Аналитическое исследование процесса сушки пшеничных зародышей инфракрасным облучением
Процессы и аппараты пищевых производств
№3, 2013
УДК 664.8.039.51
Аналитическое исследование процесса сушки пшеничных зародышей инфракрасным облучением
Д-р техн. наук Вороненко Б. А. voronenkoboris@mail.ru канд. техн. наук Демидов С. Ф. demidovserg@mail.ru Беляева С. С. SvetBeL21@gmail.com
Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет ИТМО Институт холода и биотехнологий
191002, Санкт-Петербург, ул. Ломоносова, 9
Поставлена и решена аналитически задача совместного тепло- и массопереноса при инфракрасном нагреве пшеничных зародышей Ключевые слова: инфракрасный нагрев, тепломассоперенос, математическое описание, пшеничные зародыши.
Mathematical description of heat and mass transfer of wheat germ by infrared heating
D.Sc. Voronenko B.A., Ph.d. Demidov S.F., Belyaeva S.S..
Saint-Petersburg National Research University of Information Technologies, Mechanics and Optics. Institute of Refrigeration and Biotechnology 191002, St. Petersburg, Lomonosov str., 9
Solve the problem of sharing heat and mass transfer in infrared heating wheat germ. Keywords: infrared heating, heat and mass transfer, mathematical description, wheat germ.
Использование энергии электромагнитного поля инфракрасного (ИК) диапазона является одним из эффективных путей интенсификации тепловой обработки пищевых материалов, позволяющих значительно сократить длительность процесса и повысить качество готовых изделий.
Математически краевую задачу совместного тепло- и массопереноса для однородного и изотропного капиллярно-пористого коллоидного тела основной геометрической формы – неограниченной пластины – можно сформулировать
Вороненко Б. А. и др. Аналитическое исследование процесса сушки пшеничных зародышей инфракрасным облучением / Б. А. Вороненко, С. Ф. Демидов, С. С. Беляева // Научный журнал НИУ ИТМО. Серия «Процессы и аппараты пищевых производств», 2013. - №3. [Электронный ресурс]: http://www.processes.ihbt.ifmo.ru
Процессы и аппараты пищевых производств
№3, 2013
следующим образом: требуется решить систему дифференциальных уравнений в частных производных
[1]
∂ ∂
t
=
a
q
∂ ∂
2t x2
+
cq ∂∂UcQq v o
(1)
∂U
∂=
am
∂2U ∂ x2
am
∂2 t ∂ x2
( τ > 0, 0 < x < h)
при следующих условиях:
t (x, 0) = t0 = const;
U (x, 0) = U0 = const; t (0, τ) = tп = const;
(2)
(3) (4) (5)
∂
U 0, ∂x
∂
t
0, ∂x
=
0;
(6)
− q ∂ t∂hx,qq− 1− qm= 0;
(7)
am
o
∂
U h , ∂x
a
m
o
∂
t
h , ∂x
qm
=
0.
(8)
Здесь (1) – уравнение теплопереноса; (2) – уравнение массо- (влаго-) переноса; равенства (3) и (4) – начальные условия; (5) - граничные условие, описывающее температуру поверхности слоя пшеничных зародышей, прилегающих к тефлоновой подложке сушильной установки; граничное условие (6) – условие влагоизоляции. Граничное условие (7) является уравнением баланса тепла: подведенное тепло к поверхности тела qq (τ) расходуется на испарение жидкости ρqm (τ) и на нагрев тела ( − q ∂ t∂hx,). Граничное условие (8) – уравнение баланса массы вещества – условие радиационной сушки влажных дисперсных сред.
На основании теоретического вывода [2] и результатов лабораторного эксперимента [3] в уравнение (1) введѐн внутренний источник тепла, мощность которого снижается от поверхности слоя материала по параболическому закону:
cQq v o =
o cq o
x2− h2−
п2р п2р
(9)
Вороненко Б. А. и др. Аналитическое исследование процесса сушки пшеничных зародышей инфракрасным облучением / Б. А. Вороненко, С. Ф. Демидов, С. С. Беляева // Научный журнал НИУ ИТМО. Серия «Процессы и аппараты пищевых производств», 2013. - №3. [Электронный ресурс]: http://www.processes.ihbt.ifmo.ru
Процессы и аппараты пищевых производств
№3, 2013
В [1,4] отмечается, что граничные условия (7) – (8) по своему физическому
содержанию отражают большой класс теплообмена и массообмена, включая в себя
радиационный теплообмен.
