Например, Бобцов

Новый метод решения краевой задачи Дирихле для продольного обтека-ния тонкого тела вращения идеальной жидкостью.

УДК-532.51
Новый метод решения краевой задачи Дирихле для продольного обтекания тонкого тела вращения идеальной жидкостью.
Л.Н. Корниенко, Е.И. Якушенко Санкт-Петербургский государственный университет низкотемпературных и
пищевых технологий
Анализируется краевая задача Дирихле для осесимметричного продольного обтекания идеальной жидкостью тонкого тела вращения. Получено необходимое для решения уравнение движения жидкости. Найдено его фундаментальное решение. Задача Дирихле сведена к интегральному уравнению Фредгольма 1 рода, которое решено.
Ключевые слова: уравнение движения идеальной жидкости, фундаментальное решение, тонкое тело вращения, продольное обтекание, интегральное уравнение, краевая задача Дирихле, решение, поле коэффициента гидродинамического давления.
Подробное изложение вопросов, связанных с аэродинамикой тонких тел без учета и с учетом сжимаемости потока дали Ф.И.Франкль и Е.А.Карпович в своей книге [1]. После выхода в свет этой книги опубликовано большое число работ по теории обтекания тонких тел, в том числе с использованием методов возмущений жидкости [2, 3]. Основные результаты исследований в этой области систематически изложены в обзорной статье Г.Г.Черного “Теория сверхзвуковых течений жидкости” [4].
В настоящей работе предложен новый метод решения рассматриваемой задачи с использованием интегрального уравнения типа Фредгольма 1 рода для краевой задачи Дирихле, которое решено.
Первоначально получим такое дифференциальное уравнение движения жидкости, при котором можно упростить решение.

1. Осесимметричное течение жидкости. Воспользуемся условиями сплошности и отсутствия вихрей в потоке в цилиндрической системе координат [5]:

divV 0;

z z0

(1.1)

rot V 0; z

z0

(1.2)

Для их преобразования используем подстановку Л.И.Седова [6]

z cos sin

(1.3)

Здесь z , – проекции вектора скорости жидкости на цилиндрические

zоси и , соответственно; – модуль V ; – угол между вектором скоро-

zсти V и осью симметрии ;

z, – определяет поле углов наклона к

zоси касательных к линиям тока.

После подстановки и преобразований можно записать

divV 0; sin

ln sin

rotV 0; ln sin cos z

cos

ln cos sin

.

zz

ln cos sin

.

z

Из этой системы уравнений найдем дифференциальные зависимости между ln и .

Для краткости записей и упрощения преобразований воспользуемся

определителями второго порядка и следующими обозначениями:

ln

;

ln z

z z;

z

(1.4)

В результате получим

2

sin

cos sin

z z

sin cos

,

sin cos

z z

cos sin

.

(1.5)

При решении этой системы уравнений воспользуемся двумя известны-

ми свойствами определителей:

Свойство I

h

a c

b d

a c

hb hd

,

Свойство II
ab cd

ae cf

a c

b d

e f

.

Для получения первого решения с учетом свойства I, умножим (1.5) на

cos , а (1.6) на sin . Результат сложим почленно. С учетом свойства II

получим

sin cos

1 0

z z

0 1

.

С учетом (1.4) из последнего уравнения будем иметь

sin cos

ln . z

(1.6)

Для получения второго решения умножим (1.5) на sin , а (1.6) на

cos . После аналогичных преобразований найдем

sin 2

0 1

z z

01.

или

sin2 ln

.

z

(1.7)

3

Дифференцируя (1.7) по , а (1.8) по z и вычитая из первого второе, с

учетом sin2

1 1 cos2 , запишем 2

1 2

sin 2

z

1 2

cos2

0.

(1.8)

Выражение (1.9) является нелинейным уравнением эллиптического типа. Его точное решение в [7] отсутствует.
Для возможности его дальнейшего использования линеаризируем (1.9) при малых углах , при справедливости равенств

sin 2 2 ; cos2 1. С учетом (1.10) из (1.9) найдем искомое уравнение.

(1.9)

1 2 0.

