ПОСТРОЕНИЕ МОДАЛЬНОГО РОБАСТНОГО РЕГУЛЯТОРА ПРИ ВОЗМУЩАЮЩИХ И ЗАДАЮЩИХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ
ПРИБОРЫ И СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
УДК 519.688
М. М. БЕЗРЯДИН, Г. И. ЛОЗГАЧЕВ
ПОСТРОЕНИЕ МОДАЛЬНОГО РОБАСТНОГО РЕГУЛЯТОРА ПРИ ВОЗМУЩАЮЩИХ И ЗАДАЮЩИХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ
Рассматривается проблема построения модального регулятора на основе критерия, обеспечивающего оптимальное соотношение между качеством управления системой и ее робастными свойствами.
Ключевые слова: алгоритм, модальный регулятор, робастность, качество.
Одна из наиболее актуальных задач современной теории автоматического управления — компенсация внешних возмущений, влияющих на работу системы управления объектами.
В работах [1—4] предложен алгоритм построения регулятора для свободного движения. В настоящей статье рассматривается метод построения модальных робастных регуляторов при наличии задающих и возмущающих воздействий, при этом предполагается, что задающее и возмущающее воздействие имеют волновую структуру [5]. Данный метод распространяется на системы любого порядка, но в отличие от методов, рассмотренных в работах [6, 7], его математический аппарат достаточно прост и сводится к элементарному делению полиномов.
Метод синтеза регулятора. Рассмотрим замкнутую систему автоматического управления, структурная схема которой представлена на рис. 1.
F
X
ε Wp
U
Wоб Y
Рис. 1
Пусть задана передаточная функция объекта
Wоб ( p)
=
P1( p) P2 ( p)
,
где P1( p) и P2 ( p) — полиномы степени m и п, m ≤ n . Задающее воздействие характеризуется следующим выражением:
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2012. Т. 55, № 7
Построение модального робастного регулятора
17
X
( p)
=
R1( p) R2 ( p)
,
где R1( p) и R2 ( p) — полиномы степени q и r , а внешнее возмущение — выражением
F
(
p)
=
G1( p) G2 ( p)
,
где G1( p) и G2 ( p) — полиномы степени g1 и g2 .
Пусть задана передаточная функция замкнутой системы в виде частного двух полино-
мов Q1( p) и Q2 ( p) :
Wз.с
(
p)
=
Q1( p) Q2 ( p)
,
где Q1( p) и Q2 ( p) — полиномы степени l и k, l ≤ k .
Полином Q2 ( p) будем считать требуемым. Полином Q1( p) задан с точностью до коэффициентов, которые определяются в процессе построения передаточной функции регулятора.
Ошибка управления может быть представлена выражением
ε( p) = X ( p) − Y ( p) = X ( p) − (U ( p) + F ( p))Wоб ( p) .
Введем в рассмотрение полиномы L1 , L2 , Nост , Lост , T1, Tост , S1 , Sост :
Q2 (
p) − Q1( P2 ( p)
p)
=
L2 (
p)
+
Nост P2 (
( p) p)
;
Q1( p) P1( p)
=
L1(
p)
+
Lост ( p) P1( p)
;
Q2
(
p) − Q1( R2 ( p)
p)
=
T1(
p)
+
Tост ( p) R2 ( p)
;
тогда
L2 ( p) G2 ( p)
=
S1(
p)
+
Sост ( p) G2 ( p)
,
ε(
p)
=
Q2
(
p) − Q1( Q2 ( p)
p)
X
(
p)
−
P1( p)L2 ( Q2 ( p)
p)
F
(
p)
.
Если исходная динамическая система является полностью управляемой и наблюдаемой, т.е. передаточная функция объекта Wоб ( p) представляет собой несократимую дробь, и вы-
полняется условие k ≥ (2n −1) + r + g2 , то всегда найдутся коэффициенты полинома Q1( p) ,
при которых происходит деление без остатка: Q2( p) − Q1( p) на P2 ( p) , Q2( p) − Q1( p) на
R2 ( p) и Q1( p) на P1( p) . При этом существует передаточная функция регулятора, обеспечивающая воспроизведение задающего воздействия без остаточной ошибки и желаемое расположение корней характеристического полинома [1—3]:
Wр (
p)
=
L1( p) L2 ( p)
.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2012. Т. 55, № 7
18 М. М. Безрядин, Г. И. Лозгачев
Для построения регулятора сформируем критерий, обеспечивающий необходимое соотношение между качеством управления системой и ее робастными свойствами:
( )∫∞
I = β1
0
ε(t)2 + Κε(t)2
dt
+
β2
1 ρ
,
(1)
где Κ — некоторое число, ρ — мера робастности, β1 и β2 — весовые коэффициенты.
