Аналитическое решение краевой задачи теплопроводности в связи с процессом охлаждения крема кондитерского в холодильной камере
УДК 631
Аналитическое решение краевой задачи теплопроводности в связи с процессом охлаждения крема кондитерского в холодильной камере
Бараненко А.В., Вороненко Б.А., Поляков С.В., Пеленко В.В.
Поставлена и решена краевая задача охлаждения крема кондитерского, упакованного в тару, в холодильной камере. Получено аналитическое решение поставленной краевой задачи в виде распределения температур в продукте и оболочке (таре). Это решение определяет зависимость температурных полей от теплофизических характеристик продукта и оболочки, их геометрической формы и размеров, теплоотводящей среды и времени процесса охлаждения.
Ключевые слова: крем кондитерский, аналитическое решение, краевая задача, уравнение теплопроводности, тара, холодильная камера.
Одним из этапов технологического процесса производства крема
кондитерского является охлаждение упакованного в транспортную тару продукта
в холодильной камере для его созревания в течение суток от начальной температуры примерно 180С до конечной, равной 3-50С. Длительность
охлаждения зависит от теплопроводных свойств продукта и упаковки, их
геометрической формы и размеров, от температуры теплоотводящей среды. Все
эти параметры определяют качество конечного(готового) продукта [1].
Тара (оболочка), которую полностью (без зазоров) заполняет кондитерский
крем, представляет собою параллелепипед, т.е. пластину конечных размеров
2l1× 2l2× 2l3. Таким образом, имеем слоистую систему, состоящую из трех тел: тара-
продукт-тара. Математическое описание процесса охлаждения крема
кондитерского заключается в формировании и решении системы уравнений
теплопроводности:
∂t1(x, y,
∂τ
z,τ
)
=
a1∇
2t1
(x,
y,
z,τ
)
(τ > 0, 0 < x < li ,i = 1, 2, 3);
∂t2
(x, y,
∂τ
z,τ
)
=
a2∇2t2
(x,
y,
z,τ
)
(τ > 0, l1 < x < Ri ,i = 1, 2, 3)
(1) (2)
при следующих краевых условиях:
t1(x, y, z, o) = t2 (x, y, z,0) = to = const;
( ) ( )t1(l1, y, z,τ ) = t2 (l1, y, z,τ );
−
λ1
∂t1
l1, y, ∂x
z,τ
= −λ2 ∂t2
l1, y, z,τ ∂x
;
( )t1(x,l2 , z,τ ) = t2 x,l2, z,τ ;
( )−
λ1
∂t1(x,l2 ,
∂y
z,τ
)
=
−λ2
∂t2
x,l2, z,τ ∂y
;
(3) (4) (5) (6)
(7)
t1(x, y,l3,τ ) = t2 (x, y,l3,τ );
−
λ1
∂t1(x, y,
∂z
l3 ,τ
)
=
−λ2
∂t2
(x, y,l3,τ
∂z
)
;
∂t1(0, y, z,τ ) = ∂t1(x,0, z,τ ) = ∂t1(x, y,0,τ ) = 0;
∂x ∂y ∂z
(8) (9)
(10)
t2 (R1, y, z,τ ) = t2 (x, R2 , z,τ ) = t2 (x, y,R3,τ ) = tc = const
(11)
Равенства (3) - начальные условия, описывающие равномерное
распределение температуры по объему тела (продукта) и тары: не снижая
общности постановки задачи, считаем, что в момент загрузки тары с продуктом
(начало процесса охлаждения) они имеют одинаковую температуру.
Системы уравнений (4)-(5), (6)-(7), (8)-(9)-граничные условия четвертого
рода, задающие равенства температур и тепловых потоков на границах продукта
и оболочки при их совершенном термическом контакте.
(10) - условия симметрии.
Равенства (11) - граничные условия первого рода, задающие постоянство
температуры на границе тары с окружающей средой холодильной камеры.
Решение краевой задачи (1)-(11) заключается в нахождении полей
температур, т.е. распределения температуры ti(x,y,z,0) в продукте и таре в любой момент времени процесса охлаждения.
