ДОСТИЖЕНИЕ РОБАСТНОСТИ СИСТЕМЫ СТАБИЛИЗАЦИИ, СИНТЕЗИРОВАННОЙ НА ОСНОВЕ КВАДРАТИЧНОЙ ТЕОРИИ
ПРИБОРЫ И СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
УДК 62-506
А. П. КЛИМОВ, О. А. РЕМИЗОВА, И. В. РУДАКОВА, А. Л. ФОКИН
ДОСТИЖЕНИЕ РОБАСТНОСТИ СИСТЕМЫ СТАБИЛИЗАЦИИ, СИНТЕЗИРОВАННОЙ НА ОСНОВЕ КВАДРАТИЧНОЙ ТЕОРИИ
Для уменьшения чувствительности системы стабилизации к параметрической неопределенности объекта управления разработана процедура синтеза, основанная на искусственном разделении движений объекта и расширении динамической модели. Методика представлена в рамках Н2-оптимального управления и линейной квадратичной гауссовой задачи.
Ключевые слова: неопределенность, интегральный квадратичный функционал, случайные возмущения, номинальная модель, расширенная модель, демпфирование, точность, параметры.
Введение. Системы управления, синтезированные посредством минимизации инте-
грального квадратичного функционала, отличаются достаточно большой чувствительностью
регулируемой величины к вариациям параметров объекта. Проблема повышения грубости таких систем сформулирована достаточно давно [1], но не потеряла актуальности до настояще-
го времени [2, 3], так как современные требования к системам стабилизации диктуют необхо-
димость решения задачи для заданного класса возмущений при наличии параметрической не-
определенности модели объекта управления. В линейной квадратичной теории при решении задачи синтеза обычно рассматривают
одну из трех задач оптимального управления с квадратичным функционалом: аналитическое
конструирование оптимальных регуляторов (АКОР), линейную квадратичную гауссову задачу (ЛКГ) и Н2-оптимальное управление. Проблема уменьшения чувствительности к неопре-
деленности модели объекта в рамках решения задачи АКОР достаточно подробно рассмотрена в работах [4—6]. В настоящей статье при помощи аналогичного подхода рассматриваются задача синтеза Н2-оптимального регулятора и ЛКГ-задача.
В основе предлагаемого метода лежит идея, которая может быть сформулирована в виде
следующего утверждения.
Утверждение. Пусть вектор состояния x0 (t ) линейного объекта можно разделить на
две составляющие ∆x1 (t ) и x1 (t ) , которые в сумме для любого момента времени дают ис-
ходный вектор состояния
x0 (t ) = ∆x1 (t )+ x1 (t ) .
(1)
Пусть для номинальной линейной модели (полностью известной) решается задача синтеза регулятора выхода при дополнительном условии, что при этом также осуществляется
взаимная частичная компенсация выделенных составляющих вектора состояния во время пе-
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 7
Достижение робастности системы стабилизации
19
реходного процесса. Тогда полученный алгоритм управления является робастным. При этом предполагается одновременная устойчивость или неустойчивость номинальной и реальной моделей объекта.
Этот подход к управлению был опробован при построении робастных систем управления конкретными технологическими процессами [7—9]. Частичная компенсация составляю-
щих ∆x1 (t ) и x1 (t ) приводит к частичной компенсации влияния неопределенности объекта
на вектор состояния, так как каждая составляющая зависит от действия фактора неопреде-
ленности, и в процессе их взаимной компенсации компенсируется также действие фактора
неопределенности на вектор состояния. Таким образом, здесь выполняется опосредованная
компенсация неопределенности объекта через искусственное разделение его движения на две
составляющие с их последующей взаимной компенсацией.
Основной результат. Рассмотрим структурную схему Н2-оптимальной системы управ-
ления (рис. 1). На входе системы действует возмущение
w(t) . Это может быть белый шум или окрашенный слу-
Tzw(р)
чайный шум. Ставится задача выбора управления
K ( p) , которое минимизирует Н2-норму передаточной w(t)
матрицы Tzw ( p) .
Рассмотрим уравнения состояния объекта:
x0 = Ax0 + B1w+ B2u , x0 (t0 ) = x00 ;
(2)
u(t)
W0(р) K(р)
z(t) y(t)
z0 = C1x0 ;
(3)
y0 = C2 x0 + ny ,
(4)
Рис. 1
где x0 ∈Rn — вектор состояния; u∈Rm — вектор управления; w∈Rl — вектор возмущения
объекта; z0 ∈Rν — вектор контролируемых переменных; y0 — вектор выходных перемен-
ных, которые используются для управления; C1, C2 — матрицы наблюдения; ny ∈Rr — по-
меха при измерении; A = A0 +∆A , B1 = B10 +∆B1, B2 = B20 +∆B2 , A0 , B10 , B20 — номинальные
значения матриц, ∆A, ∆B1, ∆B2 — параметрическая неопределенность модели.
Далее рассматривается номинальная модель объекта вида (2)—(4) при A = A0 , B1 = B10 ,
B2 = B20 . Достижение робастности Н2-оптимальной системы управления. Для достижения
робастности Н2-оптимального управления к параметрической неопределенности матриц
A, B1, B2 расширим номинальную модель объекта (2)—(4) за счет пропускания всех компонент вектора состояния x0 через неминимально фазовый фильтр [5, 6]:
x1
(
p)
=Wф1
(
p)
x0
(
p)
=
1−Tф1 1+Tф2
p p
x0
(
p)
,
(5)
где Wф1 ( p) — передаточная матрица фильтра, Tф1, Tф2 — постоянные времени фильтра.
Использование неминимально фазовой передаточной функции (5) обусловлено воз-
можностью увеличения сдвига по фазе между составляющими ∆x1 и x1 (см. формулу (1)),
что способствует улучшению качества частичной взаимной компенсации, как показано в работе [5].
Тогда расширенная номинальная модель объекта преобразуется к следующему виду:
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 7
20 А. П. Климов, О. А. Ремизова, И. В. Рудакова, А. Л. Фокин
( )x = A1x+ B11w+ B21u ,
x
(
t0
)
=
⎡ ⎢⎣
x00
T
z = M п Dx ;
y = C12 x+ny ,
0⎥⎦⎤T ;
(6)
(7) (8)
( )где
A1
=
⎡ βA0 ⎢ ⎢⎣Tф−21 I
−Tф−21I −Tф1 A0
βA0 −Tф−21Tф1 A0
⎤ ⎥ ⎥ ⎦
,
B11
=
⎢⎣⎢⎡−Tф−β21BT1ф01B10
⎤ ⎥ ⎦⎥
,
B12
=
⎡ ⎢ ⎣⎢
βB20 −Tф−21Tф1B20
⎤ ⎥ ⎥⎦
,
x
=
⎡∆x1 ⎤
⎢ ⎣
x1
⎥ ⎦
— вектор
состояния расширенной модели объекта; β =1+Tф−21Tф1, D =[d1I d2 I ] , d1 ≠ d2 , d1, d2 > 0 ;
Mn
=
diag{mi
}n i=1
;
∆x1
=
x0
− x1;
C12
=[C2
C2 ] , I — единичная матрица.
