ОБОБЩЕННОЕ МОДАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ В ЗАДАЧЕ СИНТЕЗА ПАРАМЕТРИЧЕСКИ ИНВАРИАНТНЫХ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ
Обобщенное модальное управление в задаче синтеза дискретных систем
11
УДК 62-50
О. В. СЛИТА, А. В. УШАКОВ
ОБОБЩЕННОЕ МОДАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ В ЗАДАЧЕ СИНТЕЗА ПАРАМЕТРИЧЕСКИ ИНВАРИАНТНЫХ
ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ*
Рассматривается дискретный объект управления с неопределенностью в матрице состояния. Задача обеспечения инвариантности решается за счет использования свойств спектров собственных значений и собственных векторов матричной функции от матрицы с привлечением возможностей обобщенного модального управления. Приводится пример.
Ключевые слова: дискретный объект, неопределенность матрицы состояния, собственные векторы, обобщенное модальное управление.
Введение. При синтезе систем с применением классической теории управления используется положение о том, что математическая модель объекта известна и абсолютно точно описывает его поведение. Однако современные подходы к постановке и решению задач анализа и синтеза систем управления характеризуются наличием положения о неопределенности задания модели объекта [1—3], в частности, о неточности знания ее параметров. В настоящей работе рассматривается дискретный объект управления с неопределенностью матрицы состояния.
Постановка задачи. Рассмотрим дискретный объект управления (ОУ) следующего вида
x(k +1) = ( A + ∆A)x(k) + Bu(k) , y(k) = Cx(k) ,
(1)
в котором x ∈ Rn , u ∈ Rr , y ∈ Rm — векторы состояния, управления и выхода; A∈ Rn×n ,
B ∈ Rn×r , C ∈ Rm×n — матрицы состояния, управления и выхода; ∆A — матрица состояния с
неточно заданными параметрами.
При функционировании ОУ (1) в составе системы на его выходе y (k ) воспроизводится
внешнее задающее воздействие g (k ) с требуемыми показателями качества. Построим закон
управления (ЗУ) в форме прямой связи по задающему воздействию с матрицей Kg и отрица-
тельной обратной связи по вектору состояния с матрицей K . Предположим также, что переменные состояния и задающее воздействие доступны измерению. Тогда ЗУ принимает вид
u(k) = Kg g(k) − Kx(k) .
(2)
Объединив ЗУ (2) с ОУ (1), получим замкнутую систему вида
x(k +1) = Fx(k) + Gg(k) + ∆Ax(k) ; y(k) = Cx(k) ,
(3)
где F = A − BK , G = BKg .
Синтезируемый закон управления должен обеспечивать параметрическую инвариант-
ность выхода системы y(k) к неопределенности ∆A задания матрицы состояния исходного
дискретного объекта
y(k, g(k), F , ∆A ≠ 0) = y(k, g(k), F , ∆A ≡ 0) .
(4)
* Работа выполнена при финансовой поддержке ФЦП „Научные и научно-педагогические кадры инновационной России“ на 2009—2013 гг. (соглашение № 14.B37.21.0875).
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2013. Т. 56, № 4
12 О. В. Слита, А. В. Ушаков
Основной результат. Представим матрицу ∆A в виде суммы минимального числа матричных компонентов, каждый из которых характеризуется единичным рангом
∑p
=
arg min
p
⎨⎧⎪∆A ⎪⎩
=
p
∆Aj
j=1
& rank∆Aj
= 1⎪⎫⎬ ⎭⎪
.
С использованием выражения (5) член ∆Ax(k) в (3) можно записать в форме
(5)
⎡1⎤ ⎡ x1(k) ⎤
∆Ax(k
)
=
⎢⎢0⎥⎥ ⎢⎥
[
∆A11
∆A12
…
∆A1n
]
⎢ ⎢ ⎢
x2
(k
)⎥⎥ ⎥
+
⎢⎣0⎥⎦
⎢ ⎣
xn
(k
)⎦⎥
⎡0⎤ ⎡ x1(k) ⎤
+
⎢⎢1 ⎢
⎥ ⎥ ⎥
[
∆A21
∆A22
…
∆A2n
]
⎢ ⎢ ⎢
x2
(k
)⎥⎥ ⎥
+
⎢⎣0⎦⎥
⎢ ⎣
xn
(k
)⎥⎦
⎡0⎤ ⎡ x1(k) ⎤
+
⎢⎢0⎥⎥ ⎢⎥
[
∆An1
∆An2
…
∆Ann
]
⎢ ⎢ ⎢
x2
(k
)
⎥ ⎥ ⎥
.
