МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ АВТОМАТИЗИРОВАННОЙ СБОРКИ МИКРООБЪЕКТИВОВ
22 А. П. Смирнов, С. М. Латыев
УДК 681.4.07
А. П. СМИРНОВ, С. М. ЛАТЫЕВ
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ АВТОМАТИЗИРОВАННОЙ СБОРКИ МИКРООБЪЕКТИВОВ
Приведен вывод соотношений, положенных в основу алгоритма автоматической сборки микрообъективов с учетом технологических погрешностей их компонентов.
Ключевые слова: микрообъектив, сборка, автоматизация, модель.
Алгоритм автоматической сборки микрообъективов базируется на математической моде-
ли реальной конструкции, учитывающей технологические погрешности ее компонентов [1, 2].
Критериями качества сборки микрообъектива из реальных компонентов (с погрешностями)
являются его суммарные аберрации — сферическая, кома, дисторсия, астигматизм, которые
на практике выявляются по дифракционному изображению точки. В предлагаемой в настоя-
щей статье модели оптимизация конструкции осуществляется по критериям минимума сфе-
рической аберрации и комы. Для вычисления целевой функции требуется информация о про-
странственном положении всех оптических поверхностей микрообъектива. Решению этой
задачи и посвящена настоящая статья.
Рассмотрим обобщенный компонент микрообъектива, представляющий собой линзу,
заключенную в оправу (рис. 1, а), где базовыми поверхностями являются плоскость А и ци-
линдр Е, образующие базовую ось ЕА. На рис. 1, б, в показаны измеренные параметры и пер-
вичные погрешности обобщенного компонента, лежащие в пределах соответствующих до-
пусков.
а) ∆CH, ∆γH GE
б) X ∆CH
F ∆CB ∆γB ∆γH
CB ⊕ ∆CB,∆γB EA
RB V
L
B X ⊕ ∆CF,∆γF EA
CF Y О Z RF
A
∅D
Y в)
∆γF Z
∆CF
∆RB, ∆RF
Клей (Klebstoff)
H1 H2 H
∆CB, ∆γB; ∆CF,∆γF
H; H1; H2 ∆D; ∆CH, ∆γH
Рис. 1
Оптические поверхности будем задавать координатами вершины V и ортом L нормали к поверхности в точке вершины во внешней системе координат (OXYZ), ось аппликат которой направлена вдоль оптической оси, ось абсцисс, например, вертикальна, а ось ординат — горизонтальна. Начало координат находится на одной из базовых плоскостей, например, первого компонента по ходу лучей. Координаты вершины и направление нормали зависят от пара-
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 11
Математическая модель автоматизированной сборки микрообъективов
23
метров элементов объектива и погрешностей, технологических и конструктивных, связанных с креплением объектива.
Базовая ось ЕА используется для центрировки поверхностей линзы при ее вклейке или результативной обработке оправы после вклейки линзы. Относительно поверхности А задаются допуски на торцевое биение, в результате которого рабочая плоскость G оправы имеет наклон к вертикальной плоскости OXY. Торцевое биение (согласно ГОСТ 24642-83) — это разность наибольшего и наименьшего расстояний ∆СН от базовой плоскости, перпендикулярной базовой оси, до рабочей плоскости. Помимо этого параметра, для определенности должны быть известны азимут наклона ∆γН относительно координатной оси OX (или метка наклона) и абсолютное значение толщины Н оправы в плоскости сечения, отмеченной меткой (рис. 2). В зоне, отмеченной меткой, торцевое биение максимально.
∆CH
β О′
ОY X
Метка
v H
v–v
Рис. 2
Измерение толщин Н, Н1 и Н2 оправы осуществляется по единой линии в одной меридиональной плоскости. Азимутальные углы эксцентриситетов отсчитываются от метки на торце
оправы (см. рис. 2). С помощью измеренных величин толщин и параметров эксцентриситетов
вершин определяются положения вершин и направления нормалей к оптическим поверхно-
стям. Для удобства изложения отметим 6 этапов, ведущих к решению поставленной задачи.
1. Определение параметров вершины оптической поверхности в локальной системе
координат. В локальной системе координат, с началом координат в точке O пересечения оп-
тической оси базовой плоскостью А (см. рис. 1 и 2), координаты вершин поверхностей любо-
го компонента объектива с учетом децентрировки определяются как
VF = ∆СF cos(∆γF ) ⋅ i + ∆СF sin(∆γF ) ⋅ j + (H1 − H ) ⋅ k, VB = ∆СB cos(∆γB ) ⋅ i + ∆СB sin(∆γB ) ⋅ j − H2 ⋅ k.