Здесь в качестве контролируемой рассматривается новая векторная переменная
z = M n Dx размерности n , которая показана на рис. 1. В работах [5, 6] доказано, что, во-
первых, решение задачи стабилизации для расширенной модели приводит к решению задачи
стабилизации для исходной модели, а во-вторых, при минимизации квадратичного инте-
грального функционала, зависящего от вектора (7), происходит взаимная частичная покомпо-
нентная компенсация векторных составляющих ∆x1 (t ) и x1 (t ) расширенного вектора со-
стояния x . Поэтому далее, в соответствии с постановкой задачи Н2-оптимального управле-
ния, рассматривается задача минимизации Н2-нормы передаточной матрицы Tzw ( p) , пока-
занной на рис. 1. Решение задачи зависит от выбора параметров Tф1, Tф2 , d1, d2 , mi ,
i =1, ..., n . Это позволяет, находясь в классе робастных систем, варьировать другие, кроме ро-
бастности, качественные показатели системы. Чтобы применить стандартную процедуру синтеза Н2-оптимального управления, урав-
нения (6)—(8) следует представить в стандартной форме. Для этого дополнительно расширим контролируемый вектор z (как это сделано в работе [10]) за счет добавления к нему вектора
управления, таким образом, новая переменная будет z1T = ⎣⎡zT uT ⎤⎦ . Тогда расширенная мо-
дель объекта примет следующий вид:
( )x = A1x+ B12w1 + B22u ,
x
(t0
)
=
⎡ ⎣⎢
x00
T
0⎤⎥⎦T ;
(9)
z1 = C12 x+ D12u ;
(10)
y = C22 x+ D21w1 ,
(11)
где
B12 = ⎡⎣B11, 0⎦⎤ , B22 = B12 , C22 = C12 = ⎣⎡C20 , C20 ⎦⎤ , D21 =[0, I ] ,
C12
=
⎡Mn ⎣⎢ 0
D⎤ ⎥⎦
,
D12
=
⎡0⎤ ⎣⎢I ⎥⎦
,
w1
=
⎡w ⎣⎢ny
⎤ ⎥ ⎦
,
z1
=
⎡z⎤ ⎣⎢u ⎥⎦
.
При этом легко проверить выполнение равенств, которые участвуют в стандартной про-
цедуре синтеза:
D1T2 ⎡⎣C12
D12 ⎦⎤ =[0
I],
⎡ ⎢ ⎣⎢
B12 D21
⎤ ⎥ ⎥⎦
D2T1
=
⎡0⎤ ⎣⎢I ⎥⎦
.
(12)
Оптимальный алгоритм управления получается путем решения двух уравнений Риккати:
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 7
Достижение робастности системы стабилизации
( ) ( )A1T x2 + x2 A1 − x2 B22 B22 T x2 + C12 T C12 = 0 ,
( ) ( )A1 y2 + y2 A1T − y2
С22 T C22 y2 + B12
B12
T
=0.
Вычисляя матрицы
( ) ( )F2 = − B22 T x2 , L2 = − y2 C22 T , Aˆ2 = A1 + B22F2 + L2C22 ,
21 (13) (14)
(15)
получаем единственное Н2-оптимальное решение, которое имеет вид
xˆ = Aˆ2 xˆ − L2 y ,
(16)
u = F2 xˆ .
(17)
( )Этому представлению Aˆ2 , −L2 , F2 , 0 соответствует передаточная функция регулятора
Wp ( p) , которая может быть определена в среде MatLab. Полученное решение зависит от па-
раметров Tф1, Tф2 , d1, d2 , mi , i =1, ..., n , расширенной модели. Практика вычислений показы-
вает, что быстродействие системы зависит в основном от соотношения постоянных времени
Tф1, Tф2 , а показатели демпфирования — от соотношения d1, d2 . Влияние параметров mi ,
i =1, ..., n , незначительно.
Достижение робастности при решении ЛКГ-задачи управления. Рассмотрим урав-
нения состояния объекта [11]:
x0 = Ax0 + Bu+V0 , x0 (t0 ) = x00 ;
(18)
y0 = C0 x0 +Vн ,
(19)
где V0, Vн — гауссовы белые шумы, x00 — гауссова случайная величина; V0, Vн и x00 не коррелированы и имеют следующие характеристики:
( )( )M
M
⎣⎡x00 ⎦⎤ =
[V0 (t)]
x00 , = 0,
M M
⎡ ⎣⎢
x00 − x00
⎣⎡V0 (t)V0T
x00 − x00 (t′)⎦⎤ = Q0
T
(t
⎤ ⎥⎦
=
P0
;
⎫ ⎪ ⎪⎪
)δ(t −t′);⎬
⎪
M [Vн (t)]= 0, M ⎣⎡Vн (t)VнT (t′)⎤⎦ = R0 (t)δ(t −t′),⎭⎪⎪
(20)
где М — определение математического ожидания, R0 — положительно-определенная матрица, P0 , Q0 — положительно-полуопределенные матрицы.
Матрицы A, B имеют параметрическую неопределенность: A = A0 +∆A , B = B0 +∆B .
( ) ( )Для номинальной модели предполагается, что пара A0 , B0 управляема, пара A0 ,C0 наблю-
даема. Для расширения модели, как и ранее, используем неминимально фазовый фильтр (5).
Тогда расширенная номинальная модель порядка 2n по аналогии с выражениями (6)—(8)
примет следующий вид:
( )x = A1x+ B1u +V01,
x
(t0
)
=
⎡ ⎣⎢
x00
T
0⎤⎦⎥T ;
(21)
y0 = C1x+Vн1,
(22)
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 7
22 А. П. Климов, О. А. Ремизова, И. В. Рудакова, А. Л. Фокин
где матрица A1 совпадает с соответствующей матрицей в формуле (6), C1 = ⎡⎣C0
( ) ( )B1 = ⎢⎡⎣β B0 T
−Tф−21Tф1
B0
T
⎤T ⎦⎥
;
( )M ⎡⎣x (t0 )⎤⎦ = x, M ⎡⎢⎣( x (t0 )− x )
x (t0 )− x00
T
⎤ ⎥⎦
=
P1;
⎫ ⎪ ⎪
( )M
⎡⎣V01(t)⎤⎦ = 0,
M
⎡⎢⎣V01 (t )
V01 (t′)
T
⎤ ⎦⎥
=
Q1
(t
)δ(t
−
t
′);⎬⎪ ⎪
( )M
⎡⎣Vн1(t)⎦⎤ = 0,
M
⎢⎡⎣Vн1 (t )
Vн1 (t′)
T
⎤ ⎦⎥
=
R1
(t
)δ(t
−
t
′);
⎪ ⎪ ⎭
⎡ βI ⎤
Q1
=
⎢⎢⎣−Tф−21Tф1I
⎥ ⎦⎥
Q0
⎣⎡βI
−Tф−21Tф1I ⎦⎤ ,
P1
=
⎡ ⎢ ⎣
P0 0
0⎤ 0⎦⎥
,
R1
= R0
>0.
