АДАПТИВНОЕ УПРАВЛЕНИЕ НЕМИНИМАЛЬНО-ФАЗОВЫМИ НЕЛИНЕЙНЫМИ ОБЪЕКТАМИ
30 И. Б. Фуртат
УДК 519.7
И. Б. ФУРТАТ
АДАПТИВНОЕ УПРАВЛЕНИЕ НЕМИНИМАЛЬНО-ФАЗОВЫМИ НЕЛИНЕЙНЫМИ ОБЪЕКТАМИ
Представлено решение задачи адаптивного управления определенным классом нелинейных неминимально-фазовых объектов, когда измерению доступны только скалярные входной и выходной сигналы объекта. Приведены зависящие от параметров модели объекта и системы управления условия, при выполнении которых алгоритм управления, разработанный для минимально-фазовых объектов, работоспособен для неминимально-фазовых систем.
Ключевые слова: нелинейный объект, неминимально-фазовый объект, адаптивное управление, сингулярно возмущенная система.
Введение. При решении задачи управления объектом в условиях неопределенности, ко-
гда измерению доступны только скалярные входной и выходной сигнал объекта, часто вы-
двигается предположение о его минимально-фазовости. Наряду с этим в настоящее время
предложены несколько решений по управлению неминимально-фазовыми объектами со ска-
лярными входным и выходным сигналами в условиях неопределенности. Например, в рабо-
те [1] для управления неминимально-фазовыми устойчивыми объектами используется метод
шунтирования. Последовательный компенсатор, позволяющий получить расширенную мо-
дель объекта с векторным управлением, рассмотрен в работе [2], однако это решение эффек-
тивно лишь для стабилизации объекта, который не подвержен воздействию внешних некон-
тролируемых возмущений.
В настоящей статье рассматривается решение задачи адаптивного слежения за эталон-
ным выходным сигналом неминимально-фазовых нелинейных объектов определенного клас-
са. Для синтеза закона управления используется модифицированный алгоритм адаптации вы-
сокого порядка [3]. Получены зависящие от параметров объекта и системы управления усло-
вия, при выполнении которых алгоритм, разработанный для минимально-фазовых систем,
работоспособен и для неминимально-фазовых объектов.
Постановка задачи. Рассмотрим объект, модель которого описывается уравнением
Q( p) y(t) + N ( p)g(y(t)) = kR( p)u(t) , pi y(0) = yi , i = 1, ..., n ,
(1)
где y(t), u(t) — скалярные выходной сигнал объекта и сигнал управления, доступные измере-
нию; Q(p), N(p), R(p) — нормированные дифференциальные операторы; g(y(t)) — известная
липшицева по y(t) гладкая нелинейность; p = d / dt — оператор дифференцирования; k > 0 —
неизвестный коэффициент; yi — неизвестные начальные условия. Эталонную модель объекта определим уравнением
Qm ( p) ym (t) = kmr(t) ,
(2)
здесь ym(t) — выходной сигнал эталонной модели; r(t) — ограниченное задающее воздействие; Qm(p) — известный нормированный дифференциальный оператор с постоянными коэф-
фициентами, причем Qm(λ) — гурвицев, где λ — комплексная переменная; km > 0 — известный коэффициент.
П р е д п о л о ж е н и е 1. Коэффициенты операторов Q(p), N(p), R(p) и коэффициент k —
неизвестные числа, которые зависят от вектора неизвестных параметров ϑ ∈ Ξ, где Ξ — из-
вестное замкнутое множество возможных значений данных коэффициентов.
П р е д п о л о ж е н и е 2. Известны deg Q(p) = deg Qm(p) = n, deg R(p) = m, deg N(p) < n и
относительная степень γ = n – m > 1.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2013. Т. 56, № 3
Адаптивное управление неминимально-фазовыми нелинейными объектами
31
Цель управления — синтез непрерывного закона регулирования, обеспечивающего ограниченность всех сигналов в замкнутой системе и выполнение целевого условия
y(t) − ym (t) < δ при t ≥ τ и ∀ϑ ∈ Ξ,
(3)
где τ > 0 — момент времени, характеризующий начало выполнения неравенства (3); δ > 0 — малое число.
Метод решения. Запишем оператор R(p) в виде
R( p) = R+ ( p)R− ( p) ,
(4)
где R+(λ) и R–(λ) — многочлены с положительными и отрицательными вещественными частями корней соответственно; deg R+(p) = m1, deg R–(p) = m2.
Положим, что оператор R+(p) можно представить в виде следующей суммы:
R+ ( p) = R0 ( p) + θp∆R0 ( p) ,
(5)
где R0(λ) — произвольный известный гурвицев многочлен, deg R0(p) = m1, θ > 0 — малый параметр. Запишем выражение (1), подставив в него уравнения (4) и (5):
Q(
p)
y(t )
+
N
(
p)g
(
y(t))
=
kR−
(
p)R0
(
p)
⎢⎡1 ⎣
+
θp∆R0 ( p) R0 ( p)
⎤ ⎥ ⎦
u (t )
.
Перепишем уравнение (6) в форме уравнений состояний:
(6)
x(t) = Ax(t) + Dg ( y(t)) + B (u(t) + σ(t));⎫
y(t) = L1x(t);
⎪ ⎪
z(t) = θ−1Fz(t) + Nu(t);
⎬ ⎪
(7)
σ(t) = L2 z(t),
⎭⎪
где x(t) ∈ Rn, z(t) ∈ Rm1 — векторы состояния медленных и быстрых составляющих соответ-
ственно; A, D, B, F, N, L1, L2 — числовые матрицы, полученные при переходе от выражения (6) к (7).
При σ(t) = 0 первое уравнение системы (7) является минимально-фазовым, так как матрицы A, B и L1 зависят от коэффициентов устойчивых многочленов Q(λ) и kR–(λ)R0(λ). Третье же уравнение системы (7) является неминимально-фазовым, поскольку матрицы F, N и L2 зависят от коэффициентов устойчивого R0(λ) и неустойчивого ∆R0(λ) многочленов. Поэтому необходимо определить возмущение σ(t), при котором характер изменения системы (7) при
σ(t) ≠ 0 будет подобен характеру изменения системы (7) при σ(t) = 0. Воспользуемся теоремой об устойчивости сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений [4], в соответствии с которой систему (7) перепишем следующим образом:
x(t) = Ax(t) + Dg ( y(t)) + B (u(t) + σ(t));⎫
y(t) = L1x(t); θz(t) = Fz(t) + θNu(t),
⎪⎪ ⎬ ⎪
σ(t) = L2 z(t).
⎭⎪
Согласно теореме [4] рассмотрим сначала последнюю систему при θ = 0:
x(t) = Ax(t) + Dw( y(t)) + B (u(t) + σ(t));⎫
y(t) = L1x(t),
⎪ ⎬
0 = Fz (t), σ(t) = L2 z (t).