Первое слагаемое в уравнении (1) представляет собой интегральный критерий качества, а второе слагаемое характеризует робастные свойства системы.
Зададим характеристический полином замкнутой системы с коэффициентами в виде параметров. Используя алгоритм, описанный в работе [8], можно получить регулятор, коэффициенты которого будут выражены через коэффициенты требуемого полинома. Минимизация критерия (1) позволяет найти значения коэффициентов характеристического полинома, обеспечивающие желаемое соотношение между робастными свойствами системы и качеством управления.
Для систем небольшой размерности, а также в случае если передаточная функция объекта имеет один параметр, критерий может быть выражен в явной форме. Иначе необходимо
применить численные методы оптимизации.
Вычисление меры робастности системы. Пусть Rn — множество многочленов степени n над полем действительных чисел. Пусть передаточная функция объекта задана в виде
Wо*б ( p)
=
P1*( p) P2*( p)
,
(2)
где P1* ∈ Rm , P2* ∈ Rn и m ≤ n ; P1* и P2* содержат параметрическую неопределенность, заданную в виде
li ≤ qi* − qi ≤ li ,
где qi — заданные номинальные значения параметров, qi* — реальные значения параметров,
li и li — пределы возможных погрешностей определения i-го параметра, i = 1, s, s ≤ n + m . Необходимо найти передаточную функцию регулятора, обеспечивающего устойчивость
замкнутой системы с передаточной функцией
Wз.с
(
p)
=
1
Wо*б ( p)Wp ( p) +Wо*б ( p)Wp ( p)
при максимальном значения критерия робастности. В качестве такого критерия можно при-
s
∑нять γ = min(li − li ) или µ = δi (li − li ) , где δi — весовые коэффициенты, i = 1, s, s ≤ n + m . i=1
В качестве критерия робастности можно также выбрать объем (в общем случае n-мерный) области устойчивости системы.
Представим передаточную функцию объекта управления (2) в виде
Wо*б ( p)
=
P1*( p) + ∆P1( p) P2*( p) + ∆P2 ( p)
,
где ∆P1( p) и ∆P2 ( p) — полиномы, содержащие неопределенность.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2012. Т. 55, № 7
Построение модального робастного регулятора В этом случае характеристический полином замкнутой системы
19
D( p) = Q2 ( p) + ∆P1( p)L( p) + ∆P2 ( p)N ( p) .
(3)
Обозначим коэффициенты полинома D(p) через bi , i = 0, k , тогда D( p) = b0 p k + b1 p k−1 + ... + bk−1 p + bk .
Коэффициенты bi представляют собой функции от коэффициентов ai , i = 0, k, полинома Q2 и параметров полиномов ∆P1( p) и ∆P2 ( p) .
Обозначим через u j = (a1j , a2j , ..., akj−1, akj ) совокупность коэффициентов полинома Q2 .
Используя численные методы, можно найти значения a1j , a2j , ..., akj−1, akj , обеспечивающие максимальное или требуемое значение любого из перечисленных критериев. Например, для
вычисления критерия γ = min(li − li ) можно воспользоваться методом, предложенным в рабо-
те [9]. Пример. Пусть передаточная функция объекта задана в виде
Wоб
(
p)
=
−Kp +1. Tp +1
Внешнее воздействие представлено единичным скачком. Зададим передаточную функцию замкнутой системы в виде
Wз.с (
p)
=
Q1( p) Q2 ( p)
=
d0 p2 + d1 p + d2 p2 + a1 p + a2
.
