АЛГОРИТМ КОМПЕНСАЦИИ НЕИЗВЕСТНОГО СИНУСОИДАЛЬНОГО ВОЗМУЩЕНИЯ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ В УПРАВЛЕНИИ
КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ
УДК 681.5.015
А. А. БОБЦОВ, А. А. ПЫРКИН
АЛГОРИТМ КОМПЕНСАЦИИ НЕИЗВЕСТНОГО СИНУСОИДАЛЬНОГО ВОЗМУЩЕНИЯ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ В УПРАВЛЕНИИ
Рассматривается задача компенсации неизвестного синусоидального возмущения в условиях запаздывания в управлении для нелинейной системы.
Ключевые слова: управление в условиях запаздывания, нелинейные системы, компенсация возмущающих воздействий.
Проблема управления в условиях запаздывания является актуальной и сложной для современной теории управления. Использование цифровых регуляторов, управление удаленными объектами, например, через Интернет, а также другие факторы вызывают нежелательные запаздывания. Несмотря на то что проблема эта хорошо известна и ей посвящено большое
количество публикаций, следует отметить, что универсальных методов управления до сих не получено, и для решения практических задач приходится использовать тот или иной теоретический подход, связанный с конкретной математической постановкой. В рамках настоящей работы авторы планируют не проводить детальный анализ методов управления в условиях запаздывания, а представить новый алгоритм компенсации возмущений, базируясь на резуль-
татах монографии [1] и статьи [2]. В [1] была рассмотрена классическая задача стабилизации линейного стационарного
объекта управления с постоянным запаздыванием x(t) = Ax(t) + Bu(t − τ) , y(t) = Cx(t) ,
(1)
где x(t) ∈ Rn — измеряемый вектор переменных состояния, u(t) — скалярная входная пере-
менная, y(t) — скалярная выходная переменная, τ ≥ 0 — постоянное запаздывание; A , B ,
C — матрицы соответствующей размерности, содержащие известные параметры объекта управления.
Необходимо найти такой закон управления u(t) , чтобы положение равновесия x = 0
было асимптотически устойчивым. Хорошо известно, что для системы вида (1) при τ = 0
можно синтезировать закон управления вида:
u = Kx(t) ,
(2)
где вектор-строка K выбирается из условия гурвицевости матрицы состояния замкнутой сис-
темы A + BK . Для случая τ > 0 закон управления (2) можно переписать в виде: u(t) = Kx(t + τ) ,
(3)
где x(t + τ) — значение вектора x(t) через интервал времени τ . Очевидно, что закон управ-
ления (3) нереализуем, поскольку содержит неизвестную величину x(t + τ) . Однако вектор
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2012. Т. 55, № 12
Алгоритм компенсации неизвестного синусоидального возмущения
61
x(t + τ) можно рассчитать на основе имеющейся информации об объекте. Базируясь на поло-
жениях работы [1], значение x(t + τ) будем искать в виде
t
∫x(t + τ) = eAτ x(t) + eA(t−s) Bu(s)ds .
(4)
t−τ
Из выражения (4) легко получить реализуемый закон управления вида (3).