⎪ ⎭
(8)
Третье уравнение системы (8) имеет нулевое решение z(t) = 0 , а значит, и σ (t) = 0 .
Преобразуем в системе (8) первое уравнение к виду
Q( p) y(t) + N ( p)g ( y(t)) = kR− ( p)R0 ( p)u(t) .
(9)
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2013. Т. 56, № 3
32 И. Б. Фуртат
Запишем операторы R–(p)R0(p) и Q(p) в виде сумм:
R− ( p)R0 ( p) = 1 + ∆R( p) , Q( p) = Qm ( p) + ∆Q( p) ,
(10)
здесь ∆R(p), ∆Q(p) — остатки разложения, deg ∆R(p) = m, deg ∆Q(p) < n.
С учетом выражений (2), (9) и (10) сформируем ошибку слежения e(t) = y(t) – ym(t):
( )Qm ( p)e(t) = k u(t) + ∆R( p)u(t) − k −1∆Q( p) y(t) − k −1N ( p)g ( y(t)) − k −1kmr(t) . (11)
Для синтеза закона управления воспользуемся модифицированным алгоритмом адапта-
ции высокого порядка [5]. В соответствии с работой [3] зададим закон управления u(t):
u(t) = T ( p)v (t) = T ξ(t) , v(t) = cT (t)w(t) ,
(12)
где T(p) — линейный дифференциальный оператор, причем T(λ) — гурвицев, deg T(p) = n – 1; v(t) — оценка вспомогательного управляющего воздействия v(t); T — матрица-строка, со-
ставленная из коэффициентов оператора T(p); ξ(t) = ⎣⎡v (t), v (t), ... , v (n−1) (t)⎤⎦T ; c(t) — вектор
настраиваемых параметров;
w(t)
=
⎡⎣VuT
(t),
VyT
(t ),
VgT
(t),
y(t),
vr
(t)
⎤T ⎦
— вектор регрессии,
сформированный с помощью следующих фильтров:
Vu (t) = KVu (t) + bu(t), Vu (0) = 0; Vy (t) = KVy (t) + by(t), Vy (0) = 0;
⎫ ⎪ ⎪
Vg (t) = KVg (t) + bg ( y(t)), Vg (0) = 0;
⎬ ⎪
Vr (t) = KVr (t) + br(t), vr (t) = LVr (t), Vr (0) = 0.⎭⎪
(13)
Здесь Vu(t), Vy(t), Vg(t), Vr(t) ∈ Rn – 1; K — матрица в форме Фробениуса с характеристическим многочленом T(λ); b = [0, …, 0, 1]T и L = [1, 0, …, 0] имеют соответствующие размер-
ности.
С учетом выражений (12) и (13) уравнение (11) преобразуем к виду
Qm ( p)e(t) = kT ( p) ⎡⎣⎢(c(t) − c0 )T w(t) + v (t) − v(t)⎤⎥⎦ ,
где с0 — вектор неизвестных параметров, зависящий от коэффициентов операторов ∆R(p),
∆Q(p)/k, N(p)/k и коэффициента km/k.
Для реализации закона управления (12) введем наблюдатель [5]
ξ(t) = G0ξ(t) + Φ0 (v (t) − v(t)), v (t) = Lξ(t), ξ(0) = 0,
(14)
здесь ξ(t) ∈ Rn,
G0
=
⎡0 ⎢⎣0
I
n−1
0
⎤ ⎥⎦
;
In – 1
—
квадратная
единичная
матрица
порядка
n – 1;
Φ0
=
− ⎣⎡d1µ−1,
d2µ−2 , ... ,
dn
µ−n
⎤T ⎦
,
µ
>
0
—
достаточно
малая
величина,
d1,
…,
dn
выбираются
исходя из условий гурвицевости матрицы G = G0 − ΦL , Φ = [d1, d2 , ... , dn ]T .
Введем в рассмотрение вектор ошибки оценки производных η(t) = Г−1 [ξ(t) − ς(t)] , где
Γ = diag{µn – 1, µn – 2, …, µ, 1}, ς(t) = ⎣⎡v(t), v(t), ... , v(n−1) (t)⎦⎤T . Взяв производную по времени от η(t) , с учетом выражений (14) получим
η (t) = µ−1Gη(t) + bv(n+1) (t),⎪⎫
v (t) − v(t) = µn−1Lη(t).
⎬ ⎪⎭
Преобразуем последнюю систему относительно выходной переменной:
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2013. Т. 56, № 3
Адаптивное управление неминимально-фазовыми нелинейными объектами
33
η (t) = µ−1Gη(t) + bv(t), v (t) − v(t) = µn−1Lη(t),
(15)
где ηi (t) = ηi (t) − µi−nv(i) (t) , i = 2, …, n – 1, η1(t) = η1(t) ; b = ⎡⎣µ1−n , 0, ... , 0⎤⎦T .
Принимая во внимание выражения (15), преобразуем уравнение (11) к форме
Qm ( p)e(t) = kT ( p) ⎢⎣⎡(c(t) − c0 )T w(t) + µn−1Lη(t)⎤⎥⎦ .
(16)
Утверждение 1. Пусть выполнены условия предположений 1 и 2. Тогда существуют матрица Λ = ΛT > 0 и числа α > 0, µ0 > 0, такие что при µ < µ0 и θ = 0 система, состоящая из уравнений (12)—(16), совместно с алгоритмом адаптации
c(t) = −Λe(t)w(t) − αc(t) , c(0) = c0
(17)
диссипативна и выполнено целевое условие (3).
Доказательство утверждения 1 аналогично доказательству, приведенному в работе [3].
Однако согласно постановке задачи объект управления (1) неминимально-фазовый. По-
этому получим условия работоспособности алгоритма (12)—(14) для исходной модели (7).
Введем вектор отклонений ∆z(t) = z(t) − z(t) для быстрых составляющих систем (7) и (8):
∆z(t)
=
1 θ
F ∆z(t)
+
Nu (t ),
∆σ(t )
=
L2 ∆z (t )
.
(18)
Тогда уравнение для ошибки e(t), записанной в форме уравнений состояния, будет
иметь следующий вид:
ε(t) = Amε(t) + kBm ⎣⎢⎡(c(t) − c0 )T w(t) + µn−1Lη(t)⎥⎤⎦ + Bm1ψ(t), e(t) = Lε(t).
(19)
Здесь ε(t) ∈ Rn; Am, Bm, Bm1 — числовые матрицы, полученные при переходе от уравнения (16) к (19) с учетом результатов (18); ψ(t) = R–(p)R0(p)σ(t)/(Qm(p)).