В качестве расчетных значений примем K = 1, T = 1 . Используя программу, описанную в работе [8], получим выражения для передаточной функции регулятора, при котором харак-
теристический полином замкнутой системы будет равен Q2 ( p) :
Wр
( p) =
p(−1+ a1 + a2 ) + a2 . p(1+ a1 + a2 )
Квадратичный критерий качества, выраженный через коэффициенты ai характеристического полинома, определяется как
( )I = (1+ a1 + a2 )2
(1+ a1)2 − 2a1a2 + a23 8a1a2
.
Зададим приращение параметрам объекта: K = 1 + ∆K , T = 1 + ∆T , при этом
Wоб
(
p)
=
− p +1− ∆Kp p +1+ ∆Tp
.
Согласно выражению (3) характеристический полином системы с обратной связью
D( p) = p2 (1+ ∆T (1+ a1 + a2 ) + ∆K (−1+ a1 + a2 )) + p(a1 + ∆Ka2 ) + a2 . Используя условие устойчивости системы, получаем
∆K
>
−
a1 a2
,
∆T
> −1− ∆K (−1+ a1 + a2 ).
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2012. Т. 55, № 7
20 М. М. Безрядин, Г. И. Лозгачев
Минимизируем функционал I . Для этого определим минимум интегрального критерия. При a1 ≥ 0, a2 ≥ 0 получим a1 = 0, 66 и a2 = 0,85 . Используя эти значения как начальные, можем производить настройку робастных свойств системы. Переходный процесс в системе при единичном воздействии и a1 = 0, 66 , a2 = 0,85 представлен на рис. 2.
Y
0,8 0,6
0,4
0,2
0
–0,2
–0,4
0
2
4
6
8
10 12
14 16 t
Рис 2.
Рассмотренный метод построения модального робастного регулятора благодаря алгоритмической простоте достаточно удобен для реализации на компьютере. К достоинствам этого метода можно также отнести возможность получения регулятора в общем виде, что позволяет производить оптимизацию характеристик системы непосредственно по коэффициентам характеристического полинома замкнутой системы.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Лозгачев Г. И. Синтез модальных регуляторов по передаточной функции замкнутой системы // АиТ. 1995. № 5. С. 49—55.
2. Лозгачев Г. И. Построение модальных регуляторов для одноконтурных и многосвязных систем // АиТ. 2000. № 12. С. 15—21.
3. Дылевский А. В., Лозгачев Г. И. Синтез линейных систем управления с заданным характеристическим полиномом// Изв. РАН. Сер. Теория и системы управления. 2003. № 5. С. 17—20.
4. Лозгачев Г. И., Безрядин М. М. Проблема соотношения робастности и качества управления при построении модальных регуляторов // Кибернетика и высокие технологии XXI века: XII Междунар. науч.-техн. конф., 11—12 мая 2011г. Воронеж, 2011. Т. 2. С. 412—416.
5. Фильтрация и стохастическое управление в динамических системах / Под ред. К. Т. Леондеса. М.: Мир, 1980. 408 с.
6. Bhattacharyya S. P., Chapellat H., Keel L. Robust control: the parametric approach // Upper Saddle River. N. J.: Prentice Hall, 1995.
7. Coddard P. J., Clover K. Controller approximation^ approaches for preserving H ∞ performance // IEEE Trans. Automat. Control. 1998. Vol. 43, N 7. P. 858—871.
8. Лозгачев Г. И., Безрядин М. М. Программная реализация алгоритма построения модального робастного регулятора по передаточной функции замкнутой системы в случае наличия возмущающего воздействия // Вестн. ВГУ. Системный анализ и информационные технологии. 2010. № 2. С. 50—52.
