НЕЛИНЕЙНЫЙ РЕГРЕССИОННО-ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ ОПТИМАЛЬНОЙ УСТАНОВКИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ИСТОЧНИКА ИЗЛУЧЕНИЯ ПРИ НЕСАНКЦИОНИРОВАННОМ СКАНИРОВАНИИ ЕГО ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
10 В. А. Козырев, А. Е. Куменко, А. Г. Рудых, В. А. Русанов
УДК 519.65
В. А. КОЗЫРЕВ, А. Е. КУМЕНКО, А. Г. РУДЫХ, В. А. РУСАНОВ
НЕЛИНЕЙНЫЙ РЕГРЕССИОННО-ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ ОПТИМАЛЬНОЙ УСТАНОВКИ
ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ИСТОЧНИКА ИЗЛУЧЕНИЯ ПРИ НЕСАНКЦИОНИРОВАННОМ СКАНИРОВАНИИ
ЕГО ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
Предложена процедура оптимизации линейно-угловых координат электромагнитного источника излучения с позиции минимальной наблюдаемости интенсивности его электромагнитного поля в заданных точках трехмерного континуума (точках зондирования). Основа решения — представление ковариантными тензорами фиксированной валентности дистанционной интенсивности излучения в зависимости от пространственно-угловой ориентации его источника.
Ключевые слова: нелинейная регрессия, ковариантный тензор конечной валентности, задача квадратичной оптимизации.
Введение. Регрессионный анализ первоначально приобрел значительный теоретикоприкладной интерес в задачах определения оптимальных параметров линейных стационарных статических систем типа „вход—выход“; в большинстве случаев исследователи ограничивались применением этого анализа к конечномерным системам (см., например, [1, 2]). При этом задача регрессии формулировалась в терминах вычисления оптимальной (как правило, квадратичной) оценки этих параметров по методу наименьших квадратов с последующим применением [3] алгоритма построения соответствующей псевдообратной матрицы.
Способ представления регрессионного анализа в настоящей работе отличается от традиционного, поскольку авторы стремились выявить геометрическую, качественную сторону нелинейного регрессионного моделирования и его приложений. В соответствии с этим ниже приведен (в отличие от работы [2]) ряд понятий, которым ранее не уделялось должного внимания; поэтому пришлось представлять их достаточно подробно в рамках стандартных элементов тензорной алгебры [4] и функционального анализа [5]. Прикладной задачей в настоящей работе является определение (вычисление) линейно-угловых координат электромагнитного источника излучения (ЭИИ) в целях его минимальной „взвешенно-осредненной электромагнитной наблюдаемости“ в некоторых фиксированных точках возможной пеленгации сигнала ЭИИ. Такая постановка вопроса позволяет решать физическую задачу электронной защиты ПЭВМ от внешнего несанкционированного сканирования его побочных электромагнитных излучений и наводок (при этом в техническом плане проще всего решается задача перехвата информации, отображаемой на экране дисплея [1]).
Постановка задачи. Пусть R — поле вещественных чисел, Rn — n-мерное векторное пространство над R с евклидовой нормой ||⋅||Rn, col(y1,…,yn)∈Rn — вектор-столбец с элементами y1,…,yn∈R, Mn,m(R) — пространство всех (n×m)-матриц с элементами из R и фробениусовой матричной нормой ||D||F =(∑dij2)1/2, D=[dij]. Через Tmk обозначим пространство всех ковариантных тензоров k-й валентности (вещественных полилинейных форм f k,m: Rm×…×Rm→R) с тензорной нормой || f k,m||Т =(∑t2i…j)1/2, где ti…j — коэффициенты (координаты [4, с. 96]) тензора f k,m, значения которых заданы относительно стандартного базиса в Rm.
Пусть ω∈Rm — некоторый фиксированный вектор линейно-угловых координат ЭИИ. Выделим к рассмотрению класс многомерных нелинейных систем „вход—выход“ [6], описываемых векторно-тензорным уравнением регрессии вида
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 10
Нелинейный регрессионно-тензорный анализ оптимальной установки ЭИИ
11
w(ω+v)=c+Av+col(∑j=2,…,k f1j,m(v,…,v),…,∑j=2,…,k fnj,m(v,…,v))+ε(ω,v),
(1)
w(ω+v)∈Rn, v∈Rm, c∈Rn, A∈Mn,m(R), fij,m∈Tmj, вектор-функция ε(ω, v): Rm→Rn класса
||ε(ω,v)||Rn=о((v12+…+vm2)k/2), v=col(v1,…,vm).
Пусть {bi}1≤i≤n⊂R3 — совокупность точек возможного несанкционированного зондиро-
вания электромагнитного сигнала ЭИИ, v∈Rm — вектор пространственно-угловой ориента-
ции ЭИИ1 (с началом в ω), w(ω+v) — вектор выходных сигналов ЭИИ (интенсивность элек-
тромагнитного поля ЭИИ в точках bi, 1≤i≤n).
Задача
1. Для заданного аргумента ω∈Rm вектор-функции w(⋅): Ω→Rn (интенсивность ЭИИ в
точках bi, 1≤i≤n), Ω⊂Rm — открытая окрестность точки ω и фиксированного индекса k опре-
делить аналитические условия, при которых w(⋅) удовлетворяет системе (1) с некоторыми
значениями c, A, fij,m, 1≤i≤n, 1≤j≤k. 2. Построить векторно-матрично-тензорные апостериорные оценки для c, A, fij,m, 1≤i≤n,
1≤j≤k из решения двукритериальной задачи параметрической оптимизации (параметрическая
идентификация нелинейной регрессионной модели (1)):
∑ ∑ ( ) ∑ ( )min
⎛ ⎜ ⎝⎜⎜
l
q =1
⎛ ⎜ ⎝⎜
w( l )
−c
−
Av( l )
−
col
⎛ ⎝⎜⎜
k j=2
f1j,m
v(l) ,..., v(l )
k
,..., fnj,m
j=2
v(l ) ,..., v(l )
⎞ ⎠⎟⎟
Rn
⎞2 ⎟ ⎠⎟
⎞1/ 2 ⎟ ⎠⎟⎟
⎫ ,⎪⎪ ⎪ ⎬
∑ ∑min
⎛ ⎝⎜⎜
c
2 Rn
+
A
2 F
+
n
k
i=1 j=2
fi j,m
2 T
⎞1/ ⎠⎟⎟
2
.
⎪ ⎪ ⎪ ⎭
(2)
Здесь w(l)∈Rn, v(l)∈Rm, 1≤l≤q — векторы экспериментальных данных (w(l) — „реакция“ на „вариацию“ v(l) относительно координат вектора ω∈Rm), q — число экспериментов (ограничений на величину q не накладываем; см. примечание 1);
3. Для заданного вектора ω∈Rm определить линейно-угловые координаты ЭИИ v*∈Rm,
обеспечивающие из решения задачи нелинейной „v-оптимизации“ минимальную взвешенно-
осредненную интенсивность сигнала ЭИИ в точках bi, 1≤i≤n: min{F(v): v∈Rm},
(3)
n
F(v):= ∑ ri wi (ω+ v) , i=1
где координаты вектора col(w1(ω+v),…,wn(ω+v))=w(ω+v)∈Rn имеют аналитическое представление согласно идентифицированной в силу п. 2 задачи, ri — весовые коэффициенты, отра-
жающие „приоритет“ точек зондирования bi, 1≤i≤n. Векторная регрессия с переменными в тензорных классах Tmj, j≤k. Кратко исследу-
ем некоторые аналитические свойства нелинейных векторных регрессий многих переменных,
которые „внешне“ похожи на поведение голоморфных функций (см. задачу). В связи с этим
изложение будет основываться на понятии сильной производной (производной
Фреше) [5, с. 481], что ставит задачу определения остальных аналитических понятий, и в ча-
стности дифференциалов высших порядков, через конструкции сильных производных.
