О ВЛИЯНИИ НЕЛИНЕЙНЫХ ФАКТОРОВ НА ДИНАМИКУ МИКРОМЕХАНИЧЕСКОГО ГИРОСКОПА С ДВУХМАССОВЫМ ЧУВСТВИТЕЛЬНЫМ ЭЛЕМЕНТОМ
40 А. М. Лестев, А. В. Ефимовская
УДК 531.383
А. М. ЛЕСТЕВ, А. В. ЕФИМОВСКАЯ
О ВЛИЯНИИ НЕЛИНЕЙНЫХ ФАКТОРОВ НА ДИНАМИКУ МИКРОМЕХАНИЧЕСКОГО ГИРОСКОПА С ДВУХМАССОВЫМ ЧУВСТВИТЕЛЬНЫМ ЭЛЕМЕНТОМ
Анализируется влияние нелинейных факторов на динамику двухмассового и одномассового микромеханических гироскопов типа L-L. Обосновывается более высокая стабильность технических характеристик двухмассовой конструкции по сравнению с одномассовой.
Ключевые слова: микромеханический гироскоп, нелинейные факторы, стабильность технических характеристик, резонансные кривые.
Повышение точности и надежности технических характеристик микромеханических гироскопов (ММГ) — актуальная научно-техническая проблема современной микросистемной техники [1]. Решение этой проблемы осуществляется конструкторско-технологическими и схемотехническими методами [2]. Одно из направлений повышения точности и стабильности технических характеристик ММГ — разработка многомассовых конструкций приборов этого типа (некоторые конструктивные схемы многомассовых ММГ представлены в работе [3]). В настоящей статье приводятся результаты исследований влияния нелинейных факторов — нелинейной зависимости сил упругости подвеса инерционных масс и электростатических сил контура подстройки частот колебательной системы ММГ — на динамику чувствительного элемента ММГ типа L-L [4] и обосновывается более высокая стабильность технических характеристик ММГ с двумя инерционными массами по сравнению с одномассовой конструкцией прибора. В линейной постановке аналогичная задача рассматривалась в работе [5].
Описание конструкции ММГ приведено в патенте [4]. Конструкция прибора содержит две инерционные массы, подвешенные на упругих элементах в рамке, которая, в свою очередь, упругими элементами связана с корпусом прибора. Конструкция упругого подвеса обеспечивает перемещение рамки вместе с инерционными массами вдоль оси X (первичные колебания), а инерционных масс относительно рамки — вдоль оси Y (вторичные колебания). Ось чувствительности ММГ ортогональна плоскости рамки. В конструкции прибора предусмотрена система вибровозбуждения и стабилизации параметров первичных колебаний чувствительного элемента ММГ и контур подстройки частот, позволяющий электростатическим способом осуществлять изменение спектра частот колебательной системы ММГ.
Кинематическая схема и конечно-элементная модель колебательной системы ММГ в программном комплексе ANSYS приведены на рис. 1, а, б, соответственно. На основе конечно-элементной модели производится выбор параметров конструкции ММГ [6]. Первые три собственные частоты колебательной системы ММГ равны 5 659, 6 920 и 6 936 Гц.
Приведем дифференциальные уравнения движения инерционных масс ММГ при вращении основания прибора вокруг оси чувствительности с угловой скоростью Ω . С рамкой ММГ свяжем систему координат 0XYZ, направив ось X в направлении перемещения рамки, ось Y — в направлении перемещений инерционных масс, ось Z — вдоль оси чувствительности прибора. Примем, что рамка ММГ вместе с инерционными массами приводится электростатическим виброприводом в колебания вдоль оси по закону x = −ax sin ωt и реализуется режим стабилизации параметров колебаний рамки. Обозначим через y1 и y2 перемещения инерционных масс вдоль оси Y относительно рамки, отсчитываемые от положений статического равновесия. Силы упругости подвеса инерционных масс определим выражениями
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2012. Т. 55, № 5
О влиянии нелинейных факторов на динамику микромеханического гироскопа
41
Cyj ( y j ) = Cyj y j + χ yj y3j , j = 1, 2, где Cyj и χ yj — коэффициенты линейной и нелинейной со-
ставляющих сил упругости. Учитывая введенные обозначения, дифференциальные уравнения движения инерционных масс запишем в виде
m1y1 + µ y1y1 + (Cy1 + m2 y2 + µ y2 y2 + (Cy2
Cy2 − m1Ω2 ) y1 − Cy − m2Ω2 ) y2 − Cy2 y1
2 y2 = 2m1Ωaxωcos ωt = 2m2Ωaxωcos ωt − χ
−
y2
(χ y1 y23 +
+ χ
χ y2 ) y13 y2 y13 −
+
χ
y2
y23 ; ⎫⎪⎪ ⎬ ⎪
− E(∆ − y2 ) + E(∆ + y2 ),
⎪⎭
(1)
где m1 , m2 — массы инерционных элементов, µ y1, µ y2 — коэффициенты демпфирования, а электростатические силы контура подстройки частот ММГ определяются выражениями [3]
E(∆
±
y2 )
=
−
ε0εSU 2 2(∆ ± y2 )2
,
где ε0 — диэлектрическая постоянная вакуума, ε — относительная диэлектрическая посто-
янная среды между электродами датчика силы, S — площадь взаимного перекрытия электродов датчика силы, U — напряжение, подаваемое на электроды датчика силы, ∆ — номинальный зазор между электродами датчика силы.