Рассмотрим упрощѐнную задачу: на основании многих экспериментальных
данных [5] пренебрежѐм членом
am
∂2 t ∂ x2
в
уравнении
(2),
т.е.
не
будем
учитывать
процесс
термодиффузии влаги U, более того, примем термоградиентный коэффициент δ =0, будем
считать, что термоградиентный перенос вещества отсутствует. Кроме того, как
показываюют наши экспериментальные исследования, потоки тепла и влаги через
поверхность тела можно считать неизменными.
Аналитическое решение краевой задачи (1) – (9) с учѐтом отмеченных упрощений
получено методом интегрального преобразования Лапласа в следующем обобщѐнном
критериальном виде:
∑θ =
Kim[
Lu
Fo21
X
2−
1 ∞ 6 m=1
2−
1
m cos
m m
X e− 2
m2 LuFo
] ;
(10)
T=
1Ki q
X
Kim Ko
Lu
X
1−LuLu
X 2
12
Po 1−
H
2
[ 6H2
X
2−
2X−
1X
4−
X
3]
+
+
Kim 1−
KoLu Lu
∑∞
m=1
m
2− 1m
2 cos Lu
m
⋅ cos
Lu1−
X
m
−
cosLu
m cos
m
X
∑·
∞
e− m 2 Fo
n= 1
222−n1−n11−2PHo 2
sin 2n− 1X 2
2n−
4
1
2
Kiq
sin 2n− 1X 2
2n−
1
2
2
+
cos 2n− 11− 2 2 2n− 1
X
−
Po
H2 1− H 2
cos 2n− 11− 2
2n−
1
3
2
X
−
Po 1− H
2
2cos 2n− 1
2
2n−
1
5
+
2
Вороненко Б. А. и др. Аналитическое исследование процесса сушки пшеничных зародышей инфракрасным облучением / Б. А. Вороненко, С. Ф. Демидов, С. С. Беляева // Научный журнал НИУ ИТМО. Серия «Процессы и аппараты пищевых производств», 2013. - №3. [Электронный ресурс]: http://www.processes.ihbt.ifmo.ru
Процессы и аппараты пищевых производств
№3, 2013
+
Kim KoLu 1− Lu
Lu cos 2n− 11− X
2n− 2
2
2
1sin
2 2Lnu−
− 1
Kim KoLu 1− Lu
sin 2n− 1X 2
2n−
2
1
2
− 2 2n− 12 Fo e4
(11)
Условные обозначения
t = t (x, τ) — температура, К, ºС; tо — начальная температура; tп — температура подложки (среды); ∆ t = tп - tо ; U = U (x, τ) — влагосодержание, кг влаги/кг абс. сух.вещества; Uo — начальное влагосодержание; x — текущая координата, м; h — высота слоя материала, м; aq - коэффициент температуропроводности, м2/с; am - коэффициент
потенциало- (влаго-) проводности, м2/с; ε — коэффициент фазового перехода (0 < ε aq), число Лыкова Lu =
am aq
изменяется
в пределах от 1,4 до 2 (рис. 4). Исследование зависимости T(Lu) показывает, что чем
выше значение критерия взаимосвязи тепло- и массопереноса Lu , тем интенсивнее происходит прогрев материала и быстрее устанавливается квазистационарное
распределение температуры. В то время безразмерный потенциал массопереноса θ
возрастает (т. е. влагосодержание уменьшается) при удалении от центра материала к
поверхности, что характеризует интенсивный характер массопереноса в поверхностном
слое и интенсификацию процесса сушки.
