ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ РОБАСТНОГО УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ СТАБИЛИЗАЦИИ МЕТЕОРОЛОГИЧЕСКОЙ РАКЕТЫ
УДК 681.51
Х. О. АРО ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ РОБАСТНОГО УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ СТАБИЛИЗАЦИИ МЕТЕОРОЛОГИЧЕСКОЙ РАКЕТЫ
Рассматривается возможность применения методов робастного управления для стабилизации метеорологической ракеты. Оценены границы неопределенностей неизвестных параметров. Разработаны автоматы стабилизации на основе H-∞ (H-infinity) оптимизации, µ-синтеза и анализа с учетом неопределенностей модели. Исследованы устойчивость и качество системы управления для каждой оценки неопределенностей с использованием компьютерного моделирования. Ключевые слова: робастное управление, упругость, динамика полета, моделирование, линеаризация, неопределенности.
Введение. Метеорологическая ракета, которую иногда называют исследовательской, предназначена для доставки измерительного оборудования и проведения научных экспериментов во время суборбитальных полетов. Национальное агентство космических исследований и
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 8
58 Х. О. Аро
развития Нигерии (NASRDA) открыло программу создания и применения метеорологических
ракет для проведения измерений и испытаний приборов на высоте от 10 до 80 км над поверх-
ностью Земли.
Появление технологии микроэлектромеханических систем (МЭМС) привело к созданию
недорогих акселерометров и гироскопов, что позволяет применять интегрированную
навигационную систему для широкого спектра новых приложений, таких как системы нави-
гации и управления для малых беспилотных летательных аппаратов (БЛА) или автономные
наземные средства. Поскольку основными задачами совершенствования метеорологических
ракет в Нигерии являются снижение себестоимости производства и увеличение грузоподъем-
ности, интегрированную систему навигации на базе МЭМС следует считать наиболее подхо-
дящим выбором.
Существуют различия между математической моделью, используемой для разработки
системы управления, и реальной динамикой системы, причины возникновения этих различий
следующие:
— начальные условия системы не могут быть указаны точно или совершенно неизвестны,
— математическая модель любой реальной системы всегда есть лишь аппроксимация
реальной динамики системы.
Чтобы сохранить уровень устойчивости и качества управления, несмотря на динамику
возмущений и неопределенности в модели, ракета должна быть оборудована робастной сис-
темой управления.
Модель объекта. Модель метеорологической ракеты в пространстве состояний включа-
ет динамическую модель движения твердого тела и модель упругих относительных переме-
щений конструкции с учетом перекрестных связей, определяемых совокупностью внешних и
управляющих сил и моментов. Движение твердого тела описывается системой дифференци-
альных уравнений в связанной с телом системе координат. Уравнения движения ракеты как
твердого тела в плоскости тангажа (0xy) имеют вид [1]:
mV = Pcosα − Q − GsinΘ + Fx (t ) ,
(1)
mVΘ = Psinα + Y − GcosΘ + Fy (t) ,
(2)
I zω z
=
M
f z
+
M
d z
+
M
c z
+ M z (t) ,
(3)
θ = ωz ,
(4)
где m — масса ракеты, V — скорость, Р — тяга двигателя, Q — сила сопротивления, Y —
подъемная сила в направлении оси у, G — вес ракеты, α — угол атаки, Θ — угол наклона траектории полета, Fx и Fy — обобщенные силы в направлении х и у соответственно, Iz — мо-
мент
инерции относительно оси z,
ωz
—
угловая
скорость;
M
f z
,
M
d z
,
M
c z
—
аэродинамиче-
ские моменты в зависимости от α, ωz и угла отклонения руля высоты δz соответственно,
M z (t) — обобщенный момент относительно оси z.
Уравнение связи между углами α, θ, Θ:
α = θ−Θ .
(5)
Уравнение нормального ускорения будет иметь вид:
ny
=
−
Pcosα G
−
Q
sinα
+
Psinα G
+
Y
cosα
.