Известно [5, с. 491], что данные производные по существу можно (и удобно) трактовать как
некоторые математические конструкции со специальной геометрической полилинейной
структурой.
1 Случай v∈V⊂Rm, где V — ограниченная невыпуклая область, может составить предмет отдельной задачи.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 10
12 В. А. Козырев, А. Е. Куменко, А. Г. Рудых, В. А. Русанов
О п р е д е л е н и е 1 [5, c. 480]. Пусть Ω — открытая область в Rm, w — отображение множества Ω в Rn и ω — некоторая точка из Ω. Если существует такая матрица A∈Mn,m(R), что имеет место соотношение
lim
v→0
⎪⎪⎩⎪⎧⎪⎨
w(ω+v)−w(ω)− Av v Rm
Rn
∈ Rm ⎪⎪⎬⎪⎫⎭⎪=0 ,
(4)
то данная матрица A называется производной Фреше от функции w в точке ω.
З а м е ч а н и е 1. Нетрудно установить, что производная Фреше определяется матри-
цей частных производных ∂wi/∂vj (1≤i≤n, 1≤j≤m) в точке ω (матрица Якоби); отметим, однако,
что факт существования в точке ω частных производных функций w1, w2, …, wn (здесь w=col(w1,…,wn)) не обеспечивает еще наличия производной Фреше, как показывает следующий достаточно простой пример:
П р и м е р 1. Пусть n=1, m=2, w(v1,v2)=v1v2/(v12+v22)2 и w(0,0)=0, ω=(0,0). Ясно, что
∂w(0,0)/∂v1=∂w(0,0)/∂v2=0. Поэтому, если бы соответствующая производная Фреше существовала, то, очевидно, это дало бы ее нулевой оператор и, следовательно, из соотношения (4) вы-
текает следующее положение:
lim
t→0
⎪⎪⎩⎨⎪⎪⎧⎪
w(tv1,
t
tv2
)
∈
R,
(v12
+v22
)1/
2
=1⎫⎬⎪⎪⎪⎭⎪⎪=
0
,
между тем в действительности этот предел равен бесконечности, если только v1≠0 и v2≠0. Производную Фреше от w в точке ω будем обозначать через w(ω)(1). При этом если про-
изводная w(ω)(1) существует для каждой точки ω∈Ω и если кроме того
ω↦w(ω)(1)
есть непрерывное отображение из области Ω в Mn,m(R), то отображение w называется непрерывно дифференцируемым в Ω. В силу отмеченного имеет смысл говорить о производной для отображения w(1): Ω→Mn,m(R) в точке ω∈Ω, которую, если она существует (при очевидном изоморфизме пространств Mn,m(R) и Rn×m), называют второй производной отображения w и обозначают w(ω)(2).
Если вторая производная существует в каждой точке множества Ω, то тем самым математически корректно определен оператор w(2), производная которого называется третьей производной отображения w. Производная w(ω)(k) порядка k в точке ω есть, по определению, производная оператора w(k–1): Ω→Rn×(k–1)m, при этом можно каждой производной w(ω)(k) естественным образом поставить в соответствие элемент пространства k-линейных (при k=2 билинейных) отображений из Rm×…×Rm в Rn [5, c. 488]. В такой постановке дифференциал k-го порядка допускает более удобную (и наглядную) интерпретацию в конструкциях ковариантных тензоров из Tmk.
У т в е р ж д е н и е 1. Пусть Ω — открытая область в Rm, w — отображение множества Ω в Rn и ω — некоторая точка из Ω. Если существует производная w(ω)(k) порядка k, то дифференциал k-го прядка в точке ω∈Rm имеет аналитическое представление (при v∈Rm) вида
w(ω)(k)(v,…,v) =col(f1k,m(v,…,v),…,fnk,m(v,…,v)), где fik,m∈Tmk, i=1,…,n.
Установим важное аналитическое свойство, которым должна обладать вектор-функция w, с целью прояснения: когда отображение w удовлетворяет (при некоторых разумных дополнительных предположениях о нем) понятию нелинейной тензорной регрессии класса (1).
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 10
Нелинейный регрессионно-тензорный анализ оптимальной установки ЭИИ
13
У т в е р ж д е н и е 2. Пусть Ω — открытая область в Rm, w — отображение множества Ω в Rn и ω — некоторая точка из Ω. Если существует производная w(ω)(k), которая суть равномерно непрерывная функция от ω в Ω, то векторное отображение w: Ω→Rn удовлетворяет системе (1) с некоторыми тензорами fij,m, 1≤i≤n, 1≤j≤k, вектором c=w(ω) и (n×m)-матрицей A=w(ω)(1).
Утверждение 2 формулирует некоторый качественный факт для существования нелинейной регрессии класса (1), если не накладывать чрезмерно слабых требований (по образцу приведенных в примере 1) на конструкцию вектора-функции w.
Параметрическая идентификация билинейно-тензорной структуры нелинейной векторной регрессии. Начнем с уточнения конструкции уравнения (1); это уточнение имеет довольно специальный (частный) характер, но его использование позволяет не привлекать сложных вычислительных алгоритмов в оценке оптимального вектора координат установки ЭИИ.
Рассмотрим случай k=2. В такой постановке уравнение (1) примет вид
w(ω+v)=c+Av+col(vTB1v,…,vTBnv)+ε(ω,v),
(5)
где Bi∈Mm,m(R), i=1,…,n, Т — операция транспонирования, при этом считаем, что каждая Bi — суть верхняя треугольная матрица [7, с. 38]; в силу утверждения 2 полагаем, что c=w(ω), A=w(ω)(1).
Параметрическую идентификацию в многокритериальной векторно-матричнотензорной постановке (2) для многосвязной стационарной статической нелинейной модели типа „черный ящик“ [6] в классе регрессий (5) свяжем с понятием нормального псевдорешения (канонического решения по методу наименьших квадратов) для конечномерной системы линейных алгебраических уравнений.
О п р е д е л е н и е 2 [7, c. 501]. Нормальным псевдорешением системы линейных алгебраических уравнений вида
Dx=d, D∈Mq,p(R), d∈Rq
называется вектор x∈Rp, имеющий наименьшую евклидову норму ||x||Rp среди всех векторов, приносящих минимум величине нормы ||Dx–d||Rq.
Далее, обозначим через Eq единичную (q×q)-матрицу и пусть D∈Mq,p(R). Через D+ обозначим обобщенную обратную (псевдообратную) матрицу Мура—Пенроуза [7, c. 500] для
матрицы D. Известно, что асимптотическая конструкция псевдообратной матрицы имеет сле-
дующий аналитический вид: D+=lim{DT(DDT+τEq)–1: τ→0}.
