вертикальная проекции абсолютной скорости Vаb элемента ремня равны соответственно V и
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 2
Динамическая устойчивость зубчато-ременной передачи
21
( y& +Vy′) , где V — переносная скорость движения элемента ремня вдоль оси x , а точка и штрих обозначают соответственно производную по времени и по x .
y F(t)
y(x,t)
V
F(t) x
M(t) M(t)
ρ, E, I, A Ωz
l
Рис. 1
Потенциальная энергия изгибной деформации ремня
∫Π
=
1 2
l 0
EI
(
y
′′)2
dx
,
где EI — изгибная жесткость ремня.
Вследствие малости прогиба ремня выражение, характеризующее работу, вызванную
силой натяжения ремня, допускает упрощение:
∫ ∫WF
=
−F
l 0
(1−cos
y′)dx
≈−
1 2
F
l 0
y′2
( x, t )dx
,
а работа моментов определяется выражением
WM = M (0, t) y′(0,t)+ M (l, t) y′(l, t) .
Применяя принцип Гамильтона [1], получаем дифференциальное уравнение движения
ремня
ρA&y&+(V 2ρA− F ) y′′+2V ρAy&′+ EIy′′′′ = 0
(1)
и следующие граничные условия
EIy′′(0, t) = −M (t), EIy′′(l,t) = M (t) .
(2)
Определение границ области устойчивости. Для сведения полученной граничной задачи, состоящей из дифференциального уравнения в частных производных (1) и граничных условий (2), к обыкновенному дифференциальному уравнению применим метод Галеркина. Решение будем искать в следующем виде:
y( x, t )
=
M (t) 6lEI
(2x3
−
3lx2
+
l 2 x)
+
q(t) sin
πx l
,
(3)
здесь первое слагаемое введено для преобразования граничных условий к однородным; q(t) — обобщенная координата; выбрана базисная функция sin(πx / l) , поскольку она одно-
временно является первой формой колебаний и формой потери статической устойчивости ремня.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 2
22 А. К. Беляев
Подставим выражение (3) в уравнение движения (1) и применим метод Галеркина, т.е. умножим полученное выражение на базисную функцию sin(πx / l) и проинтегрируем по переменной x . В результате получим
q&&(t ) +
π2 l2
⎡ ⎢ ⎢⎣
1 ρA
⎛ ⎜⎜⎝
F
+
EI
π2 l2
⎞ ⎟⎟⎠
−V
2
⎤ ⎥ q(t) = ⎦⎥
4lV (12−π2 ) 3EI π3
M&
(t) .
(4)
Сила натяжения ремня имеет две составляющие: F (t ) = F0 + F 1Φ(t) , здесь F0 — посто-
янная составляющая, обозначающая силу первоначального натяжения ремня, а F1Ф(t) — периодическая составляющая, вызванная контактами зубьев ремня и колеса при движении ремня, причем функция Φ(t) имеет период T = πr /Vz , где r — радиус зубчатого колеса, z —
число зубьев колеса.
Полученное дифференциальное уравнение (4) может быть записано в форме классиче-
ского уравнения Хилла:
q&&(t)
+
Ω2 (1 +
2µΦ(t))q(t)
=
4lV (12 − π2 ) 3EI π2
M&
(t )
,
(5)
где
Ω=
π2 l2
EI F0 + F* − V 2ρA ρA F*
— собственная частота нагруженного ремня,
F*
=
π2 l2
EI
—
( )критическая сила Эйлера,
µ=
2
F1 F0 + F* − V 2ρA
— коэффициент осевого возбуждения.
Как показано в работе [2], уравнение Хилла имеет области неустойчивости, причем первое приближение к границе области устойчивости может быть получено, если ограничиться
первой гармоникой ряда Фурье периодической функции Φ(t) , т.е. принять Φ(t) = Φ1 cos ωt .
Тогда уравнение Хилла преобразуется в уравнение Матье [2] (ниже рассматривается только однородное уравнение Матье):
q&&(t) + Ω2 (1 + 2µΦ1 cos ωt)q(t) = 0 .
(6)
Верхняя и нижняя границы области неустойчивости определяются выражением
ω = 2Ω 1 ± µ (см. [2]). Так как в выражениях (5) и (6) Ω и µ зависят от силы первоначального
натяжения F0 и скорости движения ремня V , то область устойчивости строится на плоскости
параметров F0 , V . Проанализируем формулу для критической скорости. Как следует из выражения для
собственной частоты ремня, Ω обращается в нуль при критической скорости
Vкр =
F0 + F* , ρA
т.е. при V > Vкр наблюдается дивергентная неустойчивость поперечного движения ремня.