(6)
Используется упрощенная модель упругости, соответствующая изгибным колебаниям
упругого стержня с переменной массой, которая представлена системой обыкновенных диф-
ференциальных уравнений вида [4]:
∆Mq + ∆Ξq + q = ∆f ,
(7)
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 8
Применение методов робастного управления для стабилизации метеорологической ракеты 59
где q — смещение упругой линии по нормали к продольной оси; ∆ — симметричная матрица
жесткости; М — диагональная матрица масс; Ξ — симметричная матрица структурного демпфирования; f — распределенная нагрузка. Уравнения упругих колебаний в обобщенных
координатах ξi , соответствующих собственным формам Φ = {φi, j} и частотам Ω = diag(ωi )
свободных упругих колебаний, имеют вид: Φ′MΦξ + Φ′ΞΦξ + Ω2Φ′MΦξ = Φ′f ,
(8)
q = Φξ .
(9)
Локальный угол атаки α*i в точке с координатой xi вдоль продольной оси ракеты с уче-
том изгибных колебаний будет иметь вид [2]:
α*i
=
αi
+
xcg − Vi
xi
ϑ
−
q Vi
+
∂qi ∂xi
,
(10)
где
∂qi ∂xi
— мгновенное значение наклона упругой линии в точке, qi — локальная поперечная
скорость колебаний, Vi — локальная воздушная скорость.
Локальная аэродинамическая нагрузка определяется как функция от локального угла
атаки, скоростного напора и распределенных аэродинамических коэффициентов, зависящих
от геометрии летательного аппарата. Обобщенные силы и моменты определяются с учетом
локальной нагрузки для выбранных мод упругих колебаний. Локальные нагрузки в точках
приложения векторов тяги и управляющих воздействий (аэродинамических рулей) опреде-
ляются с учетом локального угла атаки в этих точках.
Взаимосвязь упругих колебаний и аэродинамических сил и моментов лежит в основе
такого явления, как аэроупругость. Упругие перемещения в точках размещения датчиков на-
вигационной системы приводят к возникновению колебаний в контуре управления.
В работе используется линейная модель объекта в пространстве состояний, полученная
линеаризацией уравнений (1)—(4) в точках базовой траектории с учетом линейной модели
упругости и аэродинамики. Линейная модель сервопривода задается следующим дифферен-
циальным уравнением:
δz + 2ξδx ωδx δ z + ωδ2x δz = ωδ2x δ0z ,
(11)
где δ0z — заданное угловое отклонение руля, ωδx — собственная частота привода и ξδx —
коэффициент затухания сервопривода.
Методы робастного синтеза. Управление динамическими объектами в условиях неоп-
ределенности является одной из основных проблем современной теории управления. Отсут-
ствие полных сведений относительно параметров или характеристик метеорологической ра-
кеты приводит к структурной и параметрической неопределенности математической модели.
Модель, полученная на основании теории, с использованием прикладного программного
обеспечения (ANSYS, NASTRAN) или в результате идентификации, отличается от реальной
технической системы. Кроме того, технологический процесс создания таких объектов пред-
полагает большой разброс параметров для каждого экземпляра серии. Параметры объекта
изменяются в течение полета, возникает неопределенность в законах изменения этих пара-
метров. Задача синтеза робастного управления состоит в том, чтобы обеспечить устойчивость
замкнутой системы не только для номинального объекта, но и любого объекта из заданного
класса неопределенности.
Существующие методы синтеза робастных регуляторов основываются на определении
области робастной устойчивости и увеличении этой области. Синтезируемые регуляторы
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 8
60 Х. О. Аро
должны обеспечивать желаемое качество переходного процесса. Используются следующие
наиболее известные методы синтеза [3]:
— H-∞ смешанной чувствительности (H-infinity mixed sensitivity);
— Н-∞ субоптимальный (H-infinity suboptimal);
— Н-∞ с формированием контура (H-infinity loop shaping);
— Н∞ синтез с двумя степенями свободы (2-Degree-of-freedom);
— µ-синтез и анализ;
— робастная оценка обратной динамики (Robust Inverse Dynamics Estimation).