(1)
Нормаль к оптической поверхности в этой же локальной системе координат коллинеар-
на оси аппликат: L = k.
2. Вычисление глобальных координат реперной точки. Локальные координаты ре-
перной точки имеют начало на оптической оси в центре оправы (точка О на рис. 2); глобаль-
ные координаты этой точки зависят от параметров торцевого биения соприкасающихся ком-
понентов. Координаты реперной точки Zk+1, ее аппликата, как следует из рис. 3, определяются как проекция векторного суммирования:
Zk+1 = Zk + c1 + c2 + c3 ,
(2)
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 11
24 А. П. Смирнов, С. М. Латыев
c1
=
Dk +1 2
sin βk ;
c2 = HNk ;
c3
=
Dk +1 2
sin βk+1;
tg β
=
∆CH D
,
где βk и βk+1 — углы наклона плоскостей к вертикальной плоскости; Nk — нормаль к k-й опти-
ческой поверхности.
X
с2 с3 с1
Zk+1 Zk
Z
с1 с3 Y
Рис. 3
3. Определение нормали к плоскости, имеющей торцевое биение. Рассмотрим ре-
зультат присоединения базовой плоскости А компонента к плоскости, имеющей вследствие
торцевого биения наклон на угол β и на азимутальный угол ∆γН, отмеченный меткой (см. рис.2). Тогда нормаль к оптической поверхности можно описать вектором N (рис. 4):
⎛ sin β cos(∆γН − π) ⎞ ⎛ − sin β cos(∆γН ) ⎞
N
=
⎜ ⎜
sin
β
sin(∆γ
Н
− π)
⎟ ⎟
=
⎜ ⎜
−
sin
β
sin(∆γ
Н
)
⎟⎟.
⎜⎝ cosβ
⎟⎠ ⎜⎝ cosβ ⎟⎠
(3)
X
N βZ
Y ∆γH
Рис. 4
4. Определение координат центра оправы относительно реперной точки и направления нормали к оптической поверхности. Определим координаты точки О (см. рис. 2) — центра базовой поверхности — в результате ее присоединения к наклонной плоскости, когда компонент сдвигается по опорной плоскости вниз (рис. 5) и точка О перемещается в точку U.
X
D0
V OZ
N η
U
Y D
∆γH
h
HV H
Рис. 5
Положим, что сборка микрообъектива происходит при горизонтально расположенном тубусе (см. рис. 5). Примыкающая деталь находится слева от опорной плоскости. Тогда нор-
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 11
Математическая модель автоматизированной сборки микрообъективов
25
маль к опорной плоскости равна вектору Nоп = (sin β, 0, cosβ). В общем случае нормаль к
опорной плоскости и оптической поверхности с помощью матрицы поворота относительно оси аппликат (МZ) характеризуется выражением
⎛ sin β ⎞ ⎛ sin β cos(∆γH ) ⎞
Nоп
=
MZ
( −∆γ H
)
⎜ ⎜
0
⎟ ⎟
=
⎜ ⎜
sin
β
sin(∆γ
H
)
⎟ ⎟
.
⎝⎜ cos β⎠⎟ ⎝⎜ cosβ
⎠⎟
(4)
Кроме матрицы поворота относительно оси OZ, необходимо определить матрицу поворота относительно оси OY, они имеют следующий вид:
⎛ cos x 0 − sin x ⎞
M
Y
(
x)
=
⎜ ⎜
0
1
0
⎟ ⎟
,
⎜⎝ sin x 0 cos x ⎟⎠
⎛ cos x
M
Z
(γ)
=
⎜ ⎜
−
sin
x
⎝⎜ 0
sin x 0 ⎞
cos x 0
0 1
⎟⎟⎠⎟ .
(5)
Углы поворота (η, θ) нижней направляющей цилиндра оправы относительно осей OY и OX согласно выражению (4) определяются как
tgη =
NX NZ
= tgβ cos (∆γH ),
tgθ =
NY NZ
= tgβsin (∆γH ) ,
(6)
где NX, NY, NZ — проекции нормали N на координатные оси. Вследствие поворота детали вокруг вертикальной оси при перемещении вниз она не
достигнет самой нижней точки тубуса. Тогда высота h (рис. 6) определяется из выражения
h = D0 −
D02
− H 2 sin2 θ 2
≈
H 2 sin2 θ 4D0
.