Утверждение 2. Пусть выполнены условия предположений 1 и 2. Существуют числа
µ > 0 и θ0 > 0, такие что решениями матричных неравенств
( )AmT H1
+
H1 Am
+ 2k 2µ2n−2 H1Bm L ( H1Bm L)T
+
2 µ
H1Bm1
H1Bm1
T ≤ −W1;
⎫ ⎪ ⎪
FT H2
+ H2F
+
2θ0 µ
H2 NTG0 ( H2 NTG0 )T
+ 2θ0µ2n−2 H2 NT Φ0 L ( H2 NT Φ0 L)T
≤ −W2 ,⎬⎪ (20) ⎪
( )GT H3 + H3G + 4µIn + 2H2b H2b T ≤ −W3
⎪ ⎪ ⎭
являются положительно-определенные матрицы H1, H2 и H3, где W1 = W1T > 0 , W2 = W2T > 0 ,
W3 = W3T > 0 , k ≤ k . Тогда при θ < θ0 система, состоящая из уравнений (12)—(14), (18), (19),
диссипативна и выполнено целевое условие (3).
Доказательство утверждения 2 приведено в Приложении.
Пример. Пусть модель объекта управления задана следующим уравнением:
( ) ( )p3 + a2 p2 + a1 p + a0 y(t) + p2 + f1 p + f0 ln (2 + sin y(t)) = k (1− θp)u(t) .
(21)
Класс неопределенности Ξ задан неравенствами: –5≤ ai ≤5; –1≤ fj ≤1; i = 0, 1, 2; j = 0, 1; 1 ≤ k ≤ 2. Множество значений θ > 0 подлежит определению.
Эталонную модель определим уравнением ( p + 1)3 ym (t) = r(t) , r(t) = 1 + 2sin t .
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2013. Т. 56, № 3
34 И. Б. Фуртат
Зададим оператор T(p) в виде T(p) = p2 + 2p + 1 и сформируем фильтры (13) следующим образом:
Vu
(t
)
=
⎡ ⎢ ⎣
0 −1
−12⎦⎤⎥Vu
(t
)
+
⎡0⎤ ⎣⎢1⎦⎥
u(t
),
Vu (0)
=
0;
Vy (t)
=
⎡0 ⎢⎣− 1
−12⎦⎥⎤V
y
(t
)
+
⎡0⎤ ⎢⎣1⎥⎦
y
(t
),
Vg
(t)
=
⎡0 ⎣⎢−1
1⎤ −2⎦⎥
Vg
(t)
+
⎡0⎤ ⎣⎢1⎦⎥
ln
(
2
+
sin
y(t
)
)
,
Vg (0) = 0;
Vr
(t)
=
⎡0 ⎣⎢−1
1⎤ −2⎦⎥
Vr
(t
)
+
⎡0⎤ ⎣⎢1⎥⎦
r
(t),
vr (t) = [1, 0]Vr (t),
Vr (0) = 0 .
Vy (0) = 0;
Вектор регрессии зададим как w(t) = ⎡⎣VyT (t), VuT (t), VgT (t), y(t), vr (t)⎦⎤T . Выберем Φ = [3, 3, 1]T и µ = 0,01 и сформируем наблюдатель (14) в виде
⎡⎢⎢ξξ12
(t) ⎤ (t)⎥⎥
⎣⎢ξ3 (t)⎦⎥
=
⎡0 ⎢⎢0 ⎢⎣0
1 0 0
0⎤ 1⎥⎥ 0⎦⎥
⋅
⎡ ξ1 ⎢⎢ξ2 ⎣⎢ξ3
(t) ⎤ (t)⎥⎥ (t ) ⎦⎥
+
⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣
−3 −3 −1
⋅10−2 ⋅10−4 ⋅10−6
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦
(
v
(t
)
−
v(t)
)
,
v (t) = [1
0
0]ξ(t),
ξ(0) = 0.
{ }Пусть Λ = diag 10I3, 10−5 I2 , 10 и α = 0,01, тогда закон управления (12) и алгоритмы
адаптации (17) могут быть сформированы как
u(t) = ξ1(t) + 2ξ2 (t) + ξ3 (t), v(t) = cT (t)w(t),
{ }c(t) = −diag 10I3 , 10−5 I2 , 10 e(t)w(t) − 0, 01c(t), c(0) = 0.
Оценим интервал изменения для числа θ с помощью неравенств (20), в котором алгоритм, разработанный для минимально-фазовых объектов, будет работоспособен и для неминимально-фазовых систем. Для этого предположим, что объект (21) можно представить в виде (7):
⎡−a2 1 0⎤
⎡ −1 ⎤
⎡0⎤
⎫
x(t)
=
⎢ ⎢
−a1
⎣⎢−a0
0 0
1⎥⎥
x(t )
+
⎢ ⎢
−
f1
⎥ ⎥
ln (2
+
sin
y(t))
+
k
⎢⎢θ⎥⎥ (u(t)
+
σ(t ) ) ,
y(t)
=
[1
0⎥⎦ ⎣⎢− f0 ⎦⎥
⎣⎢1⎥⎦
0
0]
x(t ), ⎪⎪ ⎬
(22)
⎪
z(t) = −θ−1z(t) − 2u(t), σ(t) = z(t).
⎪⎭
Покажем, что система (22) соответствует (21). С учетом того, что y(t) = x1(t) и σ(t) = z(t), преобразуем (22) к виду
( ) ( )p3 + a2 p2 + a1 p + a0 y(t) + p2 + f1 p + f0 ln (2 + sin y(t)) = k (u(t) + θu(t) + σ(t) + θσ (t)),
σ(t) + θσ (t) = −2θu(t).
Подставив второе уравнение в первое, получим систему (21). Пусть в системе (20) W1 = 10–5I3, W2 = θ0 и W3 = I3. Заменим матричные неравенства (20)
равенствами. Тогда эти уравнения будут иметь решения при θ0 ∈ (0; 0,006]. Значения θ0, полученные при моделировании для объекта (21) с параметрами a2 = a1 = a0 = –5, f1 = f0 = –0,5, k = 1 для 1-го варианта и a2 = –3, a1 = –1, a0 = 3, f1 = f0 = 1, k = 2 — для 2-го варианта, находят-
ся в интервале θ0 ∈ (0; 0,02].
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2013. Т. 56, № 3
Адаптивное управление неминимально-фазовыми нелинейными объектами
35
Для иллюстрации работоспособности предложенной схемы управления примем, что объект управления начинает функционировать при начальных условиях y(0) = y(0) = y(0) = 1
и θ0 = 0,02. На рисунке, а, б приведены графики переходных процессов по ошибке слежения e(t) при заданных параметрах объекта (21) для первого и второго вариантов соответственно.
а) б) e(t) e(t)
12
01
–1 0
–2 –1
–3 –2
0 5 10 15 20 25 t, c
0 2 4 6 8 t, c
Заключение. Решена задача адаптивного управления нелинейным неминимально-
фазовым динамическим объектом со скалярным входным и выходным сигналами. При реше-
нии предполагалось, что объект управления можно представить в виде основного контура,
описываемого минимально-фазовой передаточной функцией, и действующего на него воз-
мущения, описываемого неминимально-фазовой системой. Модель объекта была декомпози-
рована на систему сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений, где определя-
лись ограничения на малый параметр, при котором алгоритм управления работоспособен.