Однако в современной практике решения задач управления в условиях запаздывания
рассмотрение систем вида (1) не представляет интереса. Сегодня сложно представить ситуацию, когда на систему управления не действует возмущающее воздействие. Случай компен-
сации неизвестного синусоидального возмущающего воздействия для объекта вида (1) рассмотрен в работе [2]:
x(t) = Ax(t) + B[u(t − τ) + δ(t)] , y(t) = Cx(t) ,
(5)
где δ(t) = δ0 + δ1 sin(ωt + ϕ) — неизмеряемый сигнал, а δ0 , δ1, ω, ϕ — неизвестные постоян-
ные параметры. В работе [2] с использованием закона управления (3), (4) была решена комплексная за-
дача компенсации возмущающего воздействия δ(t) = δ0 + δ1 sin(ωt + ϕ) и стабилизации неус-
тойчивого положения равновесия x = 0 . Также в работе [2] последовательно были выстроены компенсатор возмущения и предсказатель. Методика синтеза компенсатора возмущения предполагает знание параметров объекта управления, а также наличие косвенной информа-
ции, которую можно получить по измерениям состояний системы. Были идентифицированы
неизвестные параметры δ0 , δ1, ω, ϕ и с учетом величины запаздывания τ синтезирован ком-
пенсатор. В настоящей статье рассмотрим более сложную (в сравнении с [1, 2]) задачу компенса-
ции неизвестного синусоидального возмущения для нелинейной системы с запаздыванием в управлении. Пусть объект управления имеет вид
x1(t) = x2 (t) + ψ1( y(t − τ1)) + θ1 y(t),
⎫
... ⎪⎪ xn (t) = u(t − τ) + δ(t) + ψn ( y(t − τn )) + θn y(t),⎬⎪
y(t) = x1(t),
⎭⎪
(6)
где θi и ψi ( y(t − τi )) — соответственно известные постоянные параметры и нелинейные
функции, τi — известные константы, причем τi ≥ τ для всех i = 1, n . Ставится задача синтеза такого управляющего воздействия u(t) , чтобы положение рав-
новесия y = 0 было асимптотически устойчивым.
Аналогично [3] продифференцируем переменную y(t) = x1(t) n раз, последовательно проводя замены переменных
y(t) = ξ1(t) = ξ2 (t), ξ2 (t) = ξ3 (t),
⎫ ⎪ ⎪
... ⎪⎪
ξn
(t)
=
u(t
−
τ)
+
δ(t)
+
∂n−1ψ1( y(t − τ1)) ∂y(t − τ1)n−1
y(n−1)
(t
−
τ1 )
⎬
+
…⎪ ⎪
⎪
... + ψn ( y(t − τn )) + θ1 y(n−1) (t) + ... + θn y(t).
⎭⎪
Выберем закон управления следующим образом:
(7)
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2012. Т. 55, № 12
62 А. А. Бобцов, А. А. Пыркин
u(t)
=
u1 (t )
−
∂n−1ψ1( y(t + τ − τ1)) ∂y(t + τ − τ1)n−1
y(n−1)
(t
+
τ
−
τ1 )
+
...
+
ψn
(
y(t
+
τ
−
τn
)).
Подставив (8) в уравнение (7), получим
(8)
ξ1(t) = ξ2 (t), ξ2 (t) = ξ3 (t), ...
⎫
⎪
⎪ ⎬
(9)
⎪
ξn (t) = u1(t − τ) + δ(t) + θ1 y(n−1) (t) + ... + θn y(t).⎭⎪
Легко видеть, что система (9) аналогична (5), следовательно, к ней может быть приме-
нен алгоритм управления [2], который обеспечит асимптотическую устойчивость положения
равновесия y = 0 .
Итак, положения метода компенсации неизвестного синусоидального возмущающего воздействия в условиях запаздывания [2] развиты на нелинейные системы. Остается нере-
шенной задача стабилизации модели (6) в условиях неизвестных параметров θi .
Работа выполнена при финансовой поддержке ФЦП „Научные и научно-педагогические кадры инновационной России“ на 2009—2013 гг. (соглашение № 14.B37.21.0406).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Krstic M. Delay compensation for nonlinear, adaptive and PDE systems. Birkhauser, 2009.
2. Pyrkin A., Smyshlyaev A., Bekiaris-Liberis N., Krstic M. Rejection of Sinusoidal Disturbance of Unknown Frequency for Linear System with Input Delay // American Control Conf. Baltimore, 2010. P. 5688—5693.
3. Мирошник И. В., Никифоров В. О., Фрадков А. Л. Нелинейное и адаптивное управление сложными динамическими системами. СПб: Наука, 2000.
