АЛГОРИТМ УПРАВЛЕНИЯ ПО ВЫХОДУ С КОМПЕНСАЦИЕЙ СИНУСОИДАЛЬНОГО ВОЗМУЩЕНИЯ ДЛЯ ЛИНЕЙНОГО ОБЪЕКТА С ПАРАМЕТРИЧЕСКИМИ И СТРУКТУРНЫМИ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЯМИ
АЛГОРИТМ УПРАВЛЕНИЯ ПО ВЫХОДУ С КОМПЕНСАЦИЕЙ …
УДК 681.51.015
АЛГОРИТМ УПРАВЛЕНИЯ ПО ВЫХОДУ С КОМПЕНСАЦИЕЙ СИНУСОИДАЛЬНОГО ВОЗМУЩЕНИЯ ДЛЯ ЛИНЕЙНОГО ОБЪЕКТА С ПАРАМЕТРИЧЕСКИМИ И СТРУКТУРНЫМИ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЯМИ2
А.А. Бобцов, С.А. Колюбин, А.А. Пыркин
Рассматривается задача стабилизации по выходу линейного объекта, подверженного влиянию внешнего неизвестно-
го синусоидального возмущения. Решение задачи получено для класса линейных систем, функционирующих в условиях параметрической и структурной неопределенностей. Ключевые слова: управление по выходу, компенсация возмущений, параметрическая и структурная неопределенность.
Введение
Компенсация синусоидальных возмущающих воздействий является актуальной и популярной задачей современной теории управления (например, [1–15]). Большинство исследований, связанных с разработкой методов компенсации гармонических возмущений, изучают случай, когда амплитуды, фазы и частоты являются неизвестными постоянными параметрами (например, [1–14]). В частности, работы [3, 4] являются одними из первых работ отечественных ученых, где была поставлена и решена задача адаптивной компенсации неизвестных гармонических возмущений. В настоящее время при различных допущениях относительно модели объекта рассматриваются различные случаи задач управления, а именно: линейность или нелинейность динамики, параметрическая определенность или ее отсутствие, доступность измерений всех переменных состояния или только их части и пр. Несмотря на то, что в фундаментальной монографии [2], посвященной методам компенсации возмущений, большинство подходов было изложено, кратко рассмотрим некоторые новые результаты.
В [5] предлагается алгоритм управления линейным устойчивым объектом с известными параметрами и единичной относительной степенью, подверженным влиянию смещенного гармонического возмущения. В отличие от [5], в [8] рассмотрен алгоритм компенсации возмущающего воздействия для случая неминимально фазового линейного объекта с известными параметрами, но любой относительной степени. Работы [9, 10, 14] посвящены парированию синусоидального возмущения в условиях полной параметрической неопределенности объекта управления. Выстроен адаптивный регулятор, базирующийся только на измерениях выходной переменной. В [9, 10] рассмотрен линейный объект, а в [14] – нелинейный. Однако в [9, 10, 14] допускается, что относительная степень известна и равна единице. В [12, 13] данная задача распространена на линейные объекты с известными параметрами, но с запаздыванием в канале управления.
В настоящей работе предлагается новый алгоритм управления по выходу параметрически неопределенным линейным объектом, подверженным влиянию гармонического возмущения
δ(t) μ sin(ωt ) с неизвестными амплитудой и фазой. Данный подход основан на методе операторного
синтеза компенсации возмущения, который был опубликован в [15]. По мнению авторов, несмотря на то, что частота ω известна, решаемая в этой работе задача развивает подходы, опубликованные в [1–15],
поскольку допускается, что относительная степень объекта, как и его параметры, может быть неизвестна.
Постановка задачи
Рассмотрим линейный объект управления вида a( p)y(t) b( p)u(t) c( p)δ(t) ,
(1)
где p d / dt – оператор дифференцирования; параметры полиномов
a( p) pn an1 pn1 an2 pn2 ... a0 ,
b( p) bm pm bm1 pm1 bm2 pm2 ... b0
и
c( p) cl pl cl1 pl1 ll2 pl2 ... c0 неизвестные числа, а (t) sin(t ) – возмущающее воздействие с неизвестными амплитудой μ и фазой .
Цель управления – найти такой сигнал u u( y) , чтобы было выполнено целевое условие
lim y(t) 0 .
t
Данную задачу будем решать при следующих допущениях.
(2)
Допущение 1. Полином b( p) гурвицев, и коэффициент b0 0 .
Допущение 2. Известно максимальное значение относительной степени r * , но не размерности по-
линомов a( p) и b( p) , и сама относительная степень r n m .
2 Работа выполнена при поддержке ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009–2013 годы (государственный контракт № 16.740.11.0553).