⎢⎣1⎥⎦
⎢ ⎣
xn
(k
)⎦⎥
(6)
Представим цепочку соотношений (6) в компактной форме. Для этого на левых сомножи-
телях аддитивных векторно-матричных компонентов построим (n × p) -матрицу D в форме
D = row{Dj , j = 1, p}
и введем в рассмотрение p -мерный вектор параметрического воздействия ζ(k)
{ }ζ(k) = col ζ j (k), j = 1, p ,
(7)
компоненты которого ζ j (k) задаются соотношениями
⎡ x1(k) ⎤
ζ j (k) = ⎣⎡∆Aj1
∆A j 2
…
∆Ajn
⎦⎤
⎢ ⎢ ⎢
x2
(k
)⎥⎥ ⎥
=
(∆A)
j
x(k
)
.
⎢ ⎣
xn
(k
)⎦⎥
(8)
Здесь (∆A) j — j-я строка матрицы ∆A . Используя (7) и (8), представим матрично-векторный
компонент ∆Ax(k) как
p
∑∆Ax(k) = Djζ j (k) = D ζ(k) . j=1
Перейдем к представлению системы (3) в форме
x(k +1) = Fx(k) + Gg(k) + Dζ(k); y(k) = Cx(k) ,
(9)
не содержащей матричных неопределенностей, но характеризующейся дополнительным параметрическим воздействием ζ(k) на выход y(k) .
Модель (9) позволяет переформулировать поставленную задачу обеспечения параметрической инвариантности как задачу обеспечения сигнальной инвариантности
y(k, F, g(k), ζ(k) ≠ 0) = y(k, F, g(k), ζ(k) ≡ 0) .
(10)
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2013. Т. 56, № 4
Обобщенное модальное управление в задаче синтеза дискретных систем
13
Переходя к передаточным функциям, перепишем (10) следующим образом:
Y (z, g(z), ζ(z) ≠ 0) = Φ yg (z)g(z) + Φ yζ (z)ζ(z) = Φ yg (z)g(z) ,
(11)
где g(z) — Z-преобразование задающего воздействия g(t) , ζ(z) — Z-преобразование пара-
метрического воздействия ζ(k) , Φ yg (z) — передаточная функция отношения „задающее
воздействие — выход системы“, Φ yζ (z) — передаточная функция отношения „параметриче-
ское воздействие — выход системы“. Очевидно, что равенство (11) при ζ(z) ≠ 0 выполняется, когда
Φ yζ (z) = 0 .
(12)
Покажем, какими алгебраическими свойствами должны обладать матричные компоненты модели (9), чтобы выполнялось соотношение (12).
Утверждение. Для того чтобы система (9) обладала параметрической инвариантностью в смысле условия (10), достаточно, чтобы
1) столбцы D j матрицы D были бы собственными векторами матрицы F ;
2) столбцы D j принадлежали ядру матрицы C , т.е. чтобы выполнялось соотношение
CDj = 0 .
(13)
Доказательство. Если D j является собственным вектором матрицы F , соответствую-
щим ее собственному значению λ j , то становится [4] справедливым равенство
FD j = λ j D j .
Будем использовать свойство матричной функции от матрицы сохранять геометрический спектр собственных векторов исходной матрицы и иметь в качестве элементов алгеб-
раического спектра собственных значений компоненты f (λ j ) [4], тогда будет справедливо
соотношение
f (F )D j = f (λ j )Dj .
В решаемой задаче матричной функцией от матрицы F является резольвента
f (F) = ( zI − F )−1 , входящая в выражение для передаточной функции Φ yζ j (z) :
Φ yζ j (z) = C(zI − F )−1 D j = C(z − λ j )−1D j = (z − λ j )−1CD j .
(14)
Подстановка в соотношение (14) условия (13) приводит к выполнению соотношений (11), (12).
Для решения задачи синтеза параметрически инвариантной системы воспользуемся обобщенным модальным управлением [3, 5—7]. Рассмотрим сначала случай [5, 7], когда матрица управления B является матрицей полного ранга ( rank B = n , n — размерность вектора
состояния x(k) ОУ). Тогда задача параметрической инвариантности может быть решена с
помощью матрицы обратных связей K в форме K = B−1( AM − M Λ)M −1 , где
M = row {ξi , i = 1, n} , Λ = diag{λi , i = 1, n} . В этом случае, задавая в качестве столбцов матри-
цы M столбцы матрицы D , можно обеспечить в системе желаемую структуру собственных векторов. Матрицу K получим, решив систему уравнений Сильвестра:
M Λ − AM = −BH ,
(15)
K = HM −1 .