Минимизируемый функционал для расширенной модели имеет вид
J
=
M
⎧⎨⎪∞∫
⎩⎪ 0
⎡ ⎣
xT
(t)
DT
M
2 n
Dx
(t
)
+uT
(t)
Ru
(t )⎤⎦
dt
⎫⎪ ⎬
,
⎭⎪
R>0.
Оптимальное управление
u (t ) = −Kxˆ (t ) ,
( )где
K = R−1
B0
T
P,
PT = P > 0
— решение матричного уравнения Риккати
C
0
⎤ ⎦
,
(23)
(24) (25) (26)
A1T
P
+
PA1
−
PB1R
−1
B1T
P
+
DT
M
2 n
D
=
0
;
оптимальная оценка xˆ (t ) определяется с помощью фильтра Калмана — Бьюси
(27)
xˆ = A1xˆ+ B1u+ K0 ( y0 −C1xˆ), xˆ (t0 ) = x ,
(28)
где K0 = LС1T R1−1, LT = L > 0 — решение матричного уравнения Риккати
A1L+ LA1T −LC1T R1−1C1L+Q1 = 0 .
(29)
Передаточная функция регулятора выхода может быть получена на основе представле-
( )ния A1 − B1K − K 0C1, K 0 , − K , 0 в среде MatLab.
Пример. Рассмотрим задачу стабилизации для объекта с передаточной функцией
W0
(
p)=
0, 325
(6 p+1)4
.
(30)
При построении регулятора выхода для обеспечения астатизма системы к возмущению на входе объекта дополнительно введем интегратор, который структурно относится к регулятору. В результате получим для номинальной передаточной функции (30) представление
( )A0 , B20 , C20 , 0 , которое соответствует номинальной модели (18), (19), с матрицами вида
⎡0
A0
=
⎢⎢0 ⎢0
⎢⎢0
⎣⎢0
1 0 0 0 −0, 0008
0 1 0 0 −0, 0185
0 0 1 0 −0,1667
0⎤
⎡0⎤
0 0
⎥⎢
⎥ ⎥
,
B0
⎢ =⎢
0 0
⎥ ⎥ ⎥,
1
⎥ ⎥
⎢ ⎢
0
⎥ ⎥
−0, 6667⎦⎥
⎣⎢0, 25⋅10−3 ⎦⎥
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 7
Достижение робастности системы стабилизации
C0 =[1 0 0 0 0] .
23
При Q0 = I , R0 = 1 , R = 10 для исходной ЛКГ-задачи управления получим регулятор
выхода с передаточной функцией
Wp ( p) = k ( p) ( pl ( p)) ,
(31)
где
k ( p) = 0, 0958 p4 +0, 0645 p3 +0, 0164 p2 +0, 0018 p+7,93⋅10−5 ,
l ( p) = p5 +0,88 p4 +0,33 p3 +0, 07 p2 +0, 009 p+0, 0007 .
Качественные характеристики полученной системы управления представлены в табл. 1, 2.
Таблица 1
Вид оптимальной задачи
Исходная модель
ЛКГ α1 =[400 1 5 4,7]
H2
Исходная модель
α2 =[300 5 5 4,7]
ν∞ , о.е. 0,387 0,27 0,37 0,238
ν2, о.е. 0,061 0,05 0,061 0,047
Zmax, о.е. 0,23 0,2 0,21 0,175
σ0, о.е. 0,068 0,053 0,06 0,046
σ1, о.е. 0,13 0,135 0,148 0,112
σ2, о.е. 0,845 0,597 0,671 0,424
σ3, о.е. 0,25 0,179 0,183 0,137
Вид оптимальной задачи
Исходная модель
ЛКГ α1 =[400 1 5 4,7]
H2
Исходная модель
α2 =[300 5 5 4,7]
η, о.е. 1,779 1,596 2,22 1,69
tp, мин 75 75 78 70
σ, % 9 0
30 0
h, дБ 7,61 9 5,38 8,4
ϕ, …° 59,5 75,1 50,7 70,5
Таблица 2 Umax, о.е.
4 5 6,1 8,2
В
табл. 1 использованы
следующие
обозначения:
ν∞
=
Tzw ( p)
;
∞
ν2
=
Tzw ( p)
2;
Zmax
—
максимальное отклонение выходной величины при действии единичного ступенчатого сигнала
в качестве возмущения на входе объекта; σ0 — среднеквадратическое отклонение (СКО) вы-
ходной величины системы при действии на входе объекта случайного возмущения типа белый
шум с интенсивностью, равной единице; σ1 — СКО при действии окрашенного шума с корре-
ляционной функцией K (τ) = exp(−0,3 τ ) ; σ2 — то же, при K (τ) = exp (−0, 06 τ ) ; σ3 — то же,
при K (τ) = exp(−0, 03 τ ) ; в первом случае время спада корреляционной функции составляет
10 мин, во втором — 50 мин, в третьем — 100 мин. В табл. 2 использованы следующие обозначения: η — величина H ∞ -нормы функции
чувствительности:
η=
S( p)
∞
=
1
1+W ( p)
, W ( p) =Wр ( p)W0 ( p) ,
∞
которая оценивает грубость системы к незнанию передаточной функции объекта; tр — время
регулирования; σ — перерегулирование; h — запас устойчивости по амплитуде; ϕ — запас устойчивости по фазе; umax — максимальное по модулю отклонение сигнала управления, в соответствии с которым оцениваются энергетические затраты на стабилизацию.
График переходной характеристики номинальной системы управления с оптимальным ЛКГ-регулятором, полученным для исходной модели объекта, представлен на рис. 2, а.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 7
24 А. П. Климов, О. А. Ремизова, И. В. Рудакова, А. Л. Фокин
Теперь рассмотрим ту же задачу для расширенной модели объекта (21)—(29). Вектор настраиваемых параметров имеет вид
α = ⎡⎣Tф1 Tф2 d1 d2 ⎦⎤ .
В табл. 1, 2 представлены качественные показатели при α1 =[400 1 5 4, 7] . Переда-
точная функция регулятора определяется выражением (31) при
k ( p) = 0, 64 p9 +3, 62 p8 +8, 62 p7 +11, 2 p6 +8, 52 p5 +3,9 p4 + p3 +0,16 p2 +0, 0126 p+0, 00037 ,
l ( p) = p10 +6,12 p9 +16, 2 p8 +24,3 p7 +22,9 p6 +14, 26 p5 +6 p4 +1,8 p3 +0,367 p2 +0, 0484 p+0, 00324 .
