Математическое описание процессов тепло- и массопереноса в колбасных изделиях при их тепловой обработке
УДК 637.523.27:536.25
Математическое описание процессов тепло- и массопереноса в колбасных изделиях при их тепловой
обработке
д.т.н. Вороненко Б.А., д.т.н. Пеленко В.В., аспирант Стариков В.В.
Санкт-Петербургский государственный университет низкотемпературных и пищевых технологий
Для описания процессов тепло- и массообмена в продукте, представляющим собой дисперсную систему, рассмотрим колбасный батон не как совокупность отдельных дискретных частиц, а как сплошную среду, однородную и изотропную. На основе предпосылок предложена математическая модель совместного тепломассопереноса тепловой обработки колбасного батона цилиндрической формы.
Ключевые слова: капиллярно-пористые тела, тепловая обработка, тепломассоперенос, математическая модель, система дифференциальных уравнений, начальные и граничные условия.
Основные способы массопереноса при созревании мясного фарша, сушке, варке, превращении его в готовый продукт, как и у всех пищевых продуктов животного происхождения, — это перенос вещества на молекулярном уровне (молекулярная диффузия) и перенос на макроуровне в результате движения жидкости и пара (конвективный перенос) [1].
Фаршевые мясопродукты относятся к коллоидным капиллярно-пористым телам, так как наряду с развитой системой пор и капилляров они содержат и коллоидные частицы, входящие в каркас стенок.
Удаление влаги из материала связано с преодолением сопротивления со стороны продукта. Сопротивления возникают как при переходе от одного элемента объема тела к другому, так и при изменении состояния влаги в теле, ее формы связи.
Изучение процессов пищевой технологии должно базироваться на комплексном математическом описании целого ряда превращений сырья с использованием современной вычислительной техники. При этом компьютер выступает как средство не только вычисления, но и моделирования возможных технологических ситуаций, предвидеть которые без применения современных подходов практически невозможно. Системный анализ позволяет представить сырье как сложную систему, состоящую из ряда взаимосвязанных элементов, а технологический процесс — как совокупность преобразований этой системы, протекающих на разных, но взаимосвязанных уровнях. Такого рода представления удобны для последующей формализации с использованием ЭВМ, прежде всего в виде кибернетических моделей. Сочетание системного
анализа с аналитическим описанием процесса наиболее плодотворно, так как
позволяет в качестве аппроксимирующих зависимостей использовать не
случайные полиномиальные функции, а математические зависимости,
вытекающие из фундаментальных законов природы, лежащих в основе
математического описания тепловых и массообменных процессов [1].
Применительно к технологическим схемам производства мясных
продуктов (варено-копченых колбас) отдельный батон можно считать
биореактором, в котором последовательно и параллельно протекают
гидромеханические, массообменные и тепловые процессы [1]. Для каждого
продукта авторы выделяют ряд уровней, на каждом из которых сырье
превращается в готовый продукт.
В производстве варено-копченых колбас основными процессами являются
гидромеханические, массообменные и тепловые.
Колбасные батоны представляют собой твердообразные системы
(частицы), содержащие элементы как исходных компонентов, в основном
животных тканей, так и структуру, полученную при измельчении и
смешивании компонентов. Эти частицы неоднородны по величине, структуре и
физическим свойствам [2]. Поэтому для описания процессов тепло- и
массообмена в продукте следовало бы написать дифференциальные уравнения
для каждой отдельной частицы, что сделать невозможно. Однако размеры
частиц и расстояния между ними ничтожно малы по сравнению с размерами
массы материала, подвергаемого термообработке в коптильной камере
(реакторе), что дает возможность колбасный батон, представляющий собою
дисперсную систему, рассматривать не как совокупность отдельных
дискретных частиц, а как сплошную среду, однородную и изотропную.
Анализ работы применяемых в промышленности камер Autotherm показал,
что основным способом передачи теплоты является конвективно-
радиационный. В этом случае, если считать колбасный батон, подвергаемый
тепловой обработке в камере, телом, имеющим форму неограниченного
цилиндра, условия взаимодействия которого с окружающей средой
выражаются граничными условиями второго рода (экспериментально
найденными функциональными зависимостями удельных потоков тепла и
вещества на поверхности тела от времени), краевую задачу совместного
тепломассопереноса (дифференциальные уравнения и условия однозначности)
можно сформулировать следующим образом:
требуется решить систему дифференциальных уравнений в частных
производных [3]
∂t ∂τ
=
aq
1 r
∂ ∂r
r
∂t ∂r
+
ερ cq
∂u ∂τ
;
(1)
∂u ∂τ
=
am
1 r
∂ ∂r
r
∂u ∂r
+
amδ
1 r
∂ ∂r
r
∂t ∂r
;
(2)
(0 < τ < τ1; 0 < r < R)
при следующих начальных
t (r,0) = f1(r);
(3)
u(r,0) = f2 (r)
(4)
и граничных условиях
∂t (0,τ ) = ∂u (0,τ ) = 0;
∂r ∂r
(5)
t (0,τ ) < ∞;u (0,τ ) < ∞;
(6)
−λq
∂t
( R,τ
∂r
)
+
q
(τ
)
−
(1 − ε
)
ρqm
(τ
)
=
0;
amγ 0
∂u ( R,τ
∂r
)
+
amγ 0δ
∂t ( R,τ
∂r
)
+
qm
(τ
)
=
0
.
(7) (8)
Здесь введены следующие обозначения:
t = (r,τ)− температура, К, °C; tо =const – частный случай начальной
температуры; tmc – максимальная температура среды; tmc −to = ∆t ;
T(X,Fo) = t(x,τ)−to tmc −to – безразмерная температура;
u = (r,τ ) − влагосодержание, кг влаги/кг абс. сух. вещества; uо = const –
θ(X,Fo) = uo −t(x,τ)
частный случай начального влагосодержания;
uo – безразмерное
влагосодержание; r - текущая координата, м; R - радиус цилиндра, м; X = r R -
безразмерная координата; τ - время, с;
τ 1 - время окончания первого периода термической обработки – прогрева
и периода постоянной скорости сушки; f1 (r ) и f2 (r ) распределение температуры
и влагосодержания в материале соответственно; aq - коэффициент
температуропроводности, м²/с; ε - коэффициент фазового перехода (0 < ε < 1);
ρ - удельная теплота испарения, Дж/кг; c q - удельная теплоемкость материала,
Дж/(кг·К); am - коэффициент потенциало- (влаго-) проводности м²/с;
δ - термоградиентный коэффициент, 1/К; λq - коэффициент
теплопроводности, Вт/(м·К);
q(τ) - плотность теплового потока – количество тепла, подводимого к
единице площади поверхности твердого тела в единицу времени, Вт/м²;
qm(τ)−плотность потока массы вещества кг/(м²·с); γ0 – плотность абсолютно
сухого вещества, кг/м³;
(1) – уравнение теплопереноса; (2) – уравнение массо- (влаго-) переноса;
равенства (3) и (4) – начальные условия; (5) и (6) – условия симметрии и
физической ограниченности температуры и влагосодержания.
Граничное
условие
(7)
r
является
уравнением
баланса
тепла:
подuвurеденное
тепло к поверхности тело q(τ ) расходуется на испарение жидкости ρ qm (τ ) и на
нагрев
тела
−λq
∂t ( R,τ
∂r
)
.
Граничное условие (8) – уравнением баланса массы вещества – условие
сушки влажных дисперсных сред в данном случае.
Коэффициенты системы уравнений и граничных условий – постоянные
(усредненные) величины, различные для различных этапов процесса.
Для определения зависимости потока массы вещества от времени в
заводских условиях был поставлен эксперимент по протеканию процесса
термической обработки колбасных изделий под действием радиационного
нагрева. В результате аналитической обработки была получена следующая
зависимость удельного потока массы вещества от времени:
( )qm τ = k2u0 Rγ 0 e−k2 (τ ) ,
(9)
где k2 – эмпирическая постоянная – коэффициент сушки, 1/с.
Аналогично была найдена зависимость q(τ).
Поставленная краевая задача (1) – (8) решена методом последовательного
применения конечного интегрального преобразования Ханкеля [3-5] и
интегрального преобразования Лапласа [3].
Распределения полей температуры и влагосодержания в безразмерном
виде при отмеченных допущениях получены в следующем виде:
∫ ∑ ( )( ) (( ))T
X , Fo
=
2
1 0
XF1( X
) J0 (µ
X
)dx
+1−
e− Pd1Fo
+
∞
2
n=1
J0 J0
µn X µn
µn
Pd1 2 − Pd1
e − e− Pd1Fo
−
µ
2 n
Fo
+
( )+
ε
KoPd2
µn2
µn2
µn2 − Pd2
µn2
− Pd1 Lu
− Pd2 Lu
e− Pd2 Fo
+ ε KoPd2 Lu −1
e − µn2 LuFo
µn2
−
Pd2 Lu
−
Lue − µn2 Fo µn2 − Pd2
;
(10)
( ) ∑θ
X , Fo
∞
γ= 2 ν νn =1
i
2 2
−
e−
L
u
µ
n2ν
2 i
F
o
2
1,
(11)
где
Fo
=
aqτ R2
−
критерий
гомохронности
(число
Фурье);
Lu = am −
aq критерий
Ko = r∆u −
(число Лыкова) взаимосвязи массо- и теплопереноса;
cq∆t число
Коссовича;
Pd1
=
k1R2 aq
,
Pd2
=
k2R2 aq
- числа Предводителева (теплообменное и
массообменное).
11
∫ ∫γ i
=
PnT0
+
(ν
2 i
−1)θ0 ,
где
T0 = XF1( X )J0 (µn X )dx θ0 = XF2 ( X )J0 (µn X )dx
0 ,0 .
ν
2 i
=
1 2
α
+
(−1)α
α2
−
4 Lu
,
где
α
=1+
1 Lu
+ ε KoPn
µn - последовательные положительные корни уравнения
J1(µ) = 0
(12)
J0(z) и J1(z) - функции Бесселя от вещественного аргумента z первого рода и нулевого порядка соответственно.
Литература.
1. Афанасов Э.Э., Николаев Н.С., Рогов И.А. и др. Аналитические методы описания технологических процессов мясной промышленности. – М.: Мир, 2003. – 184 с.
2. Бражников А.М. Теория термической обработки мясопродуктов. – М.: Агропромиздат, 1987. – 271 с.
3. Лыков А.В., Михайлов Ю.А. Теория тепло- и массопереноса. – М.-Л.: Госэнергоиздат, 1963. – 536 с.
4. Снеддон И. Преобразование Фурье. – М.: Изд-во иностранной литературы, 1955. – 667 с.
5. Волков И.К., Канатников А.Н. Интегральные преобразования и операционное исчисление: Учеб. для вузов. – М: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2002. – 228 с.
Mathematical description of heat and mass transfer in heat treated sausage goods
B.A. Voronenko DSc, V.V.Pelenko DSc, V.V.Starikov graduate student
Saint-Petersburg State University of Refrigeration & Food Engineering
To describe heat and mass transfer in a product that is a disperse system, a long sausage loaf is assumed to be analyzed not as an aggregate of isolated discrete particles but as a solid homogeneous and isotropic medium. On the basis of prerequisites a mathematical model of combined heat and mass transfer is proposed for heat treatment of a long cylinder sausage loaf.
Key words: capillary-porous bodies, heat treatment, heat and mass transfer, mathematical model, differential equation set, initial and boundary conditions
Математическое описание процессов тепло- и массопереноса в колбасных изделиях при их тепловой
обработке
д.т.н. Вороненко Б.А., д.т.н. Пеленко В.В., аспирант Стариков В.В.
Санкт-Петербургский государственный университет низкотемпературных и пищевых технологий
Для описания процессов тепло- и массообмена в продукте, представляющим собой дисперсную систему, рассмотрим колбасный батон не как совокупность отдельных дискретных частиц, а как сплошную среду, однородную и изотропную. На основе предпосылок предложена математическая модель совместного тепломассопереноса тепловой обработки колбасного батона цилиндрической формы.
Ключевые слова: капиллярно-пористые тела, тепловая обработка, тепломассоперенос, математическая модель, система дифференциальных уравнений, начальные и граничные условия.
Основные способы массопереноса при созревании мясного фарша, сушке, варке, превращении его в готовый продукт, как и у всех пищевых продуктов животного происхождения, — это перенос вещества на молекулярном уровне (молекулярная диффузия) и перенос на макроуровне в результате движения жидкости и пара (конвективный перенос) [1].
Фаршевые мясопродукты относятся к коллоидным капиллярно-пористым телам, так как наряду с развитой системой пор и капилляров они содержат и коллоидные частицы, входящие в каркас стенок.
Удаление влаги из материала связано с преодолением сопротивления со стороны продукта. Сопротивления возникают как при переходе от одного элемента объема тела к другому, так и при изменении состояния влаги в теле, ее формы связи.
Изучение процессов пищевой технологии должно базироваться на комплексном математическом описании целого ряда превращений сырья с использованием современной вычислительной техники. При этом компьютер выступает как средство не только вычисления, но и моделирования возможных технологических ситуаций, предвидеть которые без применения современных подходов практически невозможно. Системный анализ позволяет представить сырье как сложную систему, состоящую из ряда взаимосвязанных элементов, а технологический процесс — как совокупность преобразований этой системы, протекающих на разных, но взаимосвязанных уровнях. Такого рода представления удобны для последующей формализации с использованием ЭВМ, прежде всего в виде кибернетических моделей. Сочетание системного
анализа с аналитическим описанием процесса наиболее плодотворно, так как
позволяет в качестве аппроксимирующих зависимостей использовать не
случайные полиномиальные функции, а математические зависимости,
вытекающие из фундаментальных законов природы, лежащих в основе
математического описания тепловых и массообменных процессов [1].
Применительно к технологическим схемам производства мясных
продуктов (варено-копченых колбас) отдельный батон можно считать
биореактором, в котором последовательно и параллельно протекают
гидромеханические, массообменные и тепловые процессы [1]. Для каждого
продукта авторы выделяют ряд уровней, на каждом из которых сырье
превращается в готовый продукт.
В производстве варено-копченых колбас основными процессами являются
гидромеханические, массообменные и тепловые.
Колбасные батоны представляют собой твердообразные системы
(частицы), содержащие элементы как исходных компонентов, в основном
животных тканей, так и структуру, полученную при измельчении и
смешивании компонентов. Эти частицы неоднородны по величине, структуре и
физическим свойствам [2]. Поэтому для описания процессов тепло- и
массообмена в продукте следовало бы написать дифференциальные уравнения
для каждой отдельной частицы, что сделать невозможно. Однако размеры
частиц и расстояния между ними ничтожно малы по сравнению с размерами
массы материала, подвергаемого термообработке в коптильной камере
(реакторе), что дает возможность колбасный батон, представляющий собою
дисперсную систему, рассматривать не как совокупность отдельных
дискретных частиц, а как сплошную среду, однородную и изотропную.
Анализ работы применяемых в промышленности камер Autotherm показал,
что основным способом передачи теплоты является конвективно-
радиационный. В этом случае, если считать колбасный батон, подвергаемый
тепловой обработке в камере, телом, имеющим форму неограниченного
цилиндра, условия взаимодействия которого с окружающей средой
выражаются граничными условиями второго рода (экспериментально
найденными функциональными зависимостями удельных потоков тепла и
вещества на поверхности тела от времени), краевую задачу совместного
тепломассопереноса (дифференциальные уравнения и условия однозначности)
можно сформулировать следующим образом:
требуется решить систему дифференциальных уравнений в частных
производных [3]
∂t ∂τ
=
aq
1 r
∂ ∂r
r
∂t ∂r
+
ερ cq
∂u ∂τ
;
(1)
∂u ∂τ
=
am
1 r
∂ ∂r
r
∂u ∂r
+
amδ
1 r
∂ ∂r
r
∂t ∂r
;
(2)
(0 < τ < τ1; 0 < r < R)
при следующих начальных
t (r,0) = f1(r);
(3)
u(r,0) = f2 (r)
(4)
и граничных условиях
∂t (0,τ ) = ∂u (0,τ ) = 0;
∂r ∂r
(5)
t (0,τ ) < ∞;u (0,τ ) < ∞;
(6)
−λq
∂t
( R,τ
∂r
)
+
q
(τ
)
−
(1 − ε
)
ρqm
(τ
)
=
0;
amγ 0
∂u ( R,τ
∂r
)
+
amγ 0δ
∂t ( R,τ
∂r
)
+
qm
(τ
)
=
0
.
(7) (8)
Здесь введены следующие обозначения:
t = (r,τ)− температура, К, °C; tо =const – частный случай начальной
температуры; tmc – максимальная температура среды; tmc −to = ∆t ;
T(X,Fo) = t(x,τ)−to tmc −to – безразмерная температура;
u = (r,τ ) − влагосодержание, кг влаги/кг абс. сух. вещества; uо = const –
θ(X,Fo) = uo −t(x,τ)
частный случай начального влагосодержания;
uo – безразмерное
влагосодержание; r - текущая координата, м; R - радиус цилиндра, м; X = r R -
безразмерная координата; τ - время, с;
τ 1 - время окончания первого периода термической обработки – прогрева
и периода постоянной скорости сушки; f1 (r ) и f2 (r ) распределение температуры
и влагосодержания в материале соответственно; aq - коэффициент
температуропроводности, м²/с; ε - коэффициент фазового перехода (0 < ε < 1);
ρ - удельная теплота испарения, Дж/кг; c q - удельная теплоемкость материала,
Дж/(кг·К); am - коэффициент потенциало- (влаго-) проводности м²/с;
δ - термоградиентный коэффициент, 1/К; λq - коэффициент
теплопроводности, Вт/(м·К);
q(τ) - плотность теплового потока – количество тепла, подводимого к
единице площади поверхности твердого тела в единицу времени, Вт/м²;
qm(τ)−плотность потока массы вещества кг/(м²·с); γ0 – плотность абсолютно
сухого вещества, кг/м³;
(1) – уравнение теплопереноса; (2) – уравнение массо- (влаго-) переноса;
равенства (3) и (4) – начальные условия; (5) и (6) – условия симметрии и
физической ограниченности температуры и влагосодержания.
Граничное
условие
(7)
r
является
уравнением
баланса
тепла:
подuвurеденное
тепло к поверхности тело q(τ ) расходуется на испарение жидкости ρ qm (τ ) и на
нагрев
тела
−λq
∂t ( R,τ
∂r
)
.
Граничное условие (8) – уравнением баланса массы вещества – условие
сушки влажных дисперсных сред в данном случае.
Коэффициенты системы уравнений и граничных условий – постоянные
(усредненные) величины, различные для различных этапов процесса.
Для определения зависимости потока массы вещества от времени в
заводских условиях был поставлен эксперимент по протеканию процесса
термической обработки колбасных изделий под действием радиационного
нагрева. В результате аналитической обработки была получена следующая
зависимость удельного потока массы вещества от времени:
( )qm τ = k2u0 Rγ 0 e−k2 (τ ) ,
(9)
где k2 – эмпирическая постоянная – коэффициент сушки, 1/с.
Аналогично была найдена зависимость q(τ).
Поставленная краевая задача (1) – (8) решена методом последовательного
применения конечного интегрального преобразования Ханкеля [3-5] и
интегрального преобразования Лапласа [3].
Распределения полей температуры и влагосодержания в безразмерном
виде при отмеченных допущениях получены в следующем виде:
∫ ∑ ( )( ) (( ))T
X , Fo
=
2
1 0
XF1( X
) J0 (µ
X
)dx
+1−
e− Pd1Fo
+
∞
2
n=1
J0 J0
µn X µn
µn
Pd1 2 − Pd1
e − e− Pd1Fo
−
µ
2 n
Fo
+
( )+
ε
KoPd2
µn2
µn2
µn2 − Pd2
µn2
− Pd1 Lu
− Pd2 Lu
e− Pd2 Fo
+ ε KoPd2 Lu −1
e − µn2 LuFo
µn2
−
Pd2 Lu
−
Lue − µn2 Fo µn2 − Pd2
;
(10)
( ) ∑θ
X , Fo
∞
γ= 2 ν νn =1
i
2 2
−
e−
L
u
µ
n2ν
2 i
F
o
2
1,
(11)
где
Fo
=
aqτ R2
−
критерий
гомохронности
(число
Фурье);
Lu = am −
aq критерий
Ko = r∆u −
(число Лыкова) взаимосвязи массо- и теплопереноса;
cq∆t число
Коссовича;
Pd1
=
k1R2 aq
,
Pd2
=
k2R2 aq
- числа Предводителева (теплообменное и
массообменное).
11
∫ ∫γ i
=
PnT0
+
(ν
2 i
−1)θ0 ,
где
T0 = XF1( X )J0 (µn X )dx θ0 = XF2 ( X )J0 (µn X )dx
0 ,0 .
ν
2 i
=
1 2
α
+
(−1)α
α2
−
4 Lu
,
где
α
=1+
1 Lu
+ ε KoPn
µn - последовательные положительные корни уравнения
J1(µ) = 0
(12)
J0(z) и J1(z) - функции Бесселя от вещественного аргумента z первого рода и нулевого порядка соответственно.
Литература.
1. Афанасов Э.Э., Николаев Н.С., Рогов И.А. и др. Аналитические методы описания технологических процессов мясной промышленности. – М.: Мир, 2003. – 184 с.
2. Бражников А.М. Теория термической обработки мясопродуктов. – М.: Агропромиздат, 1987. – 271 с.
3. Лыков А.В., Михайлов Ю.А. Теория тепло- и массопереноса. – М.-Л.: Госэнергоиздат, 1963. – 536 с.
4. Снеддон И. Преобразование Фурье. – М.: Изд-во иностранной литературы, 1955. – 667 с.
5. Волков И.К., Канатников А.Н. Интегральные преобразования и операционное исчисление: Учеб. для вузов. – М: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2002. – 228 с.
Mathematical description of heat and mass transfer in heat treated sausage goods
B.A. Voronenko DSc, V.V.Pelenko DSc, V.V.Starikov graduate student
Saint-Petersburg State University of Refrigeration & Food Engineering
To describe heat and mass transfer in a product that is a disperse system, a long sausage loaf is assumed to be analyzed not as an aggregate of isolated discrete particles but as a solid homogeneous and isotropic medium. On the basis of prerequisites a mathematical model of combined heat and mass transfer is proposed for heat treatment of a long cylinder sausage loaf.
Key words: capillary-porous bodies, heat treatment, heat and mass transfer, mathematical model, differential equation set, initial and boundary conditions