(7)
D h
θ H
Рис. 6
Прилегание боковых плоскостей смежных деталей произойдет, если боковой зазор имеет достаточную величину. Это условие справедливо при выполнении соотношения
H sin (∆γH ) + Dtg (∆γH ) ≤ D0.
(8)
В этом случае в зависимости от того, принадлежит ли азимутальный угол левой или правой полуплоскости, координаты центра U примыкающей детали, как видно из рис. 5, определяются как
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 11
26 А. П. Смирнов, С. М. Латыев
U
=
1 2
⎛ ⎜ ⎜ ⎝⎜
D sin
D cos η − D0 + h 0
η + (D0 − h)tgβ cos (∆γH
⎞
⎟ ⎟
,
) ⎟⎠
U
=
1 2
⎛ ⎜ ⎜ ⎜⎝
D cos η − D0 + h + 2H sin η 0
−D sin η + (D0 − h)tgβ cos (∆γH
⎞
⎟ ⎟
,
) ⎠⎟
π 2
≤
∆γ H
≤
3π 2
;
∆γ H
∈
⎢⎡⎣0,
π 2
⎤ ⎥⎦
∪
⎡ ⎣⎢
3π 2
,
2π⎥⎦⎤
.
(9)
Если же условие (8) не выполняется, возникает неопределенность положения примы-
кающей детали, поэтому алгоритм решения задачи прерывается и исследуется иная комбина-
ция комплектующих деталей.
5. Определение координат вершины поверхности относительно реперной точки.
Зная положение точки U на опорной плоскости (см. формулы (9)) и направление нормали к
опорной плоскости, координаты вершины оптической поверхности можно определить путем
векторного суммирования:
V = U + M Z (∆γH )MY (β)V0,
(10)
где V0 = VF или VB , которые определены в уравнениях (1).
6. Определение направления нормали к опорной плоскости при накапливании тех-
нологических погрешностей. При автоматизированной сборке конструкции микрообъектива
положение опорной плоскости определяется наклонами всех задействованных плоскостей.
Пусть текущий угол наклона опорной плоскости βi, азимутальный угол наклона ∆γH,i, соответствующие углы примыкающей плоскости: βi+1, ∆γH ,i+1. Как видно из рис. 4, вследствие
поворотов, описываемых произведением матриц MY (βi )M Z (−∆γH ,i ) , орт опорной плоскости
коллинеарен оси OZ, поэтому обратное преобразование, примененное к орту нормали к при-
мыкающей плоскости, даст результирующее направление нормали:
Ni′+1 = M Z (∆γH ,i )MY (−βi )Ni+1 .
Таким образом, алгоритм определения координат вершин и направлений нормалей к поверхности компонентов микрообъектива состоит в следующем.
Дано: 1) положение первой опорной плоскости: параметры торцевого биения ∆СH ,0, ∆γH ,0 и
аппликата Z0 опорной плоскости, измеренная по нулевому азимуту; 2) параметры торцевого биения ∆СH ,i , ∆γH ,i и толщины Нi оправ компонентов
(см. рис.1), измеренные по нулевому азимуту, i = 1, 2, ..., K;
3) параметры радиального биения оптических поверхностей: ∆СF,i , ∆γF,i , ∆СB,i , ∆γB,i ;
4) диаметр тубуса D0 и диаметры оправ Di. О п е р а ц и и : декартова система координат располагается так, что ось OZ совпадает с геометрической осью тубуса, ось OX — вертикальная, ось OY — горизонтальная. Начало координат выбрано так, что аппликата первой опорной плоскости Z0=0. Решение. Шаг 1. Назначение счетчика компонента: i=0. Начальные значения параметров базовой плоскости начальной опорной детали: Z0 = 0, β0 = 0, ∆γH ,0 = 0.
Шаг 2. Введение номера следующего компонента: i+1. Шаг 3. Определение критерия контакта (КК) плоскостей согласно формуле (8):
( ) ( )KK = D0 − Hi sin ∆γH ,i−1 + Ditg ∆γH ,i−1 .
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 11
Математическая модель автоматизированной сборки микрообъективов
27
Шаг 4. При условии КК < 0 прерывание вычислений с сообщением о необходимости
замены набора компонентов.