Здесь и далее сравниваются системы, имеющие примерно одинаковое время регулиро-
вания. Переходная характеристика номинальной системы для расширенной модели объекта
показана на рис. 2, б. Для сравнения на рис. 3, а приведен график переходной характеристики
системы, полученной на основе решения ЛКГ-задачи для исходной модели при параметриче-
ском возмущении, заключающемся в увеличении коэффициента передачи передаточной
функции (30) (kо=0,325) на 50 %, и номинальном значении постоянной времени. Аналогично на рис. 3, б показана соответствующая переходная характеристика параметрически возму-
щенной системы для расширенной модели. Видно, что в последнем случае качество регули-
рования значительно выше.
а) y0, о.е.
а) y0, о.е.
1,2
1 0,8
0,4 0,5
0 б)
y0, о.е. 0,8 0,6 0,4
0,2
20
40
60
80 t, c б)
0
y0, о.е.
1,2
0,8
0,4
40 80 120 160 t, c
0 50 100 150 200 t, c
0 20 40 60 80 100 t, c
Рис. 2
Рис. 3
При формировании Н2-оптимальной системы управления для исходной модели объекта в уравнениях (2)—(4) было принято B10 = B20 = B0 , C1 = C2 = C0 . Была получена передаточная функция регулятора вида (31) с полиномами
k ( p) = 0, 284 p4 + 0,193 p3 + 0, 05 p2 + 0, 0057 p + 0, 00025 , l ( p) = p5 + 0, 95 p4 + 0, 4 p3 + 0, 096 p2 + 0, 015 p + 0, 0014 .
Качественные характеристики полученной системы управления представлены в табл. 1, 2. Перерегулирование увеличилось, но в целом номинальная переходная характеристика этой системы подобна показанной на рис. 2, а при примерно таком же значении времени регулирования. Далее рассматривалось Н2-оптимальное управление для расширенной модели в
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 7
Достижение робастности системы стабилизации
25
соответствии с формулами (5)—(17) при значении вектора параметров α2 =[300 5 5 4, 7] .
В результате была получена передаточная функция регулятора вида (31) с полиномами
k ( p) =1,89 p9 + 3,16 p8 + 2, 34 p7 + p6 + 0, 28 p5 + 0, 051p4 + 0, 006 p3 +
+0, 00047 p2 + 2⋅10−5 p + 3, 77⋅10−7 ,
l ( p ) = p10 + 2, 28 p 9 + 2, 45 p8 + 1, 63 p 7 + 0, 75 p 6 + 0, 25 p 5 + 0, 06 p 4 +
+0, 01p3 + 0, 0012 p2 + 8,18⋅10−5 p + 2, 45⋅10−6 .
Номинальная переходная характеристика подобна показанной на рис. 2, б. Как видно из табл. 1, 2, расширение математической модели позволяет при одинаковом быстродействии улучшить остальные показатели системы, особенно ее грубость по отношению к неопределенности модели объекта: например, для Н2-оптимальной системы управления показатель η уменьшается в 2, 2 1, 69 =1,3 раза (см. табл. 2).
При этом интервал изменения относительного коэффициента передачи объекта ko 0,325
(в модели (30)), при котором он сохраняет устойчивость, возрастает с 0 < ko 0,325≤1,85 до
0 < ko 0,325≤ 2, 6 , т.е. в 1,4 раза. Практически возможность ошибки задания ko , составляющая 260 %, означает работоспособность системы при произвольном задании коэффициента передачи.
Заключение. Использование идеи о разделении движений объекта с их последующей взаимной компенсацией для синтеза регулятора позволяет улучшить такие качественные показатели системы стабилизации, как точность, демпфирование и грубость при заданном быстродействии. В настоящей статье это показано для задачи синтеза Н2-оптимальной системы управления и ЛКГ-задачи управления, что достигается за счет повышения порядка регулятора и увеличения энергетических затрат на управление.
Работа выполнена в соответствии с грантом (№ 2.1.2/7193) на целевую программу „Развитие научного потенциала высшей школы на 2009 г. (2009—2010 гг.)“.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Янушевский Р. Т. О грубости решения задачи аналитического конструирования регуляторов // Автоматика и телемеханика. 1960. № 3. C. 18—25.
2. Поляк Б. Т., Щербаков П. С. Трудные задачи линейной теории управления. Некоторые подходы к решению // Автоматика и телемеханика. 2005. № 5. С. 7—46.
3. Бахилина И. М., Степанов С. А. Синтез грубых линейных квадратичных гауссовских регуляторов // Автоматика и телемеханика. 1998. № 7. С. 96—106.
4. Фокин А. Л. Метод разделения движений и синтез робастной системы регулирования // Изв. вузов. Приборостроение. 2002. Т. 45, № 4. С. 11—16.
5. Бороздин П. А., Сыроквашин В. В., Фокин А. Л. Синтез робастной системы управления методами прямого поиска экстремума // Там же. 2007. Т. 50, № 5. С. 25—34.
6. Бороздин П. А., Сыроквашин В. В., Фокин А. Л. Робастное управление линейным инерционным объектом // Изв. РАН. Сер. Теория и системы управления. 2008. № 4. С. 41—49.
7. Бахтин А. В., Русинов Л. А., Фокин А. Л. Система управления удельной массой бумажного полотна // Автоматизация и современные технологии. 2000. № 11. С. 18—21.
8. Лобков С. В., Соколов Г. А., Фокин А. Л. Робастное управление стадией полимеризации низкомолекулярного силоксанового каучука // Хим. пром-сть. 2001. № 9. С. 20—27.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 7
26 В. В. Григорьев, Д. В. Козис, А. Н. Коровьяков, Ю. В. Литвинов
9. Афлятунов Р. М., Фокин А. Л., Харазов В. Г. Робастная стабилизация теплового режима работы трубчатых нагревательных печей нефтеперерабатывающей промышленности // Автоматизация в промышленности. 2004. № 7. С. 25—28.
10. Методы робастного, нейронечеткого и адаптивного управления / Под ред. Н. Д. Егупова. М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2002.
11. Ким Д. П. Теория автоматического управления. Т. 2. Многомерные, нелинейные, оптимальные и адаптивные системы. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007.