Как показали результаты расчетов, ограничения на малый параметр зависят от параметров
самого объекта управления и параметров настройки в алгоритме регулирования. Получено
условие для нулей передаточной функции исходного объекта, при выполнении которого ал-
горитмы, разработанные для минимально-фазовых систем, работоспособны и для немини-
мально-фазовых объектов.
ПРИЛОЖЕНИЕ
Доказательство утверждения 2. С учетом выражений (12) и (14) преобразуем уравне-
ние (18):
( )∆z(t) = θ−1F ∆z(t) + bT G0ξ(t) + Φ0µn−1Lη(t) , ∆σ(t) = L1∆z(t).
(23)
Перепишем уравнения (19), (23) и (15) следующим образом:
( )ε(t) = Amε(t) +
θ∆z(t) = F ∆z(t
kBm (c(t
) + θNT
) − c0 )T
G0 ξ(t )
w(t) + kBmµn−1Lη(t + Φ0µn−1Lη(t) ,
)
+
Bm1ψ(t
);⎫⎪⎪ ⎬
η (t) = µ−1Gη(t) + bv(t).
⎪ ⎭⎪
(24)
Воспользуемся первой леммой из работы [4], взяв функцию Ляпунова в виде
P(t) = εT (t)H1ε(t) + ∆zT (t)H2∆z(t) + ηT (t)H3η(t) + (c(t) − c0 )T (c(t) − c0 ) .
(25)
Согласно лемме [4] рассмотрим систему (24) при θ = 0. Тогда второе уравнение этой
системы имеет нулевое решение: ∆z(t) = 0. Значит, функция
R−
( p)R0 ( Qm ( p)
p)
σ(t
)
ограничена в
силу гурвицевости многочленов Qm(λ), R0(λ). В соответствии с утверждением 1 система (24) диссипативна и все переменные в ней ограничены. Тогда |ψ(t)| < δ1, |ξ(t)| < δ2, v(t) < δ3 , |c(t) –
–c0(t)| < δ4, где δi > 0, i= 1, …, 4.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2013. Т. 56, № 3
36 И. Б. Фуртат
Определим теперь значение θ0, при котором исходная система диссипативна. Пусть θ = θ0. Возьмем производную по времени от функции (25) вдоль траекторий (17) и (24):
( )P(t) = εT (t) AmT H1 + H1Am ε(t) + 2εT (t)H1kBm (c(t) − c0 )T w(t) +
( )+2εT (t)H1kµn−1BmLη(t) + 2εT (t)H1Bm1ψ(t) + θ0−1∆zT (t) FT H2 + H2F ∆z(t) +
( )+2∆zT (t)H2NT G0ξ(t) + Φ0µn−1Lη(t) +
( )+µ−1ηT (t) GT H3 + H3G η(t) + 2ηT (t)H3bv(t) + 2cT (t)(c(t) − c0 ).
Воспользуемся следующими оценками:
2εT (t)H1kµn−1Bm Lη(t) ≤ 2k 2µ2n−2εT (t)H1Bm L ( H1Bm L)T ε(t) + 2ηT (t)η(t) ;
( )2εT (t)H1Bm1ψ(t) ≤ 2µ−1εT (t) H1Bm1 T H1Bm1ε(t) + 2µδ12 ;
2∆zT (t)H2 NTG0ξ(t) ≤ 2µ−1∆zT (t)H2 NTG0 ( H2 NTG0 )T ∆z(t) + 2µδ22 ;
2∆zT (t)H2 NTD0µn−1Lη(t) ≤ 2µ2n−2∆zT (t)H2 NT Φ0 L ( H2 NT Φ0 L)T ∆z(t) + 2ηT (t)η(t) ,
( )2ηT
(t ) H 2 bv(t )
≤
2 µ
ηT
(t ) H 2b
H2b
T η(t) + 2µδ32 .
Подставив оценки в производную функции Ляпунова, с учетом системы (20) получим
P(t) ≤ −εT (t)W1ε(t) − θ0−1∆zT (t)W2∆z(t) − µ−1ηT (t)W3η(t) − 2µ (c(t) − c0 )T (c(t) − c0 ) + 2µδ ,
где δ = δ12 + δ22 + δ32 + δ42 .
С учетом (23) оценим последнее неравенство:
P(t) ≤ −χV (t) + 2µδ ,
χ
=
min
⎧ ⎨ ⎩
λmin λmax
(W1) (H1)
,
λmin (W2 ) θ0λmax (H2
)
,
λmin (W3) µλmax (H3)
,
2µ⎫⎬ ⎭
.
( )Решив данное неравенство, получим P(t) ≤ P(0)e−χt + 2µχ−1 1 − e−χt δ . Используя это
выражение, найдем оценку δ в целевом условии (3) при t = τ:
( ( ) )δ ≤ λm−1in (H1) P(0)e−χτ + 2µχ−1 1− e−χτ δ .
Из этого неравенства очевидно, что, уменьшая величину µ, можно достичь требуемой
точности оценки δ в выражении (3). Очевидно, что условия (20) грубые, однако из них следу-
ет, что существует значение θ, при котором алгоритм управления, разработанный для минимально-фазовых систем, работоспособен для определенного класса неминимально-фазовых объектов.
Статья подготовлена по результатам работ, выполненных при финансовой поддержке федеральной целевой программой „Исследования и разработки по приоритетным направлениям развития научно-технологического комплекса России на 2007—2013 гг.“ (государственный контракт № 11.519.11.4007).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Андриевский Б. Р., Фрадков А. Л. Избранные главы теории автоматического управления с примерами на языке MATLAB. СПб: Наука, 1999.
2. Цыкунов А. М. Применение адаптивного динамического регулятора для управления объектом по выходу // Тр. Междунар. конф. „Идентификация систем и задачи управления“ SICPRO’2005 / Ин-т проблем управления М., 2005. С. 1349—1357.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2013. Т. 56, № 3
Адаптивное управление неминимально-фазовыми нелинейными объектами
37
3. Цыкунов А. М. Модифицированный адаптивный алгоритм высокого порядка для управления линейным объектом по выходу // Автоматика и телемеханика. 2006. № 8. С. 143—152.
4. Халил Х. К. Нелинейные системы. СПб: НИЦ „Регулярная и хаотическая динамика“, 2009.
5. Atassi A. N., Khalil H. K. A separation principle for the stabilization of class of nonlinear systems // IEEE Trans. Automat. Control. 1999. Vol. 44, N 9. P. 1672—1687.
