Метод построения фундаментального уравнения состояния, учитывающего особенности критической области
УДК 536.71
Метод построения фундаментального уравнения состояния, учитывающе го особенности критической области
Рыков С.В., Кудрявцева И.В., Рыков А.В., Курова Л.В.
Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики
Полученное в работе уравнение учитывает асимметрию реальной жидко сти относительно критической изохоры. Количественная оценка его точности и размера рабочей области проведена на примере описания рав новесных свойств хладона R218. Погрешность описания плотности и изо хорной теплоемкости в однофазной области, теплоты парообразования, давления и плотности на линии фазового равновесия предложенным неана литическим уравнением состояния сравнима с погрешностью соответ ствующих экспериментальных данных. Ключевые слова: R218, асимметричное уравнение состояния, фундаментальное уравнение состояния, равенство химических потенциалов, термодинамические свойства.
Рассмотренный в работе метод является развитием метода построения ши рокодиапазонного уравнения состояния, предложенного в работе [7]. Уравне ния состояния, разработанные в рамках подхода [7], качественно удовлетворя ют всем требованиям, которые обычно предъявляют к единым аналитическим уравнениям состояния и обеспечивают, во-первых, предельный переход в обла сти малых плотностей ρ и давлений p к уравнению состояния идеального газа:
. (1)
Во-вторых, равенство химических потенциалов µ на обеих ветвях линии насыщения:
. В-третьих, выполнение правила Планка-Гиббса:
(2)
В-четвертых, критических условий:
.
(3)
(4)
Однако, при описании широкой окрестности критической точки автор [7] ограничился передачей особенностей поведения вещества в соответствии с мо делью решеточного газа и не учел асимметрию реальной жидкости относитель но критической изохоры. Пути устранения этого недостатка подхода, развитого в [7], и обсуждаются в данной работе.
С этой целью были проанализированы уравнения состояния, в которых учитывалась асимметрия системы жидкость-газ относительно критической изо хоры [4, 6]. Обратим внимание, что в соответствии с современной теорией кри тических явлений [5], равновесные свойства реальной системы жидкость-газ на изолиниях в окрестности критической точки, должны удовлетворять следую щим зависимостям:
– на критической изотерме:
– на критической изохоре:
, ,
,
(5)
– на линии равновесия:
, ,
(6)
, (7)
Подходы к решению поставленной проблемы можно разбить на две груп пы: соответственно, основанные на параметрическом подходе [2, 3] и основан ные на методе построения масштабных асимметричных уравнений состояния в физических переменных [4, 6, 7]. Область применения уравнений состояния, основанных на параметрической модели, в основном, ограничена широкой окрестностью критической точки. В тоже время, в работах [4, 6] показано, что предложенные в них уравнения состояния ни качественно, ни количественно не уступают параметрическим уравнениям состояния. В силу того, что регулярная
часть термодинамической поверхности описывается и количественно и каче ственно верно едиными уравнениями состояния в физических переменных, представляется целесообразным для решения обозначенной в данной работе проблемы в дальнейшем использовать физические переменные плотность-тем пература.
Фундаментальное уравнение состояния, положенное в основу рассматри ваемого в данной работе метода, имеет вид:
(8)
где F0 ( T ) − идеально-газовая составляющая свободной энергии Гельмгольца; Ts = Ts ( ω ) – уравнение линии насыщения; ai ( x% ) – масштабные функции сво
бодной энергии [3]:
(9)
(10)
(11)
(12)
. Здесь x% – обобщенная масштабная переменная Рыкова; α , β , γ , δ , ∆ i – критические индексы.
В формуле (8) функции F%0 ( T ) и A