В рассматриваемом проекте контроллер создан с использованием мощного программ-
ного пакета MatLab/Simulink. Субоптимальный подход H-∞ был реализован в сочетании с
µ-синтезом и анализом.
Варьирование аэродинамических коэффициентов, а также изменение массы и скорости
ракеты во время полета приводит к изменениям в коэффициентах неопределенности в урав-
нениях (1)—(4). Это должно учитываться при разработке контроллера. Диапазон изменения
этих коэффициентов составляет приблизительно 30 % от номинальных значений.
В упрощенной модели определены семь коэффициентов неопределенности в возму-
щенных уравнениях движения, а именно aΘΘ , aΘδz , aθθ, aθθ , aθδz , anyα , anyδz . Эти
коэффициенты показывают параметры неопределенности в модели ракеты в течение полета.
Каждый коэффициент неопределенности может быть представлен в виде c = c (1+ pcδc ) , где
c — это номинальное значение с, pc = 0,3 (для 30 %-ной неопределенности) и −1 ≤ δc ≤ 1.
Коэффициент с можно представить в виде верхнего дробно-линейного преобразования (LFT)
в δc (рис 1, а), где
c
=
Fu
( Mc ,δc
),Mc
=
⎡ ⎢ ⎣
0 pc
c c
⎤ ⎥ ⎦
.
(12)
Коэффициент ∆ определяет динамику неопределенности в системе:
∆ = diag(δaΘΘ ,δaΘδz ,δaθθ ,δaθθ ,δaθδz ,δanyα ,δanyδz ) ,
(13)
Из-за сложности системы наилучший способ разработки и моделирования динамики не-
определенности состоит в выполнении команды “sysic” в MatLab. Команда “sysic” используется
для создания взаимосвязей определенных и неопределенных матриц системы (рис. 1, б).
а)
б) ∆
δс v
d
z Mw
yu Мс K
Рис. 1
Результаты расчетов. В соответствии с критерием робастной устойчивости стабильность возмущенной системы робастного управления гарантируется, если значение ∞-нормы возмущенной модели объекта менее единицы, а именно: || ⋅ ||∞ < 1 для всех ограниченных возмущений.
Эта ∞-норма устанавливает максимально возможный порог возмущений, или верхнюю границу соответствующего сингулярного значения µ передаточной матричной функции системы, приведенной на рис. 1, б. Графики сингулярных значений для двух вариаций парамет-
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 8
Применение методов робастного управления для стабилизации метеорологической ракеты 61
ров (10 и 30 %) приведены на рис. 2. Видно, что и в первом, и во втором случае вариации параметров удовлетворяют критериям робастности, стабильности и качества. Показано, что чем меньше коэффициент неопределенности, тем больше робастные показатели стабильности и качества.
а) б)
µµ
0,8 0,8
0,6 0,6
0,4 0,4
0,2 0 0,2
–0,2 10–3
10–2 10–1 100
101 ω, рад/с
0 10–3
10–2 10–1 100
101 ω, рад/с
10 %
30 %
10 %
30 %
Рис. 2
Выводы. Представленный подход к применению методов робастного управления для стабилизации метеорологической ракеты показал, что комбинация H-∞ оптимизации и µ-синтеза гарантирует как устойчивость, так и уровень качества системы с обратной связью при ограниченных возмущениях.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Мишин В. П. Динамика ракет. М.: Машиностроение, 1990.
2. Кузовков Н. Т. Системы стабилизации летательных аппаратов. М., 1976.
