ОСОБЕННОСТИ ДВИЖЕНИЯ ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА В ВЕРТИКАЛЬНОЙ ПЛОСКОСТИ В НЕРАВНОВЕСНОМ РЕЖИМЕ С УЧЕТОМ ОГРАНИЧЕННОГО РЕСУРСА УПРАВЛЕНИЯ
24
УДК 681.5.01
Б. В. ВИДИН, И. О. ЖАРИНОВ, О. О. ЖАРИНОВ, О. В. УЛЬЯНОВА
ОСОБЕННОСТИ ДВИЖЕНИЯ ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА В ВЕРТИКАЛЬНОЙ ПЛОСКОСТИ В НЕРАВНОВЕСНОМ РЕЖИМЕ
С УЧЕТОМ ОГРАНИЧЕННОГО РЕСУРСА УПРАВЛЕНИЯ
Исследуется нелинейная система дифференциальных уравнений, описывающая движение центра масс летательного аппарата в вертикальной плоскости при прямолинейной траектории. Получены оценки скорости и дальности в зависимости от ограничений на управление. Ключевые слова: динамика летательного аппарата, ресурс управления, ограничения.
Введение. Движение центра масс летательного аппарата в скоростной системе координат в вертикальной плоскости, на прямолинейном участке траектории после выбора направления, описывается следующей системой соотношений [1]:
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 10
Особенности движения ЛА в вертикальной плоскости в неравновесном режиме
25
m
dV dt
=
P cos α − Cx
ρV2 2
S
− mg sin θ,⎫⎪ ⎪
dθ dt
=
0,
dh dt
=
V
sin
θ,
⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎬ ⎪
dx dt
=
V
cos
θ,
⎪ ⎪ ⎪
dm dt
=
−q,
q > 0.
⎪ ⎭⎪
(1)
Здесь m — масса летательного аппарата; V — вектор скорости; θ — угол наклона траекто-
рии, θ = const ; α — угол атаки, α = const ; h — высота полета; x — дальность полета; q —
мгновенный расход массы топлива (в секунду); P — тяга двигателя, P ≤ K , K — ресурс
управления (величина, ограничивающая тягу двигателя), S — площадь крыльев, ρ(h) —
плотность атмосферы, зависящая от высоты полета, ρ(h) = C exp(−h R) , R — радиус Земли,
Cx — коэффициент лобового сопротивления, при этом
dCx dα
>0.
В качестве управляющей функции выбирается тяга двигателя: необходимо найти значе-
ние P (t ) такое, чтобы решение системы (1) удовлетворяло
— начальным условиям, t = t0 :
V = V0 , h = h0 , x = x0 , m = m0 , P = P0 ;
(2)
— конечным t = t′ :
h = hk , x = xk , m = mk .
Предлагаемый подход к решению. Совокупность функций V (t ), h (t ), x (t ), m (t ),
P (t ) будем называть решением задачи (1)—(2).
Разделив
все
уравнения
системы
(1)
на
dx dt
= V cos θ ,
приходим
к
системе
dV dx
=
1 mV cos θ
⎛ ⎜⎝⎜
P
cos
α
− Cx
ρV2 2
S
−
mg
sin
θ
⎞ ⎟⎠⎟
⎫ ,⎪ ⎪
dh dx
=
tgθ,
⎪ ⎪⎪ ⎬
dt dx
=
V
1 cos
θ
,
dm dx
=
V
−q cos
θ
.
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎭
Требуется найти значение P (t ) такое, чтобы решение системы (3) удовлетворяло
— начальным условиям, x = x0 : V = V0 , h = h0 , m = m0 , P = P0 ;
— конечным x = xk : h = hk , m = mk .
(3) (4)
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 10
26 Б. В. Видин, И. О. Жаринов, О. О. Жаринов, О. В. Ульянова
Совокупность функций V ( x), h ( x), m ( x), P ( x) будем называть решением задачи
(3)—(4). Поскольку в соответствии с исходными данными θ = const , необходимо найти функцию
h( x) :
xk
h( x) = tgθ ∫ dx .