(1.10)

Равенство (1.11) отличается от уравнения Лапласа в цилиндрической системе координат тем, что в уравнении Лапласа отсутствует слагаемое вида

2.
2. Фундаментальное решение. Преобразуем (1.11) с помощью подстановки
n (2.1) После преобразований запишем

2n 1 1

n2 1 2 0.

(2.2)

Его можно существенно упростить (при n 1), то есть привести к виду

1 0,

(2.3)

где .

(2.4)

Такое уравнение совпадает с уравнением для функции тока при осе-

симметричном течении идеальной жидкости в цилиндрической системе ко-

4

ординат [5]. Его фундаментальное решение определяется следующим выражением

q 4

1

z z2 2

(2.5)

Здесь q – интенсивность особенности. С учетом (2.4) преобразуем уравнение (2.5)

q 4

1

z z2 2

(2.6)

Легко проверить, что это фундаментальное решение для (1.11) удовлетворяет следующим граничным условиям на бесконечности

lim z, lim z,
z

0 0

(2.7)

С учетом (2.7) фундаментальное решение (2,5) позволяет найти выра-

жение интегрального уравнения для краевых условий на образующей r r z

поверхности обтекаемого тела вращения, где r z его радиус.

На поверхности тела вращения линия тока совпадает с образующей

r r z его поверхности. Очевидно, что в этом случае должны выполняться

следующие краевые условия на самой образующей:

z r z; rz ;
z r zrz; a b ra rb 0

(2.8)

3. Краевое интегральное уравнение. Из (2.5) следует, что интегральное уравнение для краевых условий (2.8) можно записать в виде [5]

z

1

b
q t dt

b

qt z

t dt

,

4a

a z t 2 r2 z

(3.1)

где b a – длина тонкого тела; z и r z – известные функции; q t – необходимо определить, как распределена интенсивность по оси симмет-

5

ричности z . Для того, чтобы получить аналитическое решение интегрального уравнения (3.1), его следует упростить, используя условие для тонкого тела. В этом случае можно перенести краевые условия с образующей поверхности на ось симметрии z .
В результате получим

z

1

b
q t dt

bqt z

t dt .

4a

a zt

(3.2)

Это равенство является интегральным уравнением Фредгольма 1 рода с

ядром вида

K z,t 1 z t , zt

аналитическое решение которого можно найти. 4. Решение интегрального уравнения Фредгольма 1 рода. Если продифференцировать по переменной z уравнение (3.2), получим равенство

z

1

d

b
q t dt

d b q t z t dt .

4 dz a

dz a z t

(4.1)

Здесь

d

b
q t dt

0 – как производная от постоянной величины.

dz a

С учетом [8] и особенностей второго интеграла (4.1) запишем

b q t z t dt a zt
z
lim q t dt 0a

z
lim 0a

qt z z

t dt t

b
lim 0z

qt z t

t dt z

zz

z

lim q t dt q t dt lim q t dt.

0a b

0z

Откуда найдем

b q t z t dt

zz
q t dt q t dt

a zt

a

b

(4.2)

Подставим (4.2) в (4.1). После дифференцирования (4.2) получим иско-

мое решение уравнения (3.2)

z

1 2

q

z

6

или

qz 2 z,

(4.3)

где z r z r z известная функция.

При известной интенсивности q z 2 z поле углов наклона каса-

тельных к линиям тока в жидкости обтекающей данное тело будет опреде-

ляться выражением

z,

1b

b
t dt

t z t dt ,

2a

a z t2

2

где первый интеграл с учетом (2.8) равен нулю.

В этом случае запишем последнее уравнение следующим образом

z, 1 b t z t dt .

2 a z t2

2

(4.4)

Из (4.4) видно, что z, удовлетворяет нулевым граничным услови-

ям на бесконечности при z

и при

, учитывая (2.8).

5. Величина коэффициента гидродинамического давления на поверхно-

сти обтекаемого тела.