Игорь Борисович Фуртат
Сведения об авторе — канд. техн. наук, доцент; Санкт-Петербургский национальный иссле-
довательский университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра систем управления и информатики; E-mail: cainenash@mail.ru
Рекомендована Институтом проблем машиноведения РАН
Поступила в редакцию 04.10.12 г.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2013. Т. 56, № 3
УДК 519.7
И. Б. ФУРТАТ
АДАПТИВНОЕ УПРАВЛЕНИЕ НЕМИНИМАЛЬНО-ФАЗОВЫМИ НЕЛИНЕЙНЫМИ ОБЪЕКТАМИ
Представлено решение задачи адаптивного управления определенным классом нелинейных неминимально-фазовых объектов, когда измерению доступны только скалярные входной и выходной сигналы объекта. Приведены зависящие от параметров модели объекта и системы управления условия, при выполнении которых алгоритм управления, разработанный для минимально-фазовых объектов, работоспособен для неминимально-фазовых систем.
Ключевые слова: нелинейный объект, неминимально-фазовый объект, адаптивное управление, сингулярно возмущенная система.
Введение. При решении задачи управления объектом в условиях неопределенности, ко-
гда измерению доступны только скалярные входной и выходной сигнал объекта, часто вы-
двигается предположение о его минимально-фазовости. Наряду с этим в настоящее время
предложены несколько решений по управлению неминимально-фазовыми объектами со ска-
лярными входным и выходным сигналами в условиях неопределенности. Например, в рабо-
те [1] для управления неминимально-фазовыми устойчивыми объектами используется метод
шунтирования. Последовательный компенсатор, позволяющий получить расширенную мо-
дель объекта с векторным управлением, рассмотрен в работе [2], однако это решение эффек-
тивно лишь для стабилизации объекта, который не подвержен воздействию внешних некон-
тролируемых возмущений.
В настоящей статье рассматривается решение задачи адаптивного слежения за эталон-
ным выходным сигналом неминимально-фазовых нелинейных объектов определенного клас-
са. Для синтеза закона управления используется модифицированный алгоритм адаптации вы-
сокого порядка [3]. Получены зависящие от параметров объекта и системы управления усло-
вия, при выполнении которых алгоритм, разработанный для минимально-фазовых систем,
работоспособен и для неминимально-фазовых объектов.
Постановка задачи. Рассмотрим объект, модель которого описывается уравнением
Q( p) y(t) + N ( p)g(y(t)) = kR( p)u(t) , pi y(0) = yi , i = 1, ..., n ,
(1)
где y(t), u(t) — скалярные выходной сигнал объекта и сигнал управления, доступные измере-
нию; Q(p), N(p), R(p) — нормированные дифференциальные операторы; g(y(t)) — известная
липшицева по y(t) гладкая нелинейность; p = d / dt — оператор дифференцирования; k > 0 —
неизвестный коэффициент; yi — неизвестные начальные условия. Эталонную модель объекта определим уравнением
Qm ( p) ym (t) = kmr(t) ,
(2)
здесь ym(t) — выходной сигнал эталонной модели; r(t) — ограниченное задающее воздействие; Qm(p) — известный нормированный дифференциальный оператор с постоянными коэф-
фициентами, причем Qm(λ) — гурвицев, где λ — комплексная переменная; km > 0 — известный коэффициент.
П р е д п о л о ж е н и е 1. Коэффициенты операторов Q(p), N(p), R(p) и коэффициент k —
неизвестные числа, которые зависят от вектора неизвестных параметров ϑ ∈ Ξ, где Ξ — из-
вестное замкнутое множество возможных значений данных коэффициентов.
П р е д п о л о ж е н и е 2. Известны deg Q(p) = deg Qm(p) = n, deg R(p) = m, deg N(p) < n и
относительная степень γ = n – m > 1.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2013. Т. 56, № 3
Адаптивное управление неминимально-фазовыми нелинейными объектами
31
Цель управления — синтез непрерывного закона регулирования, обеспечивающего ограниченность всех сигналов в замкнутой системе и выполнение целевого условия
y(t) − ym (t) < δ при t ≥ τ и ∀ϑ ∈ Ξ,
(3)
где τ > 0 — момент времени, характеризующий начало выполнения неравенства (3); δ > 0 — малое число.
Метод решения. Запишем оператор R(p) в виде
R( p) = R+ ( p)R− ( p) ,
(4)
где R+(λ) и R–(λ) — многочлены с положительными и отрицательными вещественными частями корней соответственно; deg R+(p) = m1, deg R–(p) = m2.
Положим, что оператор R+(p) можно представить в виде следующей суммы:
R+ ( p) = R0 ( p) + θp∆R0 ( p) ,
(5)
где R0(λ) — произвольный известный гурвицев многочлен, deg R0(p) = m1, θ > 0 — малый параметр. Запишем выражение (1), подставив в него уравнения (4) и (5):
Q(
p)
y(t )
+
N
(
p)g
(
y(t))
=
kR−
(
p)R0
(
p)
⎢⎡1 ⎣
+
θp∆R0 ( p) R0 ( p)
⎤ ⎥ ⎦
u (t )
.
Перепишем уравнение (6) в форме уравнений состояний:
(6)
x(t) = Ax(t) + Dg ( y(t)) + B (u(t) + σ(t));⎫
y(t) = L1x(t);
⎪ ⎪
z(t) = θ−1Fz(t) + Nu(t);
⎬ ⎪
(7)
σ(t) = L2 z(t),
⎭⎪
где x(t) ∈ Rn, z(t) ∈ Rm1 — векторы состояния медленных и быстрых составляющих соответ-
ственно; A, D, B, F, N, L1, L2 — числовые матрицы, полученные при переходе от выражения (6) к (7).
При σ(t) = 0 первое уравнение системы (7) является минимально-фазовым, так как матрицы A, B и L1 зависят от коэффициентов устойчивых многочленов Q(λ) и kR–(λ)R0(λ). Третье же уравнение системы (7) является неминимально-фазовым, поскольку матрицы F, N и L2 зависят от коэффициентов устойчивого R0(λ) и неустойчивого ∆R0(λ) многочленов. Поэтому необходимо определить возмущение σ(t), при котором характер изменения системы (7) при
σ(t) ≠ 0 будет подобен характеру изменения системы (7) при σ(t) = 0. Воспользуемся теоремой об устойчивости сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений [4], в соответствии с которой систему (7) перепишем следующим образом:
x(t) = Ax(t) + Dg ( y(t)) + B (u(t) + σ(t));⎫
y(t) = L1x(t); θz(t) = Fz(t) + θNu(t),
⎪⎪ ⎬ ⎪
σ(t) = L2 z(t).
⎭⎪
Согласно теореме [4] рассмотрим сначала последнюю систему при θ = 0:
x(t) = Ax(t) + Dw( y(t)) + B (u(t) + σ(t));⎫
y(t) = L1x(t),
⎪ ⎬
0 = Fz (t), σ(t) = L2 z (t).
⎪ ⎭
(8)
Третье уравнение системы (8) имеет нулевое решение z(t) = 0 , а значит, и σ (t) = 0 .
