Математическая модель процесса обвалки реберного мяса
УДК 637.5
Математическая модель процесса обвалки реберного мяса
Д.т.н. Пеленко В.В., асп. Азаев Р.А., магистрант Иванов Р.А., студентка Фукс Е.В.
Санкт-Петербургский государственный университет низкотемпературных и пищевых технологий
В статье рассматривается модель работы установки для обвалки реберного мяса. Определены величин перемещения и усилий тяговых штанг, кривизны поверхности толкателя установки, мощности привода установки, напряжений, возникающих в элементах, узлах, костном и мясном сырье. Пользуясь полученными соотношениями представляется возможным рассчитать геометрические и другие параметры установки для обвалки реберного мяса.
Рассматривая физическую модель работы установки для обвалки
реберного мяса, можно составить схему действия сил и нагружения
реберной кости.
Определение величин перемещения и усилий тяговых штанг ( P ),
кривизну поверхности толкателя установки и его усилия ( N ), мощности
привода установки, напряжений, возникающих в элементах, узлах, костном и
мясном сырье, связано с решением дифференциального уравнения упругой
линии балки.
В связи с тем что интенсивность “q” нагрузки на реберную кость со
стороны мясного сырья пропорциональна вертикальному перемещению “y” и
направлена в сторону, противоположную оси “y” можно записать:
q = −ny ,
(1)
где n – коэффициент пропорциональности, представляющий собой текущее
значение напряжения, отрывающего соединительную ткань от кости.
Дифференциальное уравнение упругой линии имеет следующий
известный вид [1]:
EI
d2y dx 2
=
M изг
.
(2)
Дифференцируя уравнение (2) дважды, получим:
EI
d4y dx 4
=
d 2 M изг dx 2
.
(3)
Учитывая дифференциальную зависимость:
d 2 M изг dx 2
=q
(4)
и уравнение (1), запишем (2) в следующей форме:
EI
d4y dx4
+
ny
=
0.
(5)
Обозначим n = 4 k 4 y , получим известное уравнение изогнутой оси EI
балки на упругом основании
d4y dx 4
+
4k
4
y
=
0
.
(6)
Как известно [2] решениями уравнения (6) являются произведения
тригонометрических и гиперболических функций Sinkx * shkx, Coskx*chkx,
Shkx*Coskx, chkx*Sinkx, а так же любые их линейные комбинации.
Наиболее удобными для решения следует выбрать функции Крылова –
комбинации, предложенные А.Н. Крыловым. Они удобны тем, что
производная от каждой из этих функций дает какую – либо другую из этих
же функций.
Таблица функций Крылова имеет [2] нижеследующий вид.
Таблица 1. n Yn (kx) 1 Chkx*Coskx 2 ½(chkx*Sinkx+shkx*Coskx) 3 1/2shkx*Sinkx 4 ¼(chkxSinkx-shkxCoskx)
YnI (kx) − 4kY4 kY1 kY2
kY3
YnII (kx) − 4k 2Y3 − 4k 2Y4 k 2Y1
k 2Y2
Y III n
(kx)
− 4k 3Y2
− 4k 3Y3
− 4k 3Y4
k 3Y1
YnIV (kx) − 4k 4Y4 − 4k 4Y2 − 4k 4Y3
− 4k 4Y4
В таком случае в результате дифференцирования уравнения (6), выражение для вертикального перемещения “y” запишется:
y
=
y0Y1(kx) +
y0′
1 k
Y2
(kx)
+
M0 EI
1 k2
Y3(kx) +
Q0 EI
1 k3
Y4 (kx) ,
(7)
где y0 , y0′ , M0 , Q0 — соответственно перемещения, угол поворота,
изгибающий момент и поперечная сила при х=0. Если принять за начало отсчета левый край бруса, то, с учетом малой
кривизны, очевидно,
Q0 = 0 ; M0 = 0.
Величины y0 и y 0′ определим из граничных условий:
при
x
=
l 2
,
y0 = 0 ,
Q
=
N 2
.
С учетом соотношений таблицы 1 получаем:
1 k
y′
=
−4 y0Y4 (kx)
+
y0′
1 k
Y1 (kx)
;
(8)
1 k2
y′′ = −4 y0Y3 (kx) −
y0′
4 k
Y4
(kx)
;
(9)
1 k3
y′′′ =
−4 y0Y2 (kx) −
y0′
4 k
Y3
(kx)
.
(10)
Граничные условия примут следующий вид:
−
4
y
0Y4
(
kl 2
)
+
y0′
1 k
Y1
(
kl 2
)
=
0
;
(11)
−
kl 4 y0Y2 ( 2
)
−
y0′
4 k
kl Y3( 2
)
=
N 2EIk 3
.