3. Gu D.-W., Petkov P. H., Konstantinov M. M. Robust Control Design with Matlab. Springer, 2002.
4. Gawronski W. K. Advanced Structural Dynamics and Active Control of Structures. NY: Springer-Verlag, 2004.
Сведения об авторе
Хабиб Олалекан Аро — аспирант; Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического
приборостроения, кафедра компьютерного проектирования аэрокосмических из-
мерительно-вычислительных
комплексов
(МИПАКТ);
E-mail:
habeebaro@yahoo.com
Рекомендована ГУАП
Поступила в редакцию
04.04.11 г.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 8
Х. О. АРО ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ РОБАСТНОГО УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ СТАБИЛИЗАЦИИ МЕТЕОРОЛОГИЧЕСКОЙ РАКЕТЫ
Рассматривается возможность применения методов робастного управления для стабилизации метеорологической ракеты. Оценены границы неопределенностей неизвестных параметров. Разработаны автоматы стабилизации на основе H-∞ (H-infinity) оптимизации, µ-синтеза и анализа с учетом неопределенностей модели. Исследованы устойчивость и качество системы управления для каждой оценки неопределенностей с использованием компьютерного моделирования. Ключевые слова: робастное управление, упругость, динамика полета, моделирование, линеаризация, неопределенности.
Введение. Метеорологическая ракета, которую иногда называют исследовательской, предназначена для доставки измерительного оборудования и проведения научных экспериментов во время суборбитальных полетов. Национальное агентство космических исследований и
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 8
58 Х. О. Аро
развития Нигерии (NASRDA) открыло программу создания и применения метеорологических
ракет для проведения измерений и испытаний приборов на высоте от 10 до 80 км над поверх-
ностью Земли.
Появление технологии микроэлектромеханических систем (МЭМС) привело к созданию
недорогих акселерометров и гироскопов, что позволяет применять интегрированную
навигационную систему для широкого спектра новых приложений, таких как системы нави-
гации и управления для малых беспилотных летательных аппаратов (БЛА) или автономные
наземные средства. Поскольку основными задачами совершенствования метеорологических
ракет в Нигерии являются снижение себестоимости производства и увеличение грузоподъем-
ности, интегрированную систему навигации на базе МЭМС следует считать наиболее подхо-
дящим выбором.
Существуют различия между математической моделью, используемой для разработки
системы управления, и реальной динамикой системы, причины возникновения этих различий
следующие:
— начальные условия системы не могут быть указаны точно или совершенно неизвестны,
— математическая модель любой реальной системы всегда есть лишь аппроксимация
реальной динамики системы.
Чтобы сохранить уровень устойчивости и качества управления, несмотря на динамику
возмущений и неопределенности в модели, ракета должна быть оборудована робастной сис-
темой управления.
Модель объекта. Модель метеорологической ракеты в пространстве состояний включа-
ет динамическую модель движения твердого тела и модель упругих относительных переме-
щений конструкции с учетом перекрестных связей, определяемых совокупностью внешних и
управляющих сил и моментов. Движение твердого тела описывается системой дифференци-
альных уравнений в связанной с телом системе координат. Уравнения движения ракеты как
твердого тела в плоскости тангажа (0xy) имеют вид [1]:
mV = Pcosα − Q − GsinΘ + Fx (t ) ,
(1)
mVΘ = Psinα + Y − GcosΘ + Fy (t) ,
(2)
I zω z
=
M
f z
+
M
d z
+
M
c z
+ M z (t) ,
(3)
θ = ωz ,
(4)
где m — масса ракеты, V — скорость, Р — тяга двигателя, Q — сила сопротивления, Y —
подъемная сила в направлении оси у, G — вес ракеты, α — угол атаки, Θ — угол наклона траектории полета, Fx и Fy — обобщенные силы в направлении х и у соответственно, Iz — мо-
мент
инерции относительно оси z,
ωz
—
угловая
скорость;
M
f z
,
M
d z
,
M
c z
—
аэродинамиче-
ские моменты в зависимости от α, ωz и угла отклонения руля высоты δz соответственно,
M z (t) — обобщенный момент относительно оси z.
Уравнение связи между углами α, θ, Θ:
α = θ−Θ .
(5)
Уравнение нормального ускорения будет иметь вид:
ny
=
−
Pcosα G
−
Q
sinα
+
Psinα G
+
Y
cosα
.