Преобразуем в системе (8) первое уравнение к виду
Q( p) y(t) + N ( p)g ( y(t)) = kR− ( p)R0 ( p)u(t) .
(9)
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2013. Т. 56, № 3
32 И. Б. Фуртат
Запишем операторы R–(p)R0(p) и Q(p) в виде сумм:
R− ( p)R0 ( p) = 1 + ∆R( p) , Q( p) = Qm ( p) + ∆Q( p) ,
(10)
здесь ∆R(p), ∆Q(p) — остатки разложения, deg ∆R(p) = m, deg ∆Q(p) < n.
С учетом выражений (2), (9) и (10) сформируем ошибку слежения e(t) = y(t) – ym(t):
( )Qm ( p)e(t) = k u(t) + ∆R( p)u(t) − k −1∆Q( p) y(t) − k −1N ( p)g ( y(t)) − k −1kmr(t) . (11)
Для синтеза закона управления воспользуемся модифицированным алгоритмом адапта-
ции высокого порядка [5]. В соответствии с работой [3] зададим закон управления u(t):
u(t) = T ( p)v (t) = T ξ(t) , v(t) = cT (t)w(t) ,
(12)
где T(p) — линейный дифференциальный оператор, причем T(λ) — гурвицев, deg T(p) = n – 1; v(t) — оценка вспомогательного управляющего воздействия v(t); T — матрица-строка, со-
ставленная из коэффициентов оператора T(p); ξ(t) = ⎣⎡v (t), v (t), ... , v (n−1) (t)⎤⎦T ; c(t) — вектор
настраиваемых параметров;
w(t)
=
⎡⎣VuT
(t),
VyT
(t ),
VgT
(t),
y(t),
vr
(t)
⎤T ⎦
— вектор регрессии,
сформированный с помощью следующих фильтров:
Vu (t) = KVu (t) + bu(t), Vu (0) = 0; Vy (t) = KVy (t) + by(t), Vy (0) = 0;
⎫ ⎪ ⎪
Vg (t) = KVg (t) + bg ( y(t)), Vg (0) = 0;
⎬ ⎪
Vr (t) = KVr (t) + br(t), vr (t) = LVr (t), Vr (0) = 0.⎭⎪
(13)
Здесь Vu(t), Vy(t), Vg(t), Vr(t) ∈ Rn – 1; K — матрица в форме Фробениуса с характеристическим многочленом T(λ); b = [0, …, 0, 1]T и L = [1, 0, …, 0] имеют соответствующие размер-
ности.
С учетом выражений (12) и (13) уравнение (11) преобразуем к виду
Qm ( p)e(t) = kT ( p) ⎡⎣⎢(c(t) − c0 )T w(t) + v (t) − v(t)⎤⎥⎦ ,
где с0 — вектор неизвестных параметров, зависящий от коэффициентов операторов ∆R(p),
∆Q(p)/k, N(p)/k и коэффициента km/k.
Для реализации закона управления (12) введем наблюдатель [5]
ξ(t) = G0ξ(t) + Φ0 (v (t) − v(t)), v (t) = Lξ(t), ξ(0) = 0,
(14)
здесь ξ(t) ∈ Rn,
G0
=
⎡0 ⎢⎣0
I
n−1
0
⎤ ⎥⎦
;
In – 1
—
квадратная
единичная
матрица
порядка
n – 1;
Φ0
=
− ⎣⎡d1µ−1,
d2µ−2 , ... ,
dn
µ−n
⎤T ⎦
,
µ
>
0
—
достаточно
малая
величина,
d1,
…,
dn
выбираются
исходя из условий гурвицевости матрицы G = G0 − ΦL , Φ = [d1, d2 , ... , dn ]T .
Введем в рассмотрение вектор ошибки оценки производных η(t) = Г−1 [ξ(t) − ς(t)] , где
Γ = diag{µn – 1, µn – 2, …, µ, 1}, ς(t) = ⎣⎡v(t), v(t), ... , v(n−1) (t)⎦⎤T . Взяв производную по времени от η(t) , с учетом выражений (14) получим
η (t) = µ−1Gη(t) + bv(n+1) (t),⎪⎫
v (t) − v(t) = µn−1Lη(t).
⎬ ⎪⎭
Преобразуем последнюю систему относительно выходной переменной:
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2013. Т. 56, № 3
Адаптивное управление неминимально-фазовыми нелинейными объектами
33
η (t) = µ−1Gη(t) + bv(t), v (t) − v(t) = µn−1Lη(t),
(15)
где ηi (t) = ηi (t) − µi−nv(i) (t) , i = 2, …, n – 1, η1(t) = η1(t) ; b = ⎡⎣µ1−n , 0, ... , 0⎤⎦T .
Принимая во внимание выражения (15), преобразуем уравнение (11) к форме
Qm ( p)e(t) = kT ( p) ⎢⎣⎡(c(t) − c0 )T w(t) + µn−1Lη(t)⎤⎥⎦ .
(16)
Утверждение 1. Пусть выполнены условия предположений 1 и 2. Тогда существуют матрица Λ = ΛT > 0 и числа α > 0, µ0 > 0, такие что при µ < µ0 и θ = 0 система, состоящая из уравнений (12)—(16), совместно с алгоритмом адаптации
c(t) = −Λe(t)w(t) − αc(t) , c(0) = c0
(17)
диссипативна и выполнено целевое условие (3).
Доказательство утверждения 1 аналогично доказательству, приведенному в работе [3].
Однако согласно постановке задачи объект управления (1) неминимально-фазовый. По-
этому получим условия работоспособности алгоритма (12)—(14) для исходной модели (7).
Введем вектор отклонений ∆z(t) = z(t) − z(t) для быстрых составляющих систем (7) и (8):
∆z(t)
=
1 θ
F ∆z(t)
+
Nu (t ),
∆σ(t )
=
L2 ∆z (t )
.
(18)
Тогда уравнение для ошибки e(t), записанной в форме уравнений состояния, будет
иметь следующий вид:
ε(t) = Amε(t) + kBm ⎣⎢⎡(c(t) − c0 )T w(t) + µn−1Lη(t)⎥⎤⎦ + Bm1ψ(t), e(t) = Lε(t).
(19)
Здесь ε(t) ∈ Rn; Am, Bm, Bm1 — числовые матрицы, полученные при переходе от уравнения (16) к (19) с учетом результатов (18); ψ(t) = R–(p)R0(p)σ(t)/(Qm(p)).