Условимся, что везде далее знак „+“ означает операцию псевдообращения соответствующей
матрицы. Л е м м а [7, c. 501]. Вектор x=D+d — суть нормальное псевдорешение линейной систе-
мы: Dx=d, D∈Mq,p(R), d∈Rq. Для взаимоувязывания параметров системы (5) и данных генеральной выборки обозна-
чим через û(l)∈R1+m(m+3)/2 вектор, имеющий (с учетом верхней треугольной структуры матриц Bi, i=1,…,n) следующее координатное представление:
û(l) =col(1, v1(l), …, vm(l), v1(l)v1(l), …, vr(l)vs(l), …, vm(l)vm(l))∈R1+m(m+3)/2,
(6)
1≤r≤s≤m,
col(v1(l), …, vm(l)) =v(l)∈Rm,
1≤l≤q.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 10
14 В. А. Козырев, А. Е. Куменко, А. Г. Рудых, В. А. Русанов
Назовем U =[û(1), …, û(q)]T∈Mq,1+m(m+3)/2(R) полной матрицей экспериментальных данных входных воздействий2, βi:=col(wi(1), …, wi(q))∈Rq — полным вектором экспериментальных данных для выходного сигнала wi (i=1,…,n). Далее, стремясь к линейно-параметрическому описанию коэффициентов нелинейной модели „вход—выход“ для выходного ЭИИ-сигнала wi выпишем (согласно системе (5)) линейно-квадратичную форму правой части уравнения его
регрессии
∑ ∑ci+ aij vj+
bigp vgvp, i=1,…,n.
1≤ j≤m
1≤g≤ p≤m
(7)
Теперь введем в рассмотрение (1+m(m+3)/2)-вектор zi параметров модели ЭИИ ci, ai1, …, aim, bi11,…, bigp, …, bimm
для модели регрессии (7). Ясно, что в силу уравнений (7) любой фиксированный набор из n
таких векторов полностью определяет (задает) аналитическое представление модели относи-
тельно некоторой системы „вход—выход“ типа (5):
zi =col(ci, ai1, …, aim, bi11, …, bigp, …, bimm)∈R1+m(m+3)/2, 1≤g≤p≤m.
У т в е р ж д е н и е 3. Параметрическая идентификация (2) в терминах регрессионной
модели (5) имеет алгебраическое решение
zi*=U+βi, i=1,…,n.
(8)
Здесь U — полная матрица экспериментальных данных входных воздействий (6), βi — полный вектор экспериментальных данных выходного сигнала wi (i=1,…,n), индуцированного воздействиями (6).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Система (5) для каждого l-го эксперимента, согласно (6), (7),
приобретает компактный вид
wi(l)=ûT(l)zi+εi(l), i=1,…,n. Таким образом, если переформулировать оптимизационную задачу вида (2) в векторно-
матричных терминах zi, βi, U, то приходим к следующей многокритериальной постановке от-
носительно векторов zi, i=1,…,n:
min min
β1−Uz1 Rq , z1 R1+m(m+3) / 2
,⎪⎫⎪⎬⎪⎪⎭
…………………
min min
βi −Uzi Rq , zi R1+m(m+3) / 2
,⎪⎪⎫⎪⎪⎭⎪⎬
………………….
min min
βn −Uzn Rq , zn R1+m(m+3) / 2
.⎪⎪⎪⎫⎪⎭⎬⎪
Очевидно, что в силу леммы данная многокритериальная система имеет единственное
нормальное псевдорешение (8) относительно переменных zi, i=1,…,n. С л е д с т в и е 1 [8, c. 263]. Пусть zi*=U+βi (i=1,…,n). Тогда каждый вектор z пара-
метров регрессионной модели (5) (характеризующей интенсивность ЭИИ), такой, что
имеет место z≠zi*, удовлетворяет одному из следующих двух условий: а) ||βi–Uz||Rq > ||βi–Uzi*||Rq
2 Здесь „модель входных воздействий“ — некоторый набор тестовых координат ЭИИ при его „эталонном“ излучении. Точная зависимость модели (1) от координатной ориентации ЭИИ, как правило, неизвестна, и ее желательно представить приближенно в линейной или квадратичной аппроксимации, что выражено моделью (5), при
этом аппроксимация (5) более обоснована для небольших отклонений аргумента v относительно координат ω.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 10
Нелинейный регрессионно-тензорный анализ оптимальной установки ЭИИ
15
или, в противном случае, б) ||βi–Uz||Rq = ||βi–Uzi*||Rq и ||z||R1+m(m+3)/2 > ||zi*||R1+m(m+3)/2. З а м е ч а н и е 2. Качественные оценки следствия 1 в основном зависят от „объема“
апостериорной информации (количества экспериментов q), а именно: если q>1+m(m+3)/2, то,
как правило, реализуется пункт а, если q≤1+m(m+3)/2 — весьма вероятно, что имеет место
методологическая позиция б.
Далее приступим к многомерному геометрическому исследованию „минимаксных“
свойств решений нелинейной векторной регрессии (5); важной чертой полученных ниже ана-
литических результатов в решении оптимизационной задачи (3) является их явная алгебраи-
ческая зависимость от идентифицированных параметров билинейно-тензорной структуры
системы (5).
Ориентация ЭИИ на базе билинейно-тензорной интерполяции его функциональ-
ной модели. Параметрическая идентификация функциональной модели ЭИИ класса (5), ис-
следовавшаяся выше, является необходимым требованием при выборе вектора ориентации v.
Однако вариантов подобной ориентации, очевидно, много, и необходимо выбрать среди них
оптимальный с точки зрения некоторого формального критерия, характеризующего опреде-
ленное „физико-техническое“ качество данной геометрической установки ЭИИ. Рассмотрим
критерий оптимальности (3) (с приоритетным выбором коэффициентов ri, 1≤i≤n, согласно, например, [9]) и обсудим для него алгоритмическую технику получения оптимальных коор-
динат v*.
У т в е р ж д е н и е 4. Пусть Di =(Bi+BiТ), где матрица Bi идентифицирована согласно
билинейно-тензорной регрессионной модели (5). Тогда при варьировании координат вектора
v∈Rm показатель интенсивности ЭИИ (в точке bi) вида
Ji(v) =wi(ω+v), i=1,…,n
может в силу идентифицированных уравнений (5) иметь внутренний экстремум только в
точке vi*∈Rm:
vi*=–Di–1ATei,
(9)
где {e1,…,en} — стандартный базис в Rn.
Если vTDiv — суть отрицательно определенная квадратичная форма, то функционал
качества Ji(v) имеет в точке vi* максимум, если vTDiv — положительно определенная квад-
ратичная форма, то Ji(v) претерпевает в vi* минимум; в обоих случаях vi* — стационарная
точка эллиптического типа.
Наконец, если vTDiv может принимать как положительные, так и отрицательные
значения (с vTDiv≠0 при v≠0), то экстремум отсутствует, а vi* — точка гиперболического
типа (седловая).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Для показателя качества Ji(v) на множестве значений линейноквадратичной модели (5) необходимое условие локального экстремума определяет следую-
щее условие:
( ) ( )col⎛⎜⎜⎝⎜⎜∂
eiT Av+2−1vT Div ∂v1
,..., ∂
eiT Av+2−1vT Div ∂vn
⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟= 0∈ Rn
в пространстве Rm [5, с. 500] геометрические координаты (9) для стационарной точки vi* от-
носительно функционала Ji(v), в то время как знак второго дифференциала
∑ ∑d 2Ji(v*)=
∂2 Ji(v)/∂vg∂vp⏐v* vgvp
1≤g≤m1≤ p≤m
в точке размещения ЭИИ с координатами (9) определяет достаточные условия [5, с. 504] экс-
тремума для стационарной точки vi*.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 10
16 В. А. Козырев, А. Е. Куменко, А. Г. Рудых, В. А. Русанов
З а м е ч а н и е 3. Координаты стационарной точки (9) позволяют ответить на вопрос о
значении функционала Ji(v), когда данная точка является точкой относительно минимума или максимума.