(12)
Из уравнений (11) и (12) найдем перемещение y0 угол поворота y0′ балки при x=0.
y0
=
N 8EIk 3
Y2
(
kl 2
−
Y1
(
kl 2
)
)Y1
(
kl 2
)
+
4Y3
(
kl 2
)Y4
(
kl 2
)
;
(13)
y0′ k
=
N 8EIk 3
−
Y4
(
kl 2
)
Y2
(
kl 2
)Y1
(
kl 2
)
+
4Y3
(
kl 2
)Y4
(
kl 2
)
.
Величины y , y′ и y ′′ принимают в таком случае вид:
(14)
y
=
−N 0[Y1 (
kl 2
)Y1 (kx)
+
Y4
(
kl 2
)Y2
(kx)]
;
(15)
y′
=
4
N
0
k[Y1
(
kl 2
)Y4
(kx)
−
Y4
(
kl 2
)Y2
(kx)]
;
(16)
y
′′
=
4
N
0
k
2
[Y1
(
kl 2
)Y3
(kx)
+
Y4
(
kl 2
)Y4
(kx)]
,
(17)
где
N0
=
N 8EIk 3
1
Y1
(
kl 2
)Y2
(
kl 2
)
+
4Y3
(
kl 2
)Y4
(
kl 2
)
.
(18)
Неопределенной величиной в полученной модели является коэффициент
пропорциональности “n” в уравнении (5), входящий в выражение для “k”.
Найти значение “n” позволяет граничное условие, записанное для уравнения
(1) в арифметческой форме при x=0, q =ny0 =σc, где σ c - адгезионная
прочность связи соединительной ткани мясного сырья с поверхностью
реберной кости.
Таким образом, имеем следующее соотношение для определения
коэффициента “n”:
n
=
σc y0
;
(19)
k4
=
σc 4EI
;
y0
=
σc 4EIk 4
.
(20)
Подставляя уравнение (20) в (13) и приводя к арифметическому виду,
получаем:
σc 4EIk 4
=
N 8EIk 3
Y1
(
kl 2
)
Y2
(
kl 2
)Y1
(
kl 2
)
+
4Y3
(
kl 2
)Y4
(
kl 2
)
.
Откуда находим выражение для “k”
k
=
2σ
c
[Y2
(
kl 2
)Y1
(
kl 2
)
+
4Y3
(
kl 2
)Y4
(
kl 2
)]
kl
.
NY1 ( 2 )
(21)
Уравнение (21) является трансцендентным относительно “k”. Решая его
методом итераций, определяем величину “k”.
Далее, в соответствии с принятым обозначением для уравнения (5),
находим искомое значение “n”:
n = 4EIk 4 .
Проведем численную оценку полученных результатов.
Для реальных значений N = 50 Н , σ с = 100Н / М , из уравнения (21)
находим величину k = 4,7 м−1 для материала кости E = 1010 Па .
Для поперечного сечения кости эллиптической формы имеем:
I
=
πab3 64
,
где a, b – большая и малая полуоси эллипса.
Статистические исследования размерных характеристик определенного
вида реберных костей дают величины:
а = 0,0146 м , b = 0,0035 м.
В этом случае получаем:
I ≈ 30,7 ⋅10−12
n = 600
q = 600 y
Величина N0 запишется:
N0
=
kl kl 51[Y1( 2 )Y2 ( 2
10 )+
kl kl 4Y3( 2 )Y4 ( 2 )]
.
(23)
Пользуясь значениями тригонометрических и гиперболических
функций, в соответствии с выражениями Yn (kx) таблицы 1, найдем при
l = 0,4 м :
Y1
(
kl 2
)
=
0,870
; Y2
(
kl 2
)
=
0,916
;
Y3
(
kl 2
)
=
0,438
;
Y4
(
kl 2
)
=
0,138
.
Уравнения 15-19 примут следующий вид:
N0 = 3,78 ⋅10−3 N
(24)
Для N = 50 Н имеем N0 = 0,189 :
y = 0,189[0,870Y1(kx) + 0,552Y2 (kx)] .
(25)
Угол поворота сечения θ:
θ = y′ = 3,553[0,870Y4 (kx) − 0,138Y1(kx)]; M = EIy′′ = 5,1[0,870Y3 (kx) + 0,552Y4 (kx)].
(26) (27)
Пользуясь полученными соотношениями представляется возможным рассчитать кривизну y′′ опорной цилиндрической поверхности установки
для обвалки реберного мяса, а так же величину “y” хода элементов привода
для перемещения краевых сечений установочной пластины.
В частности:
ymax = y0 = y(0) = 0.167 м
M max
=
M(l ) 2
=
2.343
H
⋅
м
R = 0.128 м
ρ = 1 = 7.813 м−1 R
Список литературы
1. Ю.Н. Работнов. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1979.744 с.
2. В.И. Феодосьев. Избранные задачи и вопросы по сопротивлению материалов. М.: Наука, 1967. 376 с.
