Например, Бобцов

КОНТРОЛЬ ВЫРОЖДЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ И СИСТЕМ: ГРАМИАННЫЙ ПОДХОД

34 Д. С. Бирюков, Н. А. Дударенко, А. В. Ушаков
УДК 62.50

Д. С. БИРЮКОВ, Н. А. ДУДАРЕНКО, А. В. УШАКОВ
КОНТРОЛЬ ВЫРОЖДЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ И СИСТЕМ: ГРАМИАННЫЙ ПОДХОД*

Рассматривается задача контроля вырождения динамических объектов и систем. Для решения задачи используется грамианный подход, основанный на вычислении сингулярных чисел грамианов управляемости отношений системы вход—выход с последующим применением аппарата функционалов вырождения.

Ключевые слова: динамическая система, функционал вырождения, критериальная матрица, грамиан управляемости.

Введение. В ходе исследований в области разработки технологии контроля вырождения

динамических объектов и систем [1] авторы настоящей статьи поставили задачу, не прибегая

к моделированию потока возможных входных заявок, сформировать априорную экспресс-

оценку потенциальной возможности вырождения системы. Решение этой проблемы было

найдено в результате объединения аппарата функционалов вырождения и технологии сис-

темных грамианов [2, 3]. В настоящей статье рассматривается задача контроля вырождения

динамических объектов и систем на основе грамианов управляемости.

Технология конструирования функционалов вырождения. Сведем некоторую мно-

гоканальную динамическую систему посредством математических преобразований к линей-

ной алгебраической задаче (ЛАЗ) вида

η(w) = N (w, θ)χ(w) ,

(1)

где N (w, θ) — ( m × m )-матрица для любых w , θ ; η(w) , χ(w) — р-мерные векторы; θ —

р-мерный параметр, изменяющий алгебраические свойства матрицы N . Аппарат функциона-

( )лов вырождения JDν формируется на спектре σα {N} сингулярных чисел α j j = 1, m крите-

риальной матрицы N с использованием ЛАЗ (1):

{ }σα {N} = α j = µ1j/2 ; j = 1, m

(2)

( )( µi — корни уравнения det µI − NT N = 0 ), вычисляемых в силу соотношений

JDν {N} = αν {N} / α1{N}; ν = m,1 .

(3)

Свойства функционалов вырождения приведены в работе [1].

Если воспользоваться сингулярным разложением матрицы (SVD-процедурой) [4], то

матрица N запишется следующим образом:

N = U N ΣNVNT ,

(4)

NVNj = α jUNj , j = 1, m .

Это векторно-матричное соотношение придает исходной линейной алгебраической за-

даче (1) геометрический смысл: вектор χ = VNj (j = 1, m) отражается в подпространство, на-

тянутое на j -й элемент UNj левого сингулярного базиса U N так, что соответствующий ему

* Исследование выполнено при поддержке Министерства образования и науки Российской Федерации (соглашение № 14.В37.21.1928).
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2013. Т. 56, № 4

Контроль вырождения динамических объектов и систем: грамианный подход

35

вектор имеет норму, равную α j . Тогда задача вырождения формализуется как задача контро-

ля перехода критериальной матрицы N из сферы, расположенной в пространстве, натянутом на векторы χ , в эллипсоид, натянутый на левый сингулярный базис U N с полуосями, по размеру совпадающими с сингулярными числами матрицы N .
Вырождение матрицы N в смысле достижения ею значения единицы функционала вырождения JD , записанного в форме (3), означает „сплющивание“ этого эллипсоида вдоль p-й
полуоси, т.е. вдоль р-го левого сингулярного вектора U Np . Нетрудно видеть, что если пара-

метр θ модифицирует матрицу N (θ) таким образом, что последовательно, начиная с α p ,

принимают нулевые значения остальные p −1 сингулярных чисел, кроме α1 , то в пространстве, натянутом на левый сингулярный базис, будет наблюдаться последовательное „сплющивание“ эллипсоида вдоль векторов U Np , UNp−1 ,…UN 2 . В итоге сфера отобразится в отре-

зок прямой. Таким образом, функционалы вырождения JDν используются для количествен-

ной оценки вырождения динамических систем и объектов.