Вороненко Б. А. и др. Аналитическое исследование процесса сушки пшеничных зародышей инфракрасным облучением / Б. А. Вороненко, С. Ф. Демидов, С. С. Беляева // Научный журнал НИУ ИТМО. Серия «Процессы и аппараты пищевых производств», 2013. - №3. [Электронный ресурс]: http://www.processes.ihbt.ifmo.ru
Процессы и аппараты пищевых производств
№3, 2013
T 0,5 0,45 0,4
0,35 0,3 0,25
0,2 0,15
0,1 0,05
0 1,35 1,4 1,45 1,5 1,55 1,6 1,65 1,7 1,75 1,8 1,85
Lu
Fo = 1 Fo = 0,8 Fo = 0,5
Рис. 4. Зависимость безразмерного потенциала теплопереноса T от критерия взаимосвязи тепло- и массопереноса Lu.
Повышение числа Коссовича Ko не сказывается на изменении потенциала влагосодержания θ, но его увеличение влияет на рост T. Это означает, что до значительных значений Fo и Ko в центральных слоях материала испарение жидкости отсутствует.
Увеличение значения массообменного числа Кирпичѐва Kim снижает локальную температуру материала по линейному закону (рис. 5), что соответствует известным зависимостям [1].
0,9
T
0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1
0 0,18 0,2 0,22 0,24 0,26 0,28 0,3 0,32 0,34 0,36
Kim
Рис. 5. Зависимость безразмерного потенциала теплопереноса T от массообменного числа Кирпичѐва (X = 0,8; Lu = 1,8; Po = 0,2; H = 0,4; Ko = 7,5)
Вороненко Б. А. и др. Аналитическое исследование процесса сушки пшеничных зародышей инфракрасным облучением / Б. А. Вороненко, С. Ф. Демидов, С. С. Беляева // Научный журнал НИУ ИТМО. Серия «Процессы и аппараты пищевых производств», 2013. - №3. [Электронный ресурс]: http://www.processes.ihbt.ifmo.ru
Процессы и аппараты пищевых производств
№3, 2013
Одновременно с прогревом материала начинается удаление в окружающую среду
вещества (влаги). Массоперенос с самого начала процесса затрагивает всю толщу
материала.
Адекватность аналитического решения реальному процессу определялась по
критерию [7]
η=
р э
,
(14)
где σр, σэ — средние квадратичные отклонения значений параметра от экспериментальных значений и экспериментальных значений параметра от его среднего
значения.
При 0 < η < 1 уравнение адекватно реальному процессу.
Величина η для T составила 0,7, а для θ — 0,85.
Таким образом, аналитическое решение процесса сушки пшеничных зародышей
инфракрасным излучением — работоспособно.
Написана программа вычислительного эксперимента на базе языка
программирования Фортран 90, которому традиционно отдаѐтся предпочтение в научно-
технических и инженерных приложениях.
Список литературы: 1. Лыков А.В., Михайлов Ю. А. Теория тепло- и массопереноса. - М.-
Л.:Госэнергоиздат, 1963. - 536 с. 2. Белобородов В.В., Вороненко Б.А. Решение задачи нагрева тел в
электромагнитном поле сверхвысоких частот. // ЖПХ, «Наука» - Ленинградское отделение, № 10, 1984. - С. 2276 — 2282.
3. Стариков В.В.. Интенсификация процесса копчения мясных колбасных продуктов на основе математического моделирования // Автореферат канд. диссер. СПб., СпбГУНиПТ, 2009. - 15 с.
4. Лыков А. В., Михайлов Ю. А. Теория переноса энергии и вещества. - Минск, 1959. - 331 с.
5. Рогов И. А., Некрутман С. В. Свервысокочастотный и инфракрасный нагрев пищевых продуктов. - М.: Пищевая пром-сть, 1976. - 212 с.
6. Лыков, А. В. Теория сушки. -М.: Энергия, 1968.-472 с. 7. Бородюк В. П. Критерий оценки работоспособности математического описания//Сборник «Автоматизация химических производств», вып. 1 НИИТЭХИМ. -М., 1969. -С.41 -48.
