ГРАМИАННЫЙ ПОДХОД К ОЦЕНКЕ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ ЗАТРАТ НА УПРАВЛЕНИЕ В НЕПРЕРЫВНЫХ СИСТЕМАХ ПРИ СТАЦИОНАРНЫХ СТОХАСТИЧЕСКИХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ
36
УДК 62-50
Д. С. БИРЮКОВ, А. В. УШАКОВ
ГРАМИАННЫЙ ПОДХОД К ОЦЕНКЕ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ ЗАТРАТ НА УПРАВЛЕНИЕ В НЕПРЕРЫВНЫХ СИСТЕМАХ
ПРИ СТАЦИОНАРНЫХ СТОХАСТИЧЕСКИХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ
Рассматривается задача оценки энергетических затрат на управление при входном стохастическом воздействии типа „экспоненциально коррелированный шум“. Приведена интерпретация характеристик стохастических систем с позиций грамианной теории и получен алгоритм оценки затрат на управление с помощью дисперсии управления в относительных величинах. Ключевые слова: стационарный в широком смысле стохастический процесс, грамиан затрат на управление, белый шум, окрашенный шум.
Введение. Постановка задачи. При синтезе систем управления зачастую является неочевидным механизм выбора типа желаемого характеристического полинома в задаче обеспечения заданного времени переходного процесса в замкнутой устойчивой системе при отсутствии других требований к качеству процессов. Вместе с тем до сих пор при синтезе систем управления недостаточное внимание уделяется контролю энергетических затрат на управление. Для решения указанных задач авторами настоящей статьи был разработан ряд
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 6
Грамианный подход к оценке энергетических затрат на управление
37
грамианных алгоритмов оценки затрат на управление для детерминированных входных воздействий.
В настоящей статье рассматривается задача оценки энергетических затрат на управление в условиях стационарных в широком смысле стохастических воздействий. При исследовании указанных проблем авторы опирались на базовые концепции, изложенные в работах [1, 2].
Отметим, что в настоящей статье принято обозначать оператор вычисления математиче-
ского ожидания стохастической переменной (*) как E (*) .
О п р е д е л е н и е 1 . Стационарным в широком смысле (стационарным второго поряд-
ка) будем называть такой комплекснозначный L2 -процесс [1] X = {X (t ), t ∈T} , для которого
T — некоторая группа элементов, а
EX (t ) = a при ∀t ∈T ,
(1)
R (s,t ) = E{⎣⎡ X (t ) − EX (t )⎤⎦ ⎣⎡ X (s) − EX (s)⎦⎤} = R (t − s) .
(2)
О п р е д е л е н и е 2 . Стационарным в широком смысле стохастическим экзогенным
воздействием типа „белый шум“ будем называть воздействие g (t ) = w(t ) , обладающее сле-
дующими свойствами:
E{w(t )} = 0 ,
(3)
отсчеты w(t + τ) при ∀τ некоррелированы, поэтому
{ }E
w(t + τ) wT (t )
=
N
δ
(
t,
τ)
:δ
(
t,
τ)
=
⎧∞, τ
⎨ ⎩
0,
τ
= ≠
0; 0,
(4)
где N — интенсивность стохастического процесса.
О п р е д е л е н и е 3 . Стационарным в широком смысле стохастическим экзогенным
воздействием типа „окрашенный шум“ будем называть воздействие g (t ) = ξ(t ) , обладающее
следующими свойствами:
E{ξ(t)} = 0 ,
(5)
∃τκ : отсчеты ξ(t + τ) при τ ≤ τκ коррелированы.
О п р е д е л е н и е 4 . Скалярным произведением двух стационарных в широком смысле
процессов ϕ(t ), ψ (t ) : E {ϕ(t )} = 0, E {ψ (t )} = 0 будем называть математическое ожидание их
произведения:
(ϕ(t),ψ (t )) = E{ϕ(t )ψ (t )} .