С л е д с т в и е 2. Если матрица Di является положительно (отрицательно) определенной, то минимальное (максимальное) значение Ji(v*) равно
ci–eiTADi–1ATei/2, где ci — i-я координата вектора с∈Rn системы (5).
Каждый функционал Ji(v), i=1,…,n, при соответствующем истолковании может быть обобщен на случай комплексного целевого функционала (3), который рассмотрим ниже. Таким
образом, утверждение 4 и формула (9) позволяют за конечную последовательность простых
действий вычислять геометрические координаты стационарной точки задачи оптимизации (3);
данные координаты v определяют в терминах идентифицированных стационарных коэффици-
ентов системы (5) геометрические параметры режима защиты функционирования ЭИИ.
У т в е р ж д е н и е 5. Пусть Di =(Bi+BiТ), i=1,…,n. Тогда стационарная точка v*∈Rm задачи (3) (задача минимизации „взвешенно-осредненной“ интенсивности сигнала ЭИИ в
комплексе точек зондирования {bi}1≤i≤n) имеет вид v*=–(r1D1+…+rnDn)–1AT(r1e1+…+rnen),
при этом достаточным условием, что решение v* обеспечивает качество
(10)
min{F(v): v∈Rm},
является следующее: стационарная точка v* имеет эллиптический тип, т.е.
det [dij]p>0, p=1,…,m,
(11)
где [dij]p∈Mp,p(R) — главные подматрицы [7, с. 30] матрицы D=(r1D1+…+rnDn),
собственные числа λi матрицы D отвечают неравенствам
λi>0, i=1,…,m.
(12)
З а м е ч а н и е 4. Если алгебраические условия (11), (12) не выполняются, то критиче-
ская точка (10) является либо гиперболической (т.е. седловой), либо параболической, и сле-
довательно, требуется дополнительный геометрический анализ „параметров-координат“ ЭИИ
(10). Говоря более формально, наличие седловой точки гарантирует замена хотя бы в одном
(но не во всех) отношении неравенства „>“ из (11), (12) на „“ на „≥“, возможно, вызывает структуру параболической точки.
Изложенный подход методологически расширяет [10] стандартную процедуру планиро-
вания эксперимента [2]. При этом если расчетные (прогнозируемые) координаты стационар-
ной точки (10) по каким-либо физико-техническим параметрам выходят за область адекват-
ности идентифицированной модели (5), то необходимо провести дополнительный натурный
эксперимент, т.е. осуществить замер (с вектором v, максимально близким к точке (10)) коор-
динат ЭИИ с внесением полученного результата в расширенную матрицу экспериментальных
данных U. После этого необходимо сделать пересчет [3] всех вышеизложенных этапов про-
цесса оптимизации координат ЭИИ. При необходимости подобный эксперимент, параметри-
ческую идентификацию (5) и оптимизацию (3) необходимо повторить.
Заключение. В работе дано точное и удобное определение нелинейной векторной рег-
рессии на языке тензорной алгебры, чтобы нелинейные регрессионные модели были ком-
пактны и удобны в обращении. При этом определена процедура построения нелинейной мо-
дели, описывающей взвешенно-осредненную интенсивность электромагнитного поля ПЭВМ
в точках возможного несанкционированного приема его сигнала; получен алгоритм расчета
оптимальных координат установки ПЭВМ.
Изложенные в статье идеи можно развить в нескольких направлениях теоретико-
прикладных изысканий по совершенствованию предложенных выше алгоритмов оптималь-
ной пространственно-угловой ориентации ЭИИ, а также расширению рамок адекватности
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 10
Нелинейный регрессионно-тензорный анализ оптимальной установки ЭИИ
17
регрессионных уравнений дистанционной интенсивности ЭИИ за счет дополнительного исследования факторов ее нелинейности:
— на разработку процедуры выбора весовых коэффициентов ri, 1≤i≤n, критерия (3), обеспечивающих эллиптический характер стационарной точки (10) целевого функционала F(v) исходя из алгебраических условий (11), (12);
— на расширение, согласно утверждению 2, билинейно-тензорной формы уравнений
регрессии (5) „тейлоровским разложением“ вектора-функции v→w(ω+v) ковариантными тензорами ранга k>2;
— на задачу оптимизации (3) в постановке невыпуклого нелинейного программирования, когда k>2 и v∈V⊂Rm, где V — ограниченная, несвязная, невыпуклая область (возможно, с квазифрактальной границей [11]).
Работа поддержана программой фундаментальных исследований № 15 Отделения энергетики, машиностроения, механики и процессов управления РАН, грантом Президента РФ по государственной поддержке ведущих научных школ Российской Федерации (№ НШ1676.2008.1).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Жигунова Я. А., Носков С. И. Определение гармоник информативного сигнала монитора на основе методов регрессионного анализа // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2008. № 4. С. 89—90.
2. Бернштейн А. В., Кулешов А. П., Бурнаев Е. В. Об одной методологии построения аппроксимаций многомерных зависимостей // Докл. IV Междунар. конф. „Параллельные вычисления и задачи управления“ PACO’2008. Институт проблем управления им. В. А. Трапезникова РАН, 2008. С. 56—62.
3. Андриевский Б. Р., Фрадков А. Л. Элементы математического моделирования в программных средах MATLAB и SCILAB. СПб: Наука, 2001. 288 с.
4. Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. М.: Наука, 1979. 624 с.
5. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1976. 544 с.
6. Месарович М., Такахара Я. Общая теория систем: математические основы. М.: Мир, 1978. 312 с.
7. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. М.: Мир, 1989. 656 с.
8. Ланкастер П. Теория матриц. М.: Наука, 1982. 268 с.
9. Макаров И. М., Виноградская Т. М., Рубчинский А. А., Соколов В. Б. Теория выбора и принятия решений. М.: Наука, 1982. 328 с.
10. Патент РФ № 2009612490. Регрессионно-тензорный анализ „РЕТАН“ / С. Н. Думнов, Д. Б. Лабаров, В. А. Козырев, А. Е. Куменко, А. Г. Рудых. 19.05.2009 г.
11. Потапов А. А. Фракталы и хаос как основа прорывных технологий в современных радиосистемах // Фракталы и хаос в динамических системах. М.: Техносфера, 2006. С. 374—457.