Вороненко Б. А. и др. Аналитическое исследование процесса сушки пшеничных зародышей инфракрасным облучением / Б. А. Вороненко, С. Ф. Демидов, С. С. Беляева // Научный журнал НИУ ИТМО. Серия «Процессы и аппараты пищевых производств», 2013. - №3. [Электронный ресурс]: http://www.processes.ihbt.ifmo.ru
№3, 2013
УДК 664.8.039.51
Аналитическое исследование процесса сушки пшеничных зародышей инфракрасным облучением
Д-р техн. наук Вороненко Б. А. voronenkoboris@mail.ru канд. техн. наук Демидов С. Ф. demidovserg@mail.ru Беляева С. С. SvetBeL21@gmail.com
Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет ИТМО Институт холода и биотехнологий
191002, Санкт-Петербург, ул. Ломоносова, 9
Поставлена и решена аналитически задача совместного тепло- и массопереноса при инфракрасном нагреве пшеничных зародышей Ключевые слова: инфракрасный нагрев, тепломассоперенос, математическое описание, пшеничные зародыши.
Mathematical description of heat and mass transfer of wheat germ by infrared heating
D.Sc. Voronenko B.A., Ph.d. Demidov S.F., Belyaeva S.S..
Saint-Petersburg National Research University of Information Technologies, Mechanics and Optics. Institute of Refrigeration and Biotechnology 191002, St. Petersburg, Lomonosov str., 9
Solve the problem of sharing heat and mass transfer in infrared heating wheat germ. Keywords: infrared heating, heat and mass transfer, mathematical description, wheat germ.
Использование энергии электромагнитного поля инфракрасного (ИК) диапазона является одним из эффективных путей интенсификации тепловой обработки пищевых материалов, позволяющих значительно сократить длительность процесса и повысить качество готовых изделий.
Математически краевую задачу совместного тепло- и массопереноса для однородного и изотропного капиллярно-пористого коллоидного тела основной геометрической формы – неограниченной пластины – можно сформулировать
Вороненко Б. А. и др. Аналитическое исследование процесса сушки пшеничных зародышей инфракрасным облучением / Б. А. Вороненко, С. Ф. Демидов, С. С. Беляева // Научный журнал НИУ ИТМО. Серия «Процессы и аппараты пищевых производств», 2013. - №3. [Электронный ресурс]: http://www.processes.ihbt.ifmo.ru
Процессы и аппараты пищевых производств
№3, 2013
следующим образом: требуется решить систему дифференциальных уравнений в частных производных
[1]
∂ ∂
t
=
a
q
∂ ∂
2t x2
+
cq ∂∂UcQq v o
(1)
∂U
∂=
am
∂2U ∂ x2
am
∂2 t ∂ x2
( τ > 0, 0 < x < h)
при следующих условиях:
t (x, 0) = t0 = const;
U (x, 0) = U0 = const; t (0, τ) = tп = const;
(2)
(3) (4) (5)
∂
U 0, ∂x
∂
t
0, ∂x
=
0;
(6)
− q ∂ t∂hx,qq− 1− qm= 0;
(7)
am
o
∂
U h , ∂x
a
m
o
∂
t
h , ∂x
qm
=
0.
(8)
Здесь (1) – уравнение теплопереноса; (2) – уравнение массо- (влаго-) переноса; равенства (3) и (4) – начальные условия; (5) - граничные условие, описывающее температуру поверхности слоя пшеничных зародышей, прилегающих к тефлоновой подложке сушильной установки; граничное условие (6) – условие влагоизоляции. Граничное условие (7) является уравнением баланса тепла: подведенное тепло к поверхности тела qq (τ) расходуется на испарение жидкости ρqm (τ) и на нагрев тела ( − q ∂ t∂hx,). Граничное условие (8) – уравнение баланса массы вещества – условие радиационной сушки влажных дисперсных сред.
На основании теоретического вывода [2] и результатов лабораторного эксперимента [3] в уравнение (1) введѐн внутренний источник тепла, мощность которого снижается от поверхности слоя материала по параболическому закону:
cQq v o =
o cq o
x2− h2−
п2р п2р
(9)
Вороненко Б. А. и др. Аналитическое исследование процесса сушки пшеничных зародышей инфракрасным облучением / Б. А. Вороненко, С. Ф. Демидов, С. С. Беляева // Научный журнал НИУ ИТМО. Серия «Процессы и аппараты пищевых производств», 2013. - №3. [Электронный ресурс]: http://www.processes.ihbt.ifmo.ru
Процессы и аппараты пищевых производств
№3, 2013
В [1,4] отмечается, что граничные условия (7) – (8) по своему физическому
содержанию отражают большой класс теплообмена и массообмена, включая в себя
радиационный теплообмен.