(6)
О п р е д е л е н и е 5 . Нормой стационарного в широком смысле процесса
ϕ(t ) :E {ϕ(t )} = 0 будем называть величину ϕ(t ) , удовлетворяющую соотношению
ϕ(t ) 2 = (ϕ(t),ϕ(t)) = E{ϕ(t)ϕ(t )}.
(7)
О п р е д е л е н и е 6 . Если процесс ϕ(t ) векторный ( dim ϕ(t ) = ν,∀t ), то стохастиче-
ским грамианом, построенным на его компонентах ϕk (t ), k = 1, ν , будем называть матрицу
математических ожиданий
{ }W (ϕ) = E ϕ(t)ϕT (t) .
(8)
Примечание. Стохастический грамиан (8) в литературе, посвященной исследованию ди-
намических процессов в системах при стохастических воздействиях, принято называть мат-
рицей дисперсии [3] и обозначать как
W (ϕ) = Dϕ .
(9)
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 6
38 Д. С. Бирюков, А. В. Ушаков
О п р е д е л е н и е 7 . Если процессы ϕ(t ) и ψ (t ) векторные ( dim ϕ(t ) = dim ψ (t ) =
= ν,∀t ), то обобщенным стохастическим грамианом [4], построенным на векторах ϕ(t ) и
ψ (t ) , будем называть матрицу
{ } { }W (ϕ,ψ) = E ϕ(t )ψT (t) = E ϕ(t )ψT (t) T .
(10)
Основной результат. Стохастический грамиан затрат на управление. Рассмотрим
объект управления, математическая модель которого характеризуется следующими соотно-
шениями:
x (t ) = Ax (t ) + Bu (t) ;
(11)
y (t) = Cx(t) ,
(12)
где x(t) — вектор состояния объекта; и(t) — вектор входного воздействия; у(t) — вектор вы-
ходной переменной; А — п×п-матрица состояния; В — п×r-матрица входа; С — т×п-матрица выхода.
Входной сигнал ξ(t ) объекта выделяется формирующим фильтром из белого шума:
z (t ) = Γф z (t ) + Gфw(t ) ;
(13)
ξ(t ) = Pф z (t ) ,
(14)
где Γф , Gф , Pф — матрицы, аналогичные матрицам А, В, С соответственно.
Ошибка слежения за входным сигналом определяется как
ε(t) = ξ(t) − y(t).
(15)
Управление обеспечивает в синтезируемой системе требуемые показатели качества переходного процесса и единичное замыкание по входу (воспроизведение входного сигнала на выходе системы):
u (t ) = −Kx (t ) + Kgξ(t ),
(16)
где K — матрица обратных связей по состоянию системы, Kg — матрица прямых связей по входу системы.
Замкнутая система, таким образом, описывается уравнением
x (t ) = Fx (t ) + Gξ(t) ,
(17)
где F — матрица состояния замкнутой системы. Объединим уравнения замкнутой системы и фильтра входного воздействия:
x
(t
)
=
⎡ ⎢ ⎣
x z
(t (t
)⎤ )⎦⎥
=
⎡ Fx (t ) ⎢⎣⎢0 ⋅ x (t )
GPф z (t )⎤
Γф
z
(t
)
⎥ ⎦⎥
+
⎡0 ⎢⎣Gф
⎤ ⎥ ⎦
w
(
t
)
;
(18)
x (t ) = Fx (t ) + Gw(t ),
(19)
F
=
⎡ Fx (t ) ⎣⎢⎢0 ⋅ x (t )
GPф z (t )⎤
Γф
z
(t
)
⎥ ⎦⎥
;
G
=
⎡0 ⎣⎢Gф
⎤ ⎥
.