Шаг 5. Вычисление угла наклона опорной плоскости к вертикальной плоскости:
βi
=
arctg
⎛ ⎜
⎝
∆CH ,i−1 Di−1
⎟⎞ . ⎠
Шаг 6. Определение направления нормали к опорной плоскости с использованием фор-
мул (3) и (5): Ni′ = M Z (∆γH ,i−1)MY (−βi−1)Ni .
Шаг 7. Определение аппликаты точки пересечения Оi опорной плоскости и оси OZ согласно формуле (2):
Zi
=
Zi−1
+
Di−1 2
(sin βi−1
+ sin βi ) +
Hi−1 cosβi−1.
Шаг 8. Вычисление угла наклона опорной плоскости к горизонтальной плоскости
(см. рис. 5) и угла (согласно формуле (6)) между направляющими базового цилиндра и ци-
( ) ( )линдра оправы (см. рис. 6): tg ηi = tg βi cos ∆γH ,i−1 , tg θi = tg βi sin ∆γH ,i−1 .
Шаг 9. Вычисление высоты hi = D0 −
D02 − Hi2 sin2 θi . 2
Шаг
10.
Проверка
условия
a
=
⎧π
⎨ ⎩
2
≤
∆γ H ,i−1
≤
3π 2
⎬⎫. ⎭
Шаг 11. При выполнении условия а вычисление координат точки пересечения оптиче-
ской оси компонента с опорной плоскостью (согласно уравнениям (9)) по формуле
( )Ui
=
1 2
⎛ ⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
Di
sin
ηi
Di cos ηi − D0 + hi 0
+ (D0 − hi ) tg βi cos
∆γ H ,i−1
⎞ ⎟ ⎟; ⎟⎟⎠
при невыполнении условия а — по формуле
( )Ui
=
1 2
⎛ ⎜ ⎜ ⎜⎝⎜
−Di
Di sin
cos η − D0 ηi + (D0 −
+ hi + 2Hi sin ηi 0
hi ) tg βi cos ∆γH
,i−1
⎞ ⎟ ⎟. ⎟⎟⎠
Шаг 12. Определение координат вершин оптических поверхностей, принадлежащих те-
кущей оправе (1) в локальной системе координат:
(( ))VB(л,iок)
=
⎛ ⎜
∆СB,i
cos
⎜ ∆СB sin
∆γ F,i ∆γ F,i
⎞ ⎟ ⎟,
⎜⎜⎝ H2,i ⎟⎟⎠
(( ))VF(л,iок)
=
⎛ ⎜
∆СF ,i
cos
⎜ ∆СF sin
∆γ F,i ∆γ F,i
⎞ ⎟ ⎟.
⎜⎝⎜ H1,i − Hi
⎟⎟⎠
Шаг 13. Определение координат вершин оптических поверхностей в глобальной систе-
ме координат согласно формуле (10):
⎛VB,i ⎜⎝⎜VF ,i
⎞ ⎠⎟⎟
=
Ui
+
MZ
(∆γ H ,i−1)MY
(βi
)
⎛ ⎜
VB(л,iок)
⎝⎜VF(л,iок)
⎞ ⎟ ⎠⎟
.
Шаг 14. Если i ≠ K , то переход к шагу 2, иначе — останов алгоритма с выводом пара-
метров оптических поверхностей.
В дальнейшем предложенная модель может быть использована для построения алго-
ритма автоматизированной сборки микрообъективов.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 11
28 А. П. Смирнов, А. С. Резников, Д. А. Абрамов
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Latyev S. M., Jablotschnikov E. I., Padun D. S. et al. Laborotory for automated assembly of microscope lenses // 53 Intern. Wissenschaftliches Kolloquium, Techn. Univ. Ilmenau, 8—12 Sept. 2008. P. 247—249.
2. Бурбаев А. М., Егоров Г. В. Измерение децентрировок линз в оправах для микрообъективов // Изв. вузов. Приборостроение. 2007. Т. 50, № 4. С. 22—26.
Александр Павлович Смирнов Святослав Михайлович Латыев
Сведения об авторах — д-р техн. наук, профессор; Санкт-Петербургский государственный
университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра компьютеризации и проектирования оптических приборов; E-mail: apsmirnov@bk.ru — д-р техн. наук, профессор; Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра компьютеризации и проектирования оптических приборов; зав. кафедрой; E-mail: smlatyev@yandex.ru
Рекомендована кафедрой компьютеризации и проектирования оптических приборов
Поступила в редакцию 26.04.11 г.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 11
УДК 681.4.07
А. П. СМИРНОВ, С. М. ЛАТЫЕВ
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ АВТОМАТИЗИРОВАННОЙ СБОРКИ МИКРООБЪЕКТИВОВ
Приведен вывод соотношений, положенных в основу алгоритма автоматической сборки микрообъективов с учетом технологических погрешностей их компонентов.