Математическая модель процесса обвалки реберного мяса
Д.т.н. Пеленко В.В., асп. Азаев Р.А., магистрант Иванов Р.А., студентка Фукс Е.В.
Санкт-Петербургский государственный университет низкотемпературных и пищевых технологий
В статье рассматривается модель работы установки для обвалки реберного мяса. Определены величин перемещения и усилий тяговых штанг, кривизны поверхности толкателя установки, мощности привода установки, напряжений, возникающих в элементах, узлах, костном и мясном сырье. Пользуясь полученными соотношениями представляется возможным рассчитать геометрические и другие параметры установки для обвалки реберного мяса.
Рассматривая физическую модель работы установки для обвалки
реберного мяса, можно составить схему действия сил и нагружения
реберной кости.
Определение величин перемещения и усилий тяговых штанг ( P ),
кривизну поверхности толкателя установки и его усилия ( N ), мощности
привода установки, напряжений, возникающих в элементах, узлах, костном и
мясном сырье, связано с решением дифференциального уравнения упругой
линии балки.
В связи с тем что интенсивность “q” нагрузки на реберную кость со
стороны мясного сырья пропорциональна вертикальному перемещению “y” и
направлена в сторону, противоположную оси “y” можно записать:
q = −ny ,
(1)
где n – коэффициент пропорциональности, представляющий собой текущее
значение напряжения, отрывающего соединительную ткань от кости.
Дифференциальное уравнение упругой линии имеет следующий
известный вид [1]:
EI
d2y dx 2
=
M изг
.
(2)
Дифференцируя уравнение (2) дважды, получим:
EI
d4y dx 4
=
d 2 M изг dx 2
.
(3)
Учитывая дифференциальную зависимость:
d 2 M изг dx 2
=q
(4)
и уравнение (1), запишем (2) в следующей форме:
EI
d4y dx4
+
ny
=
0.
(5)
Обозначим n = 4 k 4 y , получим известное уравнение изогнутой оси EI
балки на упругом основании
d4y dx 4
+
4k
4
y
=
0
.
(6)
Как известно [2] решениями уравнения (6) являются произведения
тригонометрических и гиперболических функций Sinkx * shkx, Coskx*chkx,
Shkx*Coskx, chkx*Sinkx, а так же любые их линейные комбинации.
Наиболее удобными для решения следует выбрать функции Крылова –
комбинации, предложенные А.Н. Крыловым. Они удобны тем, что
производная от каждой из этих функций дает какую – либо другую из этих
же функций.
Таблица функций Крылова имеет [2] нижеследующий вид.
Таблица 1. n Yn (kx) 1 Chkx*Coskx 2 ½(chkx*Sinkx+shkx*Coskx) 3 1/2shkx*Sinkx 4 ¼(chkxSinkx-shkxCoskx)
YnI (kx) − 4kY4 kY1 kY2
kY3
YnII (kx) − 4k 2Y3 − 4k 2Y4 k 2Y1
k 2Y2
Y III n
(kx)
− 4k 3Y2
− 4k 3Y3
− 4k 3Y4
k 3Y1
YnIV (kx) − 4k 4Y4 − 4k 4Y2 − 4k 4Y3
− 4k 4Y4
В таком случае в результате дифференцирования уравнения (6), выражение для вертикального перемещения “y” запишется:
y
=
y0Y1(kx) +
y0′
1 k
Y2
(kx)
+
M0 EI
1 k2
Y3(kx) +
Q0 EI
1 k3
Y4 (kx) ,
(7)
где y0 , y0′ , M0 , Q0 — соответственно перемещения, угол поворота,
изгибающий момент и поперечная сила при х=0. Если принять за начало отсчета левый край бруса, то, с учетом малой
кривизны, очевидно,
Q0 = 0 ; M0 = 0.
Величины y0 и y 0′ определим из граничных условий:
при
x
=
l 2
,
y0 = 0 ,
Q
=
N 2
.
С учетом соотношений таблицы 1 получаем:
1 k
y′
=
−4 y0Y4 (kx)
+
y0′
1 k
Y1 (kx)
;
(8)
1 k2
y′′ = −4 y0Y3 (kx) −
y0′
4 k
Y4
(kx)
;
(9)
1 k3
y′′′ =
−4 y0Y2 (kx) −
y0′
4 k
Y3
(kx)
.
(10)
Граничные условия примут следующий вид:
−
4
y
0Y4
(
kl 2
)
+
y0′
1 k
Y1
(
kl 2
)
=
0
;
(11)
−
kl 4 y0Y2 ( 2
)
−
y0′
4 k
kl Y3( 2
)
=
N 2EIk 3
.