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2013. Т. 56, № 4
14 О. В. Слита, А. В. Ушаков
В случае, когда rank B < n , уравнение (15) распадается на
DΛD − AD = −BHD ,
(16)
M Λ − AM = −BH ,
(17)
причем условием разрешимости уравнения (16) относительно матрицы HD является включе-
( )ние столбца D j : λ j I − A Dj ∈ Im B [6, 7]. Уравнение (17) при заданной наблюдаемой паре
(Λ, H ) решается относительно матрицы M . Матрица обратных связей K в этом случае на-
ходится следующим образом:
K = ⎣⎡HD H ⎦⎤ ⎡⎣D M ⎦⎤−1 .
Пример. Рассмотрим дискретный ОУ вида (1) с матрицами
⎡q +1 q + 0,1 0, 004837⎤
⎡1 0,1 0, 004837⎤
⎡0, 0001626⎤
A
+
∆A
=
⎢ ⎢
−2q
−2q +1
0, 0951
⎥ ⎥
,
A = ⎢⎢0
1
0, 0951
⎥ ⎥
,
B
=
⎢ ⎢
0,
004837
⎥ ⎥
,
C
= [2
3
1] ,
⎢⎣ 4q 4q 0,9048 ⎦⎥
⎣⎢0 0 0,9048 ⎥⎦
⎢⎣ 0, 09516 ⎦⎥
где
⎡ 1 1 0⎤ ⎡ 1 ⎤
∆A = ⎢⎢−2 −2 0⎥⎥ q = ⎢⎢−2⎥⎥ [q q 0] = Dh(q)
⎢⎣ 4 4 0⎦⎥ ⎣⎢ 4 ⎦⎥
представлена в параметризованном q виде ( q = q0 + ∆q , c номинальным значением q0 = 0 и
вариацией ∆q ), D = [1 −2 4]T .
В результате синтеза ЗУ получим
⎡ 0,9917 F = A − BK = ⎢⎢−0, 2206
⎣⎢ −3, 407
0, 0928 0, 8057 −3, 092
0, 003152⎤
0, 04867
⎥ ⎥
.
−0,1244 ⎥⎦
Собственные значения дискретной матрицы F λ1 = 0,8188 , λ2 = 0, 6062 , λ3 = 0, 4968 .
Матрица-столбец D = [1 −2 4]T соответствует собственному значению λ1D = 0,8188 . Ус-
ловие CD = 0 выполняется, следовательно Φ yζ (z) = 0 . Таким образом, дискретная система
обладает параметрической инвариантностью выхода. Экспериментально это можно прове-
рить для любого внешнего воздействия g (k ) .
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ackermann J. Robust control systems with uncertain physical parameters. London: Springer-Verlag, 1993.
2. Мирошник И. В., Никифоров В. О., Фрадков А. Л. Нелинейное и адаптивное управление сложными динамическими системами. СПб: Наука, 2000.
3. Никифоров В. О., Слита О. В., Ушаков А. В. Интеллектуальное управление в условиях неопределенности. СПб: СПбГУ ИТМО, 2011.
4. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М.: Наука, 1973.
5. Ушаков А. В. Обобщенное модальное управление // Изв. вузов. Приборостроение. 2002. Т. 43, № 3. С. 8—15.
6. Слита О. В., Ушаков А. В. Обеспечение инвариантности выхода непрерывной системы относительно экзогенных сигнальных и эндогенных параметрических возмущений: алгебраический подход // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2008. № 4. С. 24—32.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2013. Т. 56, № 4
Исследование процессов позитивных систем
15
7. Слита О. В., Ушаков А. В. Достаточные алгебраические условия параметрической инвариантности выхода линейной стационарной системы в первом приближении // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2010. № 6. С. 16—22.