Владимир Александрович Козырев Антон Евгеньевич Куменко Алексей Геннадьевич Рудых Вячеслав Анатольевич Русанов
Сведения об авторах — аспирант; Институт динамики систем и теории управления СО РАН,
Иркутск — канд. техн. наук, старший научный сотрудник НПО „ОРИОН“, Крас-
нознаменск — аспирант; Иркутское высшее военное авиационное инженерное учи-
лище — д-р физ.-мат. наук, главный научный сотрудник Института динамики
систем и теории управления СО РАН, Иркутск; E-mail: V.Rusanov@mail.ru
Рекомендована институтом
Поступила в редакцию 29.10.09 г.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 10
УДК 519.65
В. А. КОЗЫРЕВ, А. Е. КУМЕНКО, А. Г. РУДЫХ, В. А. РУСАНОВ
НЕЛИНЕЙНЫЙ РЕГРЕССИОННО-ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ ОПТИМАЛЬНОЙ УСТАНОВКИ
ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ИСТОЧНИКА ИЗЛУЧЕНИЯ ПРИ НЕСАНКЦИОНИРОВАННОМ СКАНИРОВАНИИ
ЕГО ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
Предложена процедура оптимизации линейно-угловых координат электромагнитного источника излучения с позиции минимальной наблюдаемости интенсивности его электромагнитного поля в заданных точках трехмерного континуума (точках зондирования). Основа решения — представление ковариантными тензорами фиксированной валентности дистанционной интенсивности излучения в зависимости от пространственно-угловой ориентации его источника.
Ключевые слова: нелинейная регрессия, ковариантный тензор конечной валентности, задача квадратичной оптимизации.
Введение. Регрессионный анализ первоначально приобрел значительный теоретикоприкладной интерес в задачах определения оптимальных параметров линейных стационарных статических систем типа „вход—выход“; в большинстве случаев исследователи ограничивались применением этого анализа к конечномерным системам (см., например, [1, 2]). При этом задача регрессии формулировалась в терминах вычисления оптимальной (как правило, квадратичной) оценки этих параметров по методу наименьших квадратов с последующим применением [3] алгоритма построения соответствующей псевдообратной матрицы.
Способ представления регрессионного анализа в настоящей работе отличается от традиционного, поскольку авторы стремились выявить геометрическую, качественную сторону нелинейного регрессионного моделирования и его приложений. В соответствии с этим ниже приведен (в отличие от работы [2]) ряд понятий, которым ранее не уделялось должного внимания; поэтому пришлось представлять их достаточно подробно в рамках стандартных элементов тензорной алгебры [4] и функционального анализа [5]. Прикладной задачей в настоящей работе является определение (вычисление) линейно-угловых координат электромагнитного источника излучения (ЭИИ) в целях его минимальной „взвешенно-осредненной электромагнитной наблюдаемости“ в некоторых фиксированных точках возможной пеленгации сигнала ЭИИ. Такая постановка вопроса позволяет решать физическую задачу электронной защиты ПЭВМ от внешнего несанкционированного сканирования его побочных электромагнитных излучений и наводок (при этом в техническом плане проще всего решается задача перехвата информации, отображаемой на экране дисплея [1]).
Постановка задачи. Пусть R — поле вещественных чисел, Rn — n-мерное векторное пространство над R с евклидовой нормой ||⋅||Rn, col(y1,…,yn)∈Rn — вектор-столбец с элементами y1,…,yn∈R, Mn,m(R) — пространство всех (n×m)-матриц с элементами из R и фробениусовой матричной нормой ||D||F =(∑dij2)1/2, D=[dij]. Через Tmk обозначим пространство всех ковариантных тензоров k-й валентности (вещественных полилинейных форм f k,m: Rm×…×Rm→R) с тензорной нормой || f k,m||Т =(∑t2i…j)1/2, где ti…j — коэффициенты (координаты [4, с. 96]) тензора f k,m, значения которых заданы относительно стандартного базиса в Rm.
Пусть ω∈Rm — некоторый фиксированный вектор линейно-угловых координат ЭИИ. Выделим к рассмотрению класс многомерных нелинейных систем „вход—выход“ [6], описываемых векторно-тензорным уравнением регрессии вида
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 10
Нелинейный регрессионно-тензорный анализ оптимальной установки ЭИИ
11
w(ω+v)=c+Av+col(∑j=2,…,k f1j,m(v,…,v),…,∑j=2,…,k fnj,m(v,…,v))+ε(ω,v),
(1)
w(ω+v)∈Rn, v∈Rm, c∈Rn, A∈Mn,m(R), fij,m∈Tmj, вектор-функция ε(ω, v): Rm→Rn класса
||ε(ω,v)||Rn=о((v12+…+vm2)k/2), v=col(v1,…,vm).
Пусть {bi}1≤i≤n⊂R3 — совокупность точек возможного несанкционированного зондиро-
вания электромагнитного сигнала ЭИИ, v∈Rm — вектор пространственно-угловой ориента-
ции ЭИИ1 (с началом в ω), w(ω+v) — вектор выходных сигналов ЭИИ (интенсивность элек-
тромагнитного поля ЭИИ в точках bi, 1≤i≤n).
Задача
1. Для заданного аргумента ω∈Rm вектор-функции w(⋅): Ω→Rn (интенсивность ЭИИ в
точках bi, 1≤i≤n), Ω⊂Rm — открытая окрестность точки ω и фиксированного индекса k опре-
делить аналитические условия, при которых w(⋅) удовлетворяет системе (1) с некоторыми
значениями c, A, fij,m, 1≤i≤n, 1≤j≤k. 2. Построить векторно-матрично-тензорные апостериорные оценки для c, A, fij,m, 1≤i≤n,
1≤j≤k из решения двукритериальной задачи параметрической оптимизации (параметрическая
идентификация нелинейной регрессионной модели (1)):
∑ ∑ ( ) ∑ ( )min
⎛ ⎜ ⎝⎜⎜
l
q =1
⎛ ⎜ ⎝⎜
w( l )
−c
−
Av( l )
−
col
⎛ ⎝⎜⎜
k j=2
f1j,m
v(l) ,..., v(l )
k
,..., fnj,m
j=2
v(l ) ,..., v(l )
⎞ ⎠⎟⎟
Rn
⎞2 ⎟ ⎠⎟
⎞1/ 2 ⎟ ⎠⎟⎟
⎫ ,⎪⎪ ⎪ ⎬
∑ ∑min
⎛ ⎝⎜⎜
c
2 Rn
+
A
2 F
+
n
k
i=1 j=2
fi j,m
2 T
⎞1/ ⎠⎟⎟
2
.
⎪ ⎪ ⎪ ⎭
(2)
Здесь w(l)∈Rn, v(l)∈Rm, 1≤l≤q — векторы экспериментальных данных (w(l) — „реакция“ на „вариацию“ v(l) относительно координат вектора ω∈Rm), q — число экспериментов (ограничений на величину q не накладываем; см. примечание 1);
3. Для заданного вектора ω∈Rm определить линейно-угловые координаты ЭИИ v*∈Rm,
обеспечивающие из решения задачи нелинейной „v-оптимизации“ минимальную взвешенно-
осредненную интенсивность сигнала ЭИИ в точках bi, 1≤i≤n: min{F(v): v∈Rm},
(3)
n
F(v):= ∑ ri wi (ω+ v) , i=1
где координаты вектора col(w1(ω+v),…,wn(ω+v))=w(ω+v)∈Rn имеют аналитическое представление согласно идентифицированной в силу п. 2 задачи, ri — весовые коэффициенты, отра-
жающие „приоритет“ точек зондирования bi, 1≤i≤n. Векторная регрессия с переменными в тензорных классах Tmj, j≤k. Кратко исследу-
ем некоторые аналитические свойства нелинейных векторных регрессий многих переменных,
которые „внешне“ похожи на поведение голоморфных функций (см. задачу). В связи с этим
изложение будет основываться на понятии сильной производной (производной
Фреше) [5, с. 481], что ставит задачу определения остальных аналитических понятий, и в ча-
стности дифференциалов высших порядков, через конструкции сильных производных.