68 Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики,
2012, № 3 (79)
А.А. Бобцов, С.А. Колюбин, А.А. Пыркин
Допущение 3. Известна частота ω возмущения (t) sin(t ) .
Предварительный результат
Следуя [15], представим уравнение (1) в виде
Y (s) b(s) U (s) c(s) (s) D(s) ,
a(s) a(s)
a(s)
(3)
где s – комплексная переменная Лапласа; Y (s) L{y(t)} , U (s) L{u(t)} и (s) L{(t)} 1s 2 – s2 2
изображения по Лапласу соответствующих сигналов, 1 sin и 2 cos ; полином D(s) обозначает сумму всех членов, содержащих начальные условия.
Временно предположим, что измеряются все необходимые производные выходного сигнала y(t) ,
а коэффициенты полиномов a( p) и b( p) известны. Предполагая, что относительная степень r известна,
выберем закон управления u(t) следующим образом:
u(t) k ( p)( p 1)2 y(t) , p2 2
(4)
где гурвицев полином ( p) степени r *1 и постоянный коэффициент k 0 выбираются из соображе-
ний строгой вещественной положительности передаточной функции (например, [16, 17]):
H (s)
a(s)(s2
b(s)(s)(s 1)2 ω2 ) kb(s)(s)(s 1)2
.
Замечание 1. В [16, 17] было показано, что для любого гурвицева полинома ( p) существует в
общем случае достаточно большой постоянный коэффициент k 0 такой, что передаточная функция H (s) удовлетворяет условиям строгой вещественной положительности. Для известных коэффициентов
полиномов a( p) и b( p) поиск коэффициента k 0 является несложной задачей.
Тогда, подставляя изображение по Лапласу для (4) в уравнение (3), получаем
Y
(s)
k
b(s)(s)(s a(s)(s2
1)2 ω2 )
Y
(s)
c(s) a(s)
μ1s μ2 (s2 ω2 )
D(s) a(s)
и
Y (s)
(μ1s
μ1 )
c(s) γ(s)
D(s)(s2 γ(s)
ω2
)
,
где полином γ(s) a(s)(s2 ω2 ) kb(s)(s)(s 1)2 – гурвицев в силу строгой вещественной положитель-
ности передаточной функции H (s) .
Осуществляя обратное преобразование Лапласа для Y (s) , имеем
lim y(t) 0 .
t
Основной результат
Однако производные выходного сигнала y(t) не измеряются, а коэффициенты полиномов a( p) и
b( p) неизвестны. В этом случае воспользуемся результатами, опубликованными в [14, 15] и выберем
закон управления следующим образом:
u(t)
k
( (
p)( p 1)2 (T2 p2 2 )(T1 p
p 1) 1)
1 (t )
,
(5)
1 2 , 2 3 , ...
(6)
r1 (k11 k22 ... kr1r1 k1 y),
где число k 0 и полином ( p) выбираются аналогично (4), число k , а коэффициенты ki рассчи-
тываются из требований асимптотической устойчивости системы (6) при нулевом входе y(t) , r *r0 ,
параметр T11 должен быть больше коэффициента k и много меньше , параметр T2 такой, что
Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики, 2012, № 3 (79)
69
АЛГОРИТМ УПРАВЛЕНИЯ ПО ВЫХОДУ С КОМПЕНСАЦИЕЙ …
0 T21 T11 , число r0 соответствует известному минимальному значению относительной степени:
0 r0 r r * .
Замечание 2. Очевидно, что в условиях полной параметрической неопределенности выбор T11 , k и может вызывать некоторые сложности, поэтому рассмотрим более конструктивное правило расчета этих коэффициентов. Как показано в [17], можно настраивать коэффициент k по линейному закону до тех пор, пока переменная y(t) не попадет в некоторую малую область, заданную разработчиком систе-
мы. Параметры T11 и можно рассчитывать следующим образом: T11 k 2 и 0 (T11)2 . Очевидно, что при таком расчете коэффициентов регулятора система может быть неустойчивой, но данная схема
обеспечивает сходимость выходной переменной y(t) в некоторую малую область, заданную разработчи-
ком системы. Подставляя (5) в (1), получаем
y(t)
a(
p)(
p2
kb( p)( p)( p 1)2 (T2 2 )(T1 p 1) kb( p)(
p 1) p)( p 1)2 (T2
p
1)
(t)
a(
p)(
p2
2
b( p)( p2 )(T1 p 1)
2 )(T1 p 1) kb( p)( p)( p
1)2 (T2
p
1)
(t)
,
где (t) y(t) 1(t) .
