МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЦИФРОВОГО АВТОТИПНОГО РАСТРИРОВАНИЯ
Математические основы цифрового автотипного растрирования
19
УДК 681.51
В. Н. ДРОЗДОВ, Е. А. ШЕФЕР
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЦИФРОВОГО АВТОТИПНОГО РАСТРИРОВАНИЯ
Исследована проблема замены непрерывно изменяющегося потока электромагнитного излучения, отраженного от подложки с нанесенным поглощающим фильтром, двухуровневым сигналом. Рассмотрены различные методы бинаризации сигнала. Получены результаты растрирования изображения различными методами.
Ключевые слова: цифровая обработка изображений, автотипное растрирование, преобразование спектров.
Введение. Глаз, с помощью которого человек получает порядка 80 % информации об окружающем мире, принимает поток электромагнитного излучения Φ(x), измеряемый в
ваттах, Φ(⋅) — непрерывная функция, а x — векторный аргумент, имеющий две пространст-
венные координаты. Полиграфическая продукция, ориентированная на пристальное рассматривание (иллюстрации), должна обеспечивать надлежащее распределение в пространстве потока электромагнитного излучения.
Существенную роль в производстве печатной продукции играет компьютер. Поток электромагнитного излучения как особая форма существования материи не может быть непосредственно введен в компьютер, оперирующий с числами, представленными двоичным кодом. Однако непрерывная функция Φ(x) как элемент линейного пространства может быть
разложена по базисным векторам
Φ(x) = α1ϕ1(x) + α2ϕ2 (x) + ... + αk ϕk (x) + ...
(1)
Этот ряд бесконечен в силу бесконечной размерности пространства непрерывных функ-
ций. В (1) базисные функции ϕi (x) являются некоторыми стандартными потоками электро-
магнитного излучения, а αi , амплитуды этих функций, могут быть представлены числами.
Множество чисел αi , как известно [1], является спектром Φ(x) в базисе {ϕi (x)} . Набор
чисел, представляющий спектр, уже может быть введен в компьютер. В полиграфии при оцифровывании изображений используются исключительно ортогональ-
ные базисы. Коэффициенты ортогонального базиса αi вычисляются по известной формуле [2]
∫ ∫αi =
Φ(x), ϕi (x) ϕi (x) 2
Φ(x)ϕi (x)dx = X ϕi2 (x)dx ,
X
где X — область задания Φ(x) .
(2)
Не останавливаясь на специфике различных базисов [1, 3, 4], отметим, что в технологии обработки изображения используется только сдвиговый базис. Теоретически базисными
сдвиговыми функциями являются δ -функции Дирака, однако практически для ряда (1) используются физически реализуемые приближения δ -функций, в результате чего ряд получается
конечным с последним слагаемым αk ϕk (x) . Технический процесс получения спектра {αi } в
сдвиговом базисе называется сканированием; процесс, представленный выражением (2), в этом случае реализуется аппаратурой сканирования.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 5
20 В. Н. Дроздов, Е. А. Шефер
На рис. 1, а представлено изображение, на рис. 1, б — поток электромагнитного излучения, отраженный от этого изображения. Выбрано такое изображение, что отраженный поток излучения представляет собой сумму базисных функций различной амплитуды. Эти базисные функции являются физически реализуемой аппроксимацией δ -функций. На рис. 1, в представлен график спектра потока излучения.
а) б)
в)
0,8
0,4
0 2 4 6
1 2 3 45 6
2
1
0 12 3
4
4 56 5 6 123
Рис. 1
Обработанный компьютером спектр потока излучения представляет собой двумерный
массив чисел. Отметим, что в спектре {αi } не содержится сведений о виде базисных функ-
ций, породивших этот спектр. Основной результат. После преобразований спектра необходимо вывести информацию
из компьютера, т.е. сгенерировать поток электромагнитного излучения по имеющемуся спектру. В цифровом телевидении [4], например, эта задача решается с использованием элементарных излучателей потока, интенсивность которого можно изменять в соответствии с коэффициентом αi .