а) б)
µ x Cx
µ y2 m2 µy1 m1 Cy1
Cy2
Рамка
X Ωz Z Y
Рис. 1
Учитывая, что параметры ММГ удовлетворяют условию y2 ∆ < 1, разложим функции
E (∆ ± y2 ) в степенные ряды и ограничимся членами не выше третьего порядка по отноше-
нию к y2 ∆ :
E(∆ +
y2 ) − E(∆ −
y2 ) =
4l0 ∆3
y2
+
8l0 ∆5
y23,
l0
=
εε0SU 2
2
.
(2)
Решение системы уравнений (1) с учетом выражения (2) найдем в виде
y j = Aj sin ωt + ϕ j , j = 1, 2 , используя метод гармонической линеаризации [7] и полагая
y3j
= qjyj,
qj
=
3 4
A2j .
Введем
оператор
дифференцирования
по
времени
p
≡
d dt
и представим
систему дифференциальных уравнений движения инерционных масс ММГ в виде векторного
уравнения
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2012. Т. 55, № 5
42 А. М. Лестев, А. В. Ефимовская
f
( p)Y
=
2ax
ωΩ
⋅
Re
⎧ ⎨
⎩
1 1
eiωt
⎫ ⎬
,
⎭
(3)
где
Y=
y1 y2
,
f ( p) =
p2 + 2h1 p + n12 −s2
−s1 ; p2 + 2h2 p + n22
n12
=
1 m1
⎛ ⎜⎝
C
y1
+ Cy2
+
3 4
χ
y1
A12
⎞ ⎟⎠
,
n22
=
1 m2
⎡⎣⎢C y 2
−
4l0 ∆3
+
3 4
⎛ ⎝⎜
χ
y
2
−
8l0 ∆5
⎞ ⎠⎟
A22
⎤ ⎥⎦
;
s1
=
1 m1
⎛⎝⎜ Cy2
+
3 4
χ y2 A22
⎟⎞⎠ ,
s2
=
1 m2
⎝⎜⎛ Cy2
+
3 4
χ
y2
A12
⎠⎟⎞ ,
2hj
=
µj mj
,
j
= 1,
2.
При записи уравнения (3) учтено, что для реальных конструкций ММГ и условий экс-
плуатации Ω ω 1.
Из уравнения (3) следует
Y
=
2ax
ωΩ
⋅
Re
⎧ ⎨ ⎩
F( D(
p) p)
1 1
eiωt
⎫ ⎬
,
⎭
где F(p) — присоединенная матрица для матрицы f(p):
(4)
F ( p) = p2 + 2h2 p + n22 s1
s2 ; p2 + 2h1 p + n12
4
∑D( p) ≡ det f ( p) = d j p4− j , d0 = 1, d1 = 2(h1 + h2 ), d2 = n12 + n22 + 4h1h2 , j=0
d3 = 2(h1n22 + h2n12 ), d4 = n12n22 − s1s2. Выполнив вычисления в соответствии с выражением (4), получим уравнения, опреде-
ляющие резонансные кривые колебаний инерционных масс ММГ:
{A1 ⎣⎡(ω4 − d2ω2 + d4 )2 + ω2 (d3 − d1ω2 )2 ⎤⎦ = 2axωΩ ⎡⎣(n22 + s2 − ω2 )(ω4 − d2ω2 + d4 ) +⎫⎪
1⎪
+2h2ω2
(d3
−
d1ω2
)⎤⎦2
+
⎡⎣2h2ω(ω4
−
d2ω2
+
d4
)
−
ω(d3
−
d1ω2
)(n22
+
s2
−
ω2 )⎤⎦2
⎫2 ⎬ ⎭
,
⎪ ⎪ ⎪
{A2 ⎡⎣(ω4 − d2ω2 + d4 )2 + ω2 (d3 − d1ω2 )2 ⎤⎦ = 2axωΩ
⎡⎣(n22
+
s1
−
ω2 )(ω4
−
d2ω2
+
d4
)
⎬ +⎪
⎪
1⎪
+2h1ω2
(d3
−
d1ω2
)⎤⎦2
+
⎡⎣2h1ω(ω4
−
d2ω2
+
d4
)
−
ω(d3
−
d1ω2
)(n22
+
s1
−
ω2
)⎦⎤2
⎫2 ⎬ ⎭
.