Утверждение 2. Пусть выполнены условия предположений 1 и 2. Существуют числа
µ > 0 и θ0 > 0, такие что решениями матричных неравенств
( )AmT H1
+
H1 Am
+ 2k 2µ2n−2 H1Bm L ( H1Bm L)T
+
2 µ
H1Bm1
H1Bm1
T ≤ −W1;
⎫ ⎪ ⎪
FT H2
+ H2F
+
2θ0 µ
H2 NTG0 ( H2 NTG0 )T
+ 2θ0µ2n−2 H2 NT Φ0 L ( H2 NT Φ0 L)T
≤ −W2 ,⎬⎪ (20) ⎪
( )GT H3 + H3G + 4µIn + 2H2b H2b T ≤ −W3
⎪ ⎪ ⎭
являются положительно-определенные матрицы H1, H2 и H3, где W1 = W1T > 0 , W2 = W2T > 0 ,
W3 = W3T > 0 , k ≤ k . Тогда при θ < θ0 система, состоящая из уравнений (12)—(14), (18), (19),
диссипативна и выполнено целевое условие (3).
Доказательство утверждения 2 приведено в Приложении.
Пример. Пусть модель объекта управления задана следующим уравнением:
( ) ( )p3 + a2 p2 + a1 p + a0 y(t) + p2 + f1 p + f0 ln (2 + sin y(t)) = k (1− θp)u(t) .
(21)
Класс неопределенности Ξ задан неравенствами: –5≤ ai ≤5; –1≤ fj ≤1; i = 0, 1, 2; j = 0, 1; 1 ≤ k ≤ 2. Множество значений θ > 0 подлежит определению.
Эталонную модель определим уравнением ( p + 1)3 ym (t) = r(t) , r(t) = 1 + 2sin t .
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2013. Т. 56, № 3
34 И. Б. Фуртат
Зададим оператор T(p) в виде T(p) = p2 + 2p + 1 и сформируем фильтры (13) следующим образом:
Vu
(t
)
=
⎡ ⎢ ⎣
0 −1
−12⎦⎤⎥Vu
(t
)
+
⎡0⎤ ⎣⎢1⎦⎥
u(t
),
Vu (0)
=
0;
Vy (t)
=
⎡0 ⎢⎣− 1
−12⎦⎥⎤V
y
(t
)
+
⎡0⎤ ⎢⎣1⎥⎦
y
(t
),
Vg
(t)
=
⎡0 ⎣⎢−1
1⎤ −2⎦⎥
Vg
(t)
+
⎡0⎤ ⎣⎢1⎦⎥
ln
(
2
+
sin
y(t
)
)
,
Vg (0) = 0;
Vr
(t)
=
⎡0 ⎣⎢−1
1⎤ −2⎦⎥
Vr
(t
)
+
⎡0⎤ ⎣⎢1⎥⎦
r
(t),
vr (t) = [1, 0]Vr (t),
Vr (0) = 0 .
Vy (0) = 0;
Вектор регрессии зададим как w(t) = ⎡⎣VyT (t), VuT (t), VgT (t), y(t), vr (t)⎦⎤T . Выберем Φ = [3, 3, 1]T и µ = 0,01 и сформируем наблюдатель (14) в виде
⎡⎢⎢ξξ12
(t) ⎤ (t)⎥⎥
⎣⎢ξ3 (t)⎦⎥
=
⎡0 ⎢⎢0 ⎢⎣0
1 0 0
0⎤ 1⎥⎥ 0⎦⎥
⋅
⎡ ξ1 ⎢⎢ξ2 ⎣⎢ξ3
(t) ⎤ (t)⎥⎥ (t ) ⎦⎥
+
⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣
−3 −3 −1
⋅10−2 ⋅10−4 ⋅10−6
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦
(
v
(t
)
−
v(t)
)
,
v (t) = [1
0
0]ξ(t),
ξ(0) = 0.
{ }Пусть Λ = diag 10I3, 10−5 I2 , 10 и α = 0,01, тогда закон управления (12) и алгоритмы
адаптации (17) могут быть сформированы как
u(t) = ξ1(t) + 2ξ2 (t) + ξ3 (t), v(t) = cT (t)w(t),
{ }c(t) = −diag 10I3 , 10−5 I2 , 10 e(t)w(t) − 0, 01c(t), c(0) = 0.
Оценим интервал изменения для числа θ с помощью неравенств (20), в котором алгоритм, разработанный для минимально-фазовых объектов, будет работоспособен и для неминимально-фазовых систем. Для этого предположим, что объект (21) можно представить в виде (7):
⎡−a2 1 0⎤
⎡ −1 ⎤
⎡0⎤
⎫
x(t)
=
⎢ ⎢
−a1
⎣⎢−a0
0 0
1⎥⎥
x(t )
+
⎢ ⎢
−
f1
⎥ ⎥
ln (2
+
sin
y(t))
+
k
⎢⎢θ⎥⎥ (u(t)
+
σ(t ) ) ,
y(t)
=
[1
0⎥⎦ ⎣⎢− f0 ⎦⎥
⎣⎢1⎥⎦
0
0]
x(t ), ⎪⎪ ⎬
(22)
⎪
z(t) = −θ−1z(t) − 2u(t), σ(t) = z(t).
⎪⎭
Покажем, что система (22) соответствует (21). С учетом того, что y(t) = x1(t) и σ(t) = z(t), преобразуем (22) к виду
( ) ( )p3 + a2 p2 + a1 p + a0 y(t) + p2 + f1 p + f0 ln (2 + sin y(t)) = k (u(t) + θu(t) + σ(t) + θσ (t)),
σ(t) + θσ (t) = −2θu(t).
Подставив второе уравнение в первое, получим систему (21). Пусть в системе (20) W1 = 10–5I3, W2 = θ0 и W3 = I3. Заменим матричные неравенства (20)
равенствами. Тогда эти уравнения будут иметь решения при θ0 ∈ (0; 0,006]. Значения θ0, полученные при моделировании для объекта (21) с параметрами a2 = a1 = a0 = –5, f1 = f0 = –0,5, k = 1 для 1-го варианта и a2 = –3, a1 = –1, a0 = 3, f1 = f0 = 1, k = 2 — для 2-го варианта, находят-
ся в интервале θ0 ∈ (0; 0,02].
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2013. Т. 56, № 3
Адаптивное управление неминимально-фазовыми нелинейными объектами
35
Для иллюстрации работоспособности предложенной схемы управления примем, что объект управления начинает функционировать при начальных условиях y(0) = y(0) = y(0) = 1
и θ0 = 0,02. На рисунке, а, б приведены графики переходных процессов по ошибке слежения e(t) при заданных параметрах объекта (21) для первого и второго вариантов соответственно.
а) б) e(t) e(t)
12
01
–1 0
–2 –1
–3 –2
0 5 10 15 20 25 t, c
0 2 4 6 8 t, c
Заключение. Решена задача адаптивного управления нелинейным неминимально-
фазовым динамическим объектом со скалярным входным и выходным сигналами. При реше-
нии предполагалось, что объект управления можно представить в виде основного контура,
описываемого минимально-фазовой передаточной функцией, и действующего на него воз-
мущения, описываемого неминимально-фазовой системой. Модель объекта была декомпози-
рована на систему сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений, где определя-
лись ограничения на малый параметр, при котором алгоритм управления работоспособен.