Формирование потока электромагнитного излучения, отраженного от печатной продукции, происходит за счет изменения интенсивности отраженного от подложки потока, дважды прошедшего через поглощающий фильтр — краску. Коэффициент поглощения потока излучения, согласно закону Ламберта—Бугера [5], определяется толщиной красочного слоя. Однако многие способы печати позволяют наносить на подложку слой краски только постоянной толщины [5—7]. В этом случае возникает проблема замены ряда (1), состоящего из модулированных по амплитуде базисных функций ϕi (x) , на
сумму базисных функций ψi (x) , амплитуды которых βi могут принимать только значение „0“, что соответствует запечатанному участку подложки, или „1“, что соответствует пробельному элементу. При этом новый ряд
Φ(x) = β1ψ1(x) + β2ψ2 (x) + ... + βmψm (x)
(3)
должен быть эквивалентным в некотором смысле конечному ряду (1), математически это оз-
начает построение на основании массива {αi }, состоящего из чисел 0 ≤ αi ≤ 1 , эквивалент-
ного массиву {βi } , состоящему из чисел βi = 0 ∨ 1. Такой способ расположения элементов
массива {βi } в растровой ячейке называется автотипным растрированием.
В качестве базисных функций ψi (x) при выводе информации, так же как и при вводе, выбирается приближение δ -функций, только при вводе площадь ϕi (x) определяется разрешением сканирующего устройства, а при выводе площадь ψi (x) — устройства печати.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 5
Математические основы цифрового автотипного растрирования
21
{ }В этом случае можно рассмотреть следующие алгоритмы построения массива β j по исход-
ному массиву {αi }.
Пусть формат выводимого изображения равен a × b и разрешение устройства печати
{ }равно ∆ . В этом случае размер массива β j будет следующим:
M×N = a×b . ∆∆
{ }На основании массива {αi } формируется массив амплитуд α j размера M × N . Если
{ }размер исходного массива {αi } меньше требуемого, то недостающие элементы массива α j
вычисляются с использованием какого-либо метода интерполяции.
{ } { }Наиболее простое правило построения спектра β j по массиву α j состоит в том [8],
что если α j ≤ 0,5 , то соответствующему элементу β j присваивается значение „0“, а число
α j добавляется к следующему числу α j+1 .
При α j > 0, 5 соответствующему элементу β j присваивается значение „1“, а число
1 − α j добавляется к следующему числу α j+1 . Это так называемый метод диффузии ошибки,
характеризуемый низкой помехоустойчивостью к отклонениям параметров процесса печати от номинальных значений.
{ }Предпочтение отдается таким правилам построения спектра β j , которые обеспе-
чивают компактное группирование базисных функций ψi (x) . С этой целью элементы
{ } { }массивов β j и α j объединяются в группы (растровые ячейки) размером p × p , где p
выбирается таким образом, чтобы выполнялось условие ∆p < L , L — максимальное рас-
стояние между двумя точками, которые орган зрения человека воспринимает слитно, как
{ }одну точку. В каждой растровой ячейке массива α j подсчитывается сумма n = ∑ α j ,
полученное число n заменяется числоимпульсным кодом. Эти равные единице коэффи-
{ }циенты размещаются в соответствующей растровой ячейке массива β j . Способ разме-
щения единичных коэффициентов в каждой растровой ячейке может быть разнообраз-
ным. В настоящее время наибольшее распространение получил такой метод размещения
единичных значений в растровой ячейке, когда печатающий элемент (нулевые значения
коэффициентов) расположен в центре растровой ячейки [5, 6]. Назовем этот метод клас-
сическим растрированием.
Известен случайный метод расположения единиц в растровой ячейке [6] — это стохас-
тическое растрирование. Можно таким способом расположить единичные элементы, чтобы
минимизировать расстояние между решетчатыми функциями β j и α j в каждой растровой
ячейке [9]. Такой метод бинаризации назван D-алгоритмом.
На рис. 2, а в качестве примера приведен результат растрирования некоторого изобра-
жения методом диффузии ошибки, б — классическим методом, в — стохастическим методом,
г — с помощью D-алгоритма. Линиатура
1 L
на рисунке выбрана малой для того, чтобы про-
демонстрировать различия изображений, полученных с помощью методов растрирования.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 5
22
а)
В. Н. Дроздов, Е. А. Шефер
б)
в) г)
Рис. 2
Проанализировав эти результаты, можно сказать, что при растрировании изображений, содержащих много контуров, лучше использовать D-алгоритм бинаризации. Широтноимпульсная модуляция подходит в случае растрирования изображения, имеющего плавные переходы тона. В отношении метода диффузии ошибки и стохастического метода можно сказать, что они отличаются низкой помехоустойчивостью, которая возникает в процессе печати при отклонении параметров.