Антон Павлович Климов Ольга Александровна Ремизова Ирина Викторовна Рудакова Александр Леонидович Фокин
Сведения об авторах — аспирант; Санкт-Петербургский государственный технологический
институт (Технический университет), кафедра автоматизации процессов химической промышленности — канд. техн. наук, доцент; Санкт-Петербургский государственный технологический институт (Технический университет), кафедра автоматизации процессов химической промышленности; E-mail: remizova-oa@yandex.ru — канд. техн. наук, доцент; Санкт-Петербургский государственный технологический институт (Технический университет), кафедра автоматизации процессов химической промышленности; E-mail: rudakowa@ws01.sapr.pu.ru — д-р техн. наук, профессор; Санкт-Петербургский государственный технологический институт (Технический университет), кафедра автоматизации процессов химической промышленности; E-mail: fokin_sa@mail.ru
Рекомендована кафедрой автоматизации процессов химической промышленности
Поступила в редакцию 10.03.10 г.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 7
УДК 62-506
А. П. КЛИМОВ, О. А. РЕМИЗОВА, И. В. РУДАКОВА, А. Л. ФОКИН
ДОСТИЖЕНИЕ РОБАСТНОСТИ СИСТЕМЫ СТАБИЛИЗАЦИИ, СИНТЕЗИРОВАННОЙ НА ОСНОВЕ КВАДРАТИЧНОЙ ТЕОРИИ
Для уменьшения чувствительности системы стабилизации к параметрической неопределенности объекта управления разработана процедура синтеза, основанная на искусственном разделении движений объекта и расширении динамической модели. Методика представлена в рамках Н2-оптимального управления и линейной квадратичной гауссовой задачи.
Ключевые слова: неопределенность, интегральный квадратичный функционал, случайные возмущения, номинальная модель, расширенная модель, демпфирование, точность, параметры.
Введение. Системы управления, синтезированные посредством минимизации инте-
грального квадратичного функционала, отличаются достаточно большой чувствительностью
регулируемой величины к вариациям параметров объекта. Проблема повышения грубости таких систем сформулирована достаточно давно [1], но не потеряла актуальности до настояще-
го времени [2, 3], так как современные требования к системам стабилизации диктуют необхо-
димость решения задачи для заданного класса возмущений при наличии параметрической не-
определенности модели объекта управления. В линейной квадратичной теории при решении задачи синтеза обычно рассматривают
одну из трех задач оптимального управления с квадратичным функционалом: аналитическое
конструирование оптимальных регуляторов (АКОР), линейную квадратичную гауссову задачу (ЛКГ) и Н2-оптимальное управление. Проблема уменьшения чувствительности к неопре-
деленности модели объекта в рамках решения задачи АКОР достаточно подробно рассмотрена в работах [4—6]. В настоящей статье при помощи аналогичного подхода рассматриваются задача синтеза Н2-оптимального регулятора и ЛКГ-задача.
В основе предлагаемого метода лежит идея, которая может быть сформулирована в виде
следующего утверждения.
Утверждение. Пусть вектор состояния x0 (t ) линейного объекта можно разделить на
две составляющие ∆x1 (t ) и x1 (t ) , которые в сумме для любого момента времени дают ис-
ходный вектор состояния
x0 (t ) = ∆x1 (t )+ x1 (t ) .
(1)
Пусть для номинальной линейной модели (полностью известной) решается задача синтеза регулятора выхода при дополнительном условии, что при этом также осуществляется
взаимная частичная компенсация выделенных составляющих вектора состояния во время пе-
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 7
Достижение робастности системы стабилизации
19
реходного процесса. Тогда полученный алгоритм управления является робастным. При этом предполагается одновременная устойчивость или неустойчивость номинальной и реальной моделей объекта.
Этот подход к управлению был опробован при построении робастных систем управления конкретными технологическими процессами [7—9]. Частичная компенсация составляю-
щих ∆x1 (t ) и x1 (t ) приводит к частичной компенсации влияния неопределенности объекта
на вектор состояния, так как каждая составляющая зависит от действия фактора неопреде-
ленности, и в процессе их взаимной компенсации компенсируется также действие фактора
неопределенности на вектор состояния. Таким образом, здесь выполняется опосредованная
компенсация неопределенности объекта через искусственное разделение его движения на две
составляющие с их последующей взаимной компенсацией.
Основной результат. Рассмотрим структурную схему Н2-оптимальной системы управ-
ления (рис. 1). На входе системы действует возмущение
w(t) . Это может быть белый шум или окрашенный слу-
Tzw(р)
чайный шум. Ставится задача выбора управления
K ( p) , которое минимизирует Н2-норму передаточной w(t)
матрицы Tzw ( p) .
Рассмотрим уравнения состояния объекта:
x0 = Ax0 + B1w+ B2u , x0 (t0 ) = x00 ;
(2)
u(t)
W0(р) K(р)
z(t) y(t)
z0 = C1x0 ;
(3)
y0 = C2 x0 + ny ,
(4)
Рис. 1
где x0 ∈Rn — вектор состояния; u∈Rm — вектор управления; w∈Rl — вектор возмущения
объекта; z0 ∈Rν — вектор контролируемых переменных; y0 — вектор выходных перемен-
ных, которые используются для управления; C1, C2 — матрицы наблюдения; ny ∈Rr — по-
меха при измерении; A = A0 +∆A , B1 = B10 +∆B1, B2 = B20 +∆B2 , A0 , B10 , B20 — номинальные
значения матриц, ∆A, ∆B1, ∆B2 — параметрическая неопределенность модели.
Далее рассматривается номинальная модель объекта вида (2)—(4) при A = A0 , B1 = B10 ,
B2 = B20 . Достижение робастности Н2-оптимальной системы управления. Для достижения
робастности Н2-оптимального управления к параметрической неопределенности матриц
A, B1, B2 расширим номинальную модель объекта (2)—(4) за счет пропускания всех компонент вектора состояния x0 через неминимально фазовый фильтр [5, 6]:
x1
(
p)
=Wф1
(
p)
x0
(
p)
=
1−Tф1 1+Tф2
p p
x0
(
p)
,
(5)
где Wф1 ( p) — передаточная матрица фильтра, Tф1, Tф2 — постоянные времени фильтра.
Использование неминимально фазовой передаточной функции (5) обусловлено воз-
можностью увеличения сдвига по фазе между составляющими ∆x1 и x1 (см. формулу (1)),
что способствует улучшению качества частичной взаимной компенсации, как показано в работе [5].
Тогда расширенная номинальная модель объекта преобразуется к следующему виду:
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 7
20 А. П. Климов, О. А. Ремизова, И. В. Рудакова, А. Л. Фокин
( )x = A1x+ B11w+ B21u ,
x
(
t0
)
=
⎡ ⎢⎣
x00
T
z = M п Dx ;
y = C12 x+ny ,
0⎥⎦⎤T ;
(6)
(7) (8)
( )где
A1
=
⎡ βA0 ⎢ ⎢⎣Tф−21 I
−Tф−21I −Tф1 A0
βA0 −Tф−21Tф1 A0
⎤ ⎥ ⎥ ⎦
,
B11
=
⎢⎣⎢⎡−Tф−β21BT1ф01B10
⎤ ⎥ ⎦⎥
,
B12
=
⎡ ⎢ ⎣⎢
βB20 −Tф−21Tф1B20
⎤ ⎥ ⎥⎦
,
x
=
⎡∆x1 ⎤
⎢ ⎣
x1
⎥ ⎦
— вектор
состояния расширенной модели объекта; β =1+Tф−21Tф1, D =[d1I d2 I ] , d1 ≠ d2 , d1, d2 > 0 ;
Mn
=
diag{mi
}n i=1
;
∆x1
=
x0
− x1;
C12
=[C2
C2 ] , I — единичная матрица.