⎪ ⎪⎭
(5)
Если во втором из уравнений системы (1) положить y1 = 0, получим уравнение движения чувствительного элемента одномассового ММГ типа L-L по оси измерения параметров
колебаний, а из выражений (5) — уравнение резонансной кривой колебаний инерционной
массы:
1
A2
⎧⎪⎨⎡⎢nˆ22 ⎩⎪⎣
− ω2
−
3 4m2
⎛ ⎝⎜
χ
y2
−
8l0 ∆5
⎞ ⎠⎟
A22
⎤2 ⎥ ⎦
+
4h22
ω2
⎫⎪ ⎬
2
⎭⎪
=
2ax ωΩ,
(6)
где
nˆ22
=
1 m2
⎛ ⎝⎜
C
y2
−
4l0 ∆3
⎞ ⎠⎟
.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2012. Т. 55, № 5
О влиянии нелинейных факторов на динамику микромеханического гироскопа
43
Определяемые уравнением (6) периодические движения с частотой ω инерционной массы ММГ устойчивы [8] при
Q
≡
⎡⎢nˆ22 ⎣
− ω2
−
3 4m2
⎛ ⎝⎜
χ
y
2
−
8l0 ∆5
⎞ ⎠⎟
A22
⎤ ⎥
⎡⎢nˆ22
⎦⎣
− ω2
−
9 4
⎛ ⎝⎜
χ
y
2
−
8l0 ∆5
⎞ ⎠⎟
A22
⎤ ⎥
⎦
+
4h22ω2
>
0
и неустойчивы при Q < 0.
На рис. 2 приведены резонансные кривые (А2(ω)) колебаний инерционной массы одномассового гироскопа (m2=1,02e–6 кг), полученные численным решением уравнения (6) в пакете программ MatLab. На рисунке область неустойчивости ( Q < 0 ) выделена штриховкой.
Части резонансной кривой, расположенные в области Q > 0 , соответствуют устойчивым пе-
риодическим движениям с частотой ω инерционной массы ММГ, а части резонансной кривой, расположенные в области Q < 0, — неустойчивым движениям. При изменении частоты
вибровозбуждения от значения ω > ω1 (рис. 2, а) или значения ω < ω1 (рис. 2, б) инерционная масса ММГ совершает колебания с амплитудами, соответствующими верхним частям резо-
нансных кривых. При значении ω = ω1 происходит скачкообразное изменение амплитуды и инерционная масса при дальнейшем уменьшении (рис. 2, а) или увеличении (рис. 2, б) часто-
ты ω совершает движения с амплитудами, соответствующими нижним частям резонансных кривых. Таким образом, нелинейная зависимость сил упругости подвеса и электростатиче-
ских сил контура подстройки частот в одномассовой конструкции ММГ приводит к появле-
нию неустойчивых ветвей резонансных кривых, срывам колебаний и скачкам амплитуд коле-
баний чувствительных элементов прибора.
а)
А2, м⋅10–6 1,4
χy2
−
8l0 ∆5
0
1,2 1,2
1 Q0 0,8
1 Q>0 Q0
и
в
направлении
уменьше-
ния
частот
ω
при
χy2
−
8l0 ∆5
< 0.
