Численный анализ кроссоверного уравнения состояния
УДК 536
Численный анализ кроссоверного уравнения состояния
Рыков С.В., Багаутдинова А.Ш.
Санкт-Петербургский государственный университет низкотемпературных и пищевых технологий
В настоящее время для расчета равновесных свойств в широкой окрестности критической точки широкое применение нашли асимметричные уравнения состояния в параметрической форме. В работе приведено сравнение равновесных свойств R134a, рассчитанных по кроссоверному уравнению состояния Киселева С.Б., с экспериментальными данными Yata J. и данными международных таблиц Tillner-Roth R., Baehr H.D. Из сравнения видно, что кроссоверное уравнение состояния неудовлетворительно воспроизводит свойства R134a как по плотности, так и по изохорной теплоемкости и скорости звука.
Ключевые слова: кроссоверное уравнение состояния, R134a, термодинамические свойства.
В настоящее время для расчета в широкой окрестности критической точки равновесных свойств холодильных и криогенных веществ нашли широкое применение асимметричные уравнения состояния в параметрической форме [1, 2]. Однако эти уравнения состояния имеют довольно узкую рабочую область по параметрам состояния. С целью преодолеть этот недостаток в работах [3, 4] используются уравнения, разработанные на основе идеи кроссовера. В работе [3] предложено следующее кроссоверное уравнение состояния:
∑ρF
(T
,ρ)
=
k%r 2−α
R
(
q)2−α
a%ψ0
(θ)
+
5
c%ir
i=1
∆i
R
(q)−∆i
ψi
(θ)
+
∑4
+ i =1
Ai
+
ρ ρc
m%i
τi
.
(1)
В выражении (1) функция R(q) называется кроссоверной функцией и име-
ет следующую структуру:
R
(
q
)
=
1
+
q2 1+ q
2
,
( )где q = (rg )1/2 ≈ r Gi−1 1/2 — аргумент кроссоверной функции; Gi — число
Гинсбурга; r — полярная координата, определяющая расстояние от критической точки; ∆i — универсальные критические показатели; k%, a%, c%i и m%i — ко-
эффициенты, значение которых устанавливается при обработке эксперимен-
тальных данных; ψi (θ) = ∑5 αijθi , (i = 0,K ,5) — универсальные функции.
j=0
Результаты численного анализа кроссоверной модели (1) представлены на рис. 1—10.
δρ ,% 10
5
0
-5 1
-10 2 -15
370 371 372 373 374 P, бар
Рис. 1. Отклонения значений плотности на линии насыщения, рассчитанных по кроссоверному уравнению Киселева (1), от экспериментальных значений Yata J. [5]: 1 — паровая ветвь; 2 — жидкостная ветвь.
δpн, % 0
-2
-4 1 -6
-8 -10
-12 300 310 320 330 340 350 360 370 T, K
Рис. 2. Отклонения значений давления на линии насыщения, рассчитанных по кроссоверному уравнению Киселева С.Б. (1), от табличных данных Tillner-Roth R., Baehr H.D. [6].
δρ −+ , % 8
6
2 1
4
2
0
-2
-4 300 310 320 330 340 350 360 370 T, K
Рис. 3. Отклонения значений плотности на линии насыщения, рассчитанных по кроссоверному уравнению Киселева С.Б. (1), от табличных данных Tillner-Roth R., Baehr H.D. [6]: 1 — паровая ветвь; 2 — жидкостная ветвь.
δ W -+ , % 40
30
2 1
20
10
0
-10
-20 300 310 320 330 340 350 360 370 T, K
Рис. 4. Отклонения значений скорости звука на линии насыщения, рассчитанных по кроссоверному уравнению Киселева С.Б. (1), от табличных данных Tillner-Roth R., Baehr H.D. [6]: 1 – паровая ветвь; 2 – жидкостная ветвь.
δρ , % 0,5 0
1 2 3
-0,5
-1
-1,5
25 50 75 100 125 150 P, бар
Рис. 5. Отклонения значений плотности, рассчитанных по кроссоверному уравнению Киселева С.Б. (1), от экспериментальных данных Tillner-Roth R., Baehr H.D. [6]: 1 — 372,04 K; 2 — 373,15 K; 3 — 373,16 K.
δρ, %
1
0
-1
-2 1 -3 2
3 -4
30 35 40 45 50 55 60 65 P, бар
Рис. 6. Отклонения значений плотности, рассчитанных по кроссоверному уравнению Киселева С.Б. (1), от экспериментальных данных Tillner-Roth R., Baehr H.D. [6]: 1 — 375,15 K; 2 — 376,15 K; 3 — 378,15 K.