Здесь в качестве контролируемой рассматривается новая векторная переменная
z = M n Dx размерности n , которая показана на рис. 1. В работах [5, 6] доказано, что, во-
первых, решение задачи стабилизации для расширенной модели приводит к решению задачи
стабилизации для исходной модели, а во-вторых, при минимизации квадратичного инте-
грального функционала, зависящего от вектора (7), происходит взаимная частичная покомпо-
нентная компенсация векторных составляющих ∆x1 (t ) и x1 (t ) расширенного вектора со-
стояния x . Поэтому далее, в соответствии с постановкой задачи Н2-оптимального управле-
ния, рассматривается задача минимизации Н2-нормы передаточной матрицы Tzw ( p) , пока-
занной на рис. 1. Решение задачи зависит от выбора параметров Tф1, Tф2 , d1, d2 , mi ,
i =1, ..., n . Это позволяет, находясь в классе робастных систем, варьировать другие, кроме ро-
бастности, качественные показатели системы. Чтобы применить стандартную процедуру синтеза Н2-оптимального управления, урав-
нения (6)—(8) следует представить в стандартной форме. Для этого дополнительно расширим контролируемый вектор z (как это сделано в работе [10]) за счет добавления к нему вектора
управления, таким образом, новая переменная будет z1T = ⎣⎡zT uT ⎤⎦ . Тогда расширенная мо-
дель объекта примет следующий вид:
( )x = A1x+ B12w1 + B22u ,
x
(t0
)
=
⎡ ⎣⎢
x00
T
0⎤⎥⎦T ;
(9)
z1 = C12 x+ D12u ;
(10)
y = C22 x+ D21w1 ,
(11)
где
B12 = ⎡⎣B11, 0⎦⎤ , B22 = B12 , C22 = C12 = ⎣⎡C20 , C20 ⎦⎤ , D21 =[0, I ] ,
C12
=
⎡Mn ⎣⎢ 0
D⎤ ⎥⎦
,
D12
=
⎡0⎤ ⎣⎢I ⎥⎦
,
w1
=
⎡w ⎣⎢ny
⎤ ⎥ ⎦
,
z1
=
⎡z⎤ ⎣⎢u ⎥⎦
.
При этом легко проверить выполнение равенств, которые участвуют в стандартной про-
цедуре синтеза:
D1T2 ⎡⎣C12
D12 ⎦⎤ =[0
I],
⎡ ⎢ ⎣⎢
B12 D21
⎤ ⎥ ⎥⎦
D2T1
=
⎡0⎤ ⎣⎢I ⎥⎦
.
(12)
Оптимальный алгоритм управления получается путем решения двух уравнений Риккати:
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 7
Достижение робастности системы стабилизации
( ) ( )A1T x2 + x2 A1 − x2 B22 B22 T x2 + C12 T C12 = 0 ,
( ) ( )A1 y2 + y2 A1T − y2
С22 T C22 y2 + B12
B12
T
=0.
Вычисляя матрицы
( ) ( )F2 = − B22 T x2 , L2 = − y2 C22 T , Aˆ2 = A1 + B22F2 + L2C22 ,
21 (13) (14)
(15)
получаем единственное Н2-оптимальное решение, которое имеет вид
xˆ = Aˆ2 xˆ − L2 y ,
(16)
u = F2 xˆ .
(17)
( )Этому представлению Aˆ2 , −L2 , F2 , 0 соответствует передаточная функция регулятора
Wp ( p) , которая может быть определена в среде MatLab. Полученное решение зависит от па-
раметров Tф1, Tф2 , d1, d2 , mi , i =1, ..., n , расширенной модели. Практика вычислений показы-
вает, что быстродействие системы зависит в основном от соотношения постоянных времени
Tф1, Tф2 , а показатели демпфирования — от соотношения d1, d2 . Влияние параметров mi ,
i =1, ..., n , незначительно.
Достижение робастности при решении ЛКГ-задачи управления. Рассмотрим урав-
нения состояния объекта [11]:
x0 = Ax0 + Bu+V0 , x0 (t0 ) = x00 ;
(18)
y0 = C0 x0 +Vн ,
(19)
где V0, Vн — гауссовы белые шумы, x00 — гауссова случайная величина; V0, Vн и x00 не коррелированы и имеют следующие характеристики:
( )( )M
M
⎣⎡x00 ⎦⎤ =
[V0 (t)]
x00 , = 0,
M M
⎡ ⎣⎢
x00 − x00
⎣⎡V0 (t)V0T
x00 − x00 (t′)⎦⎤ = Q0
T
(t
⎤ ⎥⎦
=
P0
;
⎫ ⎪ ⎪⎪
)δ(t −t′);⎬
⎪
M [Vн (t)]= 0, M ⎣⎡Vн (t)VнT (t′)⎤⎦ = R0 (t)δ(t −t′),⎭⎪⎪
(20)
где М — определение математического ожидания, R0 — положительно-определенная матрица, P0 , Q0 — положительно-полуопределенные матрицы.
Матрицы A, B имеют параметрическую неопределенность: A = A0 +∆A , B = B0 +∆B .
( ) ( )Для номинальной модели предполагается, что пара A0 , B0 управляема, пара A0 ,C0 наблю-
даема. Для расширения модели, как и ранее, используем неминимально фазовый фильтр (5).
Тогда расширенная номинальная модель порядка 2n по аналогии с выражениями (6)—(8)
примет следующий вид:
( )x = A1x+ B1u +V01,
x
(t0
)
=
⎡ ⎣⎢
x00
T
0⎤⎦⎥T ;
(21)
y0 = C1x+Vн1,
(22)
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 7
22 А. П. Климов, О. А. Ремизова, И. В. Рудакова, А. Л. Фокин
где матрица A1 совпадает с соответствующей матрицей в формуле (6), C1 = ⎡⎣C0
( ) ( )B1 = ⎢⎡⎣β B0 T
−Tф−21Tф1
B0
T
⎤T ⎦⎥
;
( )M ⎡⎣x (t0 )⎤⎦ = x, M ⎡⎢⎣( x (t0 )− x )
x (t0 )− x00
T
⎤ ⎥⎦
=
P1;
⎫ ⎪ ⎪
( )M
⎡⎣V01(t)⎤⎦ = 0,
M
⎡⎢⎣V01 (t )
V01 (t′)
T
⎤ ⎦⎥
=
Q1
(t
)δ(t
−
t
′);⎬⎪ ⎪
( )M
⎡⎣Vн1(t)⎦⎤ = 0,
M
⎢⎡⎣Vн1 (t )
Vн1 (t′)
T
⎤ ⎦⎥
=
R1
(t
)δ(t
−
t
′);
⎪ ⎪ ⎭
⎡ βI ⎤
Q1
=
⎢⎢⎣−Tф−21Tф1I
⎥ ⎦⎥
Q0
⎣⎡βI
−Tф−21Tф1I ⎦⎤ ,
P1
=
⎡ ⎢ ⎣
P0 0
0⎤ 0⎦⎥
,
R1
= R0
>0.