Ольга Валерьевна Слита Анатолий Владимирович Ушаков
Сведения об авторах — канд. техн. наук, доцент; Санкт-Петербургский национальный ис-
следовательский университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра систем управления и информатики; E-mail: o-slita@yandex.ru — д-р техн. наук, профессор; Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра систем управления и информатики; E-mail: ushakov-avg@yandex.ru
Рекомендована кафедрой систем управления и информатики
Поступила в редакцию 13.12.12 г.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2013. Т. 56, № 4
11
УДК 62-50
О. В. СЛИТА, А. В. УШАКОВ
ОБОБЩЕННОЕ МОДАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ В ЗАДАЧЕ СИНТЕЗА ПАРАМЕТРИЧЕСКИ ИНВАРИАНТНЫХ
ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ*
Рассматривается дискретный объект управления с неопределенностью в матрице состояния. Задача обеспечения инвариантности решается за счет использования свойств спектров собственных значений и собственных векторов матричной функции от матрицы с привлечением возможностей обобщенного модального управления. Приводится пример.
Ключевые слова: дискретный объект, неопределенность матрицы состояния, собственные векторы, обобщенное модальное управление.
Введение. При синтезе систем с применением классической теории управления используется положение о том, что математическая модель объекта известна и абсолютно точно описывает его поведение. Однако современные подходы к постановке и решению задач анализа и синтеза систем управления характеризуются наличием положения о неопределенности задания модели объекта [1—3], в частности, о неточности знания ее параметров. В настоящей работе рассматривается дискретный объект управления с неопределенностью матрицы состояния.
Постановка задачи. Рассмотрим дискретный объект управления (ОУ) следующего вида
x(k +1) = ( A + ∆A)x(k) + Bu(k) , y(k) = Cx(k) ,
(1)
в котором x ∈ Rn , u ∈ Rr , y ∈ Rm — векторы состояния, управления и выхода; A∈ Rn×n ,
B ∈ Rn×r , C ∈ Rm×n — матрицы состояния, управления и выхода; ∆A — матрица состояния с
неточно заданными параметрами.
При функционировании ОУ (1) в составе системы на его выходе y (k ) воспроизводится
внешнее задающее воздействие g (k ) с требуемыми показателями качества. Построим закон
управления (ЗУ) в форме прямой связи по задающему воздействию с матрицей Kg и отрица-
тельной обратной связи по вектору состояния с матрицей K . Предположим также, что переменные состояния и задающее воздействие доступны измерению. Тогда ЗУ принимает вид
u(k) = Kg g(k) − Kx(k) .
(2)
Объединив ЗУ (2) с ОУ (1), получим замкнутую систему вида
x(k +1) = Fx(k) + Gg(k) + ∆Ax(k) ; y(k) = Cx(k) ,
(3)
где F = A − BK , G = BKg .
Синтезируемый закон управления должен обеспечивать параметрическую инвариант-
ность выхода системы y(k) к неопределенности ∆A задания матрицы состояния исходного
дискретного объекта
y(k, g(k), F , ∆A ≠ 0) = y(k, g(k), F , ∆A ≡ 0) .
(4)
* Работа выполнена при финансовой поддержке ФЦП „Научные и научно-педагогические кадры инновационной России“ на 2009—2013 гг. (соглашение № 14.B37.21.0875).
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2013. Т. 56, № 4
12 О. В. Слита, А. В. Ушаков
Основной результат. Представим матрицу ∆A в виде суммы минимального числа матричных компонентов, каждый из которых характеризуется единичным рангом
∑p
=
arg min
p
⎨⎧⎪∆A ⎪⎩
=
p
∆Aj
j=1
& rank∆Aj
= 1⎪⎫⎬ ⎭⎪
.
С использованием выражения (5) член ∆Ax(k) в (3) можно записать в форме
(5)
⎡1⎤ ⎡ x1(k) ⎤
∆Ax(k
)
=
⎢⎢0⎥⎥ ⎢⎥
[
∆A11
∆A12
…
∆A1n
]
⎢ ⎢ ⎢
x2
(k
)⎥⎥ ⎥
+
⎢⎣0⎥⎦
⎢ ⎣
xn
(k
)⎦⎥
⎡0⎤ ⎡ x1(k) ⎤
+
⎢⎢1 ⎢
⎥ ⎥ ⎥
[
∆A21
∆A22
…
∆A2n
]
⎢ ⎢ ⎢
x2
(k
)⎥⎥ ⎥
+
⎢⎣0⎦⎥
⎢ ⎣
xn
(k
)⎥⎦
⎡0⎤ ⎡ x1(k) ⎤
+
⎢⎢0⎥⎥ ⎢⎥
[
∆An1
∆An2
…
∆Ann
]
⎢ ⎢ ⎢
x2
(k
)
⎥ ⎥ ⎥
.