Рассмотрим упрощѐнную задачу: на основании многих экспериментальных
данных [5] пренебрежѐм членом
am
∂2 t ∂ x2
в
уравнении
(2),
т.е.
не
будем
учитывать
процесс
термодиффузии влаги U, более того, примем термоградиентный коэффициент δ =0, будем
считать, что термоградиентный перенос вещества отсутствует. Кроме того, как
показываюют наши экспериментальные исследования, потоки тепла и влаги через
поверхность тела можно считать неизменными.
Аналитическое решение краевой задачи (1) – (9) с учѐтом отмеченных упрощений
получено методом интегрального преобразования Лапласа в следующем обобщѐнном
критериальном виде:
∑θ =
Kim[
Lu
Fo21
X
2−
1 ∞ 6 m=1
2−
1
m cos
m m
X e− 2
m2 LuFo
] ;
(10)
T=
1Ki q
X
Kim Ko
Lu
X
1−LuLu
X 2
12
Po 1−
H
2
[ 6H2
X
2−
2X−
1X
4−
X
3]
+
+
Kim 1−
KoLu Lu
∑∞
m=1
m
2− 1m
2 cos Lu
m
⋅ cos
Lu1−
X
m
−
cosLu
m cos
m
X
∑·
∞
e− m 2 Fo
n= 1
222−n1−n11−2PHo 2
sin 2n− 1X 2
2n−
4
1
2
Kiq
sin 2n− 1X 2
2n−
1
2
2
+
cos 2n− 11− 2 2 2n− 1
X
−
Po
H2 1− H 2
cos 2n− 11− 2
2n−
1
3
2
X
−
Po 1− H
2
2cos 2n− 1
2
2n−
1
5
+
2
Вороненко Б. А. и др. Аналитическое исследование процесса сушки пшеничных зародышей инфракрасным облучением / Б. А. Вороненко, С. Ф. Демидов, С. С. Беляева // Научный журнал НИУ ИТМО. Серия «Процессы и аппараты пищевых производств», 2013. - №3. [Электронный ресурс]: http://www.processes.ihbt.ifmo.ru
Процессы и аппараты пищевых производств
№3, 2013
+
Kim KoLu 1− Lu
Lu cos 2n− 11− X
2n− 2
2
2
1sin
2 2Lnu−
− 1
Kim KoLu 1− Lu
sin 2n− 1X 2
2n−
2
1
2
− 2 2n− 12 Fo e4
(11)
Условные обозначения
t = t (x, τ) — температура, К, ºС; tо — начальная температура; tп — температура подложки (среды); ∆ t = tп - tо ; U = U (x, τ) — влагосодержание, кг влаги/кг абс. сух.вещества; Uo — начальное влагосодержание; x — текущая координата, м; h — высота слоя материала, м; aq - коэффициент температуропроводности, м2/с; am - коэффициент
потенциало- (влаго-) проводности, м2/с; ε — коэффициент фазового перехода (0 < ε aq), число Лыкова Lu =
am aq
изменяется
в пределах от 1,4 до 2 (рис. 4). Исследование зависимости T(Lu) показывает, что чем
выше значение критерия взаимосвязи тепло- и массопереноса Lu , тем интенсивнее происходит прогрев материала и быстрее устанавливается квазистационарное
распределение температуры. В то время безразмерный потенциал массопереноса θ
возрастает (т. е. влагосодержание уменьшается) при удалении от центра материала к
поверхности, что характеризует интенсивный характер массопереноса в поверхностном
слое и интенсификацию процесса сушки.