А2, м⋅10–4
1
0,8
0,6
χy2
− 8l0 ∆5
=7,9⋅1011 Н/м
0,4
χy2
− 8l0 ∆5
=19,75⋅1011 Н/м
0,2
0 4400
А2, м⋅10–4 1
4600
4800
5000 8000
8200
8400 ω, Гц
0,8
χy2
− 8l0 ∆5
=–19,75⋅1011 Н/м
0,6
χy2
−
8l0 ∆5
=–7,9⋅1011 Н/м
0,4
0,2
0 4400 4600 4800 5000 8000 8200 8400 8600 ω, Гц Рис. 3
При проектировании ММГ и выборе параметров конструкции прибора частота ω∗ вибрационного возбуждения первичных колебаний чувствительного элемента выбирается между значениями парциальных частот n1 и n2 ( n1 < ω∗ < n2 ) колебательной системы прибора. Вид резонансных кривых A2 (ω) в окрестности частоты ω∗ при указанных ранее параметрах ММГ
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2012. Т. 55, № 5
О влиянии нелинейных факторов на динамику микромеханического гироскопа
45
приведен на рис. 4. Изменение частоты вибрационного воздействия в окрестности значения
ω∗ не приводит к скачкам амплитуд колебаний A2 инерционной массы. Изменения напряженно-деформированного состояния конструкции чувствительного элемента ММГ и коэф-
фициентов демпфирования, вызванные температурными или механическими воздействиями,
а также технологические погрешности изготовления элементов конструкции прибора приво-
дят к незначительному изменению вида резонансной кривой в окрестности частоты ω∗
(см. рис. 4).
А2, м⋅10–7
А2, м⋅10–7
68
5,6
12 5,2
7 6 23
4,8 3 4,4
5 1
4
4
6600
6800 ω* 7000
7200 ω, Гц
3 6400 6600
6800 ω* 7000 7200
7400 ω, Гц
1—
χy2
− 8l0 ∆5
=0
2—
χy2
− 8l0 ∆5
=7,9⋅1011 Н/м
3—
χy2
−
8l0 ∆5
=19,75⋅1011 Н/м
1—
χy2
−
8l0 ∆5
=0
2—
χy2
−
8l0 ∆5
=–7,9⋅1011 Н/м
3—
χy2
−
8l0 ∆5
=–19,75⋅1011 Н/м
Рис. 4
Таким образом, рассматриваемая конструкция ММГ, содержащая две инерционные массы, обладает большей стабильностью технических характеристик по сравнению с одномассовой конструкцией ММГ L-L типа.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Пешехонов В. Г. Проблемы и перспективы современной гироскопии // Изв. вузов. Приборостроение. 2000. Т. 43, № 1—2. С. 48—55.
2. Микромеханические гироскопы: конструкции, характеристики, пути развития / Л. А. Северов, В. К. Пономарев, А. И. Панферов, С. Г. Кучерков и др. // Изв. вузов. Приборостроение. 1998. Т. 41, № 1—2. С. 57—73.
3. Распопов В. Я. Микромеханические приборы. М.: Машиностроение, 2007. 400 с.
4. Пат. 84541 РФ, G 01 C 19/56. Микромеханический гироскоп / А. М. Лестев, И. В. Попова, А. В. Ефимовская, М. В. Федоров // Бюл. № 19. Опубл. 10.07.2009.
5. Acar C., Shkel A. M. Inherently robust micromachined gyroscope with 2-DOF sense-mode oscillator // J. of Micromechanical Systems. 2006. Vol. 15, N 2. P. 380—387.
6. Ефимовская А. В., Федоров М. В. О результатах разработки и исследования микромеханического гироскопа // Сб. докл. XI конф. молодых ученых „Навигация и управление движением“. СПб, 2009. C. 372—378.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2012. Т. 55, № 5
46 А. М. Лестев, А. В. Ефимовская
7. Попов Е. П. Прикладная теория управления в нелинейных системах. М.: Наука, 1973. 587 с.
8. Карелин А. П., Лестев М. А. Влияние электростатической составляющей жесткости на динамику и погрешности микромеханического гироскопа // Сб. материалов Третьего Междунар. симп. „Аэрокосмические приборные технологии“. СПб, 2004. С. 285—287.