Запишем (7) следующим образом:
(7)
y(t)
a(
p)(
p2
kb( p)( p)( p 1)2 (T2 2 )(T1 p 1) kb( p)(
p 1) p)( p 1)2 (T2
p
1)
[(t)
w(t)]
,
(8)
где сигнал
w(t)
( p2 2 )(T1 p 1) k( p)( p 1)2 (T2 p 1)
(t) .
Модель близкая к (8), рассматривалась в [18, 19], поэтому воспользуемся результатами [18, 19] и
перейдем к форме вход–состояние–выход вида
x Ax kb( w) ,
(9)
y cT x ,
(10)
где x Rn – вектор переменных состояния модели (9), (10); A , b и c – матрицы перехода от модели
вход-выход к модели вход-состояние-выход, причем в силу известной леммы Якубовича-Калмана (например, [16]) можно указать симметрическую положительно определенную матрицу P , удовлетворяющую двум следующим матричным уравнениям:
AT P PA Q1 , Pb c ,
где Q1 Q1T – некоторая положительно определенная матрица. Перепишем (6) в векторно-матричной форме:
ξ (Γξ dy) ,
(11)
1 hT ξ ,
0 1 0 ... 0
0
0
0
1 ...
0
0
где ξ Rr1 – вектор переменных состояния модели (11), Γ 0 0 0 ... 0 , d 0 ,
k1 k2 k3 ... kr1
k1
1
0
h
0 , причем матрица
Γ
– гурвицева в силу расчета коэффициентов
ki
модели (6).
0
Введем в рассмотрение вектор отклонений
η hy ξ .
Дифференцируя уравнение (12), получаем:
η hy (Γ(hy η) dy) hy Γη (d Γh) y hy Γη ,
(12)
70 Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики,
2012, № 3 (79)
А.А. Бобцов, С.А. Колюбин, А.А. Пыркин
y 1 hT η , где d Γh .
Таким образом, имеем систему дифференциальных уравнений:
x Ax kb( w) , y cT x ,
(13)
η hy Γη , hT η .
(14)
В силу гурвицевости Γ существует матрица N NT , удовлетворяющая уравнению Ляпунова
ΓT N NΓ Q2 ,
где Q2 QT2 – положительно определенная матрица. В работах [18, 19] была построена функция Ляпунова вида V xT Px ηT Nη
(15)
и показано, что для системы (13), (14) существует число k такое, что
V V k1w2 ,
(16)
где число 0 .
Следуя результатам раздела «Предварительный результат», легко показать, что lim w(t) 0 . Поt
скольку доказательство аналогично приведенным в [18, 19], не будем повторять его здесь. Так как w(t)
экспоненциально сходится к нулю, то из неравенства (16) следует, что функция (15) стремится к нулю,
что означает выполнение целевого условия (2).
Пример
Рассмотрим числовой пример моделирования предлагаемого алгоритма управления (5), (6) для линейного объекта вида (1) вида
[ p3 2 p 3] y(t) [ p 2]u(t) [4 p 1]δ(t) , y(0) 2 , y(0) 2 , y(0) 2 . Будем полагать, что относительная степень r * не превосходит 3, но известно, что относительная степень не меньше 2. Выберем закон управления в соответствии с (5), (6), где ( p) p 1 , T2 1 , 1, коэффициент k настраивается по линейному закону до тех пор, пока переменная y(t) не попадет в ма-
лую область 0,1, параметры T11 и рассчитываются в соответствии с замечанием 2, т.е. T11 k 2 и 0 (T11)2 , где 0 0,8 . На рисунке представлены переходные процессы в замкнутой системе с возмущением (t) 6sin(3t 2) . На рисунке (а) представлен результат моделирования для выходной пере-
менной y(t) , а на рисунке (б) – для адаптивно настраивающихся параметров k , T11 и .
y(t) 100
4 80
2 60
Отн. ед. Отн. ед.
0 40
–2 20
–4
–6 0 0 2 4 6 8 t, c
24 k
6 8 t, c T1–1
аб
Рисунок. Графики переходных процессов в замкнутой системе: (а) – график функции y(t) ;
(б) – графики функций k , T11 и
Заключение
Для класса линейных стационарных параметрически и структурно неопределенных объектов вида (1) получаем алгоритм адаптивного управления (5), (6), полностью парирующий влияние синусоидального возмущающего воздействия (t) sin(t ) с неизвестными амплитудой и фазой . В качестве
недостатка отметим, что в представленной работе задача была решена для случая известной частоты ω возмущающего воздействия (t) sin(t ) . Расширение полученного результата на случай неиз-
Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики, 2012, № 3 (79)
71
АЛГОРИТМ УПРАВЛЕНИЯ ПО ВЫХОДУ С КОМПЕНСАЦИЕЙ …
вестной частоты возможно посредством введения дополнительного канала ее идентификации. При этом подстановка получаемых оценок частоты в контур регулирования может происходить итеративно с использованием схемы с переключениями.