Для определения поля гидродинамического давления вокруг обтекае-

мого тела и на его поверхности воспользуемся уравнениями (1.7) и (1.8) при

малой величине угла , которые в этом случае примут вид

ln z

(5.1)

ln z (5.2)

Используя (4.4) найдем производную z

z

,z

1 b t dt

2 a z t2

2 12

1 b t z t 2dt

2 a z t2

2 32

(5.3)

Подставим (5.3) в (5.1) и результат проинтегрируем по переменной .

Получим

7

ln
1b 2a

d 1b z 2a t z t 2dt

t dt
d 2z

d 2z

t

2

3 2

t 2 12 Cz

(5.4)

После вычисления неопределенных интегралов и упрощений в (5.4) будем иметь

ln

1b 2a 2

t dt z t 2 12

Cz

(5.5)

Определим значение функции C z .

Для этого найдем производную

ln z

из (5.5), выражения

ис

использованием (4.4), которые будут равны

ln z

1b 2a

t z t dt 2 z t 2 32

Cz

(5.6)

1 b t z t dt 1 b t z t dt

2

2 a

2

z t 2 12 2 a 2

z t 2 32

(5.7)

1b

2

2 a

t z t dt 2 z t 2 12

(5.8)

Подставим (5.6), (5.7) и (5.8) в уравнение (5.2). После сокращений определим, что
C z 0,

т.е. C z C1 const.

(5.9)

Так как C1 произвольная постоянная, будем полагать, что

C1 ln

(5.10)

Подставим (5.10), с учетом (5.9), в (5.5). После преобразования найдем

выражение

exp

1b 2a 2

t dt z t 2 12

,

(5.11)

8

которое определяет поле скоростей в осесимметричном потоке жидкости. Для определения значений коэффициента гидродинамического давле-
ния p в жидкости воспользуемся его известным выражением [9]

p1

2

(5.12)

Подставим в последнее уравнение равенство (5.11) и запишем

p 1 exp

b a2

t dt z t 2 12

,

(5.13)

где t r t 2 r t r t .

При определении распределения коэффициента давления ps вдоль обтекаемой поверхности в уравнении (5.13) нужно выполнить условие r z . Окончательно найдем

ps 1 exp

b
a r2 z

t dt z t 2 12

,

(5.14)

где в пределах интегрирования добавляется малая величина ввиду того, что r a , r b .
6. Заключение. Решение (5.134) является достаточно общим. С его помощью можно, например, исследовать обтекание идеальной жидкостью тонкого слабо гофрированного тела и т.д.
Используя полученные результаты, можно так же определить поле линий тока и поле гидродинамического давления в потоке обтекающем тонкое тело вращения.

9

Список литературы. 1.Франкль Ф.И., Карпович Е.А. Газодинамика тонких тел. М.;Л. ГИТТЛ, 1948.176 с. 2.Ван-Дайк. Методы возмущений в механике жидкости. М.: Мир, 1967. 312 с. 3.Коул Дж. Методы возмущений в прикладной математике. М.: Мир, 1972. 276 с. 4.Черный Г.Г. Теория сверхзвуковых течений газа. //В кн. Механика в СССР за 50 лет. Т.2/ М.: Наука, 1970. 5.Кочин Н.С., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. Ч.1. М.: ГИТТЛ, 1955. 560 с. 6.Седов Л.И. Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики. М.; Л.: ГИТТЛ, 1950. 444 с. 7.Полянин А.Д., Зайцев В.Ф. Нелинейные уравнения математической физики. Точные решения. Справочник. М.: ФМЛ, 2002. 432 с. 8.Полянин А.Д., Манжиров А.В. В.Ф. Справочник по интегральным уравнениям. М.: ФМЛ, 2003. 608 с. 9.Федяевский К.К., Войткунский Я.И., Фаддеев Ю.И. Гидромеханика. Л.: Судостроение, 1968. 568 с. Лев Николаевич Корниенко. 198261, СПб., пр. Ветеранов, д. 105, кв. 162 д.т. (812) 759-98-28, моб. 8-921-390-13-94 д.т.н., профессор кафедры теоретической механики СПб ГУН и ПТ р.т. (812) 575-69-07, электронный адрес отсутствует
Евгений Иванович Якушенко. 19660_,
10