x0
Продифференцируем обе части первого уравнения системы (3):
dV dx
=
1 mV cos
θ
⎛ ⎜⎝⎜
P
cos α
− Cx
ρV2 2
S
−
mg
sin
⎞ θ⎟⎟⎠ =
f
(V, h,
m,
P)
,
d2V dx2
=
df dV
dV dx
+
df dh
dh dx
+
df dm
dm dx
+
df dP
dP dx
,
откуда получим производную тяги по дальности
dP dx
=
d2V dx2
−
df dV
dV dx
−
df dh
df
dh dx
−
df dm
dm dx
,
dP
где
df dV
=
1 cos
θ
⎛ ⎝⎜
−
P cos α V2m
−
CxρS 2m
+
g sin θ ⎞ V2 ⎠⎟
,
df dh
=−
CxρVS 2m cos θ
C R
exp(−h
R)
,
df dm
=
m2
1 cos
θ
⎛ ⎜⎝
−
P
cos V
α
+
CxρVS 2
⎞ ⎠⎟
,
df dP
=
cos α mV cos
θ
.
Таким образом, приходим к системе уравнений
dP dx
=
d2V dx2
−
df dV
dV dx
−
df dh
df
dh dx
−
df dm
dm dx
⎫ ⎪ ,⎪ ⎪
dh dx
=
tg
θ,
dP
⎪ ⎪⎪ ⎬ ⎪
dt dx
=
V
1 cos
θ
,
⎪ ⎪ ⎪
dm dx
=
V
−q cos
θ
⎪ ⎪⎭
с учетом начальных условий x = x0 :
t = t0 , h = h0 , m = m0 , P = P0
на траектории [ x0 , xk ] .
Поскольку
θ = const ,
dθ dt
=
0
,
отсюда
(5) (6)
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 10
Особенности движения ЛА в вертикальной плоскости в неравновесном режиме
P sin α + Cy
ρV2 2
S − mg cos θ = 0 ,
∂C y ∂α
>0,
Cy — коэффициент подъемной силы,
Задав интервал m1 ≤ m ≤ m2 , получим ограничения на V :
Cy
ρV2 2
S
=
mg
cos θ −
P sin
α
,
V
2
=
C
2 yρS
(
mg
cos
θ
−
P
sin
α
)
.
Далее получим
V
2
≤
C
y
2
min
ρS
(
m2
g
cos
θ
−
K
sin
α
)
=
Vm2 ax
,
V2
≥
2 Cy maxρS
m1g
cos θ =
Vm2 in
,
Vm2in ≤ V2 ≤ Vm2ax ; Vmin = Vm2in , Vmax = Vm2ax ; Vmin ≤ V ≤ Vmax .
Получим оценку скорости при конечном значении дальности:
∫dV
dx
=
dV dx
x = x0
+
xk x0
dV dx
dx
,
dV dx
x = x0
=
m0
1 V0 cos
θ
⎛ ⎝⎜⎜
P0
cos α − Cx0
ρ0 V02 2
⎞ S − m0 g sin θ ⎟⎟⎠
,
Vmin ≤ V ≤ Vmax ,
∫V
=
V0
+
xk x0
dV dx
dx
,
выберем Vmin ≤ V0 ≤ Vmax
∫Vmin
xk
− V0 <
x0
dV dx
dx
<
Vmax
− V0
,
∫ ∫ ∫ ∫xk
x0
dV dx
xk
dx =
x0
dV dx
dx
x= x0
+
xk x0
xk x0
d 2V dx2
dx2
,
∫ ∫Vmin − V0 −
dV dx
dx ≤
d2V dx2
(
xk
−
x0
)2
≤Vmax
− V0
−
dV dx
dx
.
Введем обозначения
∫ ∫Vmin
− V0
xk
−
x0
dV dx
dx = β1 ,
Vmax
− V0
xk
−
x0
dV dx
dx = β2 ,
где фазовые координаты удовлетворяют ограничениям
β1 ≤
d2V dx2
≤β2 ,
β1 = ( xk
β1
− x0 )2
,
β2
=
( xk
β2
− x0 )2
,
dP dx
≤K
( xk
−
x0),
K
= max
dP dx
.