Литература
1. Bodson M., Douglas S.C. Adaptive algorithms for the rejection of periodic disturbances with unknown frequencies // Automatica. – 1997. – V. 33. – P. 2213–2221.
2. Никифоров В.О. Адаптивное и робастное управление с компенсацией возмущений. – СПб: Наука, 2003. – 282 с.
3. Никифоров В.О. Адаптивная стабилизация линейного объекта, подверженного внешним детерминированным возмущениям // Известия РАН. Теория и системы управления. – 1997. – № 2. – С. 103–106.
4. Nikiforov V.O. Adaptive non-linear tracking with complete compensation of unknown disturbances // European Journal of Control. – 1998. – V. 4. – № 2. – Р. 132–139.
5. Marino R., Santosuosso G.L., Tomei P. Robust adaptive compensation of biased sinusoidal disturbances with unknown frequency. – Automatica. – 2003. – V. 39. – P. 1755–1761.
6. Marino R. and Р. Tomei. Output Regulation for Linear Minimum Phase Systems with Unknown Order Exosystem // IEEE Transactions on Automatic Control. – 2007. – V. 52. – P. 2000–2005.
7. Арановский С.В., Бобцов А.А., Никифоров В.О. Синтез наблюдателя для нелинейного объекта в условиях гармонического возмущения, приложенного к выходной переменной // Научно-технический вестник СПбГУ ИТМО. – 2010. – № 3 (67). – C. 32–38.
8. Бобцов А.А., Кремлев А.С. Алгоритм компенсации неизвестного синусоидального возмущения для линейного не минимально фазового объекта // Мехатроника, автоматизация, управление. – 2008. – № 10. – С. 14–17.
9. Бобцов А.А. Алгоритм управления по выходу с компенсацией гармонического возмущения со смещением // Автоматика и телемеханика. – 2008. – № 8. – С. 25–32.
10. Бобцов А.А. Адаптивное управление по выходу с компенсацией гармонического смещенного возмущения // Известия РАН. Теория и системы управления. – 2009. – № 1. – С. 45–48.
11. Бобцов А.А., Пыркин А.А. Компенсация неизвестного синусоидального возмущения для линейного объекта любой относительной степени // Автоматика и телемеханика. – 2009. – № 3. – С. 114–122.
12. Бобцов А.А., Колюбин С.А., Пыркин А.А. Компенсация неизвестного мультигармонического возмущения для нелинейного объекта с запаздыванием по управлению // Автоматика и телемеханика. – 2010. – № 11. – С. 115–122.
13. Anton Pyrkin, Andrey Smyshlyaev, Nikolaos Bekiaris-Liberis, Miroslav Krstic. Rejection of Sinusoidal Disturbance of Unknown Frequency for Linear System with Input Delay // American Control Conference. – Baltimore, 2010. – P. 5688–5693.
14. Бобцов А.А., Кремлев А.С., Пыркин А.А. Компенсация гармонического возмущения для параметрически и функционально неопределенного нелинейного объекта // Автоматика и телемеханика. – 2011. – № 1. – С. 121–129.
15. Лукьянова Г.В., Никифоров В.О. Алгоритм компенсации внешних детерминированных возмущений: операторный метод синтеза // Научно-технический вестник СПб ГИТМО (ТУ). – 2003. – Вып. 10. – С. 5–9.
16. Мирошник И.В., Никифоров В.О., Фрадков А.Л. Нелинейное и адаптивное управление сложными динамическими системами. – СПб: Наука, 2000. – 549 с.
17. Бобцов А.А., Николаев Н.А. Синтез управления нелинейными системами с функциональными и параметрическими неопределенностями на основе теоремы Фрадкова // Автоматика и телемеханика. – 2005. – № 1. – С. 118–129.
18. Бобцов А.А., Шаветов С.В. Управление по выходу линейным параметрически неопределенным объектом в условиях возмущающих воздействий и неучтенной динамики // Научно-технический вестник СПбГУ ИТМО. – 2011. – № 1 (71). – C. 32–38.
19. Бобцов А.А., Николаев Н.А. Управление по выходу линейными системами с неучтенной паразитной динамикой // Автоматика и телемеханика. – 2009. – № 6. – С. 115–122.