Сведения об авторах
Александр Михайлович Лестев
— д-р физ.-мат. наук, профессор; Санкт-Петербургский государст-
венный университет аэрокосмического приборостроения, кафедра
механики; E-mail: list_@inbox.ru
Александра Васильевна Ефимовская — аспирант; Санкт-Петербургский государственный университет аэ-
рокосмического приборостроения, кафедра механики;
E-mail: lcaleksandra@gmail.com
Рекомендована кафедрой механики
Поступила в редакцию 25.04.11 г.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2012. Т. 55, № 5
УДК 531.383
А. М. ЛЕСТЕВ, А. В. ЕФИМОВСКАЯ
О ВЛИЯНИИ НЕЛИНЕЙНЫХ ФАКТОРОВ НА ДИНАМИКУ МИКРОМЕХАНИЧЕСКОГО ГИРОСКОПА С ДВУХМАССОВЫМ ЧУВСТВИТЕЛЬНЫМ ЭЛЕМЕНТОМ
Анализируется влияние нелинейных факторов на динамику двухмассового и одномассового микромеханических гироскопов типа L-L. Обосновывается более высокая стабильность технических характеристик двухмассовой конструкции по сравнению с одномассовой.
Ключевые слова: микромеханический гироскоп, нелинейные факторы, стабильность технических характеристик, резонансные кривые.
Повышение точности и надежности технических характеристик микромеханических гироскопов (ММГ) — актуальная научно-техническая проблема современной микросистемной техники [1]. Решение этой проблемы осуществляется конструкторско-технологическими и схемотехническими методами [2]. Одно из направлений повышения точности и стабильности технических характеристик ММГ — разработка многомассовых конструкций приборов этого типа (некоторые конструктивные схемы многомассовых ММГ представлены в работе [3]). В настоящей статье приводятся результаты исследований влияния нелинейных факторов — нелинейной зависимости сил упругости подвеса инерционных масс и электростатических сил контура подстройки частот колебательной системы ММГ — на динамику чувствительного элемента ММГ типа L-L [4] и обосновывается более высокая стабильность технических характеристик ММГ с двумя инерционными массами по сравнению с одномассовой конструкцией прибора. В линейной постановке аналогичная задача рассматривалась в работе [5].
Описание конструкции ММГ приведено в патенте [4]. Конструкция прибора содержит две инерционные массы, подвешенные на упругих элементах в рамке, которая, в свою очередь, упругими элементами связана с корпусом прибора. Конструкция упругого подвеса обеспечивает перемещение рамки вместе с инерционными массами вдоль оси X (первичные колебания), а инерционных масс относительно рамки — вдоль оси Y (вторичные колебания). Ось чувствительности ММГ ортогональна плоскости рамки. В конструкции прибора предусмотрена система вибровозбуждения и стабилизации параметров первичных колебаний чувствительного элемента ММГ и контур подстройки частот, позволяющий электростатическим способом осуществлять изменение спектра частот колебательной системы ММГ.
Кинематическая схема и конечно-элементная модель колебательной системы ММГ в программном комплексе ANSYS приведены на рис. 1, а, б, соответственно. На основе конечно-элементной модели производится выбор параметров конструкции ММГ [6]. Первые три собственные частоты колебательной системы ММГ равны 5 659, 6 920 и 6 936 Гц.
Приведем дифференциальные уравнения движения инерционных масс ММГ при вращении основания прибора вокруг оси чувствительности с угловой скоростью Ω . С рамкой ММГ свяжем систему координат 0XYZ, направив ось X в направлении перемещения рамки, ось Y — в направлении перемещений инерционных масс, ось Z — вдоль оси чувствительности прибора. Примем, что рамка ММГ вместе с инерционными массами приводится электростатическим виброприводом в колебания вдоль оси по закону x = −ax sin ωt и реализуется режим стабилизации параметров колебаний рамки. Обозначим через y1 и y2 перемещения инерционных масс вдоль оси Y относительно рамки, отсчитываемые от положений статического равновесия. Силы упругости подвеса инерционных масс определим выражениями
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2012. Т. 55, № 5
О влиянии нелинейных факторов на динамику микромеханического гироскопа
41
Cyj ( y j ) = Cyj y j + χ yj y3j , j = 1, 2, где Cyj и χ yj — коэффициенты линейной и нелинейной со-
ставляющих сил упругости. Учитывая введенные обозначения, дифференциальные уравнения движения инерционных масс запишем в виде
m1y1 + µ y1y1 + (Cy1 + m2 y2 + µ y2 y2 + (Cy2
Cy2 − m1Ω2 ) y1 − Cy − m2Ω2 ) y2 − Cy2 y1
2 y2 = 2m1Ωaxωcos ωt = 2m2Ωaxωcos ωt − χ
−
y2
(χ y1 y23 +
+ χ
χ y2 ) y13 y2 y13 −
+
χ
y2
y23 ; ⎫⎪⎪ ⎬ ⎪
− E(∆ − y2 ) + E(∆ + y2 ),
⎪⎭
(1)
где m1 , m2 — массы инерционных элементов, µ y1, µ y2 — коэффициенты демпфирования, а электростатические силы контура подстройки частот ММГ определяются выражениями [3]
E(∆
±
y2 )
=
−
ε0εSU 2 2(∆ ± y2 )2
,
где ε0 — диэлектрическая постоянная вакуума, ε — относительная диэлектрическая посто-
янная среды между электродами датчика силы, S — площадь взаимного перекрытия электродов датчика силы, U — напряжение, подаваемое на электроды датчика силы, ∆ — номинальный зазор между электродами датчика силы.