Алексей Алексеевич Бобцов Антон Александрович Пыркин
Сведения об авторах — д-р техн. наук, профессор; Санкт-Петербургский национальный ис-
следовательский университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра систем управления и информатики; декан факультета КТиУ, заведующий кафедрой; E-mail: bobtsov@mail.ifmo.ru — канд. техн. наук; Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра систем управления и информатики; E-mail: a.pyrkin@gmail.com
Рекомендована кафедрой систем управления и информатики
Поступила в редакцию 10.09.12 г.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2012. Т. 55, № 12
УДК 681.5.015
А. А. БОБЦОВ, А. А. ПЫРКИН
АЛГОРИТМ КОМПЕНСАЦИИ НЕИЗВЕСТНОГО СИНУСОИДАЛЬНОГО ВОЗМУЩЕНИЯ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ В УПРАВЛЕНИИ
Рассматривается задача компенсации неизвестного синусоидального возмущения в условиях запаздывания в управлении для нелинейной системы.
Ключевые слова: управление в условиях запаздывания, нелинейные системы, компенсация возмущающих воздействий.
Проблема управления в условиях запаздывания является актуальной и сложной для современной теории управления. Использование цифровых регуляторов, управление удаленными объектами, например, через Интернет, а также другие факторы вызывают нежелательные запаздывания. Несмотря на то что проблема эта хорошо известна и ей посвящено большое
количество публикаций, следует отметить, что универсальных методов управления до сих не получено, и для решения практических задач приходится использовать тот или иной теоретический подход, связанный с конкретной математической постановкой. В рамках настоящей работы авторы планируют не проводить детальный анализ методов управления в условиях запаздывания, а представить новый алгоритм компенсации возмущений, базируясь на резуль-
татах монографии [1] и статьи [2]. В [1] была рассмотрена классическая задача стабилизации линейного стационарного
объекта управления с постоянным запаздыванием x(t) = Ax(t) + Bu(t − τ) , y(t) = Cx(t) ,
(1)
где x(t) ∈ Rn — измеряемый вектор переменных состояния, u(t) — скалярная входная пере-
менная, y(t) — скалярная выходная переменная, τ ≥ 0 — постоянное запаздывание; A , B ,
C — матрицы соответствующей размерности, содержащие известные параметры объекта управления.
Необходимо найти такой закон управления u(t) , чтобы положение равновесия x = 0
было асимптотически устойчивым. Хорошо известно, что для системы вида (1) при τ = 0
можно синтезировать закон управления вида:
u = Kx(t) ,
(2)
где вектор-строка K выбирается из условия гурвицевости матрицы состояния замкнутой сис-
темы A + BK . Для случая τ > 0 закон управления (2) можно переписать в виде: u(t) = Kx(t + τ) ,
(3)
где x(t + τ) — значение вектора x(t) через интервал времени τ . Очевидно, что закон управ-
ления (3) нереализуем, поскольку содержит неизвестную величину x(t + τ) . Однако вектор
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2012. Т. 55, № 12
Алгоритм компенсации неизвестного синусоидального возмущения
61
x(t + τ) можно рассчитать на основе имеющейся информации об объекте. Базируясь на поло-
жениях работы [1], значение x(t + τ) будем искать в виде
t
∫x(t + τ) = eAτ x(t) + eA(t−s) Bu(s)ds .
(4)
t−τ
Из выражения (4) легко получить реализуемый закон управления вида (3).
Однако в современной практике решения задач управления в условиях запаздывания
рассмотрение систем вида (1) не представляет интереса. Сегодня сложно представить ситуацию, когда на систему управления не действует возмущающее воздействие. Случай компен-
сации неизвестного синусоидального возмущающего воздействия для объекта вида (1) рассмотрен в работе [2]:
x(t) = Ax(t) + B[u(t − τ) + δ(t)] , y(t) = Cx(t) ,
(5)
где δ(t) = δ0 + δ1 sin(ωt + ϕ) — неизмеряемый сигнал, а δ0 , δ1, ω, ϕ — неизвестные постоян-
ные параметры. В работе [2] с использованием закона управления (3), (4) была решена комплексная за-
дача компенсации возмущающего воздействия δ(t) = δ0 + δ1 sin(ωt + ϕ) и стабилизации неус-
тойчивого положения равновесия x = 0 . Также в работе [2] последовательно были выстроены компенсатор возмущения и предсказатель. Методика синтеза компенсатора возмущения предполагает знание параметров объекта управления, а также наличие косвенной информа-
ции, которую можно получить по измерениям состояний системы. Были идентифицированы
неизвестные параметры δ0 , δ1, ω, ϕ и с учетом величины запаздывания τ синтезирован ком-
пенсатор. В настоящей статье рассмотрим более сложную (в сравнении с [1, 2]) задачу компенса-
ции неизвестного синусоидального возмущения для нелинейной системы с запаздыванием в управлении. Пусть объект управления имеет вид
x1(t) = x2 (t) + ψ1( y(t − τ1)) + θ1 y(t),
⎫
... ⎪⎪ xn (t) = u(t − τ) + δ(t) + ψn ( y(t − τn )) + θn y(t),⎬⎪
y(t) = x1(t),
⎭⎪
(6)
где θi и ψi ( y(t − τi )) — соответственно известные постоянные параметры и нелинейные
функции, τi — известные константы, причем τi ≥ τ для всех i = 1, n . Ставится задача синтеза такого управляющего воздействия u(t) , чтобы положение рав-
новесия y = 0 было асимптотически устойчивым.