Ключевые слова: микрообъектив, сборка, автоматизация, модель.
Алгоритм автоматической сборки микрообъективов базируется на математической моде-
ли реальной конструкции, учитывающей технологические погрешности ее компонентов [1, 2].
Критериями качества сборки микрообъектива из реальных компонентов (с погрешностями)
являются его суммарные аберрации — сферическая, кома, дисторсия, астигматизм, которые
на практике выявляются по дифракционному изображению точки. В предлагаемой в настоя-
щей статье модели оптимизация конструкции осуществляется по критериям минимума сфе-
рической аберрации и комы. Для вычисления целевой функции требуется информация о про-
странственном положении всех оптических поверхностей микрообъектива. Решению этой
задачи и посвящена настоящая статья.
Рассмотрим обобщенный компонент микрообъектива, представляющий собой линзу,
заключенную в оправу (рис. 1, а), где базовыми поверхностями являются плоскость А и ци-
линдр Е, образующие базовую ось ЕА. На рис. 1, б, в показаны измеренные параметры и пер-
вичные погрешности обобщенного компонента, лежащие в пределах соответствующих до-
пусков.
а) ∆CH, ∆γH GE
б) X ∆CH
F ∆CB ∆γB ∆γH
CB ⊕ ∆CB,∆γB EA
RB V
L
B X ⊕ ∆CF,∆γF EA
CF Y О Z RF
A
∅D
Y в)
∆γF Z
∆CF
∆RB, ∆RF
Клей (Klebstoff)
H1 H2 H
∆CB, ∆γB; ∆CF,∆γF
H; H1; H2 ∆D; ∆CH, ∆γH
Рис. 1
Оптические поверхности будем задавать координатами вершины V и ортом L нормали к поверхности в точке вершины во внешней системе координат (OXYZ), ось аппликат которой направлена вдоль оптической оси, ось абсцисс, например, вертикальна, а ось ординат — горизонтальна. Начало координат находится на одной из базовых плоскостей, например, первого компонента по ходу лучей. Координаты вершины и направление нормали зависят от пара-
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 11
Математическая модель автоматизированной сборки микрообъективов
23
метров элементов объектива и погрешностей, технологических и конструктивных, связанных с креплением объектива.
Базовая ось ЕА используется для центрировки поверхностей линзы при ее вклейке или результативной обработке оправы после вклейки линзы. Относительно поверхности А задаются допуски на торцевое биение, в результате которого рабочая плоскость G оправы имеет наклон к вертикальной плоскости OXY. Торцевое биение (согласно ГОСТ 24642-83) — это разность наибольшего и наименьшего расстояний ∆СН от базовой плоскости, перпендикулярной базовой оси, до рабочей плоскости. Помимо этого параметра, для определенности должны быть известны азимут наклона ∆γН относительно координатной оси OX (или метка наклона) и абсолютное значение толщины Н оправы в плоскости сечения, отмеченной меткой (рис. 2). В зоне, отмеченной меткой, торцевое биение максимально.
∆CH
β О′
ОY X
Метка
v H
v–v
Рис. 2
Измерение толщин Н, Н1 и Н2 оправы осуществляется по единой линии в одной меридиональной плоскости. Азимутальные углы эксцентриситетов отсчитываются от метки на торце
оправы (см. рис. 2). С помощью измеренных величин толщин и параметров эксцентриситетов
вершин определяются положения вершин и направления нормалей к оптическим поверхно-
стям. Для удобства изложения отметим 6 этапов, ведущих к решению поставленной задачи.
1. Определение параметров вершины оптической поверхности в локальной системе
координат. В локальной системе координат, с началом координат в точке O пересечения оп-
тической оси базовой плоскостью А (см. рис. 1 и 2), координаты вершин поверхностей любо-
го компонента объектива с учетом децентрировки определяются как
VF = ∆СF cos(∆γF ) ⋅ i + ∆СF sin(∆γF ) ⋅ j + (H1 − H ) ⋅ k, VB = ∆СB cos(∆γB ) ⋅ i + ∆СB sin(∆γB ) ⋅ j − H2 ⋅ k.