9. Воронов А. А. Введение в динамику сложных управляемых систем. М.: Наука, 1985.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2012. Т. 55, № 7
Алгоритм коррекции структуры управления
21
Михаил Михайлович Безрядин Геннадий Иванович Лозгачев
Сведения об авторах — аспирант; Воронежский государственный университет, кафедра тех-
нической кибернетики и автоматического регулирования; E-mail: maickel@yandex.ru — д-р техн. наук, профессор; Воронежский государственный университет, кафедра технической кибернетики и автоматического регулирования; E-mail: Prof-lozgachev@yandex.ru
Рекомендована кафедрой технической кибернетики и автоматического регулирования
Поступила в редакцию 06.12.11 г.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2012. Т. 55, № 7
УДК 519.688
М. М. БЕЗРЯДИН, Г. И. ЛОЗГАЧЕВ
ПОСТРОЕНИЕ МОДАЛЬНОГО РОБАСТНОГО РЕГУЛЯТОРА ПРИ ВОЗМУЩАЮЩИХ И ЗАДАЮЩИХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ
Рассматривается проблема построения модального регулятора на основе критерия, обеспечивающего оптимальное соотношение между качеством управления системой и ее робастными свойствами.
Ключевые слова: алгоритм, модальный регулятор, робастность, качество.
Одна из наиболее актуальных задач современной теории автоматического управления — компенсация внешних возмущений, влияющих на работу системы управления объектами.
В работах [1—4] предложен алгоритм построения регулятора для свободного движения. В настоящей статье рассматривается метод построения модальных робастных регуляторов при наличии задающих и возмущающих воздействий, при этом предполагается, что задающее и возмущающее воздействие имеют волновую структуру [5]. Данный метод распространяется на системы любого порядка, но в отличие от методов, рассмотренных в работах [6, 7], его математический аппарат достаточно прост и сводится к элементарному делению полиномов.
Метод синтеза регулятора. Рассмотрим замкнутую систему автоматического управления, структурная схема которой представлена на рис. 1.
F
X
ε Wp
U
Wоб Y
Рис. 1
Пусть задана передаточная функция объекта
Wоб ( p)
=
P1( p) P2 ( p)
,
где P1( p) и P2 ( p) — полиномы степени m и п, m ≤ n . Задающее воздействие характеризуется следующим выражением:
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2012. Т. 55, № 7
Построение модального робастного регулятора
17
X
( p)
=
R1( p) R2 ( p)
,
где R1( p) и R2 ( p) — полиномы степени q и r , а внешнее возмущение — выражением
F
(
p)
=
G1( p) G2 ( p)
,
где G1( p) и G2 ( p) — полиномы степени g1 и g2 .
Пусть задана передаточная функция замкнутой системы в виде частного двух полино-
мов Q1( p) и Q2 ( p) :
Wз.с
(
p)
=
Q1( p) Q2 ( p)
,
где Q1( p) и Q2 ( p) — полиномы степени l и k, l ≤ k .
Полином Q2 ( p) будем считать требуемым. Полином Q1( p) задан с точностью до коэффициентов, которые определяются в процессе построения передаточной функции регулятора.
Ошибка управления может быть представлена выражением
ε( p) = X ( p) − Y ( p) = X ( p) − (U ( p) + F ( p))Wоб ( p) .
Введем в рассмотрение полиномы L1 , L2 , Nост , Lост , T1, Tост , S1 , Sост :
Q2 (
p) − Q1( P2 ( p)
p)
=
L2 (
p)
+
Nост P2 (
( p) p)
;
Q1( p) P1( p)
=
L1(
p)
+
Lост ( p) P1( p)
;
Q2
(
p) − Q1( R2 ( p)
p)
=
T1(
p)
+
Tост ( p) R2 ( p)
;
тогда
L2 ( p) G2 ( p)
=
S1(
p)
+
Sост ( p) G2 ( p)
,
ε(
p)
=
Q2
(
p) − Q1( Q2 ( p)
p)
X
(
p)
−
P1( p)L2 ( Q2 ( p)
p)
F
(
p)
.
Если исходная динамическая система является полностью управляемой и наблюдаемой, т.е. передаточная функция объекта Wоб ( p) представляет собой несократимую дробь, и вы-
полняется условие k ≥ (2n −1) + r + g2 , то всегда найдутся коэффициенты полинома Q1( p) ,
при которых происходит деление без остатка: Q2( p) − Q1( p) на P2 ( p) , Q2( p) − Q1( p) на
R2 ( p) и Q1( p) на P1( p) . При этом существует передаточная функция регулятора, обеспечивающая воспроизведение задающего воздействия без остаточной ошибки и желаемое расположение корней характеристического полинома [1—3]:
Wр (
p)
=
L1( p) L2 ( p)
.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2012. Т. 55, № 7
18 М. М. Безрядин, Г. И. Лозгачев
Для построения регулятора сформируем критерий, обеспечивающий необходимое соотношение между качеством управления системой и ее робастными свойствами:
( )∫∞
I = β1
0
ε(t)2 + Κε(t)2
dt
+
β2
1 ρ
,
(1)
где Κ — некоторое число, ρ — мера робастности, β1 и β2 — весовые коэффициенты.