С учетом дополнительных соотношений
27
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 10
28 Б. В. Видин, И. О. Жаринов, О. О. Жаринов, О. В. Ульянова
ρ(h) = C exp(−h R) ,
ρ1 ≤ρ(h) ≤ ρ2 ,
ρ1 = C(−h2 R) , ρ2 = C exp(−h1 R) ,
аналогичным образом могут быть получены оценки угла крена
γ1 ≤
dV dx
≤γ2 ,
γ3
≤
dh dx
≤
γ
4
,
γ5
≤
dm dx
≤
γ
6
,
δ1 ≤
df dV
≤ δ2 ,
δ3
≤
df dh
≤
δ4
,
δ5
≤
df dm
≤
δ6
,
δ7
≤
df dP
≤ δ8 ,
тогда ограничение на ресурс управления составит
K = β2 + γ2δ2
+ γ4δ4 δ7
+ γ6δ6
,
K ( xk
− x0 ) ≤ K
,
xk
− x0
≤
K K
.
Заключение. Таким образом, для описания движения летательного аппарата в верти-
кальной плоскости в неравновесном режиме с учетом ограниченного ресурса управления по-
лучены оценки скорости и дальности, при которых управляющая функция удовлетворяет за-
данным ограничениям P ≤ K .
Предлагаемая модель движения летательного аппарата может быть использована при
разработке программного обеспечения пилотажно-навигационных комплексов, на которые
возложены задачи управления полетом в условиях ограниченного ресурса управления, с от-
работкой на этапе предварительных стендовых испытаний.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Красовский А. А. Системы автоматического управления полетом и их аналитическое конструирование. М.: Наука, 1973. 523 с.
2. Остославский И. В., Стражева И. В. Динамика полетов. Траектории летательных аппаратов. М.: Машиностроение, 1969. 354 с.
Борис Викторович Видин Игорь Олегович Жаринов Олег Олегович Жаринов
Ольга Владимировна Ульянова
Сведения об авторах — канд. техн. наук, профессор; ОКБ „Электроавтоматика“, Санкт-Петер-
бург; зам. главного конструктора; E-mail: postmaster@elavt.spb.ru — канд. техн. наук, доцент; ОКБ „Электроавтоматика“, Санкт-Петербург;
нач. отдела; E-mail: igor_rabota@pisem.net — канд. техн. наук, доцент; Санкт-Петербургский государственный универ-
ситет аэрокосмического приборостроения, кафедра вычислительных и электронных систем; E-mail: zharinov@hotbox.ru — ОКБ „Электроавтоматика“, Санкт-Петербург; E-mail: postmaster@elavt.spb.ru
Рекомендована кафедрой вычислительных и электронных систем
Поступила в редакцию 08.07.09 г.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 10
УДК 681.5.01
Б. В. ВИДИН, И. О. ЖАРИНОВ, О. О. ЖАРИНОВ, О. В. УЛЬЯНОВА
ОСОБЕННОСТИ ДВИЖЕНИЯ ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА В ВЕРТИКАЛЬНОЙ ПЛОСКОСТИ В НЕРАВНОВЕСНОМ РЕЖИМЕ
С УЧЕТОМ ОГРАНИЧЕННОГО РЕСУРСА УПРАВЛЕНИЯ
Исследуется нелинейная система дифференциальных уравнений, описывающая движение центра масс летательного аппарата в вертикальной плоскости при прямолинейной траектории. Получены оценки скорости и дальности в зависимости от ограничений на управление. Ключевые слова: динамика летательного аппарата, ресурс управления, ограничения.
Введение. Движение центра масс летательного аппарата в скоростной системе координат в вертикальной плоскости, на прямолинейном участке траектории после выбора направления, описывается следующей системой соотношений [1]:
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 10
Особенности движения ЛА в вертикальной плоскости в неравновесном режиме
25
m
dV dt
=
P cos α − Cx
ρV2 2
S
− mg sin θ,⎫⎪ ⎪
dθ dt
=
0,
dh dt
=
V
sin
θ,
⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎬ ⎪
dx dt
=
V
cos
θ,
⎪ ⎪ ⎪
dm dt
=
−q,
q > 0.
⎪ ⎭⎪
(1)
Здесь m — масса летательного аппарата; V — вектор скорости; θ — угол наклона траекто-
рии, θ = const ; α — угол атаки, α = const ; h — высота полета; x — дальность полета; q —
мгновенный расход массы топлива (в секунду); P — тяга двигателя, P ≤ K , K — ресурс
управления (величина, ограничивающая тягу двигателя), S — площадь крыльев, ρ(h) —
плотность атмосферы, зависящая от высоты полета, ρ(h) = C exp(−h R) , R — радиус Земли,
Cx — коэффициент лобового сопротивления, при этом
dCx dα
>0.