(1)
Нормаль к оптической поверхности в этой же локальной системе координат коллинеар-
на оси аппликат: L = k.
2. Вычисление глобальных координат реперной точки. Локальные координаты ре-
перной точки имеют начало на оптической оси в центре оправы (точка О на рис. 2); глобаль-
ные координаты этой точки зависят от параметров торцевого биения соприкасающихся ком-
понентов. Координаты реперной точки Zk+1, ее аппликата, как следует из рис. 3, определяются как проекция векторного суммирования:
Zk+1 = Zk + c1 + c2 + c3 ,
(2)
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 11
24 А. П. Смирнов, С. М. Латыев
c1
=
Dk +1 2
sin βk ;
c2 = HNk ;
c3
=
Dk +1 2
sin βk+1;
tg β
=
∆CH D
,
где βk и βk+1 — углы наклона плоскостей к вертикальной плоскости; Nk — нормаль к k-й опти-
ческой поверхности.
X
с2 с3 с1
Zk+1 Zk
Z
с1 с3 Y
Рис. 3
3. Определение нормали к плоскости, имеющей торцевое биение. Рассмотрим ре-
зультат присоединения базовой плоскости А компонента к плоскости, имеющей вследствие
торцевого биения наклон на угол β и на азимутальный угол ∆γН, отмеченный меткой (см. рис.2). Тогда нормаль к оптической поверхности можно описать вектором N (рис. 4):
⎛ sin β cos(∆γН − π) ⎞ ⎛ − sin β cos(∆γН ) ⎞
N
=
⎜ ⎜
sin
β
sin(∆γ
Н
− π)
⎟ ⎟
=
⎜ ⎜
−
sin
β
sin(∆γ
Н
)
⎟⎟.
⎜⎝ cosβ
⎟⎠ ⎜⎝ cosβ ⎟⎠
(3)
X
N βZ
Y ∆γH
Рис. 4
4. Определение координат центра оправы относительно реперной точки и направления нормали к оптической поверхности. Определим координаты точки О (см. рис. 2) — центра базовой поверхности — в результате ее присоединения к наклонной плоскости, когда компонент сдвигается по опорной плоскости вниз (рис. 5) и точка О перемещается в точку U.
X
D0
V OZ
N η
U
Y D
∆γH
h
HV H
Рис. 5
Положим, что сборка микрообъектива происходит при горизонтально расположенном тубусе (см. рис. 5). Примыкающая деталь находится слева от опорной плоскости. Тогда нор-
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 11
Математическая модель автоматизированной сборки микрообъективов
25
маль к опорной плоскости равна вектору Nоп = (sin β, 0, cosβ). В общем случае нормаль к
опорной плоскости и оптической поверхности с помощью матрицы поворота относительно оси аппликат (МZ) характеризуется выражением
⎛ sin β ⎞ ⎛ sin β cos(∆γH ) ⎞
Nоп
=
MZ
( −∆γ H
)
⎜ ⎜
0
⎟ ⎟
=
⎜ ⎜
sin
β
sin(∆γ
H
)
⎟ ⎟
.
⎝⎜ cos β⎠⎟ ⎝⎜ cosβ
⎠⎟
(4)
Кроме матрицы поворота относительно оси OZ, необходимо определить матрицу поворота относительно оси OY, они имеют следующий вид:
⎛ cos x 0 − sin x ⎞
M
Y
(
x)
=
⎜ ⎜
0
1
0
⎟ ⎟
,
⎜⎝ sin x 0 cos x ⎟⎠
⎛ cos x
M
Z
(γ)
=
⎜ ⎜
−
sin
x
⎝⎜ 0
sin x 0 ⎞
cos x 0
0 1
⎟⎟⎠⎟ .
(5)
Углы поворота (η, θ) нижней направляющей цилиндра оправы относительно осей OY и OX согласно выражению (4) определяются как
tgη =
NX NZ
= tgβ cos (∆γH ),
tgθ =
NY NZ
= tgβsin (∆γH ) ,
(6)
где NX, NY, NZ — проекции нормали N на координатные оси. Вследствие поворота детали вокруг вертикальной оси при перемещении вниз она не
достигнет самой нижней точки тубуса. Тогда высота h (рис. 6) определяется из выражения
h = D0 −
D02
− H 2 sin2 θ 2
≈
H 2 sin2 θ 4D0
.
