Разработка математической модели пекарной камеры как объекта с сосредоточенными параметрами
УДК-681.513.5
Разработка математической модели пекарной камеры как объекта с сосредоточенными параметрами
В.Б. Данин, А.Ю. Кириков
Санкт-Петербургский государственный университет низкотемпературных и пищевых технологий
В данной работе рассмотрены вопросы построения математической модели пекарной камеры тоннельной типа. Авторами предлагается математическая модель пекарной камеры, представляющей собой объект с распределенными параметрами как объект со сосредоточенными параметрами. На базе разработанной эквивалентной модели с сосредоточенными параметрами можно сформулировать и дать способ решения задачи оптимальной стабилизации температурного режима пекарной камеры.
Ключевые слова: пекарная камера, система уравнений, математическая модель.
В качестве объекта взята тоннельная печь для выпечки хлеба в объединении ОАО “Каравай”.
Температурное поле тоннельной печи условно разделено на 3 последовательных температурных участка для выпечки движущихся хлебобулочных заготовок с температурами: 120 – 140°C; 270 - 290°C; 180 - 220°C соответственно. Такое деление на участки определяет и конфигурацию математической модели пекарной камеры, которая рассматривается в виде моделей отдельных участков. Схема математической модели показана на рис.1, которая состоит из их последовательного соединения с указанием тепловых потоков между ними и управлений, соответствующих изменению подачи топлива.
1
Рис. 1. Схема модели температурных участков. GП,GГ,GВ – расход продукта, газа и воздуха для каждого из участков; ТП,ТД – температура продукта и дымовых газов для каждого из участков; QК,QР – коли-чество тепла , излучаемого
кладкой и роликами для каждого из участков.
На основании геометрических размеров пекарной камеры (печи) и материалов кладки (футеровки стенок), собственно хлебной заготовки и конвейерного транспорта (роликов) необходимо определить численные значения коэффициентов математической модели для последующих расчетов. В этой связи, целесообразно показать расчет коэффициентов излучения для участков, полагая, что в режиме стабилизации основной поток теплообмена осуществляется излучением. При расчете коэффициентов излучения, важно заранее знать от каких поверхностей передается тепло излучением, а какие поверхности его поглощают. Направленность тепловых потоков будет зависеть от абсолютной температуры поверхностей и объемов. Наибольшей температурой будет обладать продукты сгоревшего топлива (назовем их дымовыми газами) и от них тепловой поток будет направлен к выпекаемому продукту, стенками в виде кладки (или футеровки) и к роликовому транспорту.
При определении математической модели процесса выпекания сделаны следующие предположения:
Температура излучающих поверхностей принимается средней на каждом участке;
Коэффициенты излучения и теплопередачи являются независимыми от температуры в пределах каждого участка;
Теплоемкость тел и воздушной массы также не зависят от температуры, в пределах каждого участка;
Потери в окружающую среду постоянны.
2
Все эти допущения справедливы при стабилизации температурного поля
внутри пекарной камеры, так как отклонения температуры от расчетных режимов
не могут быть большими.
Известно что пекарная камера имеет четыре аккумулятора тепла:
- объем нагретой газовоздушной массы внутри;
- пекарный продукт (полуфабрикат);
- транспортная конвейерная лента (ролики);
- кладка внутренней поверхности камеры.
Поэтому каждый участок в динамике будет описываться системой из четырех
дифференциальных уравнений.
Уравнение теплового баланса для объема нагретой газовоздушной массы
где:
М Г
⋅ GГ
⋅ d ⋅TГ
=γ
⋅σТ
⋅d
⋅t
+ σ Г1 ⋅ CГ1 ⋅ TГ1 ⋅ dt
+σВ
⋅ CВ
⋅ TВ
⋅ dt
+
( ) ( )GП1 ⋅ CП1 ⋅ TП1 ⋅ dt − −FК ⋅σ ГК ⋅ TГ 4 − TК 4 ⋅ dt − Fр ⋅σ Гр ⋅ TГ 4 − Tр4 ⋅ dt −
( ) ( )FК ⋅ dК ⋅ TГ − TК ⋅ dt − Fр ⋅ d р TГ 4 − TК 4 ⋅ dt + GП2 ⋅ СП2 ⋅ TП2 ⋅ dt − β ⋅ GП ⋅ dt −
GГ 2
⋅С Г2
⋅ TГ 2
(1)
Mг - масса дымовых газов в объеме участка; Gг - теплоемкость дымовых газов; Tг - температура дымовых газов; γ - удельная теплота сгорания топлива;
Gв - расход воздуха на сгорание топлива; Gт - расход топлива; Gг - расход дымовых газов с предыдущего участка; Tг1- температура дымовых газов из предыдущего участка; Gп - расход выпекаемого продукта; Cп1 - теплоемкость продукта на входе в участок; Cп2 - теплоемкость продукта на выходе из участка; Tп2 -температура продукта на выходе из участка; Tк, Tр - температура поверхности камеры и роликов соответственно;
σгк,
σ гр
-
коэффициенты
излучения;
αк,αр - коэффициенты теплопередачи конвекцией;
β - коэффициент химических реакций;
3
Gт2,Cт2,Tг2 - расход, теплоемкость, температура дымовых газов на выходе из участка соответственно.
Уравнение (1) показывает, что в каждый момент времени нагрев газовой сме-
си (дымовых газов) происходит за счет сгорания топлива, поступления тепла с
дымовыми газами с предыдущего участка, поступления тепла с воздухом, поступ-
ления тепла с нагретым пекарным продуктом, а охлаждение происходит за счет
отдачи тепла роликами и кладкой камеры за счет поглощения тепла на химиче-
ские реакции, уноса тепла с продуктом и с дымовыми газами, уходящими на по-
следующий участок.
В зависимости от характера теплообмена уравнение (1) будет разным для раз-
ных участков. На участке 1 следует учитывать как передачу тепла излучением, так
и конвекцией.