Заключение. Приведенные примеры показывают, что выбор правила построения спек-
{ }тра β j существенным образом влияет на качество воспроизведения изображения. Пред-
ставляется возможным на основании предложенного подхода разрабатывать различные методы растрирования, т.е. различные способы размещения n единичных коэффициентов в
{ }каждой растровой ячейке массива β j .
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ярославский Л. П. Цифровая обработка сигналов в оптике и галографии. Введение в цифровую оптику. М.: Радио и связь, 1987. 296 с.
2. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М.: Наука, 1966. 576 с.
3. Потапов А. А., Пахомов А. А., Никитин С. А., Гуляев Ю. В. Новейшие методы обработки изображений. М.: Физматлит, 2008. 496 с.
4. Птачек М. Цифровое телевидение. Теория и практика. М.: Радио и связь, 1990. 528 с.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 5
Математические основы цифрового автотипного растрирования
23
5. Шашлов Б. А. Цвет и цветовоспроизведение. М.: Книга, 1986. 280 с.
6. Киппхан Г. Энциклопедия по печатным средствам информации. Технология и способы производства. М.: МГУП, 2003. 1280 с.
7. Кузнецов Ю. В. Технология обработки изобразительной информации. СПб: Петербургский институт печати, 2002. 312 с.
8. Floyd W., Steinberg L. An adaptive algorithm for spatial grey scale // Proc. Soc. of Information Displey. 1976. Vol. 17. P. 75—77.
9. Горбачев В. Н., Дроздов В. Н., Яковлева Е. С. Один алгоритм бинаризации полутоновых изображений // Дизайн, материалы, технология. 2009. № 2. С. 63—71.
Валентин Нилович Дроздов Елена Александровна Шефер
Сведения об авторах — д-р техн. наук, профессор; Санкт-Петербургский государственный уни-
верситет технологии и дизайна, кафедра автоматизированного полиграфического оборудования; зав. кафедрой; E-mail: vndrozdov@uprint.spb.ru — Санкт-Петербургский государственный университет технологии и дизайна, кафедра автоматизированного полиграфического оборудования; инженер; E-mail: sh68@hotbox.ru
Рекомендована кафедрой автоматизированного полиграфического оборудования
Поступила в редакцию 21.06.10 г.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 5
19
УДК 681.51
В. Н. ДРОЗДОВ, Е. А. ШЕФЕР
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЦИФРОВОГО АВТОТИПНОГО РАСТРИРОВАНИЯ
Исследована проблема замены непрерывно изменяющегося потока электромагнитного излучения, отраженного от подложки с нанесенным поглощающим фильтром, двухуровневым сигналом. Рассмотрены различные методы бинаризации сигнала. Получены результаты растрирования изображения различными методами.
Ключевые слова: цифровая обработка изображений, автотипное растрирование, преобразование спектров.
Введение. Глаз, с помощью которого человек получает порядка 80 % информации об окружающем мире, принимает поток электромагнитного излучения Φ(x), измеряемый в
ваттах, Φ(⋅) — непрерывная функция, а x — векторный аргумент, имеющий две пространст-
венные координаты. Полиграфическая продукция, ориентированная на пристальное рассматривание (иллюстрации), должна обеспечивать надлежащее распределение в пространстве потока электромагнитного излучения.
Существенную роль в производстве печатной продукции играет компьютер. Поток электромагнитного излучения как особая форма существования материи не может быть непосредственно введен в компьютер, оперирующий с числами, представленными двоичным кодом. Однако непрерывная функция Φ(x) как элемент линейного пространства может быть
разложена по базисным векторам
Φ(x) = α1ϕ1(x) + α2ϕ2 (x) + ... + αk ϕk (x) + ...
(1)
Этот ряд бесконечен в силу бесконечной размерности пространства непрерывных функ-
ций. В (1) базисные функции ϕi (x) являются некоторыми стандартными потоками электро-
магнитного излучения, а αi , амплитуды этих функций, могут быть представлены числами.
Множество чисел αi , как известно [1], является спектром Φ(x) в базисе {ϕi (x)} . Набор
чисел, представляющий спектр, уже может быть введен в компьютер. В полиграфии при оцифровывании изображений используются исключительно ортогональ-
ные базисы. Коэффициенты ортогонального базиса αi вычисляются по известной формуле [2]
∫ ∫αi =
Φ(x), ϕi (x) ϕi (x) 2
Φ(x)ϕi (x)dx = X ϕi2 (x)dx ,
X
где X — область задания Φ(x) .