Исследованию проблемы теплопереноса в слоистых средах посвящено
значительное количество работ [2-10]. В частности, в [2,5,6] показано, что для
пластины конечных размеров 2l1 ×2l2× 2l3, начальная температура которой везде одинакова и равна t0, все поверхности которой мгновенно охлаждаются до
некоторой температуры tс
Аналитическое решение краевой задачи теплопроводности в связи с процессом охлаждения крема кондитерского в холодильной камере
Бараненко А.В., Вороненко Б.А., Поляков С.В., Пеленко В.В.
Поставлена и решена краевая задача охлаждения крема кондитерского, упакованного в тару, в холодильной камере. Получено аналитическое решение поставленной краевой задачи в виде распределения температур в продукте и оболочке (таре). Это решение определяет зависимость температурных полей от теплофизических характеристик продукта и оболочки, их геометрической формы и размеров, теплоотводящей среды и времени процесса охлаждения.
Ключевые слова: крем кондитерский, аналитическое решение, краевая задача, уравнение теплопроводности, тара, холодильная камера.
Одним из этапов технологического процесса производства крема
кондитерского является охлаждение упакованного в транспортную тару продукта
в холодильной камере для его созревания в течение суток от начальной температуры примерно 180С до конечной, равной 3-50С. Длительность
охлаждения зависит от теплопроводных свойств продукта и упаковки, их
геометрической формы и размеров, от температуры теплоотводящей среды. Все
эти параметры определяют качество конечного(готового) продукта [1].
Тара (оболочка), которую полностью (без зазоров) заполняет кондитерский
крем, представляет собою параллелепипед, т.е. пластину конечных размеров
2l1× 2l2× 2l3. Таким образом, имеем слоистую систему, состоящую из трех тел: тара-
продукт-тара. Математическое описание процесса охлаждения крема
кондитерского заключается в формировании и решении системы уравнений
теплопроводности:
∂t1(x, y,
∂τ
z,τ
)
=
a1∇
2t1
(x,
y,
z,τ
)
(τ > 0, 0 < x < li ,i = 1, 2, 3);
∂t2
(x, y,
∂τ
z,τ
)
=
a2∇2t2
(x,
y,
z,τ
)
(τ > 0, l1 < x < Ri ,i = 1, 2, 3)
(1) (2)
при следующих краевых условиях:
t1(x, y, z, o) = t2 (x, y, z,0) = to = const;
( ) ( )t1(l1, y, z,τ ) = t2 (l1, y, z,τ );
−
λ1
∂t1
l1, y, ∂x
z,τ
= −λ2 ∂t2
l1, y, z,τ ∂x
;
( )t1(x,l2 , z,τ ) = t2 x,l2, z,τ ;
( )−
λ1
∂t1(x,l2 ,
∂y
z,τ
)
=
−λ2
∂t2
x,l2, z,τ ∂y
;
(3) (4) (5) (6)
(7)
t1(x, y,l3,τ ) = t2 (x, y,l3,τ );
−
λ1
∂t1(x, y,
∂z
l3 ,τ
)
=
−λ2
∂t2
(x, y,l3,τ
∂z
)
;
∂t1(0, y, z,τ ) = ∂t1(x,0, z,τ ) = ∂t1(x, y,0,τ ) = 0;
∂x ∂y ∂z
(8) (9)
(10)
t2 (R1, y, z,τ ) = t2 (x, R2 , z,τ ) = t2 (x, y,R3,τ ) = tc = const
(11)
Равенства (3) - начальные условия, описывающие равномерное
распределение температуры по объему тела (продукта) и тары: не снижая
общности постановки задачи, считаем, что в момент загрузки тары с продуктом
(начало процесса охлаждения) они имеют одинаковую температуру.
Системы уравнений (4)-(5), (6)-(7), (8)-(9)-граничные условия четвертого
рода, задающие равенства температур и тепловых потоков на границах продукта
и оболочки при их совершенном термическом контакте.
(10) - условия симметрии.
Равенства (11) - граничные условия первого рода, задающие постоянство
температуры на границе тары с окружающей средой холодильной камеры.
Решение краевой задачи (1)-(11) заключается в нахождении полей
температур, т.е. распределения температуры ti(x,y,z,0) в продукте и таре в любой момент времени процесса охлаждения.
Исследованию проблемы теплопереноса в слоистых средах посвящено
значительное количество работ [2-10]. В частности, в [2,5,6] показано, что для
пластины конечных размеров 2l1 ×2l2× 2l3, начальная температура которой везде одинакова и равна t0, все поверхности которой мгновенно охлаждаются до
некоторой температуры tс