На участках 2 и 3 преобладает передача тепла излучением, а передачей тепла
конвекцией можно пренебречь. Проведя линеаризацию уравнения (1) и сгруппи-
ровав подобные члены выражение примет вид
[ ]( )M
Г
⋅СГ
⋅
d∆TГ dt
+ 4 ⋅ TГ 3 FК ⋅ σ ГК + FР ⋅ σ ГР
+ FК ⋅ d К + Fр ⋅ d р + GГ 2 ⋅ СГ 2
⋅ ∆TГ =
( )γ ⋅ ∆GТ + GГ1 ⋅ СГ1 ⋅ ∆TГ1 + GВ ⋅ CВ ⋅ ∆TВ + 4 ⋅ TК 3 ⋅ FК ⋅ GГК + FК ⋅ α К ⋅ ∆TК +
.
( ) [ ]4 ⋅ TР3 ⋅ FР ⋅σ ГР + FР ⋅α Р ⋅ ∆TР − 2GП (TП1 − TП ) − β ⋅ ∆GП + 2 ⋅ GП ⋅ СП ⋅ ∆TП1
Введем обозначение
( )A = 4 ⋅ TГ 3 ⋅ FК ⋅ σ ГК + FРσ ГР + FК ⋅ α К + FР ⋅ α Р + GГ 2 ⋅ СГ 2 .
и приведем уравнение (1) к виду
M Г ⋅СГ A
⋅ d∆TГ dt
+ ∆TГ
=
γ A
⋅
GТ
+
GГ1
⋅
С Г1
A
⋅ ∆TГ1
+ GВ ⋅ CВ A
⋅ ∆TВ
+
4 ⋅ TК
⋅ FК
⋅ σ ГК A
+
FК
⋅αК
⋅ ∆TК
+
4 ⋅ TР
⋅ FР
⋅ σ ГР A
+
FР
⋅αР
⋅ ∆TР
+
2 ⋅ GП
⋅ (TП1 − TП ) −
A
β
+
2 ⋅ GП ⋅ CП A
⋅ ∆TП1
(2)
обозначим
M Ã ⋅CÃ A
= T1
- постоянная времени газового объема,
γ - коэффициент передачи объекта по управлению, за которое примем расA
ход топлива;
4
Введем обозначения:
4 ⋅ TК FК ⋅ GГК A
+ FК ⋅ α К
= a12 ,
2 ⋅ GП ⋅ СП A
=
g2 ,
4 ⋅ Tр Fр ⋅ GГр A
+ Fр ⋅α р
= a13 ,
2 ⋅ GП ⋅ (TП1 − TП ) = g1,
A
2
⋅
GГ1
⋅
С Г1
A
=
g3 ,
2
⋅
GВ
⋅
С В
A
=
g4 .
С учетом введенных обозначений уравнение (1) примет вид для объема газо-
вой смеси внутри камеры
T1
d
⋅ ∆T dt
+ ∆TГ
= b ⋅ ∆GГ
+ a12
⋅ ∆TК
+ a13 ⋅ ∆TР
+
g1 ⋅ ∆GП
+
g2
⋅ ∆TП1
+,
g3 ⋅ ∆TГ1 + g4 ⋅ ∆TB
(3)
здесь ∆Gп - расход выпекаемого продукта; ∆Tг1 - температура входящих газовой смеси; ∆Tп1 - температура входящего в печь продукта; ∆Tв - температура окружающего воздуха, которую как правило, считают по-
стоянной.
Изменение подачи топлива (сгораемого газа) считают управляющим воздей-
ствием.
Если все возмущения принять равным нулю, а приращение управления не
равно нулю, то уравнение (3) вырождается в уравнение вида
T1
d∆TГ dt
+ ∆TГ
= b ⋅ ∆GГ
+ a12 ⋅ ∆TК
+ a13 ⋅ ∆TР .
(4)
Если все возмущения, кроме ∆Gп, в уравнении равны нулю, то уравнение (4) приобретает вид
T1
d∆TГ dt
+ ∆TГ
= a12 ⋅ ∆TК
+ a13 ⋅ ∆TР
+ g1∆GП .
(5)
Аналогично следует поступить и при определении уравнения теплового ба-
ланса для выпекаемого продукта.
( )( )M П ⋅ СП ⋅ dTП = FП ⋅ GГП TГ 4 − TП 4 ⋅ dt + FП ⋅ GКП (TК 4 − TП 4 ) ⋅ dt + ,
FП ⋅ α П ⋅ TГ − TП
(6)
где Mп и Cп - масса и теплоемкость выпекаемого продукта; Fп - площадь продукта (заготовки);
σ гп
и
σ кп
-
коэффициенты
излучения;
αп - коэффициент теплопередачи;
5
Tп,Tг,Tк - температуры продукта, газовоздушной смеси, кладки внутри камеры.
Уравнение (6) показывает, что выпекаемый продукт нагревается за счет из-
лучения от газовоздушного объема (от сгорания газа) и от стенок камеры, и за
счет теплопередачи конвекцией от сгоревшего газа.
Проводя линеаризацию уравнения (6) и перегруппировав члены, получим
M П ⋅ СП B
⋅ d∆TП dt
+ ∆TП
=
4 ⋅ TГ 3 ⋅ FП
⋅ GГП B
+ FП
⋅αП
⋅ ∆TГ
+
4 ⋅ TК
⋅ FК B
⋅ GКП
⋅ ∆TК ,
где B = 4 ⋅ TП ⋅ (FП ⋅ GГП + FП ⋅ GКП ) + FП ⋅α П .
(7)
С учетом обозначений:
M Ï ⋅ CÏ B
= T2 - постоянная времени выпекаемого продукта,
4TГ ⋅ FП ⋅ GГП B
+ FП ⋅ α П
= a21
;
4TК
⋅ FК ⋅ GК B
= a22 ;
уравнение (7) примет вид
T2
d∆TП dt
+ ∆TП
= a21 ⋅ ∆TГ
+ a22 ⋅ ∆TК .