Известно [5, с. 491], что данные производные по существу можно (и удобно) трактовать как
некоторые математические конструкции со специальной геометрической полилинейной
структурой.
1 Случай v∈V⊂Rm, где V — ограниченная невыпуклая область, может составить предмет отдельной задачи.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 10
12 В. А. Козырев, А. Е. Куменко, А. Г. Рудых, В. А. Русанов
О п р е д е л е н и е 1 [5, c. 480]. Пусть Ω — открытая область в Rm, w — отображение множества Ω в Rn и ω — некоторая точка из Ω. Если существует такая матрица A∈Mn,m(R), что имеет место соотношение
lim
v→0
⎪⎪⎩⎪⎧⎪⎨
w(ω+v)−w(ω)− Av v Rm
Rn
∈ Rm ⎪⎪⎬⎪⎫⎭⎪=0 ,
(4)
то данная матрица A называется производной Фреше от функции w в точке ω.
З а м е ч а н и е 1. Нетрудно установить, что производная Фреше определяется матри-
цей частных производных ∂wi/∂vj (1≤i≤n, 1≤j≤m) в точке ω (матрица Якоби); отметим, однако,
что факт существования в точке ω частных производных функций w1, w2, …, wn (здесь w=col(w1,…,wn)) не обеспечивает еще наличия производной Фреше, как показывает следующий достаточно простой пример:
П р и м е р 1. Пусть n=1, m=2, w(v1,v2)=v1v2/(v12+v22)2 и w(0,0)=0, ω=(0,0). Ясно, что
∂w(0,0)/∂v1=∂w(0,0)/∂v2=0. Поэтому, если бы соответствующая производная Фреше существовала, то, очевидно, это дало бы ее нулевой оператор и, следовательно, из соотношения (4) вы-
текает следующее положение:
lim
t→0
⎪⎪⎩⎨⎪⎪⎧⎪
w(tv1,
t
tv2
)
∈
R,
(v12
+v22
)1/
2
=1⎫⎬⎪⎪⎪⎭⎪⎪=
0
,
между тем в действительности этот предел равен бесконечности, если только v1≠0 и v2≠0. Производную Фреше от w в точке ω будем обозначать через w(ω)(1). При этом если про-
изводная w(ω)(1) существует для каждой точки ω∈Ω и если кроме того
ω↦w(ω)(1)
есть непрерывное отображение из области Ω в Mn,m(R), то отображение w называется непрерывно дифференцируемым в Ω. В силу отмеченного имеет смысл говорить о производной для отображения w(1): Ω→Mn,m(R) в точке ω∈Ω, которую, если она существует (при очевидном изоморфизме пространств Mn,m(R) и Rn×m), называют второй производной отображения w и обозначают w(ω)(2).
Если вторая производная существует в каждой точке множества Ω, то тем самым математически корректно определен оператор w(2), производная которого называется третьей производной отображения w. Производная w(ω)(k) порядка k в точке ω есть, по определению, производная оператора w(k–1): Ω→Rn×(k–1)m, при этом можно каждой производной w(ω)(k) естественным образом поставить в соответствие элемент пространства k-линейных (при k=2 билинейных) отображений из Rm×…×Rm в Rn [5, c. 488]. В такой постановке дифференциал k-го порядка допускает более удобную (и наглядную) интерпретацию в конструкциях ковариантных тензоров из Tmk.
У т в е р ж д е н и е 1. Пусть Ω — открытая область в Rm, w — отображение множества Ω в Rn и ω — некоторая точка из Ω. Если существует производная w(ω)(k) порядка k, то дифференциал k-го прядка в точке ω∈Rm имеет аналитическое представление (при v∈Rm) вида
w(ω)(k)(v,…,v) =col(f1k,m(v,…,v),…,fnk,m(v,…,v)), где fik,m∈Tmk, i=1,…,n.
Установим важное аналитическое свойство, которым должна обладать вектор-функция w, с целью прояснения: когда отображение w удовлетворяет (при некоторых разумных дополнительных предположениях о нем) понятию нелинейной тензорной регрессии класса (1).
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 10
Нелинейный регрессионно-тензорный анализ оптимальной установки ЭИИ
13
У т в е р ж д е н и е 2. Пусть Ω — открытая область в Rm, w — отображение множества Ω в Rn и ω — некоторая точка из Ω. Если существует производная w(ω)(k), которая суть равномерно непрерывная функция от ω в Ω, то векторное отображение w: Ω→Rn удовлетворяет системе (1) с некоторыми тензорами fij,m, 1≤i≤n, 1≤j≤k, вектором c=w(ω) и (n×m)-матрицей A=w(ω)(1).
Утверждение 2 формулирует некоторый качественный факт для существования нелинейной регрессии класса (1), если не накладывать чрезмерно слабых требований (по образцу приведенных в примере 1) на конструкцию вектора-функции w.
Параметрическая идентификация билинейно-тензорной структуры нелинейной векторной регрессии. Начнем с уточнения конструкции уравнения (1); это уточнение имеет довольно специальный (частный) характер, но его использование позволяет не привлекать сложных вычислительных алгоритмов в оценке оптимального вектора координат установки ЭИИ.
Рассмотрим случай k=2. В такой постановке уравнение (1) примет вид
w(ω+v)=c+Av+col(vTB1v,…,vTBnv)+ε(ω,v),
(5)
где Bi∈Mm,m(R), i=1,…,n, Т — операция транспонирования, при этом считаем, что каждая Bi — суть верхняя треугольная матрица [7, с. 38]; в силу утверждения 2 полагаем, что c=w(ω), A=w(ω)(1).
Параметрическую идентификацию в многокритериальной векторно-матричнотензорной постановке (2) для многосвязной стационарной статической нелинейной модели типа „черный ящик“ [6] в классе регрессий (5) свяжем с понятием нормального псевдорешения (канонического решения по методу наименьших квадратов) для конечномерной системы линейных алгебраических уравнений.
О п р е д е л е н и е 2 [7, c. 501]. Нормальным псевдорешением системы линейных алгебраических уравнений вида
Dx=d, D∈Mq,p(R), d∈Rq
называется вектор x∈Rp, имеющий наименьшую евклидову норму ||x||Rp среди всех векторов, приносящих минимум величине нормы ||Dx–d||Rq.
Далее, обозначим через Eq единичную (q×q)-матрицу и пусть D∈Mq,p(R). Через D+ обозначим обобщенную обратную (псевдообратную) матрицу Мура—Пенроуза [7, c. 500] для
матрицы D. Известно, что асимптотическая конструкция псевдообратной матрицы имеет сле-
дующий аналитический вид: D+=lim{DT(DDT+τEq)–1: τ→0}.