(7)
D h
θ H
Рис. 6
Прилегание боковых плоскостей смежных деталей произойдет, если боковой зазор имеет достаточную величину. Это условие справедливо при выполнении соотношения
H sin (∆γH ) + Dtg (∆γH ) ≤ D0.
(8)
В этом случае в зависимости от того, принадлежит ли азимутальный угол левой или правой полуплоскости, координаты центра U примыкающей детали, как видно из рис. 5, определяются как
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 11
26 А. П. Смирнов, С. М. Латыев
U
=
1 2
⎛ ⎜ ⎜ ⎝⎜
D sin
D cos η − D0 + h 0
η + (D0 − h)tgβ cos (∆γH
⎞
⎟ ⎟
,
) ⎟⎠
U
=
1 2
⎛ ⎜ ⎜ ⎜⎝
D cos η − D0 + h + 2H sin η 0
−D sin η + (D0 − h)tgβ cos (∆γH
⎞
⎟ ⎟
,
) ⎠⎟
π 2
≤
∆γ H
≤
3π 2
;
∆γ H
∈
⎢⎡⎣0,
π 2
⎤ ⎥⎦
∪
⎡ ⎣⎢
3π 2
,
2π⎥⎦⎤
.
(9)
Если же условие (8) не выполняется, возникает неопределенность положения примы-
кающей детали, поэтому алгоритм решения задачи прерывается и исследуется иная комбина-
ция комплектующих деталей.
5. Определение координат вершины поверхности относительно реперной точки.
Зная положение точки U на опорной плоскости (см. формулы (9)) и направление нормали к
опорной плоскости, координаты вершины оптической поверхности можно определить путем
векторного суммирования:
V = U + M Z (∆γH )MY (β)V0,
(10)
где V0 = VF или VB , которые определены в уравнениях (1).
6. Определение направления нормали к опорной плоскости при накапливании тех-
нологических погрешностей. При автоматизированной сборке конструкции микрообъектива
положение опорной плоскости определяется наклонами всех задействованных плоскостей.
Пусть текущий угол наклона опорной плоскости βi, азимутальный угол наклона ∆γH,i, соответствующие углы примыкающей плоскости: βi+1, ∆γH ,i+1. Как видно из рис. 4, вследствие
поворотов, описываемых произведением матриц MY (βi )M Z (−∆γH ,i ) , орт опорной плоскости
коллинеарен оси OZ, поэтому обратное преобразование, примененное к орту нормали к при-
мыкающей плоскости, даст результирующее направление нормали:
Ni′+1 = M Z (∆γH ,i )MY (−βi )Ni+1 .
Таким образом, алгоритм определения координат вершин и направлений нормалей к поверхности компонентов микрообъектива состоит в следующем.
Дано: 1) положение первой опорной плоскости: параметры торцевого биения ∆СH ,0, ∆γH ,0 и
аппликата Z0 опорной плоскости, измеренная по нулевому азимуту; 2) параметры торцевого биения ∆СH ,i , ∆γH ,i и толщины Нi оправ компонентов
(см. рис.1), измеренные по нулевому азимуту, i = 1, 2, ..., K;
3) параметры радиального биения оптических поверхностей: ∆СF,i , ∆γF,i , ∆СB,i , ∆γB,i ;
4) диаметр тубуса D0 и диаметры оправ Di. О п е р а ц и и : декартова система координат располагается так, что ось OZ совпадает с геометрической осью тубуса, ось OX — вертикальная, ось OY — горизонтальная. Начало координат выбрано так, что аппликата первой опорной плоскости Z0=0. Решение. Шаг 1. Назначение счетчика компонента: i=0. Начальные значения параметров базовой плоскости начальной опорной детали: Z0 = 0, β0 = 0, ∆γH ,0 = 0.
Шаг 2. Введение номера следующего компонента: i+1. Шаг 3. Определение критерия контакта (КК) плоскостей согласно формуле (8):
( ) ( )KK = D0 − Hi sin ∆γH ,i−1 + Ditg ∆γH ,i−1 .
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 11
Математическая модель автоматизированной сборки микрообъективов
27
Шаг 4. При условии КК < 0 прерывание вычислений с сообщением о необходимости
замены набора компонентов.