Интегральная экспресс-оценка вырождения динамической системы на спектре

сингулярных чисел грамианов управляемости вход—выход. Пусть задана многоканаль-

ная непрерывная динамическая система вида

x(t) = Fx(t) + Gg(t) , x(0) ; y(t) = Cx(t) ,

(5)

где x , g , y — векторы состояния, задающего воздействия и выхода соответственно; x ∈ Rn ,

g, y ∈ Rn ; F , G , C — матрицы состояния системы, входа и выхода непрерывного объекта

управления соответственно, согласованные по размерности с размерностью векторов x , g , и

y так, что F ∈ Rn×n , G, CT ∈ Rn×m .

При использовании грамианной технологии для непрерывной многоканальной системы вида (5) задается грамиан управляемости по состоянию с помощью интегральных соотношений

∫ ∫Wx (t) = t x(τ, g)xT (τ, g)dt |g=δ(t) = t eFτGGT eFT τdτ .

(6)

00

Дифференциальный аналог соотношения (6) принимает вид

Wx (t) = FWx (t) +Wx (t)FT + GGT , Wx (0) = 0 .

(7)

Из (6), (7) видно, что если матрица F системы (5) является гурвицевой, то грамиан

управляемости имеет установившееся значение Wx , удовлетворяющее предельному переходу

tl→im∞Wx (t) = Wx ,

(8)

при этом скорость его изменения как функция времени удовлетворяет соотношению

lim
t→∞

Wx

(t

)

=

0

.

(9)

Если условия (9) и (8) подставить в (7), то для вычисления матрицы Wx можно восполь-

зоваться алгебраическим матричным уравнением типа уравнения Ляпунова

FWx (t) +Wx (t)FT = −GGT .

(10)

Грамиан управляемости отношения „вход—выход“ Wy по выходу может быть вычислен

с помощью матричного выражения

Wy = CWxCT .

(11)

ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2013. Т. 56, № 4

36 Д. С. Бирюков, Н. А. Дударенко, А. В. Ушаков

Для случая многоканальных дискретных систем грамианы отношений „вход— состояние“ и „вход—выход“ строятся следующим образом. Пусть задана многомерная дискретная динамическая система вида

x(k +1) = Fx(k) + Gg(k) , x(0) ; y(k) = Cx(k) ,

(12)

где x ∈ Rn ; g, y ∈ Rm ; F , G , C — матрицы состояния системы, входа и выхода дискретного

объекта управления, согласованные по размерности с размерностью векторов x , g , и y так,

что F ∈ Rn×n ; G,CT ∈ Rn×m ; k — дискретное время, выраженное в числе интервалов дискретности длительностью ∆t ( t = k(∆t) ). Представим дискретную систему (12) в виде:

x(1) = Fx(0) + Gg(0), x(2) = Fx(1) + Gg(1) = F 2x(0) + FGg(0) + Gg(1),
x(k) = F k x(0) + F k−1Gg(0) + F k−2Gg(1) + ... + Gg(k −1) |x(0)=0 =
= ⎣⎡G FG … F k−2G F k−1G⎤⎦ [ g(k −1) g(k − 2) …

⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎬ ⎪ ⎪
g(0)]T .⎪⎭⎪

(13)

Здесь для вектора состояния x(k) введена матрица управляемости системы по состоянию на

k первых интервалах дискретности

Qx (k ) = ⎡⎣G FG … F k−2G F k−1G⎦⎤ .

(14)

На этой матрице может быть сконструирован грамиан управляемости по состоянию

Wx (k) на первых k интервалах дискретности в форме

Wx (k) = Qx (k )QkT (k) .

(15)

Очевидно, что для момента (k +1) грамиан управляемости отношения „вход—состоя-

ние“ дискретной системы (12) Wx (k +1) в силу определения (15) запишется как

Wx (k +1) = Qx (k +1)QkT (k +1) ,

(16)

где

Qx (k +1) = ⎣⎡G FG … F k−1G F kG⎦⎤ = ⎣⎡G FQx (k )⎦⎤ .