(2)
Не останавливаясь на специфике различных базисов [1, 3, 4], отметим, что в технологии обработки изображения используется только сдвиговый базис. Теоретически базисными
сдвиговыми функциями являются δ -функции Дирака, однако практически для ряда (1) используются физически реализуемые приближения δ -функций, в результате чего ряд получается
конечным с последним слагаемым αk ϕk (x) . Технический процесс получения спектра {αi } в
сдвиговом базисе называется сканированием; процесс, представленный выражением (2), в этом случае реализуется аппаратурой сканирования.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 5
20 В. Н. Дроздов, Е. А. Шефер
На рис. 1, а представлено изображение, на рис. 1, б — поток электромагнитного излучения, отраженный от этого изображения. Выбрано такое изображение, что отраженный поток излучения представляет собой сумму базисных функций различной амплитуды. Эти базисные функции являются физически реализуемой аппроксимацией δ -функций. На рис. 1, в представлен график спектра потока излучения.
а) б)
в)
0,8
0,4
0 2 4 6
1 2 3 45 6
2
1
0 12 3
4
4 56 5 6 123
Рис. 1
Обработанный компьютером спектр потока излучения представляет собой двумерный
массив чисел. Отметим, что в спектре {αi } не содержится сведений о виде базисных функ-
ций, породивших этот спектр. Основной результат. После преобразований спектра необходимо вывести информацию
из компьютера, т.е. сгенерировать поток электромагнитного излучения по имеющемуся спектру. В цифровом телевидении [4], например, эта задача решается с использованием элементарных излучателей потока, интенсивность которого можно изменять в соответствии с коэффициентом αi .
Формирование потока электромагнитного излучения, отраженного от печатной продукции, происходит за счет изменения интенсивности отраженного от подложки потока, дважды прошедшего через поглощающий фильтр — краску. Коэффициент поглощения потока излучения, согласно закону Ламберта—Бугера [5], определяется толщиной красочного слоя. Однако многие способы печати позволяют наносить на подложку слой краски только постоянной толщины [5—7]. В этом случае возникает проблема замены ряда (1), состоящего из модулированных по амплитуде базисных функций ϕi (x) , на
сумму базисных функций ψi (x) , амплитуды которых βi могут принимать только значение „0“, что соответствует запечатанному участку подложки, или „1“, что соответствует пробельному элементу. При этом новый ряд
Φ(x) = β1ψ1(x) + β2ψ2 (x) + ... + βmψm (x)
(3)
должен быть эквивалентным в некотором смысле конечному ряду (1), математически это оз-
начает построение на основании массива {αi }, состоящего из чисел 0 ≤ αi ≤ 1 , эквивалент-
ного массиву {βi } , состоящему из чисел βi = 0 ∨ 1. Такой способ расположения элементов
массива {βi } в растровой ячейке называется автотипным растрированием.
В качестве базисных функций ψi (x) при выводе информации, так же как и при вводе, выбирается приближение δ -функций, только при вводе площадь ϕi (x) определяется разрешением сканирующего устройства, а при выводе площадь ψi (x) — устройства печати.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 5
Математические основы цифрового автотипного растрирования
21
{ }В этом случае можно рассмотреть следующие алгоритмы построения массива β j по исход-
ному массиву {αi }.
Пусть формат выводимого изображения равен a × b и разрешение устройства печати
{ }равно ∆ . В этом случае размер массива β j будет следующим:
M×N = a×b . ∆∆
{ }На основании массива {αi } формируется массив амплитуд α j размера M × N . Если
{ }размер исходного массива {αi } меньше требуемого, то недостающие элементы массива α j
вычисляются с использованием какого-либо метода интерполяции.
{ } { }Наиболее простое правило построения спектра β j по массиву α j состоит в том [8],
что если α j ≤ 0,5 , то соответствующему элементу β j присваивается значение „0“, а число
α j добавляется к следующему числу α j+1 .
При α j > 0, 5 соответствующему элементу β j присваивается значение „1“, а число
1 − α j добавляется к следующему числу α j+1 . Это так называемый метод диффузии ошибки,
характеризуемый низкой помехоустойчивостью к отклонениям параметров процесса печати от номинальных значений.