Как показали результаты расчетов, ограничения на малый параметр зависят от параметров
самого объекта управления и параметров настройки в алгоритме регулирования. Получено
условие для нулей передаточной функции исходного объекта, при выполнении которого ал-
горитмы, разработанные для минимально-фазовых систем, работоспособны и для немини-
мально-фазовых объектов.
ПРИЛОЖЕНИЕ
Доказательство утверждения 2. С учетом выражений (12) и (14) преобразуем уравне-
ние (18):
( )∆z(t) = θ−1F ∆z(t) + bT G0ξ(t) + Φ0µn−1Lη(t) , ∆σ(t) = L1∆z(t).
(23)
Перепишем уравнения (19), (23) и (15) следующим образом:
( )ε(t) = Amε(t) +
θ∆z(t) = F ∆z(t
kBm (c(t
) + θNT
) − c0 )T
G0 ξ(t )
w(t) + kBmµn−1Lη(t + Φ0µn−1Lη(t) ,
)
+
Bm1ψ(t
);⎫⎪⎪ ⎬
η (t) = µ−1Gη(t) + bv(t).
⎪ ⎭⎪
(24)
Воспользуемся первой леммой из работы [4], взяв функцию Ляпунова в виде
P(t) = εT (t)H1ε(t) + ∆zT (t)H2∆z(t) + ηT (t)H3η(t) + (c(t) − c0 )T (c(t) − c0 ) .
(25)
Согласно лемме [4] рассмотрим систему (24) при θ = 0. Тогда второе уравнение этой
системы имеет нулевое решение: ∆z(t) = 0. Значит, функция
R−
( p)R0 ( Qm ( p)
p)
σ(t
)
ограничена в
силу гурвицевости многочленов Qm(λ), R0(λ). В соответствии с утверждением 1 система (24) диссипативна и все переменные в ней ограничены. Тогда |ψ(t)| < δ1, |ξ(t)| < δ2, v(t) < δ3 , |c(t) –
–c0(t)| < δ4, где δi > 0, i= 1, …, 4.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2013. Т. 56, № 3
36 И. Б. Фуртат
Определим теперь значение θ0, при котором исходная система диссипативна. Пусть θ = θ0. Возьмем производную по времени от функции (25) вдоль траекторий (17) и (24):
( )P(t) = εT (t) AmT H1 + H1Am ε(t) + 2εT (t)H1kBm (c(t) − c0 )T w(t) +
( )+2εT (t)H1kµn−1BmLη(t) + 2εT (t)H1Bm1ψ(t) + θ0−1∆zT (t) FT H2 + H2F ∆z(t) +
( )+2∆zT (t)H2NT G0ξ(t) + Φ0µn−1Lη(t) +
( )+µ−1ηT (t) GT H3 + H3G η(t) + 2ηT (t)H3bv(t) + 2cT (t)(c(t) − c0 ).
Воспользуемся следующими оценками:
2εT (t)H1kµn−1Bm Lη(t) ≤ 2k 2µ2n−2εT (t)H1Bm L ( H1Bm L)T ε(t) + 2ηT (t)η(t) ;
( )2εT (t)H1Bm1ψ(t) ≤ 2µ−1εT (t) H1Bm1 T H1Bm1ε(t) + 2µδ12 ;
2∆zT (t)H2 NTG0ξ(t) ≤ 2µ−1∆zT (t)H2 NTG0 ( H2 NTG0 )T ∆z(t) + 2µδ22 ;
2∆zT (t)H2 NTD0µn−1Lη(t) ≤ 2µ2n−2∆zT (t)H2 NT Φ0 L ( H2 NT Φ0 L)T ∆z(t) + 2ηT (t)η(t) ,
( )2ηT
(t ) H 2 bv(t )
≤
2 µ
ηT
(t ) H 2b
H2b
T η(t) + 2µδ32 .
Подставив оценки в производную функции Ляпунова, с учетом системы (20) получим
P(t) ≤ −εT (t)W1ε(t) − θ0−1∆zT (t)W2∆z(t) − µ−1ηT (t)W3η(t) − 2µ (c(t) − c0 )T (c(t) − c0 ) + 2µδ ,
где δ = δ12 + δ22 + δ32 + δ42 .
С учетом (23) оценим последнее неравенство:
P(t) ≤ −χV (t) + 2µδ ,
χ
=
min
⎧ ⎨ ⎩
λmin λmax
(W1) (H1)
,
λmin (W2 ) θ0λmax (H2
)
,
λmin (W3) µλmax (H3)
,
2µ⎫⎬ ⎭
.
( )Решив данное неравенство, получим P(t) ≤ P(0)e−χt + 2µχ−1 1 − e−χt δ . Используя это
выражение, найдем оценку δ в целевом условии (3) при t = τ:
( ( ) )δ ≤ λm−1in (H1) P(0)e−χτ + 2µχ−1 1− e−χτ δ .
Из этого неравенства очевидно, что, уменьшая величину µ, можно достичь требуемой
точности оценки δ в выражении (3). Очевидно, что условия (20) грубые, однако из них следу-
ет, что существует значение θ, при котором алгоритм управления, разработанный для минимально-фазовых систем, работоспособен для определенного класса неминимально-фазовых объектов.
Статья подготовлена по результатам работ, выполненных при финансовой поддержке федеральной целевой программой „Исследования и разработки по приоритетным направлениям развития научно-технологического комплекса России на 2007—2013 гг.“ (государственный контракт № 11.519.11.4007).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Андриевский Б. Р., Фрадков А. Л. Избранные главы теории автоматического управления с примерами на языке MATLAB. СПб: Наука, 1999.
2. Цыкунов А. М. Применение адаптивного динамического регулятора для управления объектом по выходу // Тр. Междунар. конф. „Идентификация систем и задачи управления“ SICPRO’2005 / Ин-т проблем управления М., 2005. С. 1349—1357.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2013. Т. 56, № 3
Адаптивное управление неминимально-фазовыми нелинейными объектами
37
3. Цыкунов А. М. Модифицированный адаптивный алгоритм высокого порядка для управления линейным объектом по выходу // Автоматика и телемеханика. 2006. № 8. С. 143—152.
4. Халил Х. К. Нелинейные системы. СПб: НИЦ „Регулярная и хаотическая динамика“, 2009.
5. Atassi A. N., Khalil H. K. A separation principle for the stabilization of class of nonlinear systems // IEEE Trans. Automat. Control. 1999. Vol. 44, N 9. P. 1672—1687.
Игорь Борисович Фуртат
Сведения об авторе — канд. техн. наук, доцент; Санкт-Петербургский национальный иссле-
довательский университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра систем управления и информатики; E-mail: cainenash@mail.ru
Рекомендована Институтом проблем машиноведения РАН
Поступила в редакцию 04.10.12 г.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2013. Т. 56, № 3