⎦
(20)
Для оценки затрат на управление сформируем выражение для дисперсии DU с исполь-
зованием уравнения (16):
{ } { ( )}( )DU = E u (t)uT (t) = E
Kgξ(t ) − Kx (t )
ξT
(t)
K
T g
−
xT
(t)
KT
=
{ }= E
Kgξ (t ) ξT
(t)
K
T g
−
Kx (t ) ξT
(t)
K
T g
−
Kgξ(t)
xT
(t)
KT
+
Kx (t)
xT
(t)
KT
=
=
K
g
Pф
Dz
PфT
K
T g
−
KDxz
PфT
K
T g
−
Kg PфDzxK T
+
KDxKT .
(21)
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 6
Грамианный подход к оценке энергетических затрат на управление
39
Частные дисперсии можно получить, воспользовавшись уравнением для дисперсии аг-
{ }регированной переменной Dx = E x (t ) xT (t ) :
FDx + Dx FT = −GNGT , здесь N — интенсивность белого шума на входе формирующего фильтра.
(22)
Раскроем уравнение (22):
⎡F
⎢ ⎢⎣
0
GPф Γф
⎤ ⎥ ⎥⎦
⋅
⎡ ⎢ ⎣
Dx Dzx
Dxz Dz
⎤ ⎥ ⎦
+
⎡ Dx
⎢ ⎣
Dzx
Dxz Dz
⎤ ⎥ ⎦
⋅
⎡ ⎢ ⎢⎣
F PфT
T
GT
0 ΓфT
⎤ ⎥ ⎥⎦
=
−
⎡0 ⎢⎣Gф
⎤ ⎥ ⎦
N
⎣⎡0
GфT ⎦⎤ ;
(23)
FDx + GPф Dzx + Dx FT + Dxz PфT GT = 0;
(24)
FDxz + GPф Dz + DxzΓфT = 0,
(25)
Γф Dz + DzΓфT = −Gф NGфT .
(26)
Отметим также, что
Dxz = DzxT .
(27)
Решив систему уравнений (24)—(26) относительно частных дисперсий Dx (состояния
системы), Dz (состояния фильтра) и Dxz = DzxT , получим значение дисперсии управления
DU , являющейся в данном случае стохастическим грамианом затрат на управление в силу
определения 6. Таким образом, сформирован метод оценки затрат на управление. Изложим его в виде краткого алгоритма.
1. Сформировать векторно-матричное описание объекта управления в виде (11), (12) и формирующего фильтра в виде (13), (14).
2. Решить задачу обеспечения требуемых показателей качества и единичного замыкания системы по входу, получив замкнутую систему (17).
3. Решить систему уравнений (24)—(26) относительно частных дисперсий Dx , Dz и
Dxz = DzxT .
4. Найти дисперсию управления (грамиан затрат на управление) из выражения (21). 5. Произвести процедуру сингулярного разложения дисперсии управления, получив ми-
нимальное и максимальное сингулярные числа µmin и µmax .
6. Модифицировать исходную структуру мод по принципу уменьшения угла локализации желаемых мод [5].
7. Повторить шаги 2—5 до достижения минимального значения максимального сингу-
лярного числа µmax .
Пример. Для иллюстрации предложенной методики рассмотрим, как меняются затраты на управление при решении двух противоположных задач: минимизации дисперсии ошибки
Dε (что имеет место при задающем стохастическом воздействии) и минимизации дисперсии выходного сигнала Dy (что равносильно компенсации стохастической помехи на входе).
Рассмотрим систему второго порядка с передаточной функцией вида
Φ(s)
=
s2
+
v2ω02 v1ω0s + v2ω02
.
(28)
Представление (28) параметризовано характеристической частотой ω0 системы, а кон-
кретная реализация коэффициентов v1, v2 позволяет задать желаемое распределение мод
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 6
40 Д. С. Бирюков, А. В. Ушаков
(корней). Так, при v1 = 2, v2 = 1 функция Φ ( s) будет обладать каноническим распределением
мод (корней) Баттерворта, а при v1 = 2, v2 = 1 — биномиальным распределением мод (корней).