{ }Предпочтение отдается таким правилам построения спектра β j , которые обеспе-
чивают компактное группирование базисных функций ψi (x) . С этой целью элементы
{ } { }массивов β j и α j объединяются в группы (растровые ячейки) размером p × p , где p
выбирается таким образом, чтобы выполнялось условие ∆p < L , L — максимальное рас-
стояние между двумя точками, которые орган зрения человека воспринимает слитно, как
{ }одну точку. В каждой растровой ячейке массива α j подсчитывается сумма n = ∑ α j ,
полученное число n заменяется числоимпульсным кодом. Эти равные единице коэффи-
{ }циенты размещаются в соответствующей растровой ячейке массива β j . Способ разме-
щения единичных коэффициентов в каждой растровой ячейке может быть разнообраз-
ным. В настоящее время наибольшее распространение получил такой метод размещения
единичных значений в растровой ячейке, когда печатающий элемент (нулевые значения
коэффициентов) расположен в центре растровой ячейки [5, 6]. Назовем этот метод клас-
сическим растрированием.
Известен случайный метод расположения единиц в растровой ячейке [6] — это стохас-
тическое растрирование. Можно таким способом расположить единичные элементы, чтобы
минимизировать расстояние между решетчатыми функциями β j и α j в каждой растровой
ячейке [9]. Такой метод бинаризации назван D-алгоритмом.
На рис. 2, а в качестве примера приведен результат растрирования некоторого изобра-
жения методом диффузии ошибки, б — классическим методом, в — стохастическим методом,
г — с помощью D-алгоритма. Линиатура
1 L
на рисунке выбрана малой для того, чтобы про-
демонстрировать различия изображений, полученных с помощью методов растрирования.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 5
22
а)
В. Н. Дроздов, Е. А. Шефер
б)
в) г)
Рис. 2
Проанализировав эти результаты, можно сказать, что при растрировании изображений, содержащих много контуров, лучше использовать D-алгоритм бинаризации. Широтноимпульсная модуляция подходит в случае растрирования изображения, имеющего плавные переходы тона. В отношении метода диффузии ошибки и стохастического метода можно сказать, что они отличаются низкой помехоустойчивостью, которая возникает в процессе печати при отклонении параметров.
Заключение. Приведенные примеры показывают, что выбор правила построения спек-
{ }тра β j существенным образом влияет на качество воспроизведения изображения. Пред-
ставляется возможным на основании предложенного подхода разрабатывать различные методы растрирования, т.е. различные способы размещения n единичных коэффициентов в
{ }каждой растровой ячейке массива β j .
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ярославский Л. П. Цифровая обработка сигналов в оптике и галографии. Введение в цифровую оптику. М.: Радио и связь, 1987. 296 с.
2. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М.: Наука, 1966. 576 с.
3. Потапов А. А., Пахомов А. А., Никитин С. А., Гуляев Ю. В. Новейшие методы обработки изображений. М.: Физматлит, 2008. 496 с.
4. Птачек М. Цифровое телевидение. Теория и практика. М.: Радио и связь, 1990. 528 с.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 5
Математические основы цифрового автотипного растрирования
23
5. Шашлов Б. А. Цвет и цветовоспроизведение. М.: Книга, 1986. 280 с.
6. Киппхан Г. Энциклопедия по печатным средствам информации. Технология и способы производства. М.: МГУП, 2003. 1280 с.
7. Кузнецов Ю. В. Технология обработки изобразительной информации. СПб: Петербургский институт печати, 2002. 312 с.
8. Floyd W., Steinberg L. An adaptive algorithm for spatial grey scale // Proc. Soc. of Information Displey. 1976. Vol. 17. P. 75—77.
9. Горбачев В. Н., Дроздов В. Н., Яковлева Е. С. Один алгоритм бинаризации полутоновых изображений // Дизайн, материалы, технология. 2009. № 2. С. 63—71.
Валентин Нилович Дроздов Елена Александровна Шефер
Сведения об авторах — д-р техн. наук, профессор; Санкт-Петербургский государственный уни-
верситет технологии и дизайна, кафедра автоматизированного полиграфического оборудования; зав. кафедрой; E-mail: vndrozdov@uprint.spb.ru — Санкт-Петербургский государственный университет технологии и дизайна, кафедра автоматизированного полиграфического оборудования; инженер; E-mail: sh68@hotbox.ru
Рекомендована кафедрой автоматизированного полиграфического оборудования
Поступила в редакцию 21.06.10 г.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 5