Вороненко Б. А. и др. Аналитическое исследование процесса сушки пшеничных зародышей инфракрасным облучением / Б. А. Вороненко, С. Ф. Демидов, С. С. Беляева // Научный журнал НИУ ИТМО. Серия «Процессы и аппараты пищевых производств», 2013. - №3. [Электронный ресурс]: http://www.processes.ihbt.ifmo.ru
Процессы и аппараты пищевых производств
№3, 2013
T 0,5 0,45 0,4
0,35 0,3 0,25
0,2 0,15
0,1 0,05
0 1,35 1,4 1,45 1,5 1,55 1,6 1,65 1,7 1,75 1,8 1,85
Lu
Fo = 1 Fo = 0,8 Fo = 0,5
Рис. 4. Зависимость безразмерного потенциала теплопереноса T от критерия взаимосвязи тепло- и массопереноса Lu.
Повышение числа Коссовича Ko не сказывается на изменении потенциала влагосодержания θ, но его увеличение влияет на рост T. Это означает, что до значительных значений Fo и Ko в центральных слоях материала испарение жидкости отсутствует.
Увеличение значения массообменного числа Кирпичѐва Kim снижает локальную температуру материала по линейному закону (рис. 5), что соответствует известным зависимостям [1].
0,9
T
0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1
0 0,18 0,2 0,22 0,24 0,26 0,28 0,3 0,32 0,34 0,36
Kim
Рис. 5. Зависимость безразмерного потенциала теплопереноса T от массообменного числа Кирпичѐва (X = 0,8; Lu = 1,8; Po = 0,2; H = 0,4; Ko = 7,5)
Вороненко Б. А. и др. Аналитическое исследование процесса сушки пшеничных зародышей инфракрасным облучением / Б. А. Вороненко, С. Ф. Демидов, С. С. Беляева // Научный журнал НИУ ИТМО. Серия «Процессы и аппараты пищевых производств», 2013. - №3. [Электронный ресурс]: http://www.processes.ihbt.ifmo.ru
Процессы и аппараты пищевых производств
№3, 2013
Одновременно с прогревом материала начинается удаление в окружающую среду
вещества (влаги). Массоперенос с самого начала процесса затрагивает всю толщу
материала.
Адекватность аналитического решения реальному процессу определялась по
критерию [7]
η=
р э
,
(14)
где σр, σэ — средние квадратичные отклонения значений параметра от экспериментальных значений и экспериментальных значений параметра от его среднего
значения.
При 0 < η < 1 уравнение адекватно реальному процессу.
Величина η для T составила 0,7, а для θ — 0,85.
Таким образом, аналитическое решение процесса сушки пшеничных зародышей
инфракрасным излучением — работоспособно.
Написана программа вычислительного эксперимента на базе языка
программирования Фортран 90, которому традиционно отдаѐтся предпочтение в научно-
технических и инженерных приложениях.
Список литературы: 1. Лыков А.В., Михайлов Ю. А. Теория тепло- и массопереноса. - М.-
Л.:Госэнергоиздат, 1963. - 536 с. 2. Белобородов В.В., Вороненко Б.А. Решение задачи нагрева тел в
электромагнитном поле сверхвысоких частот. // ЖПХ, «Наука» - Ленинградское отделение, № 10, 1984. - С. 2276 — 2282.
3. Стариков В.В.. Интенсификация процесса копчения мясных колбасных продуктов на основе математического моделирования // Автореферат канд. диссер. СПб., СпбГУНиПТ, 2009. - 15 с.
4. Лыков А. В., Михайлов Ю. А. Теория переноса энергии и вещества. - Минск, 1959. - 331 с.
5. Рогов И. А., Некрутман С. В. Свервысокочастотный и инфракрасный нагрев пищевых продуктов. - М.: Пищевая пром-сть, 1976. - 212 с.
6. Лыков, А. В. Теория сушки. -М.: Энергия, 1968.-472 с. 7. Бородюк В. П. Критерий оценки работоспособности математического описания//Сборник «Автоматизация химических производств», вып. 1 НИИТЭХИМ. -М., 1969. -С.41 -48.
Вороненко Б. А. и др. Аналитическое исследование процесса сушки пшеничных зародышей инфракрасным облучением / Б. А. Вороненко, С. Ф. Демидов, С. С. Беляева // Научный журнал НИУ ИТМО. Серия «Процессы и аппараты пищевых производств», 2013. - №3. [Электронный ресурс]: http://www.processes.ihbt.ifmo.ru