(17)

Подстановка (17) в (16) с использованием представления (15) дает

Wx (k +1) = Qx (k +1)QkT (k +1) = ⎡⎣G

FQx

(k ) ⎤⎦

⎡ ⎢⎣⎢QxT

GT (k)FT

⎤ ⎥ ⎦⎥

=

GGT

+

FWx (k )FT

.

(18)

Установившееся значение грамиана управляемости по состоянию зададим в форме предель-

ных соотношений

Wx = kl→im∞Wx (k) ; Wx = (k+l1im)→∞Wx (k +1) .

(19)

Подстановка соотношений (19) в выражение (18) позволяет получить уравнение вида

матричного дискретного уравнения Ляпунова

Wx = FWxFT + GGT .

(20)

Формирование системного грамиана управляемости по выходу отношений „вход—

выход“ может быть осуществлено с помощью матричного уравнения

Wy = CWxCT .

(21)

Если теперь к сконструированным грамианам отношения „вход—выход“ (11) и (21) со-

ответственно многоканальной непрерывной системы (5) и многоканальной дискретной сис-

ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2013. Т. 56, № 4

Контроль вырождения динамических объектов и систем: грамианный подход

37

темы (12) применить процедуру сингулярного разложения матриц, с тем чтобы вычислить алгебраические спектры сингулярных чисел указанных грамианов с последующим вычислением на их спектре функционалов вырождения, то можно сформировать априорную экспресс-оценку возможного вырождения многоканальной динамической системы.
Алгоритм контроля вырождения динамических объектов и систем на основе грамианов управляемости
1. Сформировать векторно-матричное описание многоканальной динамической системы и зафиксировать ее параметры.
2. Составить уравнение типа уравнения Ляпунова для случая непрерывного векторноматричного представления многоканальной системы в форме (10) и для случая многоканальной дискретной динамической системы в форме (20), решить его относительно грамиана управляемости по состоянию.
3. Вычислить грамиан управляемости по выходу многоканальной системы в силу соотношения (11) для случая ее непрерывного модельного представления и в форме (21) для дискретного векторно-матричного представления многоканальной динамической системы.
4. Построить сингулярное разложение грамиана управляемости по выходу. 5. Построить функционалы вырождения в форме (3). 6. Полученные результаты передать системному аналитику на предмет интерпретации и принятия системных решений.
Заключение. Аппарат функционалов вырождения совместно с методом системных грамианов позволяет сформировать априорную оценку склонности многоканальной динамической системы и объекта к вырождению без необходимости моделирования потока возможных входных заявок. Следует ожидать, что эти оценки в силу структуры соотношений (10), (11) и (20), (21) будут совпадать с оценками функционалов вырождения, полученных при моделировании потока входных заявок стационарным в широком смысле стохастическим экзогенным воздействием типа „белый шум“.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Дударенко Н., Ушаков А. Анализ многомерных динамических систем: технология контроля вырождения. Saarbrucken: LAP LAMBERT Academic Publishing, 2011. 232 с.

2. Мироновский Л. А. Функциональное диагностирование динамических систем. М.—СПб: Изд-во МГУ-ГРИФ, 1998.

3. Moore B.C. Principal Component Analysis in Linear Systems: Controlability, Observability and Model Reduction // IEEE Trans. on Automatic Control. 1981. Vol. AC-26, N 1. P. 17—31.

4. Голуб Дж., Ван Лоун Ч. Матричные вычисления. М.: Мир, 1999. 548 с.

Дмитрий Сергеевич Бирюков Наталия Александровна Дударенко Анатолий Владимирович Ушаков

Сведения об авторах — аспирант; Санкт-Петербургский национальный исследовательский
университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра систем управления и информатики; E-mail: quaint03@mail.ru — канд. техн. наук, доцент; Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра систем управления и информатики; доцент; E-mail: dudarenko@yandex.ru — д-р техн. наук, профессор; Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра систем управления и информатики; E-mail: ushakov-avg@yandex.ru

Рекомендована кафедрой систем управления и информатики

Поступила в редакцию 13.12.12 г.

ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2013. Т. 56, № 4