ДИСКРЕТНЫЕ АЛГОРИТМЫ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ С ПРОМЕЖУТОЧНЫМ СГЛАЖИВАНИЕМ ОТСЧЕТОВ ВХОДНОГО СИГНАЛА
46
УДК 621.396:681.323
С. И. ЗИАТДИНОВ
ДИСКРЕТНЫЕ АЛГОРИТМЫ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ С ПРОМЕЖУТОЧНЫМ СГЛАЖИВАНИЕМ ОТСЧЕТОВ
ВХОДНОГО СИГНАЛА
Рассмотрены цифровые дифференцирующие фильтры. Показано, что с ростом порядка фильтра резко увеличивается дисперсия шумов квантования. Исследована возможность промежуточного суммирования отсчетов входного сигнала с целью снижения влияния шумов квантования на ошибки вычисления производной. Ключевые слова: дискретизация сигнала, промежуточное суммирование, алгоритм дифференцирования.
Общие положения. Задача дифференцирования импульсных последовательностей достаточно часто возникает при построении измерителей линейных и угловых скоростей движения объекта. В работе „Микропроцессорные системы…“ [см. лит.] рассмотрен вопрос дифференцирования цифровой последовательности g[n] , являющейся результатом квантова-
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 3
Дискретные алгоритмы дифференцирования с промежуточным сглаживанием входного сигнала 47
ния по уровню и дискретизации по времени с периодом Т непрерывной функции времени
g(t). В ней был разработан следующий алгоритм для вычисления первой производной
где весовые коэффициенты
g[n]
=
T
−1
m
∑
ai
g[n
−
i],
i=0
(1)
ai
=
(−1)i
m
∑
l =1
l1!Cli
,
Cli — биномиальные коэффициенты, причем Cli =0, если i > k.
Частотная передаточная функция дифференцирующего фильтра с алгоритмом (1) опре-
деляется следующим соотношением:
Kм
(
jω)
=
T
−1
m
∑
ai e−
jωiT
,
i=0
ей соответствует амплитудно-частотная (АЧХ) и фазочастотная (ФЧХ) характеристики
Kм (ω) = T −1
⎛ ⎜⎝
m
∑
i=0
ai
cos ωiT
⎞2 ⎟⎠
+
⎛ ⎝⎜
m
∑
i=0
ai
sin ωiT
⎞2 ⎟⎠
,
m
∑ ai sin ωiT
ϕ(ω)
=
arctg
i=0 m
.
∑ aicosωiT
i=0
Относительное отклонение АЧХ рассматриваемого дифференцирующего фильтра от
частотной характеристики идеального дифференциатора с АЧХ вида K (ω) = ω можно опре-
делить с помощью выражения
∆
=
K (ω) − Kм (ω) K (ω)
=
∆K (ω) K (ω)
.
В табл. 1 представлены результаты расчетов зависимости абсолютной величины отно-
сительной ошибки ∆ от частоты f = ω / 2π гармонического входного сигнала для диффе-
ренцирующих фильтров различных порядков при периоде дискретизации Т=0,001 с.
Таблица 1
f, Гц m=1
m=2
|∆|, % m=3 m=4
m=5
m=6
20
0,066
0,52 0,75⋅10–2 0,49⋅10–3 0,14⋅10–3 0,53⋅10–4
40
0,26 2,06 0,12
0,072
0,85⋅10–2 0,28⋅10–2
60 0,59 4,51 0,58
0,32
0,089
0,022
80 1,05 7,74 1,78 0,82
0,45 0,054
100 1,64 11,6 4,14
1,43
1,47 0,058
В табл. 2 представлены результаты расчетов абсолютной величины отклонения ФЧХ
рассматриваемых фильтров от ФЧХ идеального дифференциатора.