(6)
Используется упрощенная модель упругости, соответствующая изгибным колебаниям
упругого стержня с переменной массой, которая представлена системой обыкновенных диф-
ференциальных уравнений вида [4]:
∆Mq + ∆Ξq + q = ∆f ,
(7)
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 8
Применение методов робастного управления для стабилизации метеорологической ракеты 59
где q — смещение упругой линии по нормали к продольной оси; ∆ — симметричная матрица
жесткости; М — диагональная матрица масс; Ξ — симметричная матрица структурного демпфирования; f — распределенная нагрузка. Уравнения упругих колебаний в обобщенных
координатах ξi , соответствующих собственным формам Φ = {φi, j} и частотам Ω = diag(ωi )
свободных упругих колебаний, имеют вид: Φ′MΦξ + Φ′ΞΦξ + Ω2Φ′MΦξ = Φ′f ,
(8)
q = Φξ .
(9)
Локальный угол атаки α*i в точке с координатой xi вдоль продольной оси ракеты с уче-
том изгибных колебаний будет иметь вид [2]:
α*i
=
αi
+
xcg − Vi
xi
ϑ
−
q Vi
+
∂qi ∂xi
,
(10)
где
∂qi ∂xi
— мгновенное значение наклона упругой линии в точке, qi — локальная поперечная
скорость колебаний, Vi — локальная воздушная скорость.
Локальная аэродинамическая нагрузка определяется как функция от локального угла
атаки, скоростного напора и распределенных аэродинамических коэффициентов, зависящих
от геометрии летательного аппарата. Обобщенные силы и моменты определяются с учетом
локальной нагрузки для выбранных мод упругих колебаний. Локальные нагрузки в точках
приложения векторов тяги и управляющих воздействий (аэродинамических рулей) опреде-
ляются с учетом локального угла атаки в этих точках.
Взаимосвязь упругих колебаний и аэродинамических сил и моментов лежит в основе
такого явления, как аэроупругость. Упругие перемещения в точках размещения датчиков на-
вигационной системы приводят к возникновению колебаний в контуре управления.
В работе используется линейная модель объекта в пространстве состояний, полученная
линеаризацией уравнений (1)—(4) в точках базовой траектории с учетом линейной модели
упругости и аэродинамики. Линейная модель сервопривода задается следующим дифферен-
циальным уравнением:
δz + 2ξδx ωδx δ z + ωδ2x δz = ωδ2x δ0z ,
(11)
где δ0z — заданное угловое отклонение руля, ωδx — собственная частота привода и ξδx —
коэффициент затухания сервопривода.
Методы робастного синтеза. Управление динамическими объектами в условиях неоп-
ределенности является одной из основных проблем современной теории управления. Отсут-
ствие полных сведений относительно параметров или характеристик метеорологической ра-
кеты приводит к структурной и параметрической неопределенности математической модели.
Модель, полученная на основании теории, с использованием прикладного программного
обеспечения (ANSYS, NASTRAN) или в результате идентификации, отличается от реальной
технической системы. Кроме того, технологический процесс создания таких объектов пред-
полагает большой разброс параметров для каждого экземпляра серии. Параметры объекта
изменяются в течение полета, возникает неопределенность в законах изменения этих пара-
метров. Задача синтеза робастного управления состоит в том, чтобы обеспечить устойчивость
замкнутой системы не только для номинального объекта, но и любого объекта из заданного
класса неопределенности.
Существующие методы синтеза робастных регуляторов основываются на определении
области робастной устойчивости и увеличении этой области. Синтезируемые регуляторы
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 8
60 Х. О. Аро
должны обеспечивать желаемое качество переходного процесса. Используются следующие
наиболее известные методы синтеза [3]:
— H-∞ смешанной чувствительности (H-infinity mixed sensitivity);
— Н-∞ субоптимальный (H-infinity suboptimal);
— Н-∞ с формированием контура (H-infinity loop shaping);
— Н∞ синтез с двумя степенями свободы (2-Degree-of-freedom);
— µ-синтез и анализ;
— робастная оценка обратной динамики (Robust Inverse Dynamics Estimation).