⎢⎣1⎥⎦
⎢ ⎣
xn
(k
)⎦⎥
(6)
Представим цепочку соотношений (6) в компактной форме. Для этого на левых сомножи-
телях аддитивных векторно-матричных компонентов построим (n × p) -матрицу D в форме
D = row{Dj , j = 1, p}
и введем в рассмотрение p -мерный вектор параметрического воздействия ζ(k)
{ }ζ(k) = col ζ j (k), j = 1, p ,
(7)
компоненты которого ζ j (k) задаются соотношениями
⎡ x1(k) ⎤
ζ j (k) = ⎣⎡∆Aj1
∆A j 2
…
∆Ajn
⎦⎤
⎢ ⎢ ⎢
x2
(k
)⎥⎥ ⎥
=
(∆A)
j
x(k
)
.
⎢ ⎣
xn
(k
)⎦⎥
(8)
Здесь (∆A) j — j-я строка матрицы ∆A . Используя (7) и (8), представим матрично-векторный
компонент ∆Ax(k) как
p
∑∆Ax(k) = Djζ j (k) = D ζ(k) . j=1
Перейдем к представлению системы (3) в форме
x(k +1) = Fx(k) + Gg(k) + Dζ(k); y(k) = Cx(k) ,
(9)
не содержащей матричных неопределенностей, но характеризующейся дополнительным параметрическим воздействием ζ(k) на выход y(k) .
Модель (9) позволяет переформулировать поставленную задачу обеспечения параметрической инвариантности как задачу обеспечения сигнальной инвариантности
y(k, F, g(k), ζ(k) ≠ 0) = y(k, F, g(k), ζ(k) ≡ 0) .
(10)
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2013. Т. 56, № 4
Обобщенное модальное управление в задаче синтеза дискретных систем
13
Переходя к передаточным функциям, перепишем (10) следующим образом:
Y (z, g(z), ζ(z) ≠ 0) = Φ yg (z)g(z) + Φ yζ (z)ζ(z) = Φ yg (z)g(z) ,
(11)
где g(z) — Z-преобразование задающего воздействия g(t) , ζ(z) — Z-преобразование пара-
метрического воздействия ζ(k) , Φ yg (z) — передаточная функция отношения „задающее
воздействие — выход системы“, Φ yζ (z) — передаточная функция отношения „параметриче-
ское воздействие — выход системы“. Очевидно, что равенство (11) при ζ(z) ≠ 0 выполняется, когда
Φ yζ (z) = 0 .
(12)
Покажем, какими алгебраическими свойствами должны обладать матричные компоненты модели (9), чтобы выполнялось соотношение (12).
Утверждение. Для того чтобы система (9) обладала параметрической инвариантностью в смысле условия (10), достаточно, чтобы
1) столбцы D j матрицы D были бы собственными векторами матрицы F ;
2) столбцы D j принадлежали ядру матрицы C , т.е. чтобы выполнялось соотношение
CDj = 0 .
(13)
Доказательство. Если D j является собственным вектором матрицы F , соответствую-
щим ее собственному значению λ j , то становится [4] справедливым равенство
FD j = λ j D j .
Будем использовать свойство матричной функции от матрицы сохранять геометрический спектр собственных векторов исходной матрицы и иметь в качестве элементов алгеб-
раического спектра собственных значений компоненты f (λ j ) [4], тогда будет справедливо
соотношение
f (F )D j = f (λ j )Dj .
В решаемой задаче матричной функцией от матрицы F является резольвента
f (F) = ( zI − F )−1 , входящая в выражение для передаточной функции Φ yζ j (z) :
Φ yζ j (z) = C(zI − F )−1 D j = C(z − λ j )−1D j = (z − λ j )−1CD j .
(14)
Подстановка в соотношение (14) условия (13) приводит к выполнению соотношений (11), (12).
Для решения задачи синтеза параметрически инвариантной системы воспользуемся обобщенным модальным управлением [3, 5—7]. Рассмотрим сначала случай [5, 7], когда матрица управления B является матрицей полного ранга ( rank B = n , n — размерность вектора
состояния x(k) ОУ). Тогда задача параметрической инвариантности может быть решена с
помощью матрицы обратных связей K в форме K = B−1( AM − M Λ)M −1 , где
M = row {ξi , i = 1, n} , Λ = diag{λi , i = 1, n} . В этом случае, задавая в качестве столбцов матри-
цы M столбцы матрицы D , можно обеспечить в системе желаемую структуру собственных векторов. Матрицу K получим, решив систему уравнений Сильвестра:
M Λ − AM = −BH ,
(15)
K = HM −1 .