Таблица 2
f, Гц m=1
m=2
|∆ϕ|, …° m=3 m=4
m=5
m=6
20
3,6
0,0282
0,028
5,92⋅10–4 2,87⋅10–4 1,04⋅10–5
40
7,2
0,2205 0,2153
0,0184
0,0081
0,0012
60
10,8 0,7171 0,6754 0,1334
0,0489
0,0189
80
14,4 1,6189 1,4310 0,5262
0,1387
0,12
100
18
2,9896 2,3813
1,4726
0,1961
0,4552
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 3
48 С. И. Зиатдинов
Проанализировав представленные данные, можно сделать следующие выводы. С ростом порядка дифференцирующего фильтра отклонение его АЧХ от АЧХ идеального дифферен-
циатора резко уменьшается. Так, относительная ошибка ∆
УДК 621.396:681.323
С. И. ЗИАТДИНОВ
ДИСКРЕТНЫЕ АЛГОРИТМЫ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ С ПРОМЕЖУТОЧНЫМ СГЛАЖИВАНИЕМ ОТСЧЕТОВ
ВХОДНОГО СИГНАЛА
Рассмотрены цифровые дифференцирующие фильтры. Показано, что с ростом порядка фильтра резко увеличивается дисперсия шумов квантования. Исследована возможность промежуточного суммирования отсчетов входного сигнала с целью снижения влияния шумов квантования на ошибки вычисления производной. Ключевые слова: дискретизация сигнала, промежуточное суммирование, алгоритм дифференцирования.
Общие положения. Задача дифференцирования импульсных последовательностей достаточно часто возникает при построении измерителей линейных и угловых скоростей движения объекта. В работе „Микропроцессорные системы…“ [см. лит.] рассмотрен вопрос дифференцирования цифровой последовательности g[n] , являющейся результатом квантова-
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 3
Дискретные алгоритмы дифференцирования с промежуточным сглаживанием входного сигнала 47
ния по уровню и дискретизации по времени с периодом Т непрерывной функции времени
g(t). В ней был разработан следующий алгоритм для вычисления первой производной
где весовые коэффициенты
g[n]
=
T
−1
m
∑
ai
g[n
−
i],
i=0
(1)
ai
=
(−1)i
m
∑
l =1
l1!Cli
,
Cli — биномиальные коэффициенты, причем Cli =0, если i > k.
Частотная передаточная функция дифференцирующего фильтра с алгоритмом (1) опре-
деляется следующим соотношением:
Kм
(
jω)
=
T
−1
m
∑
ai e−
jωiT
,
i=0
ей соответствует амплитудно-частотная (АЧХ) и фазочастотная (ФЧХ) характеристики
Kм (ω) = T −1
⎛ ⎜⎝
m
∑
i=0
ai
cos ωiT
⎞2 ⎟⎠
+
⎛ ⎝⎜
m
∑
i=0
ai
sin ωiT
⎞2 ⎟⎠
,
m
∑ ai sin ωiT
ϕ(ω)
=
arctg
i=0 m
.
∑ aicosωiT
i=0
Относительное отклонение АЧХ рассматриваемого дифференцирующего фильтра от
частотной характеристики идеального дифференциатора с АЧХ вида K (ω) = ω можно опре-
делить с помощью выражения
∆
=
K (ω) − Kм (ω) K (ω)
=
∆K (ω) K (ω)
.
В табл. 1 представлены результаты расчетов зависимости абсолютной величины отно-
сительной ошибки ∆ от частоты f = ω / 2π гармонического входного сигнала для диффе-
ренцирующих фильтров различных порядков при периоде дискретизации Т=0,001 с.
Таблица 1
f, Гц m=1
m=2
|∆|, % m=3 m=4
m=5
m=6
20
0,066
0,52 0,75⋅10–2 0,49⋅10–3 0,14⋅10–3 0,53⋅10–4
40
0,26 2,06 0,12
0,072
0,85⋅10–2 0,28⋅10–2
60 0,59 4,51 0,58
0,32
0,089
0,022
80 1,05 7,74 1,78 0,82
0,45 0,054
100 1,64 11,6 4,14
1,43
1,47 0,058
В табл. 2 представлены результаты расчетов абсолютной величины отклонения ФЧХ
рассматриваемых фильтров от ФЧХ идеального дифференциатора.
Таблица 2
f, Гц m=1
m=2
|∆ϕ|, …° m=3 m=4
m=5
m=6
20
3,6
0,0282
0,028
5,92⋅10–4 2,87⋅10–4 1,04⋅10–5
40
7,2
0,2205 0,2153
0,0184
0,0081
0,0012
60
10,8 0,7171 0,6754 0,1334
0,0489
0,0189
80
14,4 1,6189 1,4310 0,5262
0,1387
0,12
100
18
2,9896 2,3813
1,4726
0,1961
0,4552
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 3
48 С. И. Зиатдинов
Проанализировав представленные данные, можно сделать следующие выводы. С ростом порядка дифференцирующего фильтра отклонение его АЧХ от АЧХ идеального дифферен-
циатора резко уменьшается. Так, относительная ошибка ∆