Аналогично [3] продифференцируем переменную y(t) = x1(t) n раз, последовательно проводя замены переменных
y(t) = ξ1(t) = ξ2 (t), ξ2 (t) = ξ3 (t),
⎫ ⎪ ⎪
... ⎪⎪
ξn
(t)
=
u(t
−
τ)
+
δ(t)
+
∂n−1ψ1( y(t − τ1)) ∂y(t − τ1)n−1
y(n−1)
(t
−
τ1 )
⎬
+
…⎪ ⎪
⎪
... + ψn ( y(t − τn )) + θ1 y(n−1) (t) + ... + θn y(t).
⎭⎪
Выберем закон управления следующим образом:
(7)
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2012. Т. 55, № 12
62 А. А. Бобцов, А. А. Пыркин
u(t)
=
u1 (t )
−
∂n−1ψ1( y(t + τ − τ1)) ∂y(t + τ − τ1)n−1
y(n−1)
(t
+
τ
−
τ1 )
+
...
+
ψn
(
y(t
+
τ
−
τn
)).
Подставив (8) в уравнение (7), получим
(8)
ξ1(t) = ξ2 (t), ξ2 (t) = ξ3 (t), ...
⎫
⎪
⎪ ⎬
(9)
⎪
ξn (t) = u1(t − τ) + δ(t) + θ1 y(n−1) (t) + ... + θn y(t).⎭⎪
Легко видеть, что система (9) аналогична (5), следовательно, к ней может быть приме-
нен алгоритм управления [2], который обеспечит асимптотическую устойчивость положения
равновесия y = 0 .
Итак, положения метода компенсации неизвестного синусоидального возмущающего воздействия в условиях запаздывания [2] развиты на нелинейные системы. Остается нере-
шенной задача стабилизации модели (6) в условиях неизвестных параметров θi .
Работа выполнена при финансовой поддержке ФЦП „Научные и научно-педагогические кадры инновационной России“ на 2009—2013 гг. (соглашение № 14.B37.21.0406).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Krstic M. Delay compensation for nonlinear, adaptive and PDE systems. Birkhauser, 2009.
2. Pyrkin A., Smyshlyaev A., Bekiaris-Liberis N., Krstic M. Rejection of Sinusoidal Disturbance of Unknown Frequency for Linear System with Input Delay // American Control Conf. Baltimore, 2010. P. 5688—5693.
3. Мирошник И. В., Никифоров В. О., Фрадков А. Л. Нелинейное и адаптивное управление сложными динамическими системами. СПб: Наука, 2000.
Алексей Алексеевич Бобцов Антон Александрович Пыркин
Сведения об авторах — д-р техн. наук, профессор; Санкт-Петербургский национальный ис-
следовательский университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра систем управления и информатики; декан факультета КТиУ, заведующий кафедрой; E-mail: bobtsov@mail.ifmo.ru — канд. техн. наук; Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра систем управления и информатики; E-mail: a.pyrkin@gmail.com
Рекомендована кафедрой систем управления и информатики
Поступила в редакцию 10.09.12 г.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2012. Т. 55, № 12