а) б)
µ x Cx
µ y2 m2 µy1 m1 Cy1
Cy2
Рамка
X Ωz Z Y
Рис. 1
Учитывая, что параметры ММГ удовлетворяют условию y2 ∆ < 1, разложим функции
E (∆ ± y2 ) в степенные ряды и ограничимся членами не выше третьего порядка по отноше-
нию к y2 ∆ :
E(∆ +
y2 ) − E(∆ −
y2 ) =
4l0 ∆3
y2
+
8l0 ∆5
y23,
l0
=
εε0SU 2
2
.
(2)
Решение системы уравнений (1) с учетом выражения (2) найдем в виде
y j = Aj sin ωt + ϕ j , j = 1, 2 , используя метод гармонической линеаризации [7] и полагая
y3j
= qjyj,
qj
=
3 4
A2j .
Введем
оператор
дифференцирования
по
времени
p
≡
d dt
и представим
систему дифференциальных уравнений движения инерционных масс ММГ в виде векторного
уравнения
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2012. Т. 55, № 5
42 А. М. Лестев, А. В. Ефимовская
f
( p)Y
=
2ax
ωΩ
⋅
Re
⎧ ⎨
⎩
1 1
eiωt
⎫ ⎬
,
⎭
(3)
где
Y=
y1 y2
,
f ( p) =
p2 + 2h1 p + n12 −s2
−s1 ; p2 + 2h2 p + n22
n12
=
1 m1
⎛ ⎜⎝
C
y1
+ Cy2
+
3 4
χ
y1
A12
⎞ ⎟⎠
,
n22
=
1 m2
⎡⎣⎢C y 2
−
4l0 ∆3
+
3 4
⎛ ⎝⎜
χ
y
2
−
8l0 ∆5
⎞ ⎠⎟
A22
⎤ ⎥⎦
;
s1
=
1 m1
⎛⎝⎜ Cy2
+
3 4
χ y2 A22
⎟⎞⎠ ,
s2
=
1 m2
⎝⎜⎛ Cy2
+
3 4
χ
y2
A12
⎠⎟⎞ ,
2hj
=
µj mj
,
j
= 1,
2.
При записи уравнения (3) учтено, что для реальных конструкций ММГ и условий экс-
плуатации Ω ω 1.
Из уравнения (3) следует
Y
=
2ax
ωΩ
⋅
Re
⎧ ⎨ ⎩
F( D(
p) p)
1 1
eiωt
⎫ ⎬
,
⎭
где F(p) — присоединенная матрица для матрицы f(p):
(4)
F ( p) = p2 + 2h2 p + n22 s1
s2 ; p2 + 2h1 p + n12
4
∑D( p) ≡ det f ( p) = d j p4− j , d0 = 1, d1 = 2(h1 + h2 ), d2 = n12 + n22 + 4h1h2 , j=0
d3 = 2(h1n22 + h2n12 ), d4 = n12n22 − s1s2. Выполнив вычисления в соответствии с выражением (4), получим уравнения, опреде-
ляющие резонансные кривые колебаний инерционных масс ММГ:
{A1 ⎣⎡(ω4 − d2ω2 + d4 )2 + ω2 (d3 − d1ω2 )2 ⎤⎦ = 2axωΩ ⎡⎣(n22 + s2 − ω2 )(ω4 − d2ω2 + d4 ) +⎫⎪
1⎪
+2h2ω2
(d3
−
d1ω2
)⎤⎦2
+
⎡⎣2h2ω(ω4
−
d2ω2
+
d4
)
−
ω(d3
−
d1ω2
)(n22
+
s2
−
ω2 )⎤⎦2
⎫2 ⎬ ⎭
,
⎪ ⎪ ⎪
{A2 ⎡⎣(ω4 − d2ω2 + d4 )2 + ω2 (d3 − d1ω2 )2 ⎤⎦ = 2axωΩ
⎡⎣(n22
+
s1
−
ω2 )(ω4
−
d2ω2
+
d4
)
⎬ +⎪
⎪
1⎪
+2h1ω2
(d3
−
d1ω2
)⎤⎦2
+
⎡⎣2h1ω(ω4
−
d2ω2
+
d4
)
−
ω(d3
−
d1ω2
)(n22
+
s1
−
ω2
)⎦⎤2
⎫2 ⎬ ⎭
.