В рассматриваемом проекте контроллер создан с использованием мощного программ-
ного пакета MatLab/Simulink. Субоптимальный подход H-∞ был реализован в сочетании с
µ-синтезом и анализом.
Варьирование аэродинамических коэффициентов, а также изменение массы и скорости
ракеты во время полета приводит к изменениям в коэффициентах неопределенности в урав-
нениях (1)—(4). Это должно учитываться при разработке контроллера. Диапазон изменения
этих коэффициентов составляет приблизительно 30 % от номинальных значений.
В упрощенной модели определены семь коэффициентов неопределенности в возму-
щенных уравнениях движения, а именно aΘΘ , aΘδz , aθθ, aθθ , aθδz , anyα , anyδz . Эти
коэффициенты показывают параметры неопределенности в модели ракеты в течение полета.
Каждый коэффициент неопределенности может быть представлен в виде c = c (1+ pcδc ) , где
c — это номинальное значение с, pc = 0,3 (для 30 %-ной неопределенности) и −1 ≤ δc ≤ 1.
Коэффициент с можно представить в виде верхнего дробно-линейного преобразования (LFT)
в δc (рис 1, а), где
c
=
Fu
( Mc ,δc
),Mc
=
⎡ ⎢ ⎣
0 pc
c c
⎤ ⎥ ⎦
.
(12)
Коэффициент ∆ определяет динамику неопределенности в системе:
∆ = diag(δaΘΘ ,δaΘδz ,δaθθ ,δaθθ ,δaθδz ,δanyα ,δanyδz ) ,
(13)
Из-за сложности системы наилучший способ разработки и моделирования динамики не-
определенности состоит в выполнении команды “sysic” в MatLab. Команда “sysic” используется
для создания взаимосвязей определенных и неопределенных матриц системы (рис. 1, б).
а)
б) ∆
δс v
d
z Mw
yu Мс K
Рис. 1
Результаты расчетов. В соответствии с критерием робастной устойчивости стабильность возмущенной системы робастного управления гарантируется, если значение ∞-нормы возмущенной модели объекта менее единицы, а именно: || ⋅ ||∞ < 1 для всех ограниченных возмущений.
Эта ∞-норма устанавливает максимально возможный порог возмущений, или верхнюю границу соответствующего сингулярного значения µ передаточной матричной функции системы, приведенной на рис. 1, б. Графики сингулярных значений для двух вариаций парамет-
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 8
Применение методов робастного управления для стабилизации метеорологической ракеты 61
ров (10 и 30 %) приведены на рис. 2. Видно, что и в первом, и во втором случае вариации параметров удовлетворяют критериям робастности, стабильности и качества. Показано, что чем меньше коэффициент неопределенности, тем больше робастные показатели стабильности и качества.
а) б)
µµ
0,8 0,8
0,6 0,6
0,4 0,4
0,2 0 0,2
–0,2 10–3
10–2 10–1 100
101 ω, рад/с
0 10–3
10–2 10–1 100
101 ω, рад/с
10 %
30 %
10 %
30 %
Рис. 2
Выводы. Представленный подход к применению методов робастного управления для стабилизации метеорологической ракеты показал, что комбинация H-∞ оптимизации и µ-синтеза гарантирует как устойчивость, так и уровень качества системы с обратной связью при ограниченных возмущениях.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Мишин В. П. Динамика ракет. М.: Машиностроение, 1990.
2. Кузовков Н. Т. Системы стабилизации летательных аппаратов. М., 1976.
3. Gu D.-W., Petkov P. H., Konstantinov M. M. Robust Control Design with Matlab. Springer, 2002.
4. Gawronski W. K. Advanced Structural Dynamics and Active Control of Structures. NY: Springer-Verlag, 2004.
Сведения об авторе
Хабиб Олалекан Аро — аспирант; Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического
приборостроения, кафедра компьютерного проектирования аэрокосмических из-
мерительно-вычислительных
комплексов
(МИПАКТ);
E-mail:
habeebaro@yahoo.com
Рекомендована ГУАП
Поступила в редакцию
04.04.11 г.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 8