Условимся, что везде далее знак „+“ означает операцию псевдообращения соответствующей
матрицы. Л е м м а [7, c. 501]. Вектор x=D+d — суть нормальное псевдорешение линейной систе-
мы: Dx=d, D∈Mq,p(R), d∈Rq. Для взаимоувязывания параметров системы (5) и данных генеральной выборки обозна-
чим через û(l)∈R1+m(m+3)/2 вектор, имеющий (с учетом верхней треугольной структуры матриц Bi, i=1,…,n) следующее координатное представление:
û(l) =col(1, v1(l), …, vm(l), v1(l)v1(l), …, vr(l)vs(l), …, vm(l)vm(l))∈R1+m(m+3)/2,
(6)
1≤r≤s≤m,
col(v1(l), …, vm(l)) =v(l)∈Rm,
1≤l≤q.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 10
14 В. А. Козырев, А. Е. Куменко, А. Г. Рудых, В. А. Русанов
Назовем U =[û(1), …, û(q)]T∈Mq,1+m(m+3)/2(R) полной матрицей экспериментальных данных входных воздействий2, βi:=col(wi(1), …, wi(q))∈Rq — полным вектором экспериментальных данных для выходного сигнала wi (i=1,…,n). Далее, стремясь к линейно-параметрическому описанию коэффициентов нелинейной модели „вход—выход“ для выходного ЭИИ-сигнала wi выпишем (согласно системе (5)) линейно-квадратичную форму правой части уравнения его
регрессии
∑ ∑ci+ aij vj+
bigp vgvp, i=1,…,n.
1≤ j≤m
1≤g≤ p≤m
(7)
Теперь введем в рассмотрение (1+m(m+3)/2)-вектор zi параметров модели ЭИИ ci, ai1, …, aim, bi11,…, bigp, …, bimm
для модели регрессии (7). Ясно, что в силу уравнений (7) любой фиксированный набор из n
таких векторов полностью определяет (задает) аналитическое представление модели относи-
тельно некоторой системы „вход—выход“ типа (5):
zi =col(ci, ai1, …, aim, bi11, …, bigp, …, bimm)∈R1+m(m+3)/2, 1≤g≤p≤m.
У т в е р ж д е н и е 3. Параметрическая идентификация (2) в терминах регрессионной
модели (5) имеет алгебраическое решение
zi*=U+βi, i=1,…,n.
(8)
Здесь U — полная матрица экспериментальных данных входных воздействий (6), βi — полный вектор экспериментальных данных выходного сигнала wi (i=1,…,n), индуцированного воздействиями (6).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Система (5) для каждого l-го эксперимента, согласно (6), (7),
приобретает компактный вид
wi(l)=ûT(l)zi+εi(l), i=1,…,n. Таким образом, если переформулировать оптимизационную задачу вида (2) в векторно-
матричных терминах zi, βi, U, то приходим к следующей многокритериальной постановке от-
носительно векторов zi, i=1,…,n:
min min
β1−Uz1 Rq , z1 R1+m(m+3) / 2
,⎪⎫⎪⎬⎪⎪⎭
…………………
min min
βi −Uzi Rq , zi R1+m(m+3) / 2
,⎪⎪⎫⎪⎪⎭⎪⎬
………………….
min min
βn −Uzn Rq , zn R1+m(m+3) / 2
.⎪⎪⎪⎫⎪⎭⎬⎪
Очевидно, что в силу леммы данная многокритериальная система имеет единственное
нормальное псевдорешение (8) относительно переменных zi, i=1,…,n. С л е д с т в и е 1 [8, c. 263]. Пусть zi*=U+βi (i=1,…,n). Тогда каждый вектор z пара-
метров регрессионной модели (5) (характеризующей интенсивность ЭИИ), такой, что
имеет место z≠zi*, удовлетворяет одному из следующих двух условий: а) ||βi–Uz||Rq > ||βi–Uzi*||Rq
2 Здесь „модель входных воздействий“ — некоторый набор тестовых координат ЭИИ при его „эталонном“ излучении. Точная зависимость модели (1) от координатной ориентации ЭИИ, как правило, неизвестна, и ее желательно представить приближенно в линейной или квадратичной аппроксимации, что выражено моделью (5), при
этом аппроксимация (5) более обоснована для небольших отклонений аргумента v относительно координат ω.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 10
Нелинейный регрессионно-тензорный анализ оптимальной установки ЭИИ
15
или, в противном случае, б) ||βi–Uz||Rq = ||βi–Uzi*||Rq и ||z||R1+m(m+3)/2 > ||zi*||R1+m(m+3)/2. З а м е ч а н и е 2. Качественные оценки следствия 1 в основном зависят от „объема“
апостериорной информации (количества экспериментов q), а именно: если q>1+m(m+3)/2, то,
как правило, реализуется пункт а, если q≤1+m(m+3)/2 — весьма вероятно, что имеет место
методологическая позиция б.
Далее приступим к многомерному геометрическому исследованию „минимаксных“
свойств решений нелинейной векторной регрессии (5); важной чертой полученных ниже ана-
литических результатов в решении оптимизационной задачи (3) является их явная алгебраи-
ческая зависимость от идентифицированных параметров билинейно-тензорной структуры
системы (5).
Ориентация ЭИИ на базе билинейно-тензорной интерполяции его функциональ-
ной модели. Параметрическая идентификация функциональной модели ЭИИ класса (5), ис-
следовавшаяся выше, является необходимым требованием при выборе вектора ориентации v.
Однако вариантов подобной ориентации, очевидно, много, и необходимо выбрать среди них
оптимальный с точки зрения некоторого формального критерия, характеризующего опреде-
ленное „физико-техническое“ качество данной геометрической установки ЭИИ. Рассмотрим
критерий оптимальности (3) (с приоритетным выбором коэффициентов ri, 1≤i≤n, согласно, например, [9]) и обсудим для него алгоритмическую технику получения оптимальных коор-
динат v*.
У т в е р ж д е н и е 4. Пусть Di =(Bi+BiТ), где матрица Bi идентифицирована согласно
билинейно-тензорной регрессионной модели (5). Тогда при варьировании координат вектора
v∈Rm показатель интенсивности ЭИИ (в точке bi) вида
Ji(v) =wi(ω+v), i=1,…,n
может в силу идентифицированных уравнений (5) иметь внутренний экстремум только в
точке vi*∈Rm:
vi*=–Di–1ATei,
(9)
где {e1,…,en} — стандартный базис в Rn.
Если vTDiv — суть отрицательно определенная квадратичная форма, то функционал
качества Ji(v) имеет в точке vi* максимум, если vTDiv — положительно определенная квад-
ратичная форма, то Ji(v) претерпевает в vi* минимум; в обоих случаях vi* — стационарная
точка эллиптического типа.
Наконец, если vTDiv может принимать как положительные, так и отрицательные
значения (с vTDiv≠0 при v≠0), то экстремум отсутствует, а vi* — точка гиперболического
типа (седловая).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Для показателя качества Ji(v) на множестве значений линейноквадратичной модели (5) необходимое условие локального экстремума определяет следую-
щее условие:
( ) ( )col⎛⎜⎜⎝⎜⎜∂
eiT Av+2−1vT Div ∂v1
,..., ∂
eiT Av+2−1vT Div ∂vn
⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟= 0∈ Rn
в пространстве Rm [5, с. 500] геометрические координаты (9) для стационарной точки vi* от-
носительно функционала Ji(v), в то время как знак второго дифференциала
∑ ∑d 2Ji(v*)=
∂2 Ji(v)/∂vg∂vp⏐v* vgvp
1≤g≤m1≤ p≤m
в точке размещения ЭИИ с координатами (9) определяет достаточные условия [5, с. 504] экс-
тремума для стационарной точки vi*.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 10
16 В. А. Козырев, А. Е. Куменко, А. Г. Рудых, В. А. Русанов
З а м е ч а н и е 3. Координаты стационарной точки (9) позволяют ответить на вопрос о
значении функционала Ji(v), когда данная точка является точкой относительно минимума или максимума.