⎪ ⎪⎭
(5)
Если во втором из уравнений системы (1) положить y1 = 0, получим уравнение движения чувствительного элемента одномассового ММГ типа L-L по оси измерения параметров
колебаний, а из выражений (5) — уравнение резонансной кривой колебаний инерционной
массы:
1
A2
⎧⎪⎨⎡⎢nˆ22 ⎩⎪⎣
− ω2
−
3 4m2
⎛ ⎝⎜
χ
y2
−
8l0 ∆5
⎞ ⎠⎟
A22
⎤2 ⎥ ⎦
+
4h22
ω2
⎫⎪ ⎬
2
⎭⎪
=
2ax ωΩ,
(6)
где
nˆ22
=
1 m2
⎛ ⎝⎜
C
y2
−
4l0 ∆3
⎞ ⎠⎟
.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2012. Т. 55, № 5
О влиянии нелинейных факторов на динамику микромеханического гироскопа
43
Определяемые уравнением (6) периодические движения с частотой ω инерционной массы ММГ устойчивы [8] при
Q
≡
⎡⎢nˆ22 ⎣
− ω2
−
3 4m2
⎛ ⎝⎜
χ
y
2
−
8l0 ∆5
⎞ ⎠⎟
A22
⎤ ⎥
⎡⎢nˆ22
⎦⎣
− ω2
−
9 4
⎛ ⎝⎜
χ
y
2
−
8l0 ∆5
⎞ ⎠⎟
A22
⎤ ⎥
⎦
+
4h22ω2
>
0
и неустойчивы при Q < 0.
На рис. 2 приведены резонансные кривые (А2(ω)) колебаний инерционной массы одномассового гироскопа (m2=1,02e–6 кг), полученные численным решением уравнения (6) в пакете программ MatLab. На рисунке область неустойчивости ( Q < 0 ) выделена штриховкой.
Части резонансной кривой, расположенные в области Q > 0 , соответствуют устойчивым пе-
риодическим движениям с частотой ω инерционной массы ММГ, а части резонансной кривой, расположенные в области Q < 0, — неустойчивым движениям. При изменении частоты
вибровозбуждения от значения ω > ω1 (рис. 2, а) или значения ω < ω1 (рис. 2, б) инерционная масса ММГ совершает колебания с амплитудами, соответствующими верхним частям резо-
нансных кривых. При значении ω = ω1 происходит скачкообразное изменение амплитуды и инерционная масса при дальнейшем уменьшении (рис. 2, а) или увеличении (рис. 2, б) часто-
ты ω совершает движения с амплитудами, соответствующими нижним частям резонансных кривых. Таким образом, нелинейная зависимость сил упругости подвеса и электростатиче-
ских сил контура подстройки частот в одномассовой конструкции ММГ приводит к появле-
нию неустойчивых ветвей резонансных кривых, срывам колебаний и скачкам амплитуд коле-
баний чувствительных элементов прибора.
а)
А2, м⋅10–6 1,4
χy2
−
8l0 ∆5
0
1,2 1,2
1 Q0 0,8
1 Q>0 Q0
и
в
направлении
уменьше-
ния
частот
ω
при
χy2
−
8l0 ∆5
< 0.