Бобцов Алексей Алексеевич Колюбин Сергей Алексеевич
– Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, доктор технических наук, профессор, декан, bobtsov@mail.ifmo.ru
– Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет ин-
формационных технологий, механики и оптики, аспирант,
Пыркин Антон Алексеевич
s.kolyubin@gmail.com – Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет ин-
формационных технологий, механики и оптики, кандидат технических
наук, ассистент, a.pyrkin@gmail.com
72 Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики,
2012, № 3 (79)
УДК 681.51.015
АЛГОРИТМ УПРАВЛЕНИЯ ПО ВЫХОДУ С КОМПЕНСАЦИЕЙ СИНУСОИДАЛЬНОГО ВОЗМУЩЕНИЯ ДЛЯ ЛИНЕЙНОГО ОБЪЕКТА С ПАРАМЕТРИЧЕСКИМИ И СТРУКТУРНЫМИ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЯМИ2
А.А. Бобцов, С.А. Колюбин, А.А. Пыркин
Рассматривается задача стабилизации по выходу линейного объекта, подверженного влиянию внешнего неизвестно-
го синусоидального возмущения. Решение задачи получено для класса линейных систем, функционирующих в условиях параметрической и структурной неопределенностей. Ключевые слова: управление по выходу, компенсация возмущений, параметрическая и структурная неопределенность.
Введение
Компенсация синусоидальных возмущающих воздействий является актуальной и популярной задачей современной теории управления (например, [1–15]). Большинство исследований, связанных с разработкой методов компенсации гармонических возмущений, изучают случай, когда амплитуды, фазы и частоты являются неизвестными постоянными параметрами (например, [1–14]). В частности, работы [3, 4] являются одними из первых работ отечественных ученых, где была поставлена и решена задача адаптивной компенсации неизвестных гармонических возмущений. В настоящее время при различных допущениях относительно модели объекта рассматриваются различные случаи задач управления, а именно: линейность или нелинейность динамики, параметрическая определенность или ее отсутствие, доступность измерений всех переменных состояния или только их части и пр. Несмотря на то, что в фундаментальной монографии [2], посвященной методам компенсации возмущений, большинство подходов было изложено, кратко рассмотрим некоторые новые результаты.
В [5] предлагается алгоритм управления линейным устойчивым объектом с известными параметрами и единичной относительной степенью, подверженным влиянию смещенного гармонического возмущения. В отличие от [5], в [8] рассмотрен алгоритм компенсации возмущающего воздействия для случая неминимально фазового линейного объекта с известными параметрами, но любой относительной степени. Работы [9, 10, 14] посвящены парированию синусоидального возмущения в условиях полной параметрической неопределенности объекта управления. Выстроен адаптивный регулятор, базирующийся только на измерениях выходной переменной. В [9, 10] рассмотрен линейный объект, а в [14] – нелинейный. Однако в [9, 10, 14] допускается, что относительная степень известна и равна единице. В [12, 13] данная задача распространена на линейные объекты с известными параметрами, но с запаздыванием в канале управления.
В настоящей работе предлагается новый алгоритм управления по выходу параметрически неопределенным линейным объектом, подверженным влиянию гармонического возмущения
δ(t) μ sin(ωt ) с неизвестными амплитудой и фазой. Данный подход основан на методе операторного
синтеза компенсации возмущения, который был опубликован в [15]. По мнению авторов, несмотря на то, что частота ω известна, решаемая в этой работе задача развивает подходы, опубликованные в [1–15],
поскольку допускается, что относительная степень объекта, как и его параметры, может быть неизвестна.
Постановка задачи
Рассмотрим линейный объект управления вида a( p)y(t) b( p)u(t) c( p)δ(t) ,
(1)
где p d / dt – оператор дифференцирования; параметры полиномов
a( p) pn an1 pn1 an2 pn2 ... a0 ,
b( p) bm pm bm1 pm1 bm2 pm2 ... b0
и
c( p) cl pl cl1 pl1 ll2 pl2 ... c0 неизвестные числа, а (t) sin(t ) – возмущающее воздействие с неизвестными амплитудой μ и фазой .
Цель управления – найти такой сигнал u u( y) , чтобы было выполнено целевое условие
lim y(t) 0 .
t
Данную задачу будем решать при следующих допущениях.
(2)
Допущение 1. Полином b( p) гурвицев, и коэффициент b0 0 .
Допущение 2. Известно максимальное значение относительной степени r * , но не размерности по-
линомов a( p) и b( p) , и сама относительная степень r n m .
2 Работа выполнена при поддержке ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009–2013 годы (государственный контракт № 16.740.11.0553).
68 Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики,
2012, № 3 (79)
А.А. Бобцов, С.А. Колюбин, А.А. Пыркин
Допущение 3. Известна частота ω возмущения (t) sin(t ) .