Шаг 5. Вычисление угла наклона опорной плоскости к вертикальной плоскости:
βi
=
arctg
⎛ ⎜
⎝
∆CH ,i−1 Di−1
⎟⎞ . ⎠
Шаг 6. Определение направления нормали к опорной плоскости с использованием фор-
мул (3) и (5): Ni′ = M Z (∆γH ,i−1)MY (−βi−1)Ni .
Шаг 7. Определение аппликаты точки пересечения Оi опорной плоскости и оси OZ согласно формуле (2):
Zi
=
Zi−1
+
Di−1 2
(sin βi−1
+ sin βi ) +
Hi−1 cosβi−1.
Шаг 8. Вычисление угла наклона опорной плоскости к горизонтальной плоскости
(см. рис. 5) и угла (согласно формуле (6)) между направляющими базового цилиндра и ци-
( ) ( )линдра оправы (см. рис. 6): tg ηi = tg βi cos ∆γH ,i−1 , tg θi = tg βi sin ∆γH ,i−1 .
Шаг 9. Вычисление высоты hi = D0 −
D02 − Hi2 sin2 θi . 2
Шаг
10.
Проверка
условия
a
=
⎧π
⎨ ⎩
2
≤
∆γ H ,i−1
≤
3π 2
⎬⎫. ⎭
Шаг 11. При выполнении условия а вычисление координат точки пересечения оптиче-
ской оси компонента с опорной плоскостью (согласно уравнениям (9)) по формуле
( )Ui
=
1 2
⎛ ⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
Di
sin
ηi
Di cos ηi − D0 + hi 0
+ (D0 − hi ) tg βi cos
∆γ H ,i−1
⎞ ⎟ ⎟; ⎟⎟⎠
при невыполнении условия а — по формуле
( )Ui
=
1 2
⎛ ⎜ ⎜ ⎜⎝⎜
−Di
Di sin
cos η − D0 ηi + (D0 −
+ hi + 2Hi sin ηi 0
hi ) tg βi cos ∆γH
,i−1
⎞ ⎟ ⎟. ⎟⎟⎠
Шаг 12. Определение координат вершин оптических поверхностей, принадлежащих те-
кущей оправе (1) в локальной системе координат:
(( ))VB(л,iок)
=
⎛ ⎜
∆СB,i
cos
⎜ ∆СB sin
∆γ F,i ∆γ F,i
⎞ ⎟ ⎟,
⎜⎜⎝ H2,i ⎟⎟⎠
(( ))VF(л,iок)
=
⎛ ⎜
∆СF ,i
cos
⎜ ∆СF sin
∆γ F,i ∆γ F,i
⎞ ⎟ ⎟.
⎜⎝⎜ H1,i − Hi
⎟⎟⎠
Шаг 13. Определение координат вершин оптических поверхностей в глобальной систе-
ме координат согласно формуле (10):
⎛VB,i ⎜⎝⎜VF ,i
⎞ ⎠⎟⎟
=
Ui
+
MZ
(∆γ H ,i−1)MY
(βi
)
⎛ ⎜
VB(л,iок)
⎝⎜VF(л,iок)
⎞ ⎟ ⎠⎟
.
Шаг 14. Если i ≠ K , то переход к шагу 2, иначе — останов алгоритма с выводом пара-
метров оптических поверхностей.
В дальнейшем предложенная модель может быть использована для построения алго-
ритма автоматизированной сборки микрообъективов.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 11
28 А. П. Смирнов, А. С. Резников, Д. А. Абрамов
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Latyev S. M., Jablotschnikov E. I., Padun D. S. et al. Laborotory for automated assembly of microscope lenses // 53 Intern. Wissenschaftliches Kolloquium, Techn. Univ. Ilmenau, 8—12 Sept. 2008. P. 247—249.
2. Бурбаев А. М., Егоров Г. В. Измерение децентрировок линз в оправах для микрообъективов // Изв. вузов. Приборостроение. 2007. Т. 50, № 4. С. 22—26.
Александр Павлович Смирнов Святослав Михайлович Латыев
Сведения об авторах — д-р техн. наук, профессор; Санкт-Петербургский государственный
университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра компьютеризации и проектирования оптических приборов; E-mail: apsmirnov@bk.ru — д-р техн. наук, профессор; Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра компьютеризации и проектирования оптических приборов; зав. кафедрой; E-mail: smlatyev@yandex.ru
Рекомендована кафедрой компьютеризации и проектирования оптических приборов
Поступила в редакцию 26.04.11 г.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 11