(8)
Уравнение теплового баланса роликового конвейерного транспорта
( ) ( )( )M Р ⋅ CР ⋅ dTР = FР ⋅σ Р TГ 4 − TР 4 ⋅ dt + FР ⋅σ КР TК 4 − TР4 ⋅ dt + ,
FР ⋅α Р TГ − TР ⋅ dt − Qр ⋅ dt
(9)
где Mр,Ср - масса и теплоемкость роликов транспорта соответственно; Fp – площадь роликов;
σ σгр, кр- коэффициенты излучения;
αр - коэффициент теплопередачи; Tр,Tк,Tг - температура роликов, стенок печи и газовоздушной смеси внутри печи соответственно; QР - потери в окружающую среду через площадь роликового транспорта. Уравнение (9) показывает, что ролики нагреваются за счет излучения от нагретого газом воздушного объема и стенок печи и за счет теплопередачи от сгоревшего газа, а охлаждаются за счет потерь через концы в окружающую среду.
6
Проведя линеаризацию уравнения (9) и группируя соответствующим образом члены, получим уравнение вида
M Р ⋅CР D
⋅
d∆Tр dt
+
∆TР
=
4 ⋅ TС 3
⋅ FР
⋅ σ ГР D
+
FР
⋅αР
⋅ ∆TГ
+
4 ⋅ TК 3
⋅ σ КР D
⋅ FР
⋅ ∆TК
− ∆Qр D
(10)
где обозначены
M Р ⋅ CР D
= T3
-
постоянная
времени
роликов;
4 ⋅T 3Г
⋅ FР ⋅ σ ГР D
+ FР ⋅ α Р
= a31;
4 ⋅ TК 3 ⋅ FР ⋅ σ КР D
= a32
;
D = 4 ⋅ TР ⋅ (FР ⋅σ ГР + FР ⋅σ КР ) + FР ⋅α Р .
1 D
=
gР
;
С учетом принятых обозначений получим уравнение для роликового транс-
порта
T3
⋅
d∆TР dt
+ ∆TР
=
a31 ⋅ ∆TГ
+ a32
⋅ TК .
Уравнение теплового баланса для стенок (кладки) печи примет вид
( ) ( )M
К
⋅ CК
⋅
dTК dt
= FК ⋅ σ ГК ⋅ TГ 4 − TК 4
⋅ dt + FК ⋅ σ ПК ⋅ TП 4 − TК 4
⋅ dt +
( )FК ⋅σ КР ⋅ TР4 − TК 4 ⋅ dt + FК ⋅α К ⋅ (TГ − TК )⋅ dt − QК ⋅ dt
(11)
где Mк,Ск - масса и теплоемкость кладки стенок соответственно; Fк – площадь внутренней поверхности кладки;
σ σ σгк, кр, пр - коэффициенты излучения,
αк - коэффициент теплопередачи; Tк,Tп,Tг,Tр - температура поверхности кладки, продукта, газовой смеси внутри камеры, роликового транспорта соответственно.
Уравнение (11) показывает, что кладка печи нагревается за счет излучения от газового объема и теплопередачи от газового объема и охлаждается за счет потерь
в окружающую среду, нагревается и охлаждается за счет излучения на транспорт
и продукт.
7
Проведя линеаризацию уравнения (11) и группируя соответствующим обра-
зом члены уравнения, получим
M К ⋅CК E
⋅ d∆TК dt
+ ∆TК
=
4 ⋅ TГ 3
⋅ FК
⋅ GГК E
+
FК
⋅αК
⋅ ∆TГ
+
,
4 ⋅ TП 3 ⋅ GК E
⋅ FКП
⋅ ∆TП
+
4 ⋅ TР3 ⋅ FК E
⋅ GКР
∆TР
−
∆QК E
E = 4 ⋅ TR ⋅ (FR ⋅σ ГК + FК ⋅σ КП ) + FК ⋅α К .
Обозначим:
M К ⋅CК E
= T4
-
постоянная времени кладки;
(12)
4 ⋅ T 3Г ⋅ FК ⋅ GГК E
+ FК ⋅ α К
= a41 ;
4 ⋅ TП 3 ⋅ FК E
⋅ GПР
= a44 ;
4 ⋅ TР3 ⋅ FР ⋅ GЕР E
= a43 .
С учетом перечисленных обозначений уравнение (12) примет вид
T4
⋅
d∆TК dt
+ ∆TК
= a41 ⋅ ∆TГ
+ a44 ⋅ ∆TП
+ a43 ⋅ ∆TР .
(13)
Запишем систему уравнений для участка печи, приняв все возмущения рав-
ным нулю, кроме подачи в печь пекарной заготовки (продукта):
T1
⋅
d∆TГ dt
+ ∆TГ
=b
⋅ ∆GГ
+ a12 ⋅ ∆TК
+ a13 ⋅ ∆TР + g1 ⋅ ∆GП ;
T2
⋅ d∆TП dt
+ ∆TП
= a21 ⋅ ∆TГ
+ a22 ⋅ ∆TК ;
T3
⋅ d∆TР dt
+ ∆TР
=
a31 ⋅ ∆TГ
+ a32
⋅ ∆TК ;
(14)
T4
⋅
d∆TК dt
+ ∆TК
= a41 ⋅ ∆TГ
+ a43 ⋅ ∆TР
+ a44∆TП .
Если поставить задачу расчета изменения температур при изменении управ-
ляющего воздействия на одинаковую величину во всех участках, и принять воз-
мущения равными нулю, то уравнение статики примет вид
∆TГ = b ⋅ ∆GГ + a12 ⋅ ∆TК + a13 ⋅ ∆TР ;
∆TП = a21 ⋅ ∆TГ + a22 ⋅ ∆TК ;
(15)
∆TР = a31 ⋅ ∆TГ + a32 ⋅ ∆TК ;
∆TК = a41 ⋅ ∆TГ + a43 ⋅ ∆TР + a44∆TП .
Дав приращение в подаче топлива ∆Gт получим приращение температур на каждом участке.
8
Заключение
Полученная модель пекарной камеры, состоящая из разбитых (условно) на три участка газового объема, состоящая из 12-ти дифференцированных уравнений и имеющая три управляющих воздействия является весьма информативной.
С ее помощью можно имитировать воздействие тепловых потоков и излучающих объемов и поверхностей, что оказывает неоценимую помощь при проектировании систем управления.
Однако при определении коэффициентов дифференциальных уравнений большую погрешность вносят усреднения температур излучающих поверхностей. Устранить этот недостаток в какой-то мере можно, если участки разбить на секции, но тогда возрастет и существенно количество уравнений и их решение вызовет значительные трудности.