В качестве формирующего фильтра используется апериодическое звено первого поряд-
ка, формирующее из белого шума на выходе экспоненциально коррелированный шум. Пере-
даточную функцию формирующего фильтра запишем в виде
Φф
(
s)
=
s
Ωф + Ωф
,
(29)
где Ωф — характеристическая частота фильтра.
Решение системы матричных уравнений (23)—(26) для конкретной матрицы дисперсий
Dx позволяет записать следующее:
Dz
=
Dξ
=
N Ωф 2
;
(30)
⎡ v2ω0 ⎤
Dxz
=
Dzx
=
N Ωф 2
⎢ ⎢
v2 ω0 2
⎢
⎢
+ v1ω0Ωф v2ω02Ωф
+
Ωф2
⎥ ⎥ ⎥
,
⎥
⎢ ⎣
v2 ω0 2
+
v1ω0Ωф
+
Ωф2
⎥ ⎦
(31)
⎡ ⎢ ⎢
v2ω02
⎜⎛1 + ⎝
Ωф v1ω0
⎞ ⎟ ⎠
Dx
=
N Ωф 2
⎢ ⎢
v2ω02
⎢
+ v1ω0Ωф
+
Ωф2
⎢ ⎢
0
⎣
⎤
⎥
0
⎥
⎥ ⎥
.
v22 (v1 )−1 ω03Ωф
⎥ ⎥
v2ω02
+
v1ω0Ωф
+
Ωф2
⎥ ⎦
(32)
При подстановке матриц дисперсий (30), (31) в уравнение (21) следует иметь в виду, что
Pф = [1]; Kg = ⎣⎡v2ω02 ⎦⎤ ; K = ⎣⎡v2ω02 v1ω0 ⎤⎦ ,
тогда для DU получим
DU
= ⎣⎡v2ω02 ⎤⎦
N Ωф 2
⎡⎣v2ω02 ⎤⎦ − 2 ⎣⎡v2ω02
v1ω0 ⎦⎤
N Ωф 2
⎡
⎢ ⎢
v2ω02
⎢
⎢
v2ω02 + v1ω0Ωф
v2ω02Ωф
+
Ωф2
⎤
⎥
⎥ ⎥ ⎥
⋅
⎡⎣v2ω02
⎦⎤
+
⎢ ⎢⎣
v2ω02
+
v1ω0Ωф
+
Ωф2
⎥ ⎥⎦
+ ⎣⎡v2ω02
v1ω0
⎦⎤
NΩф 2
⎡ ⎢ ⎢
v2ω02
⎛⎜1 + ⎝
Ωф v1ω0
⎞ ⎟ ⎠
⎢ ⎢
v2ω02
+
v1ω0Ωф
+
Ωф2
⎢
⎢0 ⎢⎣
⎤
⎥
0
v22 (v1 )−1 ω03Ωф
⎥ ⎥ ⎥ ⎥
⋅
⎡⎢⎣⎢vv21ωω002
⎤ ⎥ ⎥⎦
.
⎥
v2ω02 + v1ω0Ωф + Ωф2 ⎥⎦
Введем в рассмотрение матрицы относительных дисперсий и относительную характе-
ристическую частоту, определив их соотношениями
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 6
Грамианный подход к оценке энергетических затрат на управление
Dij
=
Dij Dξ
, ω0
=
ω0 Ωф
.
Тогда становится справедливой зависимость
41
Dij = Dij (ω0 ),
которая позволяет осуществить сравнение результатов синтеза не в абсолютных величинах, а в относительных. Тогда для дисперсий Dy = CDxCT , Dε = Cε DxCεT и DU становятся спра-
ведливыми соотношения
( )Dy
(ω0
)
=
v2ω02 (1 + v1ω0 )−1
v2ω02 + v1ω0 + 1
,
Dε =
v2v1−1 v2 ω0 2
+ +
v1 ω0 + 1 v1ω0 + 1
.