(12)
Из уравнений (11) и (12) найдем перемещение y0 угол поворота y0′ балки при x=0.
y0
=
N 8EIk 3
Y2
(
kl 2
−
Y1
(
kl 2
)
)Y1
(
kl 2
)
+
4Y3
(
kl 2
)Y4
(
kl 2
)
;
(13)
y0′ k
=
N 8EIk 3
−
Y4
(
kl 2
)
Y2
(
kl 2
)Y1
(
kl 2
)
+
4Y3
(
kl 2
)Y4
(
kl 2
)
.
Величины y , y′ и y ′′ принимают в таком случае вид:
(14)
y
=
−N 0[Y1 (
kl 2
)Y1 (kx)
+
Y4
(
kl 2
)Y2
(kx)]
;
(15)
y′
=
4
N
0
k[Y1
(
kl 2
)Y4
(kx)
−
Y4
(
kl 2
)Y2
(kx)]
;
(16)
y
′′
=
4
N
0
k
2
[Y1
(
kl 2
)Y3
(kx)
+
Y4
(
kl 2
)Y4
(kx)]
,
(17)
где
N0
=
N 8EIk 3
1
Y1
(
kl 2
)Y2
(
kl 2
)
+
4Y3
(
kl 2
)Y4
(
kl 2
)
.
(18)
Неопределенной величиной в полученной модели является коэффициент
пропорциональности “n” в уравнении (5), входящий в выражение для “k”.
Найти значение “n” позволяет граничное условие, записанное для уравнения
(1) в арифметческой форме при x=0, q =ny0 =σc, где σ c - адгезионная
прочность связи соединительной ткани мясного сырья с поверхностью
реберной кости.
Таким образом, имеем следующее соотношение для определения
коэффициента “n”:
n
=
σc y0
;
(19)
k4
=
σc 4EI
;
y0
=
σc 4EIk 4
.
(20)
Подставляя уравнение (20) в (13) и приводя к арифметическому виду,
получаем:
σc 4EIk 4
=
N 8EIk 3
Y1
(
kl 2
)
Y2
(
kl 2
)Y1
(
kl 2
)
+
4Y3
(
kl 2
)Y4
(
kl 2
)
.
Откуда находим выражение для “k”
k
=
2σ
c
[Y2
(
kl 2
)Y1
(
kl 2
)
+
4Y3
(
kl 2
)Y4
(
kl 2
)]
kl
.
NY1 ( 2 )
(21)
Уравнение (21) является трансцендентным относительно “k”. Решая его
методом итераций, определяем величину “k”.
Далее, в соответствии с принятым обозначением для уравнения (5),
находим искомое значение “n”:
n = 4EIk 4 .
Проведем численную оценку полученных результатов.
Для реальных значений N = 50 Н , σ с = 100Н / М , из уравнения (21)
находим величину k = 4,7 м−1 для материала кости E = 1010 Па .
Для поперечного сечения кости эллиптической формы имеем:
I
=
πab3 64
,
где a, b – большая и малая полуоси эллипса.
Статистические исследования размерных характеристик определенного
вида реберных костей дают величины:
а = 0,0146 м , b = 0,0035 м.
В этом случае получаем:
I ≈ 30,7 ⋅10−12
n = 600
q = 600 y
Величина N0 запишется:
N0
=
kl kl 51[Y1( 2 )Y2 ( 2
10 )+
kl kl 4Y3( 2 )Y4 ( 2 )]
.
(23)
Пользуясь значениями тригонометрических и гиперболических
функций, в соответствии с выражениями Yn (kx) таблицы 1, найдем при
l = 0,4 м :
Y1
(
kl 2
)
=
0,870
; Y2
(
kl 2
)
=
0,916
;
Y3
(
kl 2
)
=
0,438
;
Y4
(
kl 2
)
=
0,138
.
Уравнения 15-19 примут следующий вид:
N0 = 3,78 ⋅10−3 N
(24)
Для N = 50 Н имеем N0 = 0,189 :
y = 0,189[0,870Y1(kx) + 0,552Y2 (kx)] .
(25)
Угол поворота сечения θ:
θ = y′ = 3,553[0,870Y4 (kx) − 0,138Y1(kx)]; M = EIy′′ = 5,1[0,870Y3 (kx) + 0,552Y4 (kx)].
(26) (27)
Пользуясь полученными соотношениями представляется возможным рассчитать кривизну y′′ опорной цилиндрической поверхности установки
для обвалки реберного мяса, а так же величину “y” хода элементов привода
для перемещения краевых сечений установочной пластины.
В частности:
ymax = y0 = y(0) = 0.167 м
M max
=
M(l ) 2
=
2.343
H
⋅
м
R = 0.128 м
ρ = 1 = 7.813 м−1 R
Список литературы
1. Ю.Н. Работнов. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1979.744 с.
2. В.И. Феодосьев. Избранные задачи и вопросы по сопротивлению материалов. М.: Наука, 1967. 376 с.