Предварительный результат
Следуя [15], представим уравнение (1) в виде
Y (s) b(s) U (s) c(s) (s) D(s) ,
a(s) a(s)
a(s)
(3)
где s – комплексная переменная Лапласа; Y (s) L{y(t)} , U (s) L{u(t)} и (s) L{(t)} 1s 2 – s2 2
изображения по Лапласу соответствующих сигналов, 1 sin и 2 cos ; полином D(s) обозначает сумму всех членов, содержащих начальные условия.
Временно предположим, что измеряются все необходимые производные выходного сигнала y(t) ,
а коэффициенты полиномов a( p) и b( p) известны. Предполагая, что относительная степень r известна,
выберем закон управления u(t) следующим образом:
u(t) k ( p)( p 1)2 y(t) , p2 2
(4)
где гурвицев полином ( p) степени r *1 и постоянный коэффициент k 0 выбираются из соображе-
ний строгой вещественной положительности передаточной функции (например, [16, 17]):
H (s)
a(s)(s2
b(s)(s)(s 1)2 ω2 ) kb(s)(s)(s 1)2
.
Замечание 1. В [16, 17] было показано, что для любого гурвицева полинома ( p) существует в
общем случае достаточно большой постоянный коэффициент k 0 такой, что передаточная функция H (s) удовлетворяет условиям строгой вещественной положительности. Для известных коэффициентов
полиномов a( p) и b( p) поиск коэффициента k 0 является несложной задачей.
Тогда, подставляя изображение по Лапласу для (4) в уравнение (3), получаем
Y
(s)
k
b(s)(s)(s a(s)(s2
1)2 ω2 )
Y
(s)
c(s) a(s)
μ1s μ2 (s2 ω2 )
D(s) a(s)
и
Y (s)
(μ1s
μ1 )
c(s) γ(s)
D(s)(s2 γ(s)
ω2
)
,
где полином γ(s) a(s)(s2 ω2 ) kb(s)(s)(s 1)2 – гурвицев в силу строгой вещественной положитель-
ности передаточной функции H (s) .
Осуществляя обратное преобразование Лапласа для Y (s) , имеем
lim y(t) 0 .
t
Основной результат
Однако производные выходного сигнала y(t) не измеряются, а коэффициенты полиномов a( p) и
b( p) неизвестны. В этом случае воспользуемся результатами, опубликованными в [14, 15] и выберем
закон управления следующим образом:
u(t)
k
( (
p)( p 1)2 (T2 p2 2 )(T1 p
p 1) 1)
1 (t )
,
(5)
1 2 , 2 3 , ...
(6)
r1 (k11 k22 ... kr1r1 k1 y),
где число k 0 и полином ( p) выбираются аналогично (4), число k , а коэффициенты ki рассчи-
тываются из требований асимптотической устойчивости системы (6) при нулевом входе y(t) , r *r0 ,
параметр T11 должен быть больше коэффициента k и много меньше , параметр T2 такой, что
Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики, 2012, № 3 (79)
69
АЛГОРИТМ УПРАВЛЕНИЯ ПО ВЫХОДУ С КОМПЕНСАЦИЕЙ …
0 T21 T11 , число r0 соответствует известному минимальному значению относительной степени:
0 r0 r r * .
Замечание 2. Очевидно, что в условиях полной параметрической неопределенности выбор T11 , k и может вызывать некоторые сложности, поэтому рассмотрим более конструктивное правило расчета этих коэффициентов. Как показано в [17], можно настраивать коэффициент k по линейному закону до тех пор, пока переменная y(t) не попадет в некоторую малую область, заданную разработчиком систе-
мы. Параметры T11 и можно рассчитывать следующим образом: T11 k 2 и 0 (T11)2 . Очевидно, что при таком расчете коэффициентов регулятора система может быть неустойчивой, но данная схема
обеспечивает сходимость выходной переменной y(t) в некоторую малую область, заданную разработчи-
ком системы. Подставляя (5) в (1), получаем
y(t)
a(
p)(
p2
kb( p)( p)( p 1)2 (T2 2 )(T1 p 1) kb( p)(
p 1) p)( p 1)2 (T2
p
1)
(t)
a(
p)(
p2
2
b( p)( p2 )(T1 p 1)
2 )(T1 p 1) kb( p)( p)( p
1)2 (T2
p
1)
(t)
,
где (t) y(t) 1(t) .
Запишем (7) следующим образом:
(7)
y(t)
a(
p)(
p2
kb( p)( p)( p 1)2 (T2 2 )(T1 p 1) kb( p)(
p 1) p)( p 1)2 (T2
p
1)
[(t)
w(t)]
,
(8)
где сигнал
w(t)
( p2 2 )(T1 p 1) k( p)( p 1)2 (T2 p 1)
(t) .