Минимизируемый функционал для расширенной модели имеет вид
J
=
M
⎧⎨⎪∞∫
⎩⎪ 0
⎡ ⎣
xT
(t)
DT
M
2 n
Dx
(t
)
+uT
(t)
Ru
(t )⎤⎦
dt
⎫⎪ ⎬
,
⎭⎪
R>0.
Оптимальное управление
u (t ) = −Kxˆ (t ) ,
( )где
K = R−1
B0
T
P,
PT = P > 0
— решение матричного уравнения Риккати
C
0
⎤ ⎦
,
(23)
(24) (25) (26)
A1T
P
+
PA1
−
PB1R
−1
B1T
P
+
DT
M
2 n
D
=
0
;
оптимальная оценка xˆ (t ) определяется с помощью фильтра Калмана — Бьюси
(27)
xˆ = A1xˆ+ B1u+ K0 ( y0 −C1xˆ), xˆ (t0 ) = x ,
(28)
где K0 = LС1T R1−1, LT = L > 0 — решение матричного уравнения Риккати
A1L+ LA1T −LC1T R1−1C1L+Q1 = 0 .
(29)
Передаточная функция регулятора выхода может быть получена на основе представле-
( )ния A1 − B1K − K 0C1, K 0 , − K , 0 в среде MatLab.
Пример. Рассмотрим задачу стабилизации для объекта с передаточной функцией
W0
(
p)=
0, 325
(6 p+1)4
.
(30)
При построении регулятора выхода для обеспечения астатизма системы к возмущению на входе объекта дополнительно введем интегратор, который структурно относится к регулятору. В результате получим для номинальной передаточной функции (30) представление
( )A0 , B20 , C20 , 0 , которое соответствует номинальной модели (18), (19), с матрицами вида
⎡0
A0
=
⎢⎢0 ⎢0
⎢⎢0
⎣⎢0
1 0 0 0 −0, 0008
0 1 0 0 −0, 0185
0 0 1 0 −0,1667
0⎤
⎡0⎤
0 0
⎥⎢
⎥ ⎥
,
B0
⎢ =⎢
0 0
⎥ ⎥ ⎥,
1
⎥ ⎥
⎢ ⎢
0
⎥ ⎥
−0, 6667⎦⎥
⎣⎢0, 25⋅10−3 ⎦⎥
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 7
Достижение робастности системы стабилизации
C0 =[1 0 0 0 0] .
23
При Q0 = I , R0 = 1 , R = 10 для исходной ЛКГ-задачи управления получим регулятор
выхода с передаточной функцией
Wp ( p) = k ( p) ( pl ( p)) ,
(31)
где
k ( p) = 0, 0958 p4 +0, 0645 p3 +0, 0164 p2 +0, 0018 p+7,93⋅10−5 ,
l ( p) = p5 +0,88 p4 +0,33 p3 +0, 07 p2 +0, 009 p+0, 0007 .
Качественные характеристики полученной системы управления представлены в табл. 1, 2.
Таблица 1
Вид оптимальной задачи
Исходная модель
ЛКГ α1 =[400 1 5 4,7]
H2
Исходная модель
α2 =[300 5 5 4,7]
ν∞ , о.е. 0,387 0,27 0,37 0,238
ν2, о.е. 0,061 0,05 0,061 0,047
Zmax, о.е. 0,23 0,2 0,21 0,175
σ0, о.е. 0,068 0,053 0,06 0,046
σ1, о.е. 0,13 0,135 0,148 0,112
σ2, о.е. 0,845 0,597 0,671 0,424
σ3, о.е. 0,25 0,179 0,183 0,137
Вид оптимальной задачи
Исходная модель
ЛКГ α1 =[400 1 5 4,7]
H2
Исходная модель
α2 =[300 5 5 4,7]
η, о.е. 1,779 1,596 2,22 1,69
tp, мин 75 75 78 70
σ, % 9 0
30 0
h, дБ 7,61 9 5,38 8,4
ϕ, …° 59,5 75,1 50,7 70,5
Таблица 2 Umax, о.е.
4 5 6,1 8,2
В
табл. 1 использованы
следующие
обозначения:
ν∞
=
Tzw ( p)
;
∞
ν2
=
Tzw ( p)
2;
Zmax
—
максимальное отклонение выходной величины при действии единичного ступенчатого сигнала
в качестве возмущения на входе объекта; σ0 — среднеквадратическое отклонение (СКО) вы-
ходной величины системы при действии на входе объекта случайного возмущения типа белый
шум с интенсивностью, равной единице; σ1 — СКО при действии окрашенного шума с корре-
ляционной функцией K (τ) = exp(−0,3 τ ) ; σ2 — то же, при K (τ) = exp (−0, 06 τ ) ; σ3 — то же,
при K (τ) = exp(−0, 03 τ ) ; в первом случае время спада корреляционной функции составляет
10 мин, во втором — 50 мин, в третьем — 100 мин. В табл. 2 использованы следующие обозначения: η — величина H ∞ -нормы функции
чувствительности:
η=
S( p)
∞
=
1
1+W ( p)
, W ( p) =Wр ( p)W0 ( p) ,
∞
которая оценивает грубость системы к незнанию передаточной функции объекта; tр — время
регулирования; σ — перерегулирование; h — запас устойчивости по амплитуде; ϕ — запас устойчивости по фазе; umax — максимальное по модулю отклонение сигнала управления, в соответствии с которым оцениваются энергетические затраты на стабилизацию.
График переходной характеристики номинальной системы управления с оптимальным ЛКГ-регулятором, полученным для исходной модели объекта, представлен на рис. 2, а.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 7
24 А. П. Климов, О. А. Ремизова, И. В. Рудакова, А. Л. Фокин
Теперь рассмотрим ту же задачу для расширенной модели объекта (21)—(29). Вектор настраиваемых параметров имеет вид
α = ⎡⎣Tф1 Tф2 d1 d2 ⎦⎤ .
В табл. 1, 2 представлены качественные показатели при α1 =[400 1 5 4, 7] . Переда-
точная функция регулятора определяется выражением (31) при
k ( p) = 0, 64 p9 +3, 62 p8 +8, 62 p7 +11, 2 p6 +8, 52 p5 +3,9 p4 + p3 +0,16 p2 +0, 0126 p+0, 00037 ,
l ( p) = p10 +6,12 p9 +16, 2 p8 +24,3 p7 +22,9 p6 +14, 26 p5 +6 p4 +1,8 p3 +0,367 p2 +0, 0484 p+0, 00324 .