Можно избрать и иной путь – составить математическую модель объекта как объекта с распределенными параметрами. Но тогда решение проблем сводится к решению нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных с несколькими управлениями и сложными краевыми и начальными условиями, что является практически необозримой задачей, даже при современном уровне вычислительных средств.
Однако можно пойти на компромисс и получить сравнительно грубую, но линейную модель, позволяющую сравнительно легко анализировать тепловые процессы в объекте и проектировать для нее систему управления. В дополнение следует отметить тот факт, что все температурные поля (по участкам) предлагались равномерными. Однако это довольно грубое приближение и допущение. Температурное поле на каждом участке неравномерно и зависит от расположения источников тепла (газовых горелок) смешения продуктов сгорания, местных подсосов и потерь тепла через стенки и транспорт. Поэтому реальные температуры могут отличаться от расчетных. Это также вносит определенные трудности при реализации алгоритмов управления. Для практических нужд эта модель может быть использована в нескольких направлениях. Если ориентироваться на использование средств вычислительной техники, то представленная модель даст возможность построить температурное поле всего теплового объекта в статическом режиме, исходя из этого рассчитать расходы топлива на каждом участке, компенсирующие отклонения температуры от заданной.
9
Сложным является вопрос о стабилизации температуры на каждом из участ-
ков из-за многосвязности объекта, его переменных коэффициентов и многочис-
ленных возмущений. В этом случае целесообразно применить теории аналитиче-
ского конструирования регуляторов (следуя Шаталову или Калману) с неполной
информацией о векторе состояния, применив наблюдателя на основе полученной
математической модели.
Можно пойти и традиционным путем конструирования локальных регулято-
ров с типовыми алгоритмами. Для этих целей модель может быть трансформиро-
вана в передаточные функции (по управлению, по возмущению).
Для реализации поставленной цели в общем виде введем следующие обозна-
чения: x1 – температура дымовых газов, x2 – температура кладки печи, x3 – температура продукта, x4 – температура роликового транспорта. С .учетом введенных обозначений запишем в общем виде систему уравнений для отдельного участка
печи
T1
dx1 dt
+
x1
=
b1
⋅u
+ a12
⋅
x2
+ a14
⋅ x4
T2
dx2 dt
+
x2
=
a21
⋅ x1
+ a23
⋅ x2
+ a24
⋅ x4
(16)
T3
dx 3
dt
+
x3
=
a31
⋅
x1
+
a32
⋅
x2
− b2
⋅G
T 4
dx 4 dt
+
x 4
=
a 41
⋅
x 1
+
a 42
⋅
x 2
Разделим все уравнения (16) на постоянную времени Ti (i=1..4) и получим систему уравнений в нормальной форме
x1
=
1 T1
⋅ x1
+
a 12
T1
⋅ x2
+
a 13
T1
⋅ x3
+
a 14
T1
+
b 1
T1
⋅u
+ 0⋅G ;
x2
=
a21` T2
⋅
x1
+
a12 T2
⋅ x2
+
a24 T2
⋅
x3
+
a24 T2
⋅
x4
+ 0⋅u
+ 0⋅G;
x3
=
a31 T3
⋅
x1
+
a32 T3
⋅
x
−
1 T1
⋅
x3
+
0⋅
x4
+
0⋅u
+
b2 T3
⋅G
;
(17)
x4
=
a41 T
⋅
x1
+
a42 T
⋅
x
+
0⋅
x
−
1 T
⋅
x
+
0⋅u
+
0⋅G.
44
4
10
В векторно-матричной форме уравнение (17) будет
− a11 a12 a13 a14
T1 T1 T1 T
A
=
a21 T2 a31 T3
− a 22 T2
a32 − T3
a23 T2 a33 T3
a24 T2 a34 T3
,
b1
T 1
B
=
0
,
0
0
0
0
C
=
b2
.
T3 0
a 41
T4
a 42
T4
a 43
T4
−
a 44
T4
Составим характеристический полином в виде
A(s)
=
∆0 (s)
=
a 0
⋅
s4
+
a 1
⋅
s3
+
a 2
⋅
s2
+
a 3
⋅
s
+
a 4
.
Определим полином числителя при C=0
B(s)
=
b 0
⋅
s3
+
b 1
⋅
s2
+
b 2
⋅
s
+
b 3
.
полином числителя при B=0
Ñ(s)
=
c 0
⋅
s3
+
c 1
⋅
s2
+
c 2
⋅
s
+
c. 3
Тогда передаточная функция по управляющему воздействию U ≠ 0, G = 0
W 14
(s
)
=
x1 (s ) u(s)
=
B(s) A(s)
=
a0
b0 ⋅ s3 + b1 ⋅ s2 + b2 ⋅ s + b ⋅ s4 + a1 ⋅ s3 + a2 ⋅ s2 + a3 ⋅ s
+
a4
.
Передаточная функция по возмущению G ≠ 0,U = 0
( )W10
s
=
c 0
⋅
s3
+
c 1
⋅
s2
+
c 2
⋅
s
+
c 3
.
a0 ⋅ s4 + a1 ⋅ s3 + a2 ⋅ s2 + a3 ⋅ s + a4
Полученная математическая модель пекарной камеры (печи) как объекта с
сосредоточенными параметрами является весьма познавательной с ее помощью
можно понять взаимодействие тепловых потоков и излучающих объемов и по-
верхностей, что бывает весьма полезно при проектировании систем управления
тепловыми объектами.
Список литературы:
1. Михелев А.А. Справочник по хлебопекарному производству. е1. Оборудование и тепловое хозяйство. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.;Пищевая промышленность, 1977 – 368 с.
11
A mathematical model of a baking chamber as an object with lumped parameters
Danin V.B., Kirikov A.U.
Saint-Petersburg State University of Refrigeration and Food Engineering
The paper considers the development of a mathematical model for a tunnel-type baking chamber. The workers propose to represent the mathematical model of a baking chamber (an object) with distributed constants as that with lumped parameters. On the basis of the developed equivalent model with lumped parameters it is possible to formulate and give a solution for the problem of optimal stabilization of temperature conditions in a baking chamber.