В качестве управляющей функции выбирается тяга двигателя: необходимо найти значе-
ние P (t ) такое, чтобы решение системы (1) удовлетворяло
— начальным условиям, t = t0 :
V = V0 , h = h0 , x = x0 , m = m0 , P = P0 ;
(2)
— конечным t = t′ :
h = hk , x = xk , m = mk .
Предлагаемый подход к решению. Совокупность функций V (t ), h (t ), x (t ), m (t ),
P (t ) будем называть решением задачи (1)—(2).
Разделив
все
уравнения
системы
(1)
на
dx dt
= V cos θ ,
приходим
к
системе
dV dx
=
1 mV cos θ
⎛ ⎜⎝⎜
P
cos
α
− Cx
ρV2 2
S
−
mg
sin
θ
⎞ ⎟⎠⎟
⎫ ,⎪ ⎪
dh dx
=
tgθ,
⎪ ⎪⎪ ⎬
dt dx
=
V
1 cos
θ
,
dm dx
=
V
−q cos
θ
.
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎭
Требуется найти значение P (t ) такое, чтобы решение системы (3) удовлетворяло
— начальным условиям, x = x0 : V = V0 , h = h0 , m = m0 , P = P0 ;
— конечным x = xk : h = hk , m = mk .
(3) (4)
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 10
26 Б. В. Видин, И. О. Жаринов, О. О. Жаринов, О. В. Ульянова
Совокупность функций V ( x), h ( x), m ( x), P ( x) будем называть решением задачи
(3)—(4). Поскольку в соответствии с исходными данными θ = const , необходимо найти функцию
h( x) :
xk
h( x) = tgθ ∫ dx .
x0
Продифференцируем обе части первого уравнения системы (3):
dV dx
=
1 mV cos
θ
⎛ ⎜⎝⎜
P
cos α
− Cx
ρV2 2
S
−
mg
sin
⎞ θ⎟⎟⎠ =
f
(V, h,
m,
P)
,
d2V dx2
=
df dV
dV dx
+
df dh
dh dx
+
df dm
dm dx
+
df dP
dP dx
,
откуда получим производную тяги по дальности
dP dx
=
d2V dx2
−
df dV
dV dx
−
df dh
df
dh dx
−
df dm
dm dx
,
dP
где
df dV
=
1 cos
θ
⎛ ⎝⎜
−
P cos α V2m
−
CxρS 2m
+
g sin θ ⎞ V2 ⎠⎟
,
df dh
=−
CxρVS 2m cos θ
C R
exp(−h
R)
,
df dm
=
m2
1 cos
θ
⎛ ⎜⎝
−
P
cos V
α
+
CxρVS 2
⎞ ⎠⎟
,
df dP
=
cos α mV cos
θ
.
Таким образом, приходим к системе уравнений
dP dx
=
d2V dx2
−
df dV
dV dx
−
df dh
df
dh dx
−
df dm
dm dx
⎫ ⎪ ,⎪ ⎪
dh dx
=
tg
θ,
dP
⎪ ⎪⎪ ⎬ ⎪
dt dx
=
V
1 cos
θ
,
⎪ ⎪ ⎪
dm dx
=
V
−q cos
θ
⎪ ⎪⎭
с учетом начальных условий x = x0 :
t = t0 , h = h0 , m = m0 , P = P0
на траектории [ x0 , xk ] .
Поскольку
θ = const ,
dθ dt
=
0
,
отсюда
(5) (6)
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 10
Особенности движения ЛА в вертикальной плоскости в неравновесном режиме
P sin α + Cy
ρV2 2
S − mg cos θ = 0 ,
∂C y ∂α
>0,
Cy — коэффициент подъемной силы,
Задав интервал m1 ≤ m ≤ m2 , получим ограничения на V :
Cy
ρV2 2
S
=
mg
cos θ −
P sin
α
,
V
2
=
C
2 yρS
(
mg
cos
θ
−
P
sin
α
)
.
Далее получим
V
2
≤
C
y
2
min
ρS
(
m2
g
cos
θ
−
K
sin
α
)
=
Vm2 ax
,
V2
≥
2 Cy maxρS
m1g
cos θ =
Vm2 in
,
Vm2in ≤ V2 ≤ Vm2ax ; Vmin = Vm2in , Vmax = Vm2ax ; Vmin ≤ V ≤ Vmax .