Пример. Рассмотрим построение областей неустойчивости зубчатого ремня трапецеи-
дального профиля DIN 7721-16T10×880 / DIN 7721-18T10N2. Расчеты контактного взаимодействия при движении зубчатого ремня по зубчатому колесу, с момента начального контакта до момента полного схода зуба ремня с зуба шестерни, были проведены с использованием конечно-элементного пакета ANSYS. Были приняты следующие физико-механические характеристики зубчатого ремня: модуль Юнга Е = 1⋅109 Н/м2 и коэффициент Пуассона ν = 0, 2 , а для
зубчатого колеса Е = 1⋅1011 Н/м2 и ν = 0,3 . Значения горизонтальной проекции силы, воз-
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 2
Динамическая устойчивость зубчато-ременной передачи
23
никающей при движении, иллюстрируются графиком, представленным на рис. 2. Номер за-
дачи (N) по оси абсцисс соответствует определенному углу поворота ϕ зуба, так что фактически горизонтальная ось соответствует повороту колеса на один зуб.
Fx, Н
12
8
4
0 1 2 3 4 5N Рис. 2
Аппроксимация данной зависимости функции на интервале от 0 до 2π имеет следующий вид:
Fx = 0, 00139ϕ5 + 0, 0337ϕ4 − 0, 685ϕ3 + 2,89ϕ2 − 1, 71ϕ + 7, 29 . Разложение данной зависимости в ряд Фурье позволяет вычислить значение перемен-
ной составляющей силы, возникающей при движении зубчатого ремня: F1 = 3, 058 H. Для построения областей неустойчивости были взяты следующие параметры:
А = 2,8 ⋅10−5 м2, ρ = 3 ⋅10−3 кг/м3, l = 0,3 м, ЕI = 0, 045 H⋅м2, z = 16 , r = 24 ⋅10−3 м.
Построенные области динамической неустойчивости (дивергентная неустойчивость и параметрический резонанс) графически представлены на рис. 3, а; область параметрического резонанса (неустойчивость) представлена в увеличенном масштабе на рис. 3, б.
а) б)
V, м/с Область дивергентной
100 неустойчивости
V, м/с 4
80 V >Vкр 60
V =Vкр
3,8 3,6
40 3,4
20
Область параметрического резонанса
3,2
3
–20
20 40 60 80 F0, Н
100 106 112 118 F0, Н
Рис. 3
Выводы. Рассмотрена проблема динамической устойчивости зубчато-ременной переда-
чи. Предложен метод и получены уравнения для построения областей устойчивого поступа-
тельного движения зубчатого ремня.
Построены две области неустойчивости прямолинейного движения ремня принципи-
ально различной природы. Первая — область дивергентной неустойчивости — расположена
над кривой критической скорости; вторая, гораздо меньшая область является областью пара-
метрического резонанса.
Как известно, в процессе эксплуатации любой системы в ней происходят некоторые из-
менения характеристик и настроек. В зубчато-ременных передачах одной из таких характе-
ристик является сила натяжения ремня, изменение которой может повлечь попадание рабоче-
го состояния системы в область неустойчивости. Изменения силы натяжения ремня вызыва-
ется множеством причин. В первую очередь, это естественный износ и вытягивание ремня,
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 2
24 В. Н. Шамберов
ослабление крепежных и натягивающих механизмов, а также изменение температурного режима в процессе работы. Как следует из диаграммы устойчивости, неустойчивость возможна не только при превышении некой критической скорости для конкретной силы натяжения (т.е. дивергентная неустойчивость), но и изменение силы натяжения может привести к попаданию в область параметрического резонанса. Несмотря на кажущуюся узость области параметрического резонанса для выбранных параметров, она может оказать существенное влияние на рабочую область системы.
Таким образом, при проектировании систем с зубчато-ременными передачами необходимо учитывать существование дополнительных областей неустойчивости.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Лурье А. И. Аналитическая механика. М.: Наука, 1961.
2. Болотин В. В. Динамическая устойчивость упругих систем. М.: Наука, 1956.
Александр Константинович Беляев
Сведения об авторе — д-р физ.-мат. наук; Институт проблем машиноведения РАН; зам.
директора по научной работе; E-mail: vice.ipme@gmail.com
Рекомендована кафедрой мехатроники СПбГУ ИТМО
Поступила в редакцию 15.06.09 г.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 2