Keywords: baking chamber, a set of equations, mathematical model.
12
Разработка математической модели пекарной камеры как объекта с сосредоточенными параметрами
В.Б. Данин, А.Ю. Кириков
Санкт-Петербургский государственный университет низкотемпературных и пищевых технологий
В данной работе рассмотрены вопросы построения математической модели пекарной камеры тоннельной типа. Авторами предлагается математическая модель пекарной камеры, представляющей собой объект с распределенными параметрами как объект со сосредоточенными параметрами. На базе разработанной эквивалентной модели с сосредоточенными параметрами можно сформулировать и дать способ решения задачи оптимальной стабилизации температурного режима пекарной камеры.
Ключевые слова: пекарная камера, система уравнений, математическая модель.
В качестве объекта взята тоннельная печь для выпечки хлеба в объединении ОАО “Каравай”.
Температурное поле тоннельной печи условно разделено на 3 последовательных температурных участка для выпечки движущихся хлебобулочных заготовок с температурами: 120 – 140°C; 270 - 290°C; 180 - 220°C соответственно. Такое деление на участки определяет и конфигурацию математической модели пекарной камеры, которая рассматривается в виде моделей отдельных участков. Схема математической модели показана на рис.1, которая состоит из их последовательного соединения с указанием тепловых потоков между ними и управлений, соответствующих изменению подачи топлива.
1
Рис. 1. Схема модели температурных участков. GП,GГ,GВ – расход продукта, газа и воздуха для каждого из участков; ТП,ТД – температура продукта и дымовых газов для каждого из участков; QК,QР – коли-чество тепла , излучаемого
кладкой и роликами для каждого из участков.
На основании геометрических размеров пекарной камеры (печи) и материалов кладки (футеровки стенок), собственно хлебной заготовки и конвейерного транспорта (роликов) необходимо определить численные значения коэффициентов математической модели для последующих расчетов. В этой связи, целесообразно показать расчет коэффициентов излучения для участков, полагая, что в режиме стабилизации основной поток теплообмена осуществляется излучением. При расчете коэффициентов излучения, важно заранее знать от каких поверхностей передается тепло излучением, а какие поверхности его поглощают. Направленность тепловых потоков будет зависеть от абсолютной температуры поверхностей и объемов. Наибольшей температурой будет обладать продукты сгоревшего топлива (назовем их дымовыми газами) и от них тепловой поток будет направлен к выпекаемому продукту, стенками в виде кладки (или футеровки) и к роликовому транспорту.
При определении математической модели процесса выпекания сделаны следующие предположения:
Температура излучающих поверхностей принимается средней на каждом участке;
Коэффициенты излучения и теплопередачи являются независимыми от температуры в пределах каждого участка;
Теплоемкость тел и воздушной массы также не зависят от температуры, в пределах каждого участка;
Потери в окружающую среду постоянны.
2
Все эти допущения справедливы при стабилизации температурного поля
внутри пекарной камеры, так как отклонения температуры от расчетных режимов
не могут быть большими.
Известно что пекарная камера имеет четыре аккумулятора тепла:
- объем нагретой газовоздушной массы внутри;
- пекарный продукт (полуфабрикат);
- транспортная конвейерная лента (ролики);
- кладка внутренней поверхности камеры.
Поэтому каждый участок в динамике будет описываться системой из четырех
дифференциальных уравнений.
Уравнение теплового баланса для объема нагретой газовоздушной массы
где:
М Г
⋅ GГ
⋅ d ⋅TГ
=γ
⋅σТ
⋅d
⋅t
+ σ Г1 ⋅ CГ1 ⋅ TГ1 ⋅ dt
+σВ
⋅ CВ
⋅ TВ
⋅ dt
+
( ) ( )GП1 ⋅ CП1 ⋅ TП1 ⋅ dt − −FК ⋅σ ГК ⋅ TГ 4 − TК 4 ⋅ dt − Fр ⋅σ Гр ⋅ TГ 4 − Tр4 ⋅ dt −
( ) ( )FК ⋅ dК ⋅ TГ − TК ⋅ dt − Fр ⋅ d р TГ 4 − TК 4 ⋅ dt + GП2 ⋅ СП2 ⋅ TП2 ⋅ dt − β ⋅ GП ⋅ dt −
GГ 2
⋅С Г2
⋅ TГ 2
(1)
Mг - масса дымовых газов в объеме участка; Gг - теплоемкость дымовых газов; Tг - температура дымовых газов; γ - удельная теплота сгорания топлива;
Gв - расход воздуха на сгорание топлива; Gт - расход топлива; Gг - расход дымовых газов с предыдущего участка; Tг1- температура дымовых газов из предыдущего участка; Gп - расход выпекаемого продукта; Cп1 - теплоемкость продукта на входе в участок; Cп2 - теплоемкость продукта на выходе из участка; Tп2 -температура продукта на выходе из участка; Tк, Tр - температура поверхности камеры и роликов соответственно;
σгк,
σ гр
-
коэффициенты
излучения;
αк,αр - коэффициенты теплопередачи конвекцией;
β - коэффициент химических реакций;
3
Gт2,Cт2,Tг2 - расход, теплоемкость, температура дымовых газов на выходе из участка соответственно.
Уравнение (1) показывает, что в каждый момент времени нагрев газовой сме-
си (дымовых газов) происходит за счет сгорания топлива, поступления тепла с
дымовыми газами с предыдущего участка, поступления тепла с воздухом, поступ-
ления тепла с нагретым пекарным продуктом, а охлаждение происходит за счет
отдачи тепла роликами и кладкой камеры за счет поглощения тепла на химиче-
ские реакции, уноса тепла с продуктом и с дымовыми газами, уходящими на по-
следующий участок.
В зависимости от характера теплообмена уравнение (1) будет разным для раз-
ных участков. На участке 1 следует учитывать как передачу тепла излучением, так
и конвекцией.
На участках 2 и 3 преобладает передача тепла излучением, а передачей тепла
конвекцией можно пренебречь. Проведя линеаризацию уравнения (1) и сгруппи-
ровав подобные члены выражение примет вид
[ ]( )M
Г
⋅СГ
⋅
d∆TГ dt
+ 4 ⋅ TГ 3 FК ⋅ σ ГК + FР ⋅ σ ГР
+ FК ⋅ d К + Fр ⋅ d р + GГ 2 ⋅ СГ 2
⋅ ∆TГ =
( )γ ⋅ ∆GТ + GГ1 ⋅ СГ1 ⋅ ∆TГ1 + GВ ⋅ CВ ⋅ ∆TВ + 4 ⋅ TК 3 ⋅ FК ⋅ GГК + FК ⋅ α К ⋅ ∆TК +
.
( ) [ ]4 ⋅ TР3 ⋅ FР ⋅σ ГР + FР ⋅α Р ⋅ ∆TР − 2GП (TП1 − TП ) − β ⋅ ∆GП + 2 ⋅ GП ⋅ СП ⋅ ∆TП1
Введем обозначение
( )A = 4 ⋅ TГ 3 ⋅ FК ⋅ σ ГК + FРσ ГР + FК ⋅ α К + FР ⋅ α Р + GГ 2 ⋅ СГ 2 .
и приведем уравнение (1) к виду
M Г ⋅СГ A
⋅ d∆TГ dt
+ ∆TГ
=
γ A
⋅
GТ
+
GГ1
⋅
С Г1
A
⋅ ∆TГ1
+ GВ ⋅ CВ A
⋅ ∆TВ
+
4 ⋅ TК
⋅ FК
⋅ σ ГК A
+
FК
⋅αК
⋅ ∆TК
+
4 ⋅ TР
⋅ FР
⋅ σ ГР A
+
FР
⋅αР
⋅ ∆TР
+
2 ⋅ GП
⋅ (TП1 − TП ) −
A
β
+
2 ⋅ GП ⋅ CП A
⋅ ∆TП1
(2)
обозначим
M Ã ⋅CÃ A
= T1
- постоянная времени газового объема,
γ - коэффициент передачи объекта по управлению, за которое примем расA
ход топлива;
4
Введем обозначения:
4 ⋅ TК FК ⋅ GГК A
+ FК ⋅ α К
= a12 ,
2 ⋅ GП ⋅ СП A
=
g2 ,
4 ⋅ Tр Fр ⋅ GГр A
+ Fр ⋅α р
= a13 ,
2 ⋅ GП ⋅ (TП1 − TП ) = g1,
A
2
⋅
GГ1
⋅
С Г1
A
=
g3 ,
2
⋅
GВ
⋅
С В
A
=
g4 .
С учетом введенных обозначений уравнение (1) примет вид для объема газо-
вой смеси внутри камеры
T1
d
⋅ ∆T dt
+ ∆TГ
= b ⋅ ∆GГ
+ a12
⋅ ∆TК
+ a13 ⋅ ∆TР
+
g1 ⋅ ∆GП
+
g2
⋅ ∆TП1
+,
g3 ⋅ ∆TГ1 + g4 ⋅ ∆TB
(3)
здесь ∆Gп - расход выпекаемого продукта; ∆Tг1 - температура входящих газовой смеси; ∆Tп1 - температура входящего в печь продукта; ∆Tв - температура окружающего воздуха, которую как правило, считают по-
стоянной.
Изменение подачи топлива (сгораемого газа) считают управляющим воздей-
ствием.
Если все возмущения принять равным нулю, а приращение управления не
равно нулю, то уравнение (3) вырождается в уравнение вида
T1
d∆TГ dt
+ ∆TГ
= b ⋅ ∆GГ
+ a12 ⋅ ∆TК
+ a13 ⋅ ∆TР .
(4)
Если все возмущения, кроме ∆Gп, в уравнении равны нулю, то уравнение (4) приобретает вид
T1
d∆TГ dt
+ ∆TГ
= a12 ⋅ ∆TК
+ a13 ⋅ ∆TР
+ g1∆GП .
(5)
Аналогично следует поступить и при определении уравнения теплового ба-
ланса для выпекаемого продукта.
( )( )M П ⋅ СП ⋅ dTП = FП ⋅ GГП TГ 4 − TП 4 ⋅ dt + FП ⋅ GКП (TК 4 − TП 4 ) ⋅ dt + ,
FП ⋅ α П ⋅ TГ − TП
(6)
где Mп и Cп - масса и теплоемкость выпекаемого продукта; Fп - площадь продукта (заготовки);
σ гп
и
σ кп
-
коэффициенты
излучения;
αп - коэффициент теплопередачи;
5
Tп,Tг,Tк - температуры продукта, газовоздушной смеси, кладки внутри камеры.
Уравнение (6) показывает, что выпекаемый продукт нагревается за счет из-
лучения от газовоздушного объема (от сгорания газа) и от стенок камеры, и за
счет теплопередачи конвекцией от сгоревшего газа.
Проводя линеаризацию уравнения (6) и перегруппировав члены, получим
M П ⋅ СП B
⋅ d∆TП dt
+ ∆TП
=
4 ⋅ TГ 3 ⋅ FП
⋅ GГП B
+ FП
⋅αП
⋅ ∆TГ
+
4 ⋅ TК
⋅ FК B
⋅ GКП
⋅ ∆TК ,
где B = 4 ⋅ TП ⋅ (FП ⋅ GГП + FП ⋅ GКП ) + FП ⋅α П .
(7)
С учетом обозначений:
M Ï ⋅ CÏ B
= T2 - постоянная времени выпекаемого продукта,
4TГ ⋅ FП ⋅ GГП B
+ FП ⋅ α П
= a21
;
4TК
⋅ FК ⋅ GК B
= a22 ;
уравнение (7) примет вид
T2
d∆TП dt
+ ∆TП
= a21 ⋅ ∆TГ
+ a22 ⋅ ∆TК .
(8)
Уравнение теплового баланса роликового конвейерного транспорта
( ) ( )( )M Р ⋅ CР ⋅ dTР = FР ⋅σ Р TГ 4 − TР 4 ⋅ dt + FР ⋅σ КР TК 4 − TР4 ⋅ dt + ,
FР ⋅α Р TГ − TР ⋅ dt − Qр ⋅ dt
(9)
где Mр,Ср - масса и теплоемкость роликов транспорта соответственно; Fp – площадь роликов;
σ σгр, кр- коэффициенты излучения;
αр - коэффициент теплопередачи; Tр,Tк,Tг - температура роликов, стенок печи и газовоздушной смеси внутри печи соответственно; QР - потери в окружающую среду через площадь роликового транспорта. Уравнение (9) показывает, что ролики нагреваются за счет излучения от нагретого газом воздушного объема и стенок печи и за счет теплопередачи от сгоревшего газа, а охлаждаются за счет потерь через концы в окружающую среду.
6
Проведя линеаризацию уравнения (9) и группируя соответствующим образом члены, получим уравнение вида
M Р ⋅CР D
⋅
d∆Tр dt
+
∆TР
=
4 ⋅ TС 3
⋅ FР
⋅ σ ГР D
+
FР
⋅αР
⋅ ∆TГ
+
4 ⋅ TК 3
⋅ σ КР D
⋅ FР
⋅ ∆TК
− ∆Qр D
(10)
где обозначены
M Р ⋅ CР D
= T3
-
постоянная
времени
роликов;
4 ⋅T 3Г
⋅ FР ⋅ σ ГР D
+ FР ⋅ α Р
= a31;
4 ⋅ TК 3 ⋅ FР ⋅ σ КР D
= a32
;
D = 4 ⋅ TР ⋅ (FР ⋅σ ГР + FР ⋅σ КР ) + FР ⋅α Р .
1 D
=
gР
;
С учетом принятых обозначений получим уравнение для роликового транс-
порта
T3
⋅
d∆TР dt
+ ∆TР
=
a31 ⋅ ∆TГ
+ a32
⋅ TК .
Уравнение теплового баланса для стенок (кладки) печи примет вид
( ) ( )M
К
⋅ CК
⋅
dTК dt
= FК ⋅ σ ГК ⋅ TГ 4 − TК 4
⋅ dt + FК ⋅ σ ПК ⋅ TП 4 − TК 4
⋅ dt +
( )FК ⋅σ КР ⋅ TР4 − TК 4 ⋅ dt + FК ⋅α К ⋅ (TГ − TК )⋅ dt − QК ⋅ dt
(11)
где Mк,Ск - масса и теплоемкость кладки стенок соответственно; Fк – площадь внутренней поверхности кладки;
σ σ σгк, кр, пр - коэффициенты излучения,
αк - коэффициент теплопередачи; Tк,Tп,Tг,Tр - температура поверхности кладки, продукта, газовой смеси внутри камеры, роликового транспорта соответственно.
Уравнение (11) показывает, что кладка печи нагревается за счет излучения от газового объема и теплопередачи от газового объема и охлаждается за счет потерь
в окружающую среду, нагревается и охлаждается за счет излучения на транспорт
и продукт.
7
Проведя линеаризацию уравнения (11) и группируя соответствующим обра-
зом члены уравнения, получим
M К ⋅CК E
⋅ d∆TК dt
+ ∆TК
=
4 ⋅ TГ 3
⋅ FК
⋅ GГК E
+
FК
⋅αК
⋅ ∆TГ
+
,
4 ⋅ TП 3 ⋅ GК E
⋅ FКП
⋅ ∆TП
+
4 ⋅ TР3 ⋅ FК E
⋅ GКР
∆TР
−
∆QК E
E = 4 ⋅ TR ⋅ (FR ⋅σ ГК + FК ⋅σ КП ) + FК ⋅α К .
Обозначим:
M К ⋅CК E
= T4
-
постоянная времени кладки;
(12)
4 ⋅ T 3Г ⋅ FК ⋅ GГК E
+ FК ⋅ α К
= a41 ;
4 ⋅ TП 3 ⋅ FК E
⋅ GПР
= a44 ;
4 ⋅ TР3 ⋅ FР ⋅ GЕР E
= a43 .
С учетом перечисленных обозначений уравнение (12) примет вид
T4
⋅
d∆TК dt
+ ∆TК
= a41 ⋅ ∆TГ
+ a44 ⋅ ∆TП
+ a43 ⋅ ∆TР .
(13)
Запишем систему уравнений для участка печи, приняв все возмущения рав-
ным нулю, кроме подачи в печь пекарной заготовки (продукта):
T1
⋅
d∆TГ dt
+ ∆TГ
=b
⋅ ∆GГ
+ a12 ⋅ ∆TК
+ a13 ⋅ ∆TР + g1 ⋅ ∆GП ;
T2
⋅ d∆TП dt
+ ∆TП
= a21 ⋅ ∆TГ
+ a22 ⋅ ∆TК ;
T3
⋅ d∆TР dt
+ ∆TР
=
a31 ⋅ ∆TГ
+ a32
⋅ ∆TК ;
(14)
T4
⋅
d∆TК dt
+ ∆TК
= a41 ⋅ ∆TГ
+ a43 ⋅ ∆TР
+ a44∆TП .
Если поставить задачу расчета изменения температур при изменении управ-
ляющего воздействия на одинаковую величину во всех участках, и принять воз-
мущения равными нулю, то уравнение статики примет вид
∆TГ = b ⋅ ∆GГ + a12 ⋅ ∆TК + a13 ⋅ ∆TР ;
∆TП = a21 ⋅ ∆TГ + a22 ⋅ ∆TК ;
(15)
∆TР = a31 ⋅ ∆TГ + a32 ⋅ ∆TК ;
∆TК = a41 ⋅ ∆TГ + a43 ⋅ ∆TР + a44∆TП .
Дав приращение в подаче топлива ∆Gт получим приращение температур на каждом участке.
8
Заключение
Полученная модель пекарной камеры, состоящая из разбитых (условно) на три участка газового объема, состоящая из 12-ти дифференцированных уравнений и имеющая три управляющих воздействия является весьма информативной.
С ее помощью можно имитировать воздействие тепловых потоков и излучающих объемов и поверхностей, что оказывает неоценимую помощь при проектировании систем управления.
Однако при определении коэффициентов дифференциальных уравнений большую погрешность вносят усреднения температур излучающих поверхностей. Устранить этот недостаток в какой-то мере можно, если участки разбить на секции, но тогда возрастет и существенно количество уравнений и их решение вызовет значительные трудности.
Можно избрать и иной путь – составить математическую модель объекта как объекта с распределенными параметрами. Но тогда решение проблем сводится к решению нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных с несколькими управлениями и сложными краевыми и начальными условиями, что является практически необозримой задачей, даже при современном уровне вычислительных средств.
Однако можно пойти на компромисс и получить сравнительно грубую, но линейную модель, позволяющую сравнительно легко анализировать тепловые процессы в объекте и проектировать для нее систему управления. В дополнение следует отметить тот факт, что все температурные поля (по участкам) предлагались равномерными. Однако это довольно грубое приближение и допущение. Температурное поле на каждом участке неравномерно и зависит от расположения источников тепла (газовых горелок) смешения продуктов сгорания, местных подсосов и потерь тепла через стенки и транспорт. Поэтому реальные температуры могут отличаться от расчетных. Это также вносит определенные трудности при реализации алгоритмов управления. Для практических нужд эта модель может быть использована в нескольких направлениях. Если ориентироваться на использование средств вычислительной техники, то представленная модель даст возможность построить температурное поле всего теплового объекта в статическом режиме, исходя из этого рассчитать расходы топлива на каждом участке, компенсирующие отклонения температуры от заданной.
9
Сложным является вопрос о стабилизации температуры на каждом из участ-
ков из-за многосвязности объекта, его переменных коэффициентов и многочис-
ленных возмущений. В этом случае целесообразно применить теории аналитиче-
ского конструирования регуляторов (следуя Шаталову или Калману) с неполной
информацией о векторе состояния, применив наблюдателя на основе полученной
математической модели.
Можно пойти и традиционным путем конструирования локальных регулято-
ров с типовыми алгоритмами. Для этих целей модель может быть трансформиро-
вана в передаточные функции (по управлению, по возмущению).
Для реализации поставленной цели в общем виде введем следующие обозна-
чения: x1 – температура дымовых газов, x2 – температура кладки печи, x3 – температура продукта, x4 – температура роликового транспорта. С .учетом введенных обозначений запишем в общем виде систему уравнений для отдельного участка
печи
T1
dx1 dt
+
x1
=
b1
⋅u
+ a12
⋅
x2
+ a14
⋅ x4
T2
dx2 dt
+
x2
=
a21
⋅ x1
+ a23
⋅ x2
+ a24
⋅ x4
(16)
T3
dx 3
dt
+
x3
=
a31
⋅
x1
+
a32
⋅
x2
− b2
⋅G
T 4
dx 4 dt
+
x 4
=
a 41
⋅
x 1
+
a 42
⋅
x 2
Разделим все уравнения (16) на постоянную времени Ti (i=1..4) и получим систему уравнений в нормальной форме
x1
=
1 T1
⋅ x1
+
a 12
T1
⋅ x2
+
a 13
T1
⋅ x3
+
a 14
T1
+
b 1
T1
⋅u
+ 0⋅G ;
x2
=
a21` T2
⋅
x1
+
a12 T2
⋅ x2
+
a24 T2
⋅
x3
+
a24 T2
⋅
x4
+ 0⋅u
+ 0⋅G;
x3
=
a31 T3
⋅
x1
+
a32 T3
⋅
x
−
1 T1
⋅
x3
+
0⋅
x4
+
0⋅u
+
b2 T3
⋅G
;
(17)
x4
=
a41 T
⋅
x1
+
a42 T
⋅
x
+
0⋅
x
−
1 T
⋅
x
+
0⋅u
+
0⋅G.
44
4
10
В векторно-матричной форме уравнение (17) будет
− a11 a12 a13 a14
T1 T1 T1 T
A
=
a21 T2 a31 T3
− a 22 T2
a32 − T3
a23 T2 a33 T3
a24 T2 a34 T3
,
b1
T 1
B
=
0
,
0
0
0
0
C
=
b2
.
T3 0
a 41
T4
a 42
T4
a 43
T4
−
a 44
T4
Составим характеристический полином в виде
A(s)
=
∆0 (s)
=
a 0
⋅
s4
+
a 1
⋅
s3
+
a 2
⋅
s2
+
a 3
⋅
s
+
a 4
.
Определим полином числителя при C=0
B(s)
=
b 0
⋅
s3
+
b 1
⋅
s2
+
b 2
⋅
s
+
b 3
.
полином числителя при B=0
Ñ(s)
=
c 0
⋅
s3
+
c 1
⋅
s2
+
c 2
⋅
s
+
c. 3
Тогда передаточная функция по управляющему воздействию U ≠ 0, G = 0
W 14
(s
)
=
x1 (s ) u(s)
=
B(s) A(s)
=
a0
b0 ⋅ s3 + b1 ⋅ s2 + b2 ⋅ s + b ⋅ s4 + a1 ⋅ s3 + a2 ⋅ s2 + a3 ⋅ s
+
a4
.
Передаточная функция по возмущению G ≠ 0,U = 0
( )W10
s
=
c 0
⋅
s3
+
c 1
⋅
s2
+
c 2
⋅
s
+
c 3
.
a0 ⋅ s4 + a1 ⋅ s3 + a2 ⋅ s2 + a3 ⋅ s + a4
Полученная математическая модель пекарной камеры (печи) как объекта с
сосредоточенными параметрами является весьма познавательной с ее помощью
можно понять взаимодействие тепловых потоков и излучающих объемов и по-
верхностей, что бывает весьма полезно при проектировании систем управления
тепловыми объектами.
Список литературы:
1. Михелев А.А. Справочник по хлебопекарному производству. е1. Оборудование и тепловое хозяйство. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.;Пищевая промышленность, 1977 – 368 с.
11
A mathematical model of a baking chamber as an object with lumped parameters
Danin V.B., Kirikov A.U.
Saint-Petersburg State University of Refrigeration and Food Engineering
The paper considers the development of a mathematical model for a tunnel-type baking chamber. The workers propose to represent the mathematical model of a baking chamber (an object) with distributed constants as that with lumped parameters. On the basis of the developed equivalent model with lumped parameters it is possible to formulate and give a solution for the problem of optimal stabilization of temperature conditions in a baking chamber.
Keywords: baking chamber, a set of equations, mathematical model.
12