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2013. Т. 56, № 4
14 О. В. Слита, А. В. Ушаков
В случае, когда rank B < n , уравнение (15) распадается на
DΛD − AD = −BHD ,
(16)
M Λ − AM = −BH ,
(17)
причем условием разрешимости уравнения (16) относительно матрицы HD является включе-
( )ние столбца D j : λ j I − A Dj ∈ Im B [6, 7]. Уравнение (17) при заданной наблюдаемой паре
(Λ, H ) решается относительно матрицы M . Матрица обратных связей K в этом случае на-
ходится следующим образом:
K = ⎣⎡HD H ⎦⎤ ⎡⎣D M ⎦⎤−1 .
Пример. Рассмотрим дискретный ОУ вида (1) с матрицами
⎡q +1 q + 0,1 0, 004837⎤
⎡1 0,1 0, 004837⎤
⎡0, 0001626⎤
A
+
∆A
=
⎢ ⎢
−2q
−2q +1
0, 0951
⎥ ⎥
,
A = ⎢⎢0
1
0, 0951
⎥ ⎥
,
B
=
⎢ ⎢
0,
004837
⎥ ⎥
,
C
= [2
3
1] ,
⎢⎣ 4q 4q 0,9048 ⎦⎥
⎣⎢0 0 0,9048 ⎥⎦
⎢⎣ 0, 09516 ⎦⎥
где
⎡ 1 1 0⎤ ⎡ 1 ⎤
∆A = ⎢⎢−2 −2 0⎥⎥ q = ⎢⎢−2⎥⎥ [q q 0] = Dh(q)
⎢⎣ 4 4 0⎦⎥ ⎣⎢ 4 ⎦⎥
представлена в параметризованном q виде ( q = q0 + ∆q , c номинальным значением q0 = 0 и
вариацией ∆q ), D = [1 −2 4]T .
В результате синтеза ЗУ получим
⎡ 0,9917 F = A − BK = ⎢⎢−0, 2206
⎣⎢ −3, 407
0, 0928 0, 8057 −3, 092
0, 003152⎤
0, 04867
⎥ ⎥
.
−0,1244 ⎥⎦
Собственные значения дискретной матрицы F λ1 = 0,8188 , λ2 = 0, 6062 , λ3 = 0, 4968 .
Матрица-столбец D = [1 −2 4]T соответствует собственному значению λ1D = 0,8188 . Ус-
ловие CD = 0 выполняется, следовательно Φ yζ (z) = 0 . Таким образом, дискретная система
обладает параметрической инвариантностью выхода. Экспериментально это можно прове-
рить для любого внешнего воздействия g (k ) .
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ackermann J. Robust control systems with uncertain physical parameters. London: Springer-Verlag, 1993.
2. Мирошник И. В., Никифоров В. О., Фрадков А. Л. Нелинейное и адаптивное управление сложными динамическими системами. СПб: Наука, 2000.
3. Никифоров В. О., Слита О. В., Ушаков А. В. Интеллектуальное управление в условиях неопределенности. СПб: СПбГУ ИТМО, 2011.
4. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М.: Наука, 1973.
5. Ушаков А. В. Обобщенное модальное управление // Изв. вузов. Приборостроение. 2002. Т. 43, № 3. С. 8—15.
6. Слита О. В., Ушаков А. В. Обеспечение инвариантности выхода непрерывной системы относительно экзогенных сигнальных и эндогенных параметрических возмущений: алгебраический подход // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2008. № 4. С. 24—32.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2013. Т. 56, № 4
Исследование процессов позитивных систем
15
7. Слита О. В., Ушаков А. В. Достаточные алгебраические условия параметрической инвариантности выхода линейной стационарной системы в первом приближении // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2010. № 6. С. 16—22.
Ольга Валерьевна Слита Анатолий Владимирович Ушаков
Сведения об авторах — канд. техн. наук, доцент; Санкт-Петербургский национальный ис-
следовательский университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра систем управления и информатики; E-mail: o-slita@yandex.ru — д-р техн. наук, профессор; Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра систем управления и информатики; E-mail: ushakov-avg@yandex.ru
Рекомендована кафедрой систем управления и информатики
Поступила в редакцию 13.12.12 г.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2013. Т. 56, № 4