δρ , % 0
-2
-4
-6 1 -8 2 -10 3 -12
-14
20 40 60 80 100 120 140 P, бар
Рис. 7. Отклонения значений плотности, рассчитанных по кроссоверному уравнению Киселева С.Б. (1), от экспериментальных данных Tillner-Roth R., Baehr H.D. [6]: 1 — 383,16 K; 2 — 393,15 K; 3 — 403,15 K.
δCv, % 8 6 4 2
1 2 3
0 -2 -4 -6
360 380 400 420 440 460 T, K
Рис. 8. Отклонения значений изохорной теплоемкости, рассчитанных по кроссоверному уравнению Киселева С.Б. (1), от табличных данных Tillner-Roth R., Baehr H.D. [6]: 1 — 40 бар; 2 — 60 бар; 3 — 100 бар.
δCp, % 12 10 8 6 4 2 0 -2 -4 -6
1 2 3
360 380 400 420 440 460 T, K
Рис. 9. Отклонения значений изобарной теплоемкости, рассчитанных по кроссоверному уравнению Киселева С.Б. (1), от табличных данных Tillner-Roth R., Baehr H.D. [6]: 1 — 40 бар; 2 — 60 бар; 3 — 100 бар.
δ W, %
2
0
-2
-4 1 -6 2
3 -8
360 380 400 420 440 460 T, K
Рис.10. Отклонения значений скорости звука, рассчитанных по кроссоверному уравнению Киселева С.Б. (1), от табличных данных TillnerRoth R., Baehr H.D. [6]: 1 — 40 бар; 2 — 60 бар; 3 — 100 бар.
На линии фазового равновесия отклонения расчетных значений плотности от экспериментальных данных как на паровой ветви, так и на жидкостной достигают в окрестности критической точки недопустимо больших значений. Отклонения скорости звука на паровой ветви линии насыщения хладона R134а от данных международных таблиц [6] носит систематический характер и также достигает слишком больших значений.
Что касается изохорной теплоемкости, то отклонения значений Сv от данных международных таблиц [6] значительно выходит за рамки экспериментальной погрешности. Кроме того, из рис.1—3 видно, что кроссоверное урав-
нение состояния (1) имеет неудовлетворительные асимптотики в области температур ниже 330 К, что затрудняет его использование для построения асимметричного единого уравнения состояния. Поэтому представляет научный и практический интерес дальнейшая разработка асимметричных уравнений состояния в физических переменных [7—9].
Список литературы
1. Анисимов М.А. Уравнение состояния и методы расчета теплофизических свойств в окрестности критической точки // Обзоры по теплофизическим свойствам веществ. – М.: Изд-во стандартов. – 1980. – №5 (25). – С. 44–76.
2. Киселев С.Б. Масштабное уравнение состояния индивидуальных веществ и бинарных растворов в широкой окрестности критических точек // Обзоры по теплофизическим свойствам веществ. – М.: Изд-во ИВТАН. – 1989. № 2 (76). – 149 с.
3. Kiselev S.B., Huber M.L. Thermodynamic properties of R32 + R134a and R125 + R32 mixtures in and beyond critical region // J. Refrig. – 1998, – V. 21, № 1, – P. 64–76.
4. Sengers J.V., Edison T.A., Thermodynamic properties of ammonia in the critical region // Int. J. Refrig. – 1999. V. 22. P. 365–378.
5. Yata J., Coexisting curve of HFC 134a and thermal conductivity of HFC-245fa in Proceedings of the 1st Workshop on thermochemical, thermodynamic and transport properties of halogenated hydrocarbons and mixtures, (Pisa, Italy, 1999), Р. 120–126.
6. Tillner-Roth R., Baehr H.D. An International Standard Formulation for the Termodynamic Properties of 1,1,1,2-tetrafluoroethane (R134a) for Temperatures From 170 K to 455 K and Pressures up to 70 MPa//J. Phys. Chem. Ref. Data. – 1994. Vol. 23, № 5. P. 657–729.
7. Кудрявцева И.В., Рыков С.В. Единое уравнение состояния R23 для широкого интервала давлений и температур, включая критическую область // Доклады III Международной научно-технической конференции «Низкотемпературные и пищевые технологии в XXI веке». – 2007. С. 232–238.
8. Кудрявцева И.В., Рыков В.А., Рыков С.В. Асимметричное единое уравнение состояния R134a // Вестник Международной академии холода. – 2008. – № 2. – С.36–39.
9. Рыков С.В., Багаутдинова А.Ш., Кудрявцева И.В., Рыков В.А. Асимметричное масштабное уравнение состояния // Вестник Международной академии холода. – 2008. – № 3. – С. 30–33.