Модель близкая к (8), рассматривалась в [18, 19], поэтому воспользуемся результатами [18, 19] и
перейдем к форме вход–состояние–выход вида
x Ax kb( w) ,
(9)
y cT x ,
(10)
где x Rn – вектор переменных состояния модели (9), (10); A , b и c – матрицы перехода от модели
вход-выход к модели вход-состояние-выход, причем в силу известной леммы Якубовича-Калмана (например, [16]) можно указать симметрическую положительно определенную матрицу P , удовлетворяющую двум следующим матричным уравнениям:
AT P PA Q1 , Pb c ,
где Q1 Q1T – некоторая положительно определенная матрица. Перепишем (6) в векторно-матричной форме:
ξ (Γξ dy) ,
(11)
1 hT ξ ,
0 1 0 ... 0
0
0
0
1 ...
0
0
где ξ Rr1 – вектор переменных состояния модели (11), Γ 0 0 0 ... 0 , d 0 ,
k1 k2 k3 ... kr1
k1
1
0
h
0 , причем матрица
Γ
– гурвицева в силу расчета коэффициентов
ki
модели (6).
0
Введем в рассмотрение вектор отклонений
η hy ξ .
Дифференцируя уравнение (12), получаем:
η hy (Γ(hy η) dy) hy Γη (d Γh) y hy Γη ,
(12)
70 Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики,
2012, № 3 (79)
А.А. Бобцов, С.А. Колюбин, А.А. Пыркин
y 1 hT η , где d Γh .
Таким образом, имеем систему дифференциальных уравнений:
x Ax kb( w) , y cT x ,
(13)
η hy Γη , hT η .
(14)
В силу гурвицевости Γ существует матрица N NT , удовлетворяющая уравнению Ляпунова
ΓT N NΓ Q2 ,
где Q2 QT2 – положительно определенная матрица. В работах [18, 19] была построена функция Ляпунова вида V xT Px ηT Nη
(15)
и показано, что для системы (13), (14) существует число k такое, что
V V k1w2 ,
(16)
где число 0 .
Следуя результатам раздела «Предварительный результат», легко показать, что lim w(t) 0 . Поt
скольку доказательство аналогично приведенным в [18, 19], не будем повторять его здесь. Так как w(t)
экспоненциально сходится к нулю, то из неравенства (16) следует, что функция (15) стремится к нулю,
что означает выполнение целевого условия (2).
Пример
Рассмотрим числовой пример моделирования предлагаемого алгоритма управления (5), (6) для линейного объекта вида (1) вида
[ p3 2 p 3] y(t) [ p 2]u(t) [4 p 1]δ(t) , y(0) 2 , y(0) 2 , y(0) 2 . Будем полагать, что относительная степень r * не превосходит 3, но известно, что относительная степень не меньше 2. Выберем закон управления в соответствии с (5), (6), где ( p) p 1 , T2 1 , 1, коэффициент k настраивается по линейному закону до тех пор, пока переменная y(t) не попадет в ма-
лую область 0,1, параметры T11 и рассчитываются в соответствии с замечанием 2, т.е. T11 k 2 и 0 (T11)2 , где 0 0,8 . На рисунке представлены переходные процессы в замкнутой системе с возмущением (t) 6sin(3t 2) . На рисунке (а) представлен результат моделирования для выходной пере-
менной y(t) , а на рисунке (б) – для адаптивно настраивающихся параметров k , T11 и .
y(t) 100
4 80
2 60
Отн. ед. Отн. ед.
0 40
–2 20
–4
–6 0 0 2 4 6 8 t, c
24 k
6 8 t, c T1–1
аб
Рисунок. Графики переходных процессов в замкнутой системе: (а) – график функции y(t) ;
(б) – графики функций k , T11 и
Заключение
Для класса линейных стационарных параметрически и структурно неопределенных объектов вида (1) получаем алгоритм адаптивного управления (5), (6), полностью парирующий влияние синусоидального возмущающего воздействия (t) sin(t ) с неизвестными амплитудой и фазой . В качестве
недостатка отметим, что в представленной работе задача была решена для случая известной частоты ω возмущающего воздействия (t) sin(t ) . Расширение полученного результата на случай неиз-
Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики, 2012, № 3 (79)
71
АЛГОРИТМ УПРАВЛЕНИЯ ПО ВЫХОДУ С КОМПЕНСАЦИЕЙ …
вестной частоты возможно посредством введения дополнительного канала ее идентификации. При этом подстановка получаемых оценок частоты в контур регулирования может происходить итеративно с использованием схемы с переключениями.