Первое слагаемое в уравнении (1) представляет собой интегральный критерий качества, а второе слагаемое характеризует робастные свойства системы.
Зададим характеристический полином замкнутой системы с коэффициентами в виде параметров. Используя алгоритм, описанный в работе [8], можно получить регулятор, коэффициенты которого будут выражены через коэффициенты требуемого полинома. Минимизация критерия (1) позволяет найти значения коэффициентов характеристического полинома, обеспечивающие желаемое соотношение между робастными свойствами системы и качеством управления.
Для систем небольшой размерности, а также в случае если передаточная функция объекта имеет один параметр, критерий может быть выражен в явной форме. Иначе необходимо
применить численные методы оптимизации.
Вычисление меры робастности системы. Пусть Rn — множество многочленов степени n над полем действительных чисел. Пусть передаточная функция объекта задана в виде
Wо*б ( p)
=
P1*( p) P2*( p)
,
(2)
где P1* ∈ Rm , P2* ∈ Rn и m ≤ n ; P1* и P2* содержат параметрическую неопределенность, заданную в виде
li ≤ qi* − qi ≤ li ,
где qi — заданные номинальные значения параметров, qi* — реальные значения параметров,
li и li — пределы возможных погрешностей определения i-го параметра, i = 1, s, s ≤ n + m . Необходимо найти передаточную функцию регулятора, обеспечивающего устойчивость
замкнутой системы с передаточной функцией
Wз.с
(
p)
=
1
Wо*б ( p)Wp ( p) +Wо*б ( p)Wp ( p)
при максимальном значения критерия робастности. В качестве такого критерия можно при-
s
∑нять γ = min(li − li ) или µ = δi (li − li ) , где δi — весовые коэффициенты, i = 1, s, s ≤ n + m . i=1
В качестве критерия робастности можно также выбрать объем (в общем случае n-мерный) области устойчивости системы.
Представим передаточную функцию объекта управления (2) в виде
Wо*б ( p)
=
P1*( p) + ∆P1( p) P2*( p) + ∆P2 ( p)
,
где ∆P1( p) и ∆P2 ( p) — полиномы, содержащие неопределенность.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2012. Т. 55, № 7
Построение модального робастного регулятора В этом случае характеристический полином замкнутой системы
19
D( p) = Q2 ( p) + ∆P1( p)L( p) + ∆P2 ( p)N ( p) .
(3)
Обозначим коэффициенты полинома D(p) через bi , i = 0, k , тогда D( p) = b0 p k + b1 p k−1 + ... + bk−1 p + bk .
Коэффициенты bi представляют собой функции от коэффициентов ai , i = 0, k, полинома Q2 и параметров полиномов ∆P1( p) и ∆P2 ( p) .
Обозначим через u j = (a1j , a2j , ..., akj−1, akj ) совокупность коэффициентов полинома Q2 .
Используя численные методы, можно найти значения a1j , a2j , ..., akj−1, akj , обеспечивающие максимальное или требуемое значение любого из перечисленных критериев. Например, для
вычисления критерия γ = min(li − li ) можно воспользоваться методом, предложенным в рабо-
те [9]. Пример. Пусть передаточная функция объекта задана в виде
Wоб
(
p)
=
−Kp +1. Tp +1
Внешнее воздействие представлено единичным скачком. Зададим передаточную функцию замкнутой системы в виде
Wз.с (
p)
=
Q1( p) Q2 ( p)
=
d0 p2 + d1 p + d2 p2 + a1 p + a2
.