Здесь и далее сравниваются системы, имеющие примерно одинаковое время регулиро-
вания. Переходная характеристика номинальной системы для расширенной модели объекта
показана на рис. 2, б. Для сравнения на рис. 3, а приведен график переходной характеристики
системы, полученной на основе решения ЛКГ-задачи для исходной модели при параметриче-
ском возмущении, заключающемся в увеличении коэффициента передачи передаточной
функции (30) (kо=0,325) на 50 %, и номинальном значении постоянной времени. Аналогично на рис. 3, б показана соответствующая переходная характеристика параметрически возму-
щенной системы для расширенной модели. Видно, что в последнем случае качество регули-
рования значительно выше.
а) y0, о.е.
а) y0, о.е.
1,2
1 0,8
0,4 0,5
0 б)
y0, о.е. 0,8 0,6 0,4
0,2
20
40
60
80 t, c б)
0
y0, о.е.
1,2
0,8
0,4
40 80 120 160 t, c
0 50 100 150 200 t, c
0 20 40 60 80 100 t, c
Рис. 2
Рис. 3
При формировании Н2-оптимальной системы управления для исходной модели объекта в уравнениях (2)—(4) было принято B10 = B20 = B0 , C1 = C2 = C0 . Была получена передаточная функция регулятора вида (31) с полиномами
k ( p) = 0, 284 p4 + 0,193 p3 + 0, 05 p2 + 0, 0057 p + 0, 00025 , l ( p) = p5 + 0, 95 p4 + 0, 4 p3 + 0, 096 p2 + 0, 015 p + 0, 0014 .
Качественные характеристики полученной системы управления представлены в табл. 1, 2. Перерегулирование увеличилось, но в целом номинальная переходная характеристика этой системы подобна показанной на рис. 2, а при примерно таком же значении времени регулирования. Далее рассматривалось Н2-оптимальное управление для расширенной модели в
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 7
Достижение робастности системы стабилизации
25
соответствии с формулами (5)—(17) при значении вектора параметров α2 =[300 5 5 4, 7] .
В результате была получена передаточная функция регулятора вида (31) с полиномами
k ( p) =1,89 p9 + 3,16 p8 + 2, 34 p7 + p6 + 0, 28 p5 + 0, 051p4 + 0, 006 p3 +
+0, 00047 p2 + 2⋅10−5 p + 3, 77⋅10−7 ,
l ( p ) = p10 + 2, 28 p 9 + 2, 45 p8 + 1, 63 p 7 + 0, 75 p 6 + 0, 25 p 5 + 0, 06 p 4 +
+0, 01p3 + 0, 0012 p2 + 8,18⋅10−5 p + 2, 45⋅10−6 .
Номинальная переходная характеристика подобна показанной на рис. 2, б. Как видно из табл. 1, 2, расширение математической модели позволяет при одинаковом быстродействии улучшить остальные показатели системы, особенно ее грубость по отношению к неопределенности модели объекта: например, для Н2-оптимальной системы управления показатель η уменьшается в 2, 2 1, 69 =1,3 раза (см. табл. 2).
При этом интервал изменения относительного коэффициента передачи объекта ko 0,325
(в модели (30)), при котором он сохраняет устойчивость, возрастает с 0 < ko 0,325≤1,85 до
0 < ko 0,325≤ 2, 6 , т.е. в 1,4 раза. Практически возможность ошибки задания ko , составляющая 260 %, означает работоспособность системы при произвольном задании коэффициента передачи.
Заключение. Использование идеи о разделении движений объекта с их последующей взаимной компенсацией для синтеза регулятора позволяет улучшить такие качественные показатели системы стабилизации, как точность, демпфирование и грубость при заданном быстродействии. В настоящей статье это показано для задачи синтеза Н2-оптимальной системы управления и ЛКГ-задачи управления, что достигается за счет повышения порядка регулятора и увеличения энергетических затрат на управление.
Работа выполнена в соответствии с грантом (№ 2.1.2/7193) на целевую программу „Развитие научного потенциала высшей школы на 2009 г. (2009—2010 гг.)“.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Янушевский Р. Т. О грубости решения задачи аналитического конструирования регуляторов // Автоматика и телемеханика. 1960. № 3. C. 18—25.
2. Поляк Б. Т., Щербаков П. С. Трудные задачи линейной теории управления. Некоторые подходы к решению // Автоматика и телемеханика. 2005. № 5. С. 7—46.
3. Бахилина И. М., Степанов С. А. Синтез грубых линейных квадратичных гауссовских регуляторов // Автоматика и телемеханика. 1998. № 7. С. 96—106.
4. Фокин А. Л. Метод разделения движений и синтез робастной системы регулирования // Изв. вузов. Приборостроение. 2002. Т. 45, № 4. С. 11—16.
5. Бороздин П. А., Сыроквашин В. В., Фокин А. Л. Синтез робастной системы управления методами прямого поиска экстремума // Там же. 2007. Т. 50, № 5. С. 25—34.
6. Бороздин П. А., Сыроквашин В. В., Фокин А. Л. Робастное управление линейным инерционным объектом // Изв. РАН. Сер. Теория и системы управления. 2008. № 4. С. 41—49.
7. Бахтин А. В., Русинов Л. А., Фокин А. Л. Система управления удельной массой бумажного полотна // Автоматизация и современные технологии. 2000. № 11. С. 18—21.
8. Лобков С. В., Соколов Г. А., Фокин А. Л. Робастное управление стадией полимеризации низкомолекулярного силоксанового каучука // Хим. пром-сть. 2001. № 9. С. 20—27.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 7
26 В. В. Григорьев, Д. В. Козис, А. Н. Коровьяков, Ю. В. Литвинов
9. Афлятунов Р. М., Фокин А. Л., Харазов В. Г. Робастная стабилизация теплового режима работы трубчатых нагревательных печей нефтеперерабатывающей промышленности // Автоматизация в промышленности. 2004. № 7. С. 25—28.
10. Методы робастного, нейронечеткого и адаптивного управления / Под ред. Н. Д. Егупова. М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2002.
11. Ким Д. П. Теория автоматического управления. Т. 2. Многомерные, нелинейные, оптимальные и адаптивные системы. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007.
Антон Павлович Климов Ольга Александровна Ремизова Ирина Викторовна Рудакова Александр Леонидович Фокин
Сведения об авторах — аспирант; Санкт-Петербургский государственный технологический
институт (Технический университет), кафедра автоматизации процессов химической промышленности — канд. техн. наук, доцент; Санкт-Петербургский государственный технологический институт (Технический университет), кафедра автоматизации процессов химической промышленности; E-mail: remizova-oa@yandex.ru — канд. техн. наук, доцент; Санкт-Петербургский государственный технологический институт (Технический университет), кафедра автоматизации процессов химической промышленности; E-mail: rudakowa@ws01.sapr.pu.ru — д-р техн. наук, профессор; Санкт-Петербургский государственный технологический институт (Технический университет), кафедра автоматизации процессов химической промышленности; E-mail: fokin_sa@mail.ru
Рекомендована кафедрой автоматизации процессов химической промышленности
Поступила в редакцию 10.03.10 г.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 7