А2, м⋅10–4
1
0,8
0,6
χy2
− 8l0 ∆5
=7,9⋅1011 Н/м
0,4
χy2
− 8l0 ∆5
=19,75⋅1011 Н/м
0,2
0 4400
А2, м⋅10–4 1
4600
4800
5000 8000
8200
8400 ω, Гц
0,8
χy2
− 8l0 ∆5
=–19,75⋅1011 Н/м
0,6
χy2
−
8l0 ∆5
=–7,9⋅1011 Н/м
0,4
0,2
0 4400 4600 4800 5000 8000 8200 8400 8600 ω, Гц Рис. 3
При проектировании ММГ и выборе параметров конструкции прибора частота ω∗ вибрационного возбуждения первичных колебаний чувствительного элемента выбирается между значениями парциальных частот n1 и n2 ( n1 < ω∗ < n2 ) колебательной системы прибора. Вид резонансных кривых A2 (ω) в окрестности частоты ω∗ при указанных ранее параметрах ММГ
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2012. Т. 55, № 5
О влиянии нелинейных факторов на динамику микромеханического гироскопа
45
приведен на рис. 4. Изменение частоты вибрационного воздействия в окрестности значения
ω∗ не приводит к скачкам амплитуд колебаний A2 инерционной массы. Изменения напряженно-деформированного состояния конструкции чувствительного элемента ММГ и коэф-
фициентов демпфирования, вызванные температурными или механическими воздействиями,
а также технологические погрешности изготовления элементов конструкции прибора приво-
дят к незначительному изменению вида резонансной кривой в окрестности частоты ω∗
(см. рис. 4).
А2, м⋅10–7
А2, м⋅10–7
68
5,6
12 5,2
7 6 23
4,8 3 4,4
5 1
4
4
6600
6800 ω* 7000
7200 ω, Гц
3 6400 6600
6800 ω* 7000 7200
7400 ω, Гц
1—
χy2
− 8l0 ∆5
=0
2—
χy2
− 8l0 ∆5
=7,9⋅1011 Н/м
3—
χy2
−
8l0 ∆5
=19,75⋅1011 Н/м
1—
χy2
−
8l0 ∆5
=0
2—
χy2
−
8l0 ∆5
=–7,9⋅1011 Н/м
3—
χy2
−
8l0 ∆5
=–19,75⋅1011 Н/м
Рис. 4
Таким образом, рассматриваемая конструкция ММГ, содержащая две инерционные массы, обладает большей стабильностью технических характеристик по сравнению с одномассовой конструкцией ММГ L-L типа.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Пешехонов В. Г. Проблемы и перспективы современной гироскопии // Изв. вузов. Приборостроение. 2000. Т. 43, № 1—2. С. 48—55.
2. Микромеханические гироскопы: конструкции, характеристики, пути развития / Л. А. Северов, В. К. Пономарев, А. И. Панферов, С. Г. Кучерков и др. // Изв. вузов. Приборостроение. 1998. Т. 41, № 1—2. С. 57—73.
3. Распопов В. Я. Микромеханические приборы. М.: Машиностроение, 2007. 400 с.
4. Пат. 84541 РФ, G 01 C 19/56. Микромеханический гироскоп / А. М. Лестев, И. В. Попова, А. В. Ефимовская, М. В. Федоров // Бюл. № 19. Опубл. 10.07.2009.
5. Acar C., Shkel A. M. Inherently robust micromachined gyroscope with 2-DOF sense-mode oscillator // J. of Micromechanical Systems. 2006. Vol. 15, N 2. P. 380—387.
6. Ефимовская А. В., Федоров М. В. О результатах разработки и исследования микромеханического гироскопа // Сб. докл. XI конф. молодых ученых „Навигация и управление движением“. СПб, 2009. C. 372—378.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2012. Т. 55, № 5
46 А. М. Лестев, А. В. Ефимовская
7. Попов Е. П. Прикладная теория управления в нелинейных системах. М.: Наука, 1973. 587 с.
8. Карелин А. П., Лестев М. А. Влияние электростатической составляющей жесткости на динамику и погрешности микромеханического гироскопа // Сб. материалов Третьего Междунар. симп. „Аэрокосмические приборные технологии“. СПб, 2004. С. 285—287.
Сведения об авторах
Александр Михайлович Лестев
— д-р физ.-мат. наук, профессор; Санкт-Петербургский государст-
венный университет аэрокосмического приборостроения, кафедра
механики; E-mail: list_@inbox.ru
Александра Васильевна Ефимовская — аспирант; Санкт-Петербургский государственный университет аэ-
рокосмического приборостроения, кафедра механики;
E-mail: lcaleksandra@gmail.com
Рекомендована кафедрой механики
Поступила в редакцию 25.04.11 г.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2012. Т. 55, № 5