В качестве расчетных значений примем K = 1, T = 1 . Используя программу, описанную в работе [8], получим выражения для передаточной функции регулятора, при котором харак-
теристический полином замкнутой системы будет равен Q2 ( p) :
Wр
( p) =
p(−1+ a1 + a2 ) + a2 . p(1+ a1 + a2 )
Квадратичный критерий качества, выраженный через коэффициенты ai характеристического полинома, определяется как
( )I = (1+ a1 + a2 )2
(1+ a1)2 − 2a1a2 + a23 8a1a2
.
Зададим приращение параметрам объекта: K = 1 + ∆K , T = 1 + ∆T , при этом
Wоб
(
p)
=
− p +1− ∆Kp p +1+ ∆Tp
.
Согласно выражению (3) характеристический полином системы с обратной связью
D( p) = p2 (1+ ∆T (1+ a1 + a2 ) + ∆K (−1+ a1 + a2 )) + p(a1 + ∆Ka2 ) + a2 . Используя условие устойчивости системы, получаем
∆K
>
−
a1 a2
,
∆T
> −1− ∆K (−1+ a1 + a2 ).
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2012. Т. 55, № 7
20 М. М. Безрядин, Г. И. Лозгачев
Минимизируем функционал I . Для этого определим минимум интегрального критерия. При a1 ≥ 0, a2 ≥ 0 получим a1 = 0, 66 и a2 = 0,85 . Используя эти значения как начальные, можем производить настройку робастных свойств системы. Переходный процесс в системе при единичном воздействии и a1 = 0, 66 , a2 = 0,85 представлен на рис. 2.
Y
0,8 0,6
0,4
0,2
0
–0,2
–0,4
0
2
4
6
8
10 12
14 16 t
Рис 2.
Рассмотренный метод построения модального робастного регулятора благодаря алгоритмической простоте достаточно удобен для реализации на компьютере. К достоинствам этого метода можно также отнести возможность получения регулятора в общем виде, что позволяет производить оптимизацию характеристик системы непосредственно по коэффициентам характеристического полинома замкнутой системы.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Лозгачев Г. И. Синтез модальных регуляторов по передаточной функции замкнутой системы // АиТ. 1995. № 5. С. 49—55.
2. Лозгачев Г. И. Построение модальных регуляторов для одноконтурных и многосвязных систем // АиТ. 2000. № 12. С. 15—21.
3. Дылевский А. В., Лозгачев Г. И. Синтез линейных систем управления с заданным характеристическим полиномом// Изв. РАН. Сер. Теория и системы управления. 2003. № 5. С. 17—20.
4. Лозгачев Г. И., Безрядин М. М. Проблема соотношения робастности и качества управления при построении модальных регуляторов // Кибернетика и высокие технологии XXI века: XII Междунар. науч.-техн. конф., 11—12 мая 2011г. Воронеж, 2011. Т. 2. С. 412—416.
5. Фильтрация и стохастическое управление в динамических системах / Под ред. К. Т. Леондеса. М.: Мир, 1980. 408 с.
6. Bhattacharyya S. P., Chapellat H., Keel L. Robust control: the parametric approach // Upper Saddle River. N. J.: Prentice Hall, 1995.
7. Coddard P. J., Clover K. Controller approximation^ approaches for preserving H ∞ performance // IEEE Trans. Automat. Control. 1998. Vol. 43, N 7. P. 858—871.
8. Лозгачев Г. И., Безрядин М. М. Программная реализация алгоритма построения модального робастного регулятора по передаточной функции замкнутой системы в случае наличия возмущающего воздействия // Вестн. ВГУ. Системный анализ и информационные технологии. 2010. № 2. С. 50—52.
9. Воронов А. А. Введение в динамику сложных управляемых систем. М.: Наука, 1985.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2012. Т. 55, № 7
Алгоритм коррекции структуры управления
21
Михаил Михайлович Безрядин Геннадий Иванович Лозгачев
Сведения об авторах — аспирант; Воронежский государственный университет, кафедра тех-
нической кибернетики и автоматического регулирования; E-mail: maickel@yandex.ru — д-р техн. наук, профессор; Воронежский государственный университет, кафедра технической кибернетики и автоматического регулирования; E-mail: Prof-lozgachev@yandex.ru
Рекомендована кафедрой технической кибернетики и автоматического регулирования
Поступила в редакцию 06.12.11 г.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2012. Т. 55, № 7