С л е д с т в и е 2. Если матрица Di является положительно (отрицательно) определенной, то минимальное (максимальное) значение Ji(v*) равно
ci–eiTADi–1ATei/2, где ci — i-я координата вектора с∈Rn системы (5).
Каждый функционал Ji(v), i=1,…,n, при соответствующем истолковании может быть обобщен на случай комплексного целевого функционала (3), который рассмотрим ниже. Таким
образом, утверждение 4 и формула (9) позволяют за конечную последовательность простых
действий вычислять геометрические координаты стационарной точки задачи оптимизации (3);
данные координаты v определяют в терминах идентифицированных стационарных коэффици-
ентов системы (5) геометрические параметры режима защиты функционирования ЭИИ.
У т в е р ж д е н и е 5. Пусть Di =(Bi+BiТ), i=1,…,n. Тогда стационарная точка v*∈Rm задачи (3) (задача минимизации „взвешенно-осредненной“ интенсивности сигнала ЭИИ в
комплексе точек зондирования {bi}1≤i≤n) имеет вид v*=–(r1D1+…+rnDn)–1AT(r1e1+…+rnen),
при этом достаточным условием, что решение v* обеспечивает качество
(10)
min{F(v): v∈Rm},
является следующее: стационарная точка v* имеет эллиптический тип, т.е.
det [dij]p>0, p=1,…,m,
(11)
где [dij]p∈Mp,p(R) — главные подматрицы [7, с. 30] матрицы D=(r1D1+…+rnDn),
собственные числа λi матрицы D отвечают неравенствам
λi>0, i=1,…,m.
(12)
З а м е ч а н и е 4. Если алгебраические условия (11), (12) не выполняются, то критиче-
ская точка (10) является либо гиперболической (т.е. седловой), либо параболической, и сле-
довательно, требуется дополнительный геометрический анализ „параметров-координат“ ЭИИ
(10). Говоря более формально, наличие седловой точки гарантирует замена хотя бы в одном
(но не во всех) отношении неравенства „>“ из (11), (12) на „“ на „≥“, возможно, вызывает структуру параболической точки.
Изложенный подход методологически расширяет [10] стандартную процедуру планиро-
вания эксперимента [2]. При этом если расчетные (прогнозируемые) координаты стационар-
ной точки (10) по каким-либо физико-техническим параметрам выходят за область адекват-
ности идентифицированной модели (5), то необходимо провести дополнительный натурный
эксперимент, т.е. осуществить замер (с вектором v, максимально близким к точке (10)) коор-
динат ЭИИ с внесением полученного результата в расширенную матрицу экспериментальных
данных U. После этого необходимо сделать пересчет [3] всех вышеизложенных этапов про-
цесса оптимизации координат ЭИИ. При необходимости подобный эксперимент, параметри-
ческую идентификацию (5) и оптимизацию (3) необходимо повторить.
Заключение. В работе дано точное и удобное определение нелинейной векторной рег-
рессии на языке тензорной алгебры, чтобы нелинейные регрессионные модели были ком-
пактны и удобны в обращении. При этом определена процедура построения нелинейной мо-
дели, описывающей взвешенно-осредненную интенсивность электромагнитного поля ПЭВМ
в точках возможного несанкционированного приема его сигнала; получен алгоритм расчета
оптимальных координат установки ПЭВМ.
Изложенные в статье идеи можно развить в нескольких направлениях теоретико-
прикладных изысканий по совершенствованию предложенных выше алгоритмов оптималь-
ной пространственно-угловой ориентации ЭИИ, а также расширению рамок адекватности
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 10
Нелинейный регрессионно-тензорный анализ оптимальной установки ЭИИ
17
регрессионных уравнений дистанционной интенсивности ЭИИ за счет дополнительного исследования факторов ее нелинейности:
— на разработку процедуры выбора весовых коэффициентов ri, 1≤i≤n, критерия (3), обеспечивающих эллиптический характер стационарной точки (10) целевого функционала F(v) исходя из алгебраических условий (11), (12);
— на расширение, согласно утверждению 2, билинейно-тензорной формы уравнений
регрессии (5) „тейлоровским разложением“ вектора-функции v→w(ω+v) ковариантными тензорами ранга k>2;
— на задачу оптимизации (3) в постановке невыпуклого нелинейного программирования, когда k>2 и v∈V⊂Rm, где V — ограниченная, несвязная, невыпуклая область (возможно, с квазифрактальной границей [11]).
Работа поддержана программой фундаментальных исследований № 15 Отделения энергетики, машиностроения, механики и процессов управления РАН, грантом Президента РФ по государственной поддержке ведущих научных школ Российской Федерации (№ НШ1676.2008.1).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Жигунова Я. А., Носков С. И. Определение гармоник информативного сигнала монитора на основе методов регрессионного анализа // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2008. № 4. С. 89—90.
2. Бернштейн А. В., Кулешов А. П., Бурнаев Е. В. Об одной методологии построения аппроксимаций многомерных зависимостей // Докл. IV Междунар. конф. „Параллельные вычисления и задачи управления“ PACO’2008. Институт проблем управления им. В. А. Трапезникова РАН, 2008. С. 56—62.
3. Андриевский Б. Р., Фрадков А. Л. Элементы математического моделирования в программных средах MATLAB и SCILAB. СПб: Наука, 2001. 288 с.
4. Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. М.: Наука, 1979. 624 с.
5. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1976. 544 с.
6. Месарович М., Такахара Я. Общая теория систем: математические основы. М.: Мир, 1978. 312 с.
7. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. М.: Мир, 1989. 656 с.
8. Ланкастер П. Теория матриц. М.: Наука, 1982. 268 с.
9. Макаров И. М., Виноградская Т. М., Рубчинский А. А., Соколов В. Б. Теория выбора и принятия решений. М.: Наука, 1982. 328 с.
10. Патент РФ № 2009612490. Регрессионно-тензорный анализ „РЕТАН“ / С. Н. Думнов, Д. Б. Лабаров, В. А. Козырев, А. Е. Куменко, А. Г. Рудых. 19.05.2009 г.
11. Потапов А. А. Фракталы и хаос как основа прорывных технологий в современных радиосистемах // Фракталы и хаос в динамических системах. М.: Техносфера, 2006. С. 374—457.
Владимир Александрович Козырев Антон Евгеньевич Куменко Алексей Геннадьевич Рудых Вячеслав Анатольевич Русанов
Сведения об авторах — аспирант; Институт динамики систем и теории управления СО РАН,
Иркутск — канд. техн. наук, старший научный сотрудник НПО „ОРИОН“, Крас-
нознаменск — аспирант; Иркутское высшее военное авиационное инженерное учи-
лище — д-р физ.-мат. наук, главный научный сотрудник Института динамики
систем и теории управления СО РАН, Иркутск; E-mail: V.Rusanov@mail.ru
Рекомендована институтом
Поступила в редакцию 29.10.09 г.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 10