Численный анализ кроссоверного уравнения состояния
Рыков С.В., Багаутдинова А.Ш.
Санкт-Петербургский государственный университет низкотемпературных и пищевых технологий
В настоящее время для расчета равновесных свойств в широкой окрестности критической точки широкое применение нашли асимметричные уравнения состояния в параметрической форме. В работе приведено сравнение равновесных свойств R134a, рассчитанных по кроссоверному уравнению состояния Киселева С.Б., с экспериментальными данными Yata J. и данными международных таблиц Tillner-Roth R., Baehr H.D. Из сравнения видно, что кроссоверное уравнение состояния неудовлетворительно воспроизводит свойства R134a как по плотности, так и по изохорной теплоемкости и скорости звука.
Ключевые слова: кроссоверное уравнение состояния, R134a, термодинамические свойства.
В настоящее время для расчета в широкой окрестности критической точки равновесных свойств холодильных и криогенных веществ нашли широкое применение асимметричные уравнения состояния в параметрической форме [1, 2]. Однако эти уравнения состояния имеют довольно узкую рабочую область по параметрам состояния. С целью преодолеть этот недостаток в работах [3, 4] используются уравнения, разработанные на основе идеи кроссовера. В работе [3] предложено следующее кроссоверное уравнение состояния:
∑ρF
(T
,ρ)
=
k%r 2−α
R
(
q)2−α
a%ψ0
(θ)
+
5
c%ir
i=1
∆i
R
(q)−∆i
ψi
(θ)
+
∑4
+ i =1
Ai
+
ρ ρc
m%i
τi
.
(1)
В выражении (1) функция R(q) называется кроссоверной функцией и име-
ет следующую структуру:
R
(
q
)
=
1
+
q2 1+ q
2
,
( )где q = (rg )1/2 ≈ r Gi−1 1/2 — аргумент кроссоверной функции; Gi — число
Гинсбурга; r — полярная координата, определяющая расстояние от критической точки; ∆i — универсальные критические показатели; k%, a%, c%i и m%i — ко-
эффициенты, значение которых устанавливается при обработке эксперимен-
тальных данных; ψi (θ) = ∑5 αijθi , (i = 0,K ,5) — универсальные функции.
j=0
Результаты численного анализа кроссоверной модели (1) представлены на рис. 1—10.
δρ ,% 10
5
0
-5 1
-10 2 -15
370 371 372 373 374 P, бар
Рис. 1. Отклонения значений плотности на линии насыщения, рассчитанных по кроссоверному уравнению Киселева (1), от экспериментальных значений Yata J. [5]: 1 — паровая ветвь; 2 — жидкостная ветвь.
δpн, % 0
-2
-4 1 -6
-8 -10
-12 300 310 320 330 340 350 360 370 T, K
Рис. 2. Отклонения значений давления на линии насыщения, рассчитанных по кроссоверному уравнению Киселева С.Б. (1), от табличных данных Tillner-Roth R., Baehr H.D. [6].
δρ −+ , % 8
6
2 1
4
2
0
-2
-4 300 310 320 330 340 350 360 370 T, K
Рис. 3. Отклонения значений плотности на линии насыщения, рассчитанных по кроссоверному уравнению Киселева С.Б. (1), от табличных данных Tillner-Roth R., Baehr H.D. [6]: 1 — паровая ветвь; 2 — жидкостная ветвь.
δ W -+ , % 40
30
2 1
20
10
0
-10
-20 300 310 320 330 340 350 360 370 T, K
Рис. 4. Отклонения значений скорости звука на линии насыщения, рассчитанных по кроссоверному уравнению Киселева С.Б. (1), от табличных данных Tillner-Roth R., Baehr H.D. [6]: 1 – паровая ветвь; 2 – жидкостная ветвь.
δρ , % 0,5 0
1 2 3
-0,5
-1
-1,5
25 50 75 100 125 150 P, бар
Рис. 5. Отклонения значений плотности, рассчитанных по кроссоверному уравнению Киселева С.Б. (1), от экспериментальных данных Tillner-Roth R., Baehr H.D. [6]: 1 — 372,04 K; 2 — 373,15 K; 3 — 373,16 K.
δρ, %
1
0
-1
-2 1 -3 2
3 -4
30 35 40 45 50 55 60 65 P, бар
Рис. 6. Отклонения значений плотности, рассчитанных по кроссоверному уравнению Киселева С.Б. (1), от экспериментальных данных Tillner-Roth R., Baehr H.D. [6]: 1 — 375,15 K; 2 — 376,15 K; 3 — 378,15 K.