Если рассмотреть ситуации, при которых должны выполняться неравенства Dy
УДК 62-50
Д. С. БИРЮКОВ, А. В. УШАКОВ
ГРАМИАННЫЙ ПОДХОД К ОЦЕНКЕ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ ЗАТРАТ НА УПРАВЛЕНИЕ В НЕПРЕРЫВНЫХ СИСТЕМАХ
ПРИ СТАЦИОНАРНЫХ СТОХАСТИЧЕСКИХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ
Рассматривается задача оценки энергетических затрат на управление при входном стохастическом воздействии типа „экспоненциально коррелированный шум“. Приведена интерпретация характеристик стохастических систем с позиций грамианной теории и получен алгоритм оценки затрат на управление с помощью дисперсии управления в относительных величинах. Ключевые слова: стационарный в широком смысле стохастический процесс, грамиан затрат на управление, белый шум, окрашенный шум.
Введение. Постановка задачи. При синтезе систем управления зачастую является неочевидным механизм выбора типа желаемого характеристического полинома в задаче обеспечения заданного времени переходного процесса в замкнутой устойчивой системе при отсутствии других требований к качеству процессов. Вместе с тем до сих пор при синтезе систем управления недостаточное внимание уделяется контролю энергетических затрат на управление. Для решения указанных задач авторами настоящей статьи был разработан ряд
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 6
Грамианный подход к оценке энергетических затрат на управление
37
грамианных алгоритмов оценки затрат на управление для детерминированных входных воздействий.
В настоящей статье рассматривается задача оценки энергетических затрат на управление в условиях стационарных в широком смысле стохастических воздействий. При исследовании указанных проблем авторы опирались на базовые концепции, изложенные в работах [1, 2].
Отметим, что в настоящей статье принято обозначать оператор вычисления математиче-
ского ожидания стохастической переменной (*) как E (*) .
О п р е д е л е н и е 1 . Стационарным в широком смысле (стационарным второго поряд-
ка) будем называть такой комплекснозначный L2 -процесс [1] X = {X (t ), t ∈T} , для которого
T — некоторая группа элементов, а
EX (t ) = a при ∀t ∈T ,
(1)
R (s,t ) = E{⎣⎡ X (t ) − EX (t )⎤⎦ ⎣⎡ X (s) − EX (s)⎦⎤} = R (t − s) .
(2)
О п р е д е л е н и е 2 . Стационарным в широком смысле стохастическим экзогенным
воздействием типа „белый шум“ будем называть воздействие g (t ) = w(t ) , обладающее сле-
дующими свойствами:
E{w(t )} = 0 ,
(3)
отсчеты w(t + τ) при ∀τ некоррелированы, поэтому
{ }E
w(t + τ) wT (t )
=
N
δ
(
t,
τ)
:δ
(
t,
τ)
=
⎧∞, τ
⎨ ⎩
0,
τ
= ≠
0; 0,
(4)
где N — интенсивность стохастического процесса.
О п р е д е л е н и е 3 . Стационарным в широком смысле стохастическим экзогенным
воздействием типа „окрашенный шум“ будем называть воздействие g (t ) = ξ(t ) , обладающее
следующими свойствами:
E{ξ(t)} = 0 ,
(5)
∃τκ : отсчеты ξ(t + τ) при τ ≤ τκ коррелированы.
О п р е д е л е н и е 4 . Скалярным произведением двух стационарных в широком смысле
процессов ϕ(t ), ψ (t ) : E {ϕ(t )} = 0, E {ψ (t )} = 0 будем называть математическое ожидание их
произведения:
(ϕ(t),ψ (t )) = E{ϕ(t )ψ (t )} .