Литература
1. Bodson M., Douglas S.C. Adaptive algorithms for the rejection of periodic disturbances with unknown frequencies // Automatica. – 1997. – V. 33. – P. 2213–2221.
2. Никифоров В.О. Адаптивное и робастное управление с компенсацией возмущений. – СПб: Наука, 2003. – 282 с.
3. Никифоров В.О. Адаптивная стабилизация линейного объекта, подверженного внешним детерминированным возмущениям // Известия РАН. Теория и системы управления. – 1997. – № 2. – С. 103–106.
4. Nikiforov V.O. Adaptive non-linear tracking with complete compensation of unknown disturbances // European Journal of Control. – 1998. – V. 4. – № 2. – Р. 132–139.
5. Marino R., Santosuosso G.L., Tomei P. Robust adaptive compensation of biased sinusoidal disturbances with unknown frequency. – Automatica. – 2003. – V. 39. – P. 1755–1761.
6. Marino R. and Р. Tomei. Output Regulation for Linear Minimum Phase Systems with Unknown Order Exosystem // IEEE Transactions on Automatic Control. – 2007. – V. 52. – P. 2000–2005.
7. Арановский С.В., Бобцов А.А., Никифоров В.О. Синтез наблюдателя для нелинейного объекта в условиях гармонического возмущения, приложенного к выходной переменной // Научно-технический вестник СПбГУ ИТМО. – 2010. – № 3 (67). – C. 32–38.
8. Бобцов А.А., Кремлев А.С. Алгоритм компенсации неизвестного синусоидального возмущения для линейного не минимально фазового объекта // Мехатроника, автоматизация, управление. – 2008. – № 10. – С. 14–17.
9. Бобцов А.А. Алгоритм управления по выходу с компенсацией гармонического возмущения со смещением // Автоматика и телемеханика. – 2008. – № 8. – С. 25–32.
10. Бобцов А.А. Адаптивное управление по выходу с компенсацией гармонического смещенного возмущения // Известия РАН. Теория и системы управления. – 2009. – № 1. – С. 45–48.
11. Бобцов А.А., Пыркин А.А. Компенсация неизвестного синусоидального возмущения для линейного объекта любой относительной степени // Автоматика и телемеханика. – 2009. – № 3. – С. 114–122.
12. Бобцов А.А., Колюбин С.А., Пыркин А.А. Компенсация неизвестного мультигармонического возмущения для нелинейного объекта с запаздыванием по управлению // Автоматика и телемеханика. – 2010. – № 11. – С. 115–122.
13. Anton Pyrkin, Andrey Smyshlyaev, Nikolaos Bekiaris-Liberis, Miroslav Krstic. Rejection of Sinusoidal Disturbance of Unknown Frequency for Linear System with Input Delay // American Control Conference. – Baltimore, 2010. – P. 5688–5693.
14. Бобцов А.А., Кремлев А.С., Пыркин А.А. Компенсация гармонического возмущения для параметрически и функционально неопределенного нелинейного объекта // Автоматика и телемеханика. – 2011. – № 1. – С. 121–129.
15. Лукьянова Г.В., Никифоров В.О. Алгоритм компенсации внешних детерминированных возмущений: операторный метод синтеза // Научно-технический вестник СПб ГИТМО (ТУ). – 2003. – Вып. 10. – С. 5–9.
16. Мирошник И.В., Никифоров В.О., Фрадков А.Л. Нелинейное и адаптивное управление сложными динамическими системами. – СПб: Наука, 2000. – 549 с.
17. Бобцов А.А., Николаев Н.А. Синтез управления нелинейными системами с функциональными и параметрическими неопределенностями на основе теоремы Фрадкова // Автоматика и телемеханика. – 2005. – № 1. – С. 118–129.
18. Бобцов А.А., Шаветов С.В. Управление по выходу линейным параметрически неопределенным объектом в условиях возмущающих воздействий и неучтенной динамики // Научно-технический вестник СПбГУ ИТМО. – 2011. – № 1 (71). – C. 32–38.
19. Бобцов А.А., Николаев Н.А. Управление по выходу линейными системами с неучтенной паразитной динамикой // Автоматика и телемеханика. – 2009. – № 6. – С. 115–122.
Бобцов Алексей Алексеевич Колюбин Сергей Алексеевич
– Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, доктор технических наук, профессор, декан, bobtsov@mail.ifmo.ru
– Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет ин-
формационных технологий, механики и оптики, аспирант,
Пыркин Антон Алексеевич
s.kolyubin@gmail.com – Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет ин-
формационных технологий, механики и оптики, кандидат технических
наук, ассистент, a.pyrkin@gmail.com
72 Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики,
2012, № 3 (79)