δρ , % 0
-2
-4
-6 1 -8 2 -10 3 -12
-14
20 40 60 80 100 120 140 P, бар
Рис. 7. Отклонения значений плотности, рассчитанных по кроссоверному уравнению Киселева С.Б. (1), от экспериментальных данных Tillner-Roth R., Baehr H.D. [6]: 1 — 383,16 K; 2 — 393,15 K; 3 — 403,15 K.
δCv, % 8 6 4 2
1 2 3
0 -2 -4 -6
360 380 400 420 440 460 T, K
Рис. 8. Отклонения значений изохорной теплоемкости, рассчитанных по кроссоверному уравнению Киселева С.Б. (1), от табличных данных Tillner-Roth R., Baehr H.D. [6]: 1 — 40 бар; 2 — 60 бар; 3 — 100 бар.
δCp, % 12 10 8 6 4 2 0 -2 -4 -6
1 2 3
360 380 400 420 440 460 T, K
Рис. 9. Отклонения значений изобарной теплоемкости, рассчитанных по кроссоверному уравнению Киселева С.Б. (1), от табличных данных Tillner-Roth R., Baehr H.D. [6]: 1 — 40 бар; 2 — 60 бар; 3 — 100 бар.
δ W, %
2
0
-2
-4 1 -6 2
3 -8
360 380 400 420 440 460 T, K
Рис.10. Отклонения значений скорости звука, рассчитанных по кроссоверному уравнению Киселева С.Б. (1), от табличных данных TillnerRoth R., Baehr H.D. [6]: 1 — 40 бар; 2 — 60 бар; 3 — 100 бар.
На линии фазового равновесия отклонения расчетных значений плотности от экспериментальных данных как на паровой ветви, так и на жидкостной достигают в окрестности критической точки недопустимо больших значений. Отклонения скорости звука на паровой ветви линии насыщения хладона R134а от данных международных таблиц [6] носит систематический характер и также достигает слишком больших значений.
Что касается изохорной теплоемкости, то отклонения значений Сv от данных международных таблиц [6] значительно выходит за рамки экспериментальной погрешности. Кроме того, из рис.1—3 видно, что кроссоверное урав-
нение состояния (1) имеет неудовлетворительные асимптотики в области температур ниже 330 К, что затрудняет его использование для построения асимметричного единого уравнения состояния. Поэтому представляет научный и практический интерес дальнейшая разработка асимметричных уравнений состояния в физических переменных [7—9].
Список литературы
1. Анисимов М.А. Уравнение состояния и методы расчета теплофизических свойств в окрестности критической точки // Обзоры по теплофизическим свойствам веществ. – М.: Изд-во стандартов. – 1980. – №5 (25). – С. 44–76.
2. Киселев С.Б. Масштабное уравнение состояния индивидуальных веществ и бинарных растворов в широкой окрестности критических точек // Обзоры по теплофизическим свойствам веществ. – М.: Изд-во ИВТАН. – 1989. № 2 (76). – 149 с.
3. Kiselev S.B., Huber M.L. Thermodynamic properties of R32 + R134a and R125 + R32 mixtures in and beyond critical region // J. Refrig. – 1998, – V. 21, № 1, – P. 64–76.
4. Sengers J.V., Edison T.A., Thermodynamic properties of ammonia in the critical region // Int. J. Refrig. – 1999. V. 22. P. 365–378.
5. Yata J., Coexisting curve of HFC 134a and thermal conductivity of HFC-245fa in Proceedings of the 1st Workshop on thermochemical, thermodynamic and transport properties of halogenated hydrocarbons and mixtures, (Pisa, Italy, 1999), Р. 120–126.
6. Tillner-Roth R., Baehr H.D. An International Standard Formulation for the Termodynamic Properties of 1,1,1,2-tetrafluoroethane (R134a) for Temperatures From 170 K to 455 K and Pressures up to 70 MPa//J. Phys. Chem. Ref. Data. – 1994. Vol. 23, № 5. P. 657–729.
7. Кудрявцева И.В., Рыков С.В. Единое уравнение состояния R23 для широкого интервала давлений и температур, включая критическую область // Доклады III Международной научно-технической конференции «Низкотемпературные и пищевые технологии в XXI веке». – 2007. С. 232–238.
8. Кудрявцева И.В., Рыков В.А., Рыков С.В. Асимметричное единое уравнение состояния R134a // Вестник Международной академии холода. – 2008. – № 2. – С.36–39.
9. Рыков С.В., Багаутдинова А.Ш., Кудрявцева И.В., Рыков В.А. Асимметричное масштабное уравнение состояния // Вестник Международной академии холода. – 2008. – № 3. – С. 30–33.