(6)
О п р е д е л е н и е 5 . Нормой стационарного в широком смысле процесса
ϕ(t ) :E {ϕ(t )} = 0 будем называть величину ϕ(t ) , удовлетворяющую соотношению
ϕ(t ) 2 = (ϕ(t),ϕ(t)) = E{ϕ(t)ϕ(t )}.
(7)
О п р е д е л е н и е 6 . Если процесс ϕ(t ) векторный ( dim ϕ(t ) = ν,∀t ), то стохастиче-
ским грамианом, построенным на его компонентах ϕk (t ), k = 1, ν , будем называть матрицу
математических ожиданий
{ }W (ϕ) = E ϕ(t)ϕT (t) .
(8)
Примечание. Стохастический грамиан (8) в литературе, посвященной исследованию ди-
намических процессов в системах при стохастических воздействиях, принято называть мат-
рицей дисперсии [3] и обозначать как
W (ϕ) = Dϕ .
(9)
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 6
38 Д. С. Бирюков, А. В. Ушаков
О п р е д е л е н и е 7 . Если процессы ϕ(t ) и ψ (t ) векторные ( dim ϕ(t ) = dim ψ (t ) =
= ν,∀t ), то обобщенным стохастическим грамианом [4], построенным на векторах ϕ(t ) и
ψ (t ) , будем называть матрицу
{ } { }W (ϕ,ψ) = E ϕ(t )ψT (t) = E ϕ(t )ψT (t) T .
(10)
Основной результат. Стохастический грамиан затрат на управление. Рассмотрим
объект управления, математическая модель которого характеризуется следующими соотно-
шениями:
x (t ) = Ax (t ) + Bu (t) ;
(11)
y (t) = Cx(t) ,
(12)
где x(t) — вектор состояния объекта; и(t) — вектор входного воздействия; у(t) — вектор вы-
ходной переменной; А — п×п-матрица состояния; В — п×r-матрица входа; С — т×п-матрица выхода.
Входной сигнал ξ(t ) объекта выделяется формирующим фильтром из белого шума:
z (t ) = Γф z (t ) + Gфw(t ) ;
(13)
ξ(t ) = Pф z (t ) ,
(14)
где Γф , Gф , Pф — матрицы, аналогичные матрицам А, В, С соответственно.
Ошибка слежения за входным сигналом определяется как
ε(t) = ξ(t) − y(t).
(15)
Управление обеспечивает в синтезируемой системе требуемые показатели качества переходного процесса и единичное замыкание по входу (воспроизведение входного сигнала на выходе системы):
u (t ) = −Kx (t ) + Kgξ(t ),
(16)
где K — матрица обратных связей по состоянию системы, Kg — матрица прямых связей по входу системы.
Замкнутая система, таким образом, описывается уравнением
x (t ) = Fx (t ) + Gξ(t) ,
(17)
где F — матрица состояния замкнутой системы. Объединим уравнения замкнутой системы и фильтра входного воздействия:
x
(t
)
=
⎡ ⎢ ⎣
x z
(t (t
)⎤ )⎦⎥
=
⎡ Fx (t ) ⎢⎣⎢0 ⋅ x (t )
GPф z (t )⎤
Γф
z
(t
)
⎥ ⎦⎥
+
⎡0 ⎢⎣Gф
⎤ ⎥ ⎦
w
(
t
)
;
(18)
x (t ) = Fx (t ) + Gw(t ),
(19)
F
=
⎡ Fx (t ) ⎣⎢⎢0 ⋅ x (t )
GPф z (t )⎤
Γф
z
(t
)
⎥ ⎦⎥
;
G
=
⎡0 ⎣⎢Gф
⎤ ⎥
.
⎦
(20)
Для оценки затрат на управление сформируем выражение для дисперсии DU с исполь-
зованием уравнения (16):
{ } { ( )}( )DU = E u (t)uT (t) = E
Kgξ(t ) − Kx (t )
ξT
(t)
K
T g
−
xT
(t)
KT
=
{ }= E
Kgξ (t ) ξT
(t)
K
T g
−
Kx (t ) ξT
(t)
K
T g
−
Kgξ(t)
xT
(t)
KT
+
Kx (t)
xT
(t)
KT
=
=
K
g
Pф
Dz
PфT
K
T g
−
KDxz
PфT
K
T g
−
Kg PфDzxK T
+
KDxKT .
(21)
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 6
Грамианный подход к оценке энергетических затрат на управление
39
Частные дисперсии можно получить, воспользовавшись уравнением для дисперсии аг-
{ }регированной переменной Dx = E x (t ) xT (t ) :
FDx + Dx FT = −GNGT , здесь N — интенсивность белого шума на входе формирующего фильтра.
(22)
Раскроем уравнение (22):
⎡F
⎢ ⎢⎣
0
GPф Γф
⎤ ⎥ ⎥⎦
⋅
⎡ ⎢ ⎣
Dx Dzx
Dxz Dz
⎤ ⎥ ⎦
+
⎡ Dx
⎢ ⎣
Dzx
Dxz Dz
⎤ ⎥ ⎦
⋅
⎡ ⎢ ⎢⎣
F PфT
T
GT
0 ΓфT
⎤ ⎥ ⎥⎦
=
−
⎡0 ⎢⎣Gф
⎤ ⎥ ⎦
N
⎣⎡0
GфT ⎦⎤ ;
(23)
FDx + GPф Dzx + Dx FT + Dxz PфT GT = 0;
(24)
FDxz + GPф Dz + DxzΓфT = 0,
(25)
Γф Dz + DzΓфT = −Gф NGфT .
(26)
Отметим также, что
Dxz = DzxT .
(27)
Решив систему уравнений (24)—(26) относительно частных дисперсий Dx (состояния
системы), Dz (состояния фильтра) и Dxz = DzxT , получим значение дисперсии управления
DU , являющейся в данном случае стохастическим грамианом затрат на управление в силу
определения 6. Таким образом, сформирован метод оценки затрат на управление. Изложим его в виде краткого алгоритма.
1. Сформировать векторно-матричное описание объекта управления в виде (11), (12) и формирующего фильтра в виде (13), (14).
2. Решить задачу обеспечения требуемых показателей качества и единичного замыкания системы по входу, получив замкнутую систему (17).
3. Решить систему уравнений (24)—(26) относительно частных дисперсий Dx , Dz и
Dxz = DzxT .
4. Найти дисперсию управления (грамиан затрат на управление) из выражения (21). 5. Произвести процедуру сингулярного разложения дисперсии управления, получив ми-
нимальное и максимальное сингулярные числа µmin и µmax .
6. Модифицировать исходную структуру мод по принципу уменьшения угла локализации желаемых мод [5].
7. Повторить шаги 2—5 до достижения минимального значения максимального сингу-
лярного числа µmax .
Пример. Для иллюстрации предложенной методики рассмотрим, как меняются затраты на управление при решении двух противоположных задач: минимизации дисперсии ошибки
Dε (что имеет место при задающем стохастическом воздействии) и минимизации дисперсии выходного сигнала Dy (что равносильно компенсации стохастической помехи на входе).
Рассмотрим систему второго порядка с передаточной функцией вида
Φ(s)
=
s2
+
v2ω02 v1ω0s + v2ω02
.
(28)
Представление (28) параметризовано характеристической частотой ω0 системы, а кон-
кретная реализация коэффициентов v1, v2 позволяет задать желаемое распределение мод
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 6
40 Д. С. Бирюков, А. В. Ушаков
(корней). Так, при v1 = 2, v2 = 1 функция Φ ( s) будет обладать каноническим распределением
мод (корней) Баттерворта, а при v1 = 2, v2 = 1 — биномиальным распределением мод (корней).
В качестве формирующего фильтра используется апериодическое звено первого поряд-
ка, формирующее из белого шума на выходе экспоненциально коррелированный шум. Пере-
даточную функцию формирующего фильтра запишем в виде
Φф
(
s)
=
s
Ωф + Ωф
,
(29)
где Ωф — характеристическая частота фильтра.
Решение системы матричных уравнений (23)—(26) для конкретной матрицы дисперсий
Dx позволяет записать следующее:
Dz
=
Dξ
=
N Ωф 2
;
(30)
⎡ v2ω0 ⎤
Dxz
=
Dzx
=
N Ωф 2
⎢ ⎢
v2 ω0 2
⎢
⎢
+ v1ω0Ωф v2ω02Ωф
+
Ωф2
⎥ ⎥ ⎥
,
⎥
⎢ ⎣
v2 ω0 2
+
v1ω0Ωф
+
Ωф2
⎥ ⎦
(31)
⎡ ⎢ ⎢
v2ω02
⎜⎛1 + ⎝
Ωф v1ω0
⎞ ⎟ ⎠
Dx
=
N Ωф 2
⎢ ⎢
v2ω02
⎢
+ v1ω0Ωф
+
Ωф2
⎢ ⎢
0
⎣
⎤
⎥
0
⎥
⎥ ⎥
.
v22 (v1 )−1 ω03Ωф
⎥ ⎥
v2ω02
+
v1ω0Ωф
+
Ωф2
⎥ ⎦
(32)
При подстановке матриц дисперсий (30), (31) в уравнение (21) следует иметь в виду, что
Pф = [1]; Kg = ⎣⎡v2ω02 ⎦⎤ ; K = ⎣⎡v2ω02 v1ω0 ⎤⎦ ,
тогда для DU получим
DU
= ⎣⎡v2ω02 ⎤⎦
N Ωф 2
⎡⎣v2ω02 ⎤⎦ − 2 ⎣⎡v2ω02
v1ω0 ⎦⎤
N Ωф 2
⎡
⎢ ⎢
v2ω02
⎢
⎢
v2ω02 + v1ω0Ωф
v2ω02Ωф
+
Ωф2
⎤
⎥
⎥ ⎥ ⎥
⋅
⎡⎣v2ω02
⎦⎤
+
⎢ ⎢⎣
v2ω02
+
v1ω0Ωф
+
Ωф2
⎥ ⎥⎦
+ ⎣⎡v2ω02
v1ω0
⎦⎤
NΩф 2
⎡ ⎢ ⎢
v2ω02
⎛⎜1 + ⎝
Ωф v1ω0
⎞ ⎟ ⎠
⎢ ⎢
v2ω02
+
v1ω0Ωф
+
Ωф2
⎢
⎢0 ⎢⎣
⎤
⎥
0
v22 (v1 )−1 ω03Ωф
⎥ ⎥ ⎥ ⎥
⋅
⎡⎢⎣⎢vv21ωω002
⎤ ⎥ ⎥⎦
.
⎥
v2ω02 + v1ω0Ωф + Ωф2 ⎥⎦
Введем в рассмотрение матрицы относительных дисперсий и относительную характе-
ристическую частоту, определив их соотношениями
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 6
Грамианный подход к оценке энергетических затрат на управление
Dij
=
Dij Dξ
, ω0
=
ω0 Ωф
.
Тогда становится справедливой зависимость
41
Dij = Dij (ω0 ),
которая позволяет осуществить сравнение результатов синтеза не в абсолютных величинах, а в относительных. Тогда для дисперсий Dy = CDxCT , Dε = Cε DxCεT и DU становятся спра-
ведливыми соотношения
( )Dy
(ω0
)
=
v2ω02 (1 + v1ω0 )−1
v2ω02 + v1ω0 + 1
,
Dε =
v2v1−1 v2 ω0 2
+ +
v1 ω0 + 1 v1ω0 + 1
.
Если рассмотреть ситуации, при которых должны выполняться неравенства Dy