Получим оценку скорости при конечном значении дальности:
∫dV
dx
=
dV dx
x = x0
+
xk x0
dV dx
dx
,
dV dx
x = x0
=
m0
1 V0 cos
θ
⎛ ⎝⎜⎜
P0
cos α − Cx0
ρ0 V02 2
⎞ S − m0 g sin θ ⎟⎟⎠
,
Vmin ≤ V ≤ Vmax ,
∫V
=
V0
+
xk x0
dV dx
dx
,
выберем Vmin ≤ V0 ≤ Vmax
∫Vmin
xk
− V0 <
x0
dV dx
dx
<
Vmax
− V0
,
∫ ∫ ∫ ∫xk
x0
dV dx
xk
dx =
x0
dV dx
dx
x= x0
+
xk x0
xk x0
d 2V dx2
dx2
,
∫ ∫Vmin − V0 −
dV dx
dx ≤
d2V dx2
(
xk
−
x0
)2
≤Vmax
− V0
−
dV dx
dx
.
Введем обозначения
∫ ∫Vmin
− V0
xk
−
x0
dV dx
dx = β1 ,
Vmax
− V0
xk
−
x0
dV dx
dx = β2 ,
где фазовые координаты удовлетворяют ограничениям
β1 ≤
d2V dx2
≤β2 ,
β1 = ( xk
β1
− x0 )2
,
β2
=
( xk
β2
− x0 )2
,
dP dx
≤K
( xk
−
x0),
K
= max
dP dx
.
С учетом дополнительных соотношений
27
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 10
28 Б. В. Видин, И. О. Жаринов, О. О. Жаринов, О. В. Ульянова
ρ(h) = C exp(−h R) ,
ρ1 ≤ρ(h) ≤ ρ2 ,
ρ1 = C(−h2 R) , ρ2 = C exp(−h1 R) ,
аналогичным образом могут быть получены оценки угла крена
γ1 ≤
dV dx
≤γ2 ,
γ3
≤
dh dx
≤
γ
4
,
γ5
≤
dm dx
≤
γ
6
,
δ1 ≤
df dV
≤ δ2 ,
δ3
≤
df dh
≤
δ4
,
δ5
≤
df dm
≤
δ6
,
δ7
≤
df dP
≤ δ8 ,
тогда ограничение на ресурс управления составит
K = β2 + γ2δ2
+ γ4δ4 δ7
+ γ6δ6
,
K ( xk
− x0 ) ≤ K
,
xk
− x0
≤
K K
.
Заключение. Таким образом, для описания движения летательного аппарата в верти-
кальной плоскости в неравновесном режиме с учетом ограниченного ресурса управления по-
лучены оценки скорости и дальности, при которых управляющая функция удовлетворяет за-
данным ограничениям P ≤ K .
Предлагаемая модель движения летательного аппарата может быть использована при
разработке программного обеспечения пилотажно-навигационных комплексов, на которые
возложены задачи управления полетом в условиях ограниченного ресурса управления, с от-
работкой на этапе предварительных стендовых испытаний.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Красовский А. А. Системы автоматического управления полетом и их аналитическое конструирование. М.: Наука, 1973. 523 с.
2. Остославский И. В., Стражева И. В. Динамика полетов. Траектории летательных аппаратов. М.: Машиностроение, 1969. 354 с.
Борис Викторович Видин Игорь Олегович Жаринов Олег Олегович Жаринов
Ольга Владимировна Ульянова
Сведения об авторах — канд. техн. наук, профессор; ОКБ „Электроавтоматика“, Санкт-Петер-
бург; зам. главного конструктора; E-mail: postmaster@elavt.spb.ru — канд. техн. наук, доцент; ОКБ „Электроавтоматика“, Санкт-Петербург;
нач. отдела; E-mail: igor_rabota@pisem.net — канд. техн. наук, доцент; Санкт-Петербургский государственный универ-
ситет аэрокосмического приборостроения, кафедра вычислительных и электронных систем; E-mail: zharinov@hotbox.ru — ОКБ „Электроавтоматика“, Санкт-Петербург; E-mail: postmaster@elavt.spb.ru
Рекомендована кафедрой вычислительных и электронных систем
Поступила в редакцию 08.07.09 г.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 10