ПРОЕКТИРОВАНИЕ МНОГОЗВЕННЫХ RC-ГЕНЕРАТОРОВ
ЭЛЕКТРОННЫЕ И ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ УСТРОЙСТВА
УДК 621.373.121
А. И. ГУЛИН
ПРОЕКТИРОВАНИЕ МНОГОЗВЕННЫХ RC-ГЕНЕРАТОРОВ
Представлены полученные с помощью функций преобразования аналитические выражения и алгоритмы для определения частот квазирезонанса многозвенных фазирующих RC-цепей всех возможных конфигураций.
Ключевые слова: генератор, квазирезонанс, функция преобразования, цепная структура, фазирующая цепочка.
Многозвенные частотно-зависимые цепи, представляющие собой цепную структуру (ЦС),
широко используются в системах управления и связи в качестве фильтров, частотных коррек-
торов, фазирующих четырехполюсников в генераторах, синтезаторах частот и т.д. Интерес к
таким цепям объясняется возможностью использования в них не только емкостных и индук-
тивных, но и резистивных преобразователей для измерения различных физических величин
(освещенности, состава вещества и т.д.). Типичным примером таких цепей являются датчики
с RC-генераторами, выходная частота которых определяется квазирезонансом RC-цепи. Од-
нако в настоящее время получены аналитические выражения для частоты и затухания сигна-
лов в подобных ЦС лишь с числом звеньев не более восьми [1, 2]. Использование функций
преобразования (ФП) позволило устранить этот пробел [3].
Рассмотрим генератор с фазирующим четырехполюсником [4], представляющий собой
замкнутую систему с положительной цепью обратной связи и содержащий пассивную ЦС од-
ного из четырех видов. Возможные структурные схемы генераторов с фазирующей ЦС при-
ведены на рис. 1. Потенциальные (U/U) либо токово-потенциальные (I/U) ЦС (рис. 1, а, г) для
построения генераторов требуют наличия усилителей напряжения (активных преобразовате-
лей), т.е. усилителей с высоким входным и низким выходным сопротивлениями. Такие цепи
целесообразно выполнять на полевых транзисторах и электронных лампах. При использова-
нии усилителей на биполярных транзисторах удобнее применять токовые (I/I) или потенци-
ально-токовые (U/I) ЦС (рис. 1, в, б). В генераторе с токовой цепью усилитель должен иметь
высокое выходное и низкое входное сопротивления (цепь включается, например, в качестве
коллекторной нагрузки усилителя). В генераторе с потенциально-токовой цепью и входное, и
выходное сопротивления усилителя должны быть низкими.
Активными преобразователями (АП), осуществляющими компенсацию потерь в пассив-
ной ЦС, могут быть транзисторные либо электронные и операционные усилители, а также спе-
циальные устройства [5], например гираторы, конверторы отрицательного сопротивления и др.
Возникновение колебаний характеризуется условием
K ′K ≤ 1,
(1)
где K — ФП цепной структуры, K ′ — ФП активного преобразователя;
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2012. Т. 55, № 3
Проектирование многозвенных RC-генераторов
15
Так как ФП активного преобразователя является вещественной, то для выполнения ус-
ловия (1) необходимо, чтобы ФП цепной структуры на частоте самовозбуждения была тоже
вещественной. При этом обе ФП могут иметь одновременно либо положительные, либо от-
рицательные значения, иными словами, в зависимости от вида активного преобразователя с
помощью ЦС осуществляется сдвиг фазы на четное или нечетное число πi радиан, где
i = 1, 2, 3... — натуральный ряд чисел.
а) АП U/U
ЦС U/U
Z1 Z3
Zn-1
U n
U0 Y2
Y4
Yn U n
б) In
АП I/U U 0
ЦС U/I
Z1 Y2
Zn-2 Zn In Yn-1
в) АП I/I
In
I0
ЦС I/I
Z2 Y1
Z4 Y3
Zn Yn-1
In
г) АП U/I
U n
I0
ЦС I/U
Z2 Y1
Y3
Zn-1 Yn
U n
Рис. 1
Рассмотрим порядок определения частот квазирезонанса для наиболее часто используе-
мых при построении генераторов на однокаскадных усилителях четырех видов
п-звенных ЦС, составленных из RC-элементов и осуществляющих поворот фазы на 180°.
Частота квазирезонанса определяется мнимой частью ФП фазирующего четырехполюсника
при обращении ее в нуль, т.е.
Im(K ) = 0,
(2)
и для ЦС U/U и I/I (рис. 2, а и б) характеризуется выражением [6]
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2012. Т. 55, № 3
16 А. И. Гулин
где коэффициент kn определяется как
ω0
=
kn RC
,
(3)
р
∑kn =
(−1)i kn2i+1C02,+54ni+1+2i = 0,
i=0,1...
(4)
здесь С02,+54ni+1+2i — число сочетаний из 2 + 4i элементов по 0,5n +1+ 2i элемента; p = 0,25n – 1 —
для четных значений 0,5n; p = 0,25(n + 2) – 1 — для нечетных значений 0,5n.
Для схем ЦС U/U и I/I (рис. 2, в и г) частота квазирезонанса определяется выражением
ω0
=
1 kn RC
.
(5)
С увеличением числа звеньев n от 6 до бесконечности ФП фазирующих ЦС U/U и I/I
изменяется от K6 = – 29 до Kп = – 11,6.
Значения коэффициентов kп не превышают 6 и для уравнений (4) определяются по
программе [6].
а) R
R
R
б) I0
С
С
U 0 C
C In R R
R U n
в) C
C
C
U 0 R
R
R
г) I0 In
R
R U n
Рис. 2
Частота квазирезонанса для фазирующей ЦС U/I (рис. 3, а) определяется выражением
ω0
=
bn RC
,
(6)
а для ЦС I/U (рис. 3, б) — выражением
ω0
=
1 bn RC
.
(7)
Здесь коэффициент bп зависит от числа n и вычисляется как
l
∑bn =
(−1)i bn2i+1C03,+54(ni +3)+2i = 0,
i=0,1...
(8)
где C03,+54(ni +3)+2i — число сочетаний из п–3+2i элементов по п–6+4i элемента; l = 0,25(п + 1) – 1 — для четных значений 0,5(n+1); l = 0,25(n – 1) – 1 — для нечетных значений 0,5(n+1).
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2012. Т. 55, № 3
Проектирование многозвенных RC-генераторов
17
ФП таких ЦС не превышает 56R, т.е. │Kn│≤ 56R. Так, для 9-звенной ЦС U/I (см. рис. 3, а) уравнение (8) для определения коэффициента b имеет вид: 20 b – 8b3 = 0, откуда b = 5 / 2 , а
частота квазирезонанса для такой ЦС ω0 = 5 ( 2 ⋅ RC ). ФП на частоте квазирезонанса имеет
значение K9 = −31, 25R.
а) R
R
R
б) I0
С
С
U 0 C
C In R R
R U n
в) C
C
C
U 0 R
R
R
г) I0 In
R
R U n
Рис. 3
Частоты квазирезонанса для ЦС U/I и I/U определяются выражениями, аналогичными
уравнениям (6) и (7):
— для ЦС I/U (рис. 3, г)
ω0
=
hn RC
,
(9)
— для ЦС U/I (рис. 3, в)
ω0
=
1 hn RC
.
(10)
Здесь коэффициент hn также зависит от числа звеньев ЦС и определяется как
m
∑hn =
(−1)i hn2i+1C01+,54(in+1)+2i = 0,
i=0,1...
(11)
где C01+,54(in+1)+2i — число сочетаний из 0,5(п+1)+2i элементов по 1+4i элемента; m = 0,25(n + 1) – 1 —
для четных значений 0,5(n+1); m = 0,25(n – 1) — для нечетных значений 0,5(n+1). Для осуществления сдвига фаз на 180° минимальное число емкостей C в таких ЦС
должно быть не менее трех, и, следовательно, минимальное число звеньев равно 5 (n ≥ 5).
Коэффициент hn ≤ 3 , а ФП ЦС не превышает 12/R (рис. 3, в) либо 1/12R (рис. 3, г). Так, для 7-звенной ЦС (см. рис. 3, г) уравнение (11) имеет вид: 4h – 6h3 = 0, откуда h = 4 / 3 , а частота
квазирезонанса ω0 = 2 ( 3 ⋅ RC ).
Из выражений (3), (5)—(7), (9) и (10) следует, что одну и ту же частоту квазирезонанса можно получить при бесчисленном множестве значений R и С при выполнении условия постоянства их произведения. Однако произвольный выбор значений элементов не всегда удовлетворяет требованиям, предъявляемым к пассивным ЦС при построении генераторов.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2012. Т. 55, № 3
18 А. И. Гулин
Для однозначного решения подобной задачи предлагается методика, основанная на рас-
чете RC-генератора с ЦС U/U , который, как известно [4], реализуется с использованием схем
двух видов.
Рассмотрим 6-звенную ЦС, состоящую из RC-звеньев. Полагаем, что она не нагружена.
Такой режим характерен для большинства случаев ее применения. Из уравнения (4) для рас-
сматриваемого случая получим выражение: k6 − 6k63 = 0, откуда kn = 6 . Подставив значение
коэффициента kn в формулу (5), получим выражение для частоты квазирезонанса:
ω0 =
1. 6 ⋅ RC
Коэффициент усиления усилителя должен превышать значение ФП преобразователя на
частоте квазирезонанса и с учетом ω0 для 6-звенной ЦС, согласно работе [3], равен │K6│= 29. Для устранения потери энергии сигнала выполним условие согласования
Rвых = Rвх , где Rвых — выходное сопротивление усилителя, Rвх — входное сопротивление ЦС.
Входное сопротивление однородной 6-звенной ЦС U/U определяется как [3]
(12)
Zвх
=
Z 3Y 3 + 5Z 2Y 2 + 6ZY Z 2Y 3 + 4ZY 2 + 3Y
+1
(13)
и в рассматриваемом случае его модуль на частоте квазирезонанса ω0 равен │Zвх│= 2,8R . Используя выражения (12) и (13), определим значение сопротивления R звена ЦС: R = Rвых/2,8,
( )а из выражения для частоты ω0 — значение емкости: C = 1 6 ⋅ Rω0 .
Аналогичный подход применяется и для других схем, используемых при построении
частотно-зависимых цепей.
Для расчета частот квазирезонанса и ФП многозвенных RC-схем любой сложности и
конфигурации разработана программа [6].
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Новицкий П. В., Кнорринг В. Г., Гутников В. С. Цифровые приборы с частотными датчиками. Л.: Энергия, 1970. 424 с.
2. Гутников В. С. Интегральная электроника в измерительных устройствах. Л.: Энергоатомиздат, 1988. 304 с.
3. Кольцов А. А., Гулин А. И. Коэффициенты преобразования цепных трехполюсных структур // Изв. вузов СССР. Приборостроение. 1975. Т. 17, № 9. С. 31—34.
4. Барсуков Ф. И., Русанов Ю. Б. Элементы и устройства радиотелеметрических систем. М.: Энергия, 1983.
5. Бондаренко В. Г. RC-генераторы синусоидальных колебаний. М.: Связь, 1988.
6. Свид. об официальной регистрации программы для ЭВМ, № 2003611147. Расчет частоты квазирезонанса и коэффициента передачи многозвенных RC-структур / А. И. Гулин, Ж. А. Сухинец, Д. Ф. Мударисов, И. Р. Хаников. М.: Роспатент, 2003.
Артур Игоревич Гулин
Сведения об авторе — канд. техн. наук, доцент; Уфимский государственный авиационный технический
университет, кафедра телекоммуникационных систем; E-mail: Gulin_tks@ugatu.ac.ru
Рекомендована кафедрой телекоммуникационных систем
Поступила в редакцию 26.03.10 г.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2012. Т. 55, № 3
УДК 621.373.121
А. И. ГУЛИН
ПРОЕКТИРОВАНИЕ МНОГОЗВЕННЫХ RC-ГЕНЕРАТОРОВ
Представлены полученные с помощью функций преобразования аналитические выражения и алгоритмы для определения частот квазирезонанса многозвенных фазирующих RC-цепей всех возможных конфигураций.
Ключевые слова: генератор, квазирезонанс, функция преобразования, цепная структура, фазирующая цепочка.
Многозвенные частотно-зависимые цепи, представляющие собой цепную структуру (ЦС),
широко используются в системах управления и связи в качестве фильтров, частотных коррек-
торов, фазирующих четырехполюсников в генераторах, синтезаторах частот и т.д. Интерес к
таким цепям объясняется возможностью использования в них не только емкостных и индук-
тивных, но и резистивных преобразователей для измерения различных физических величин
(освещенности, состава вещества и т.д.). Типичным примером таких цепей являются датчики
с RC-генераторами, выходная частота которых определяется квазирезонансом RC-цепи. Од-
нако в настоящее время получены аналитические выражения для частоты и затухания сигна-
лов в подобных ЦС лишь с числом звеньев не более восьми [1, 2]. Использование функций
преобразования (ФП) позволило устранить этот пробел [3].
Рассмотрим генератор с фазирующим четырехполюсником [4], представляющий собой
замкнутую систему с положительной цепью обратной связи и содержащий пассивную ЦС од-
ного из четырех видов. Возможные структурные схемы генераторов с фазирующей ЦС при-
ведены на рис. 1. Потенциальные (U/U) либо токово-потенциальные (I/U) ЦС (рис. 1, а, г) для
построения генераторов требуют наличия усилителей напряжения (активных преобразовате-
лей), т.е. усилителей с высоким входным и низким выходным сопротивлениями. Такие цепи
целесообразно выполнять на полевых транзисторах и электронных лампах. При использова-
нии усилителей на биполярных транзисторах удобнее применять токовые (I/I) или потенци-
ально-токовые (U/I) ЦС (рис. 1, в, б). В генераторе с токовой цепью усилитель должен иметь
высокое выходное и низкое входное сопротивления (цепь включается, например, в качестве
коллекторной нагрузки усилителя). В генераторе с потенциально-токовой цепью и входное, и
выходное сопротивления усилителя должны быть низкими.
Активными преобразователями (АП), осуществляющими компенсацию потерь в пассив-
ной ЦС, могут быть транзисторные либо электронные и операционные усилители, а также спе-
циальные устройства [5], например гираторы, конверторы отрицательного сопротивления и др.
Возникновение колебаний характеризуется условием
K ′K ≤ 1,
(1)
где K — ФП цепной структуры, K ′ — ФП активного преобразователя;
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2012. Т. 55, № 3
Проектирование многозвенных RC-генераторов
15
Так как ФП активного преобразователя является вещественной, то для выполнения ус-
ловия (1) необходимо, чтобы ФП цепной структуры на частоте самовозбуждения была тоже
вещественной. При этом обе ФП могут иметь одновременно либо положительные, либо от-
рицательные значения, иными словами, в зависимости от вида активного преобразователя с
помощью ЦС осуществляется сдвиг фазы на четное или нечетное число πi радиан, где
i = 1, 2, 3... — натуральный ряд чисел.
а) АП U/U
ЦС U/U
Z1 Z3
Zn-1
U n
U0 Y2
Y4
Yn U n
б) In
АП I/U U 0
ЦС U/I
Z1 Y2
Zn-2 Zn In Yn-1
в) АП I/I
In
I0
ЦС I/I
Z2 Y1
Z4 Y3
Zn Yn-1
In
г) АП U/I
U n
I0
ЦС I/U
Z2 Y1
Y3
Zn-1 Yn
U n
Рис. 1
Рассмотрим порядок определения частот квазирезонанса для наиболее часто используе-
мых при построении генераторов на однокаскадных усилителях четырех видов
п-звенных ЦС, составленных из RC-элементов и осуществляющих поворот фазы на 180°.
Частота квазирезонанса определяется мнимой частью ФП фазирующего четырехполюсника
при обращении ее в нуль, т.е.
Im(K ) = 0,
(2)
и для ЦС U/U и I/I (рис. 2, а и б) характеризуется выражением [6]
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2012. Т. 55, № 3
16 А. И. Гулин
где коэффициент kn определяется как
ω0
=
kn RC
,
(3)
р
∑kn =
(−1)i kn2i+1C02,+54ni+1+2i = 0,
i=0,1...
(4)
здесь С02,+54ni+1+2i — число сочетаний из 2 + 4i элементов по 0,5n +1+ 2i элемента; p = 0,25n – 1 —
для четных значений 0,5n; p = 0,25(n + 2) – 1 — для нечетных значений 0,5n.
Для схем ЦС U/U и I/I (рис. 2, в и г) частота квазирезонанса определяется выражением
ω0
=
1 kn RC
.
(5)
С увеличением числа звеньев n от 6 до бесконечности ФП фазирующих ЦС U/U и I/I
изменяется от K6 = – 29 до Kп = – 11,6.
Значения коэффициентов kп не превышают 6 и для уравнений (4) определяются по
программе [6].
а) R
R
R
б) I0
С
С
U 0 C
C In R R
R U n
в) C
C
C
U 0 R
R
R
г) I0 In
R
R U n
Рис. 2
Частота квазирезонанса для фазирующей ЦС U/I (рис. 3, а) определяется выражением
ω0
=
bn RC
,
(6)
а для ЦС I/U (рис. 3, б) — выражением
ω0
=
1 bn RC
.
(7)
Здесь коэффициент bп зависит от числа n и вычисляется как
l
∑bn =
(−1)i bn2i+1C03,+54(ni +3)+2i = 0,
i=0,1...
(8)
где C03,+54(ni +3)+2i — число сочетаний из п–3+2i элементов по п–6+4i элемента; l = 0,25(п + 1) – 1 — для четных значений 0,5(n+1); l = 0,25(n – 1) – 1 — для нечетных значений 0,5(n+1).
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2012. Т. 55, № 3
Проектирование многозвенных RC-генераторов
17
ФП таких ЦС не превышает 56R, т.е. │Kn│≤ 56R. Так, для 9-звенной ЦС U/I (см. рис. 3, а) уравнение (8) для определения коэффициента b имеет вид: 20 b – 8b3 = 0, откуда b = 5 / 2 , а
частота квазирезонанса для такой ЦС ω0 = 5 ( 2 ⋅ RC ). ФП на частоте квазирезонанса имеет
значение K9 = −31, 25R.
а) R
R
R
б) I0
С
С
U 0 C
C In R R
R U n
в) C
C
C
U 0 R
R
R
г) I0 In
R
R U n
Рис. 3
Частоты квазирезонанса для ЦС U/I и I/U определяются выражениями, аналогичными
уравнениям (6) и (7):
— для ЦС I/U (рис. 3, г)
ω0
=
hn RC
,
(9)
— для ЦС U/I (рис. 3, в)
ω0
=
1 hn RC
.
(10)
Здесь коэффициент hn также зависит от числа звеньев ЦС и определяется как
m
∑hn =
(−1)i hn2i+1C01+,54(in+1)+2i = 0,
i=0,1...
(11)
где C01+,54(in+1)+2i — число сочетаний из 0,5(п+1)+2i элементов по 1+4i элемента; m = 0,25(n + 1) – 1 —
для четных значений 0,5(n+1); m = 0,25(n – 1) — для нечетных значений 0,5(n+1). Для осуществления сдвига фаз на 180° минимальное число емкостей C в таких ЦС
должно быть не менее трех, и, следовательно, минимальное число звеньев равно 5 (n ≥ 5).
Коэффициент hn ≤ 3 , а ФП ЦС не превышает 12/R (рис. 3, в) либо 1/12R (рис. 3, г). Так, для 7-звенной ЦС (см. рис. 3, г) уравнение (11) имеет вид: 4h – 6h3 = 0, откуда h = 4 / 3 , а частота
квазирезонанса ω0 = 2 ( 3 ⋅ RC ).
Из выражений (3), (5)—(7), (9) и (10) следует, что одну и ту же частоту квазирезонанса можно получить при бесчисленном множестве значений R и С при выполнении условия постоянства их произведения. Однако произвольный выбор значений элементов не всегда удовлетворяет требованиям, предъявляемым к пассивным ЦС при построении генераторов.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2012. Т. 55, № 3
18 А. И. Гулин
Для однозначного решения подобной задачи предлагается методика, основанная на рас-
чете RC-генератора с ЦС U/U , который, как известно [4], реализуется с использованием схем
двух видов.
Рассмотрим 6-звенную ЦС, состоящую из RC-звеньев. Полагаем, что она не нагружена.
Такой режим характерен для большинства случаев ее применения. Из уравнения (4) для рас-
сматриваемого случая получим выражение: k6 − 6k63 = 0, откуда kn = 6 . Подставив значение
коэффициента kn в формулу (5), получим выражение для частоты квазирезонанса:
ω0 =
1. 6 ⋅ RC
Коэффициент усиления усилителя должен превышать значение ФП преобразователя на
частоте квазирезонанса и с учетом ω0 для 6-звенной ЦС, согласно работе [3], равен │K6│= 29. Для устранения потери энергии сигнала выполним условие согласования
Rвых = Rвх , где Rвых — выходное сопротивление усилителя, Rвх — входное сопротивление ЦС.
Входное сопротивление однородной 6-звенной ЦС U/U определяется как [3]
(12)
Zвх
=
Z 3Y 3 + 5Z 2Y 2 + 6ZY Z 2Y 3 + 4ZY 2 + 3Y
+1
(13)
и в рассматриваемом случае его модуль на частоте квазирезонанса ω0 равен │Zвх│= 2,8R . Используя выражения (12) и (13), определим значение сопротивления R звена ЦС: R = Rвых/2,8,
( )а из выражения для частоты ω0 — значение емкости: C = 1 6 ⋅ Rω0 .
Аналогичный подход применяется и для других схем, используемых при построении
частотно-зависимых цепей.
Для расчета частот квазирезонанса и ФП многозвенных RC-схем любой сложности и
конфигурации разработана программа [6].
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Новицкий П. В., Кнорринг В. Г., Гутников В. С. Цифровые приборы с частотными датчиками. Л.: Энергия, 1970. 424 с.
2. Гутников В. С. Интегральная электроника в измерительных устройствах. Л.: Энергоатомиздат, 1988. 304 с.
3. Кольцов А. А., Гулин А. И. Коэффициенты преобразования цепных трехполюсных структур // Изв. вузов СССР. Приборостроение. 1975. Т. 17, № 9. С. 31—34.
4. Барсуков Ф. И., Русанов Ю. Б. Элементы и устройства радиотелеметрических систем. М.: Энергия, 1983.
5. Бондаренко В. Г. RC-генераторы синусоидальных колебаний. М.: Связь, 1988.
6. Свид. об официальной регистрации программы для ЭВМ, № 2003611147. Расчет частоты квазирезонанса и коэффициента передачи многозвенных RC-структур / А. И. Гулин, Ж. А. Сухинец, Д. Ф. Мударисов, И. Р. Хаников. М.: Роспатент, 2003.
Артур Игоревич Гулин
Сведения об авторе — канд. техн. наук, доцент; Уфимский государственный авиационный технический
университет, кафедра телекоммуникационных систем; E-mail: Gulin_tks@ugatu.ac.ru
Рекомендована кафедрой телекоммуникационных систем
Поступила в редакцию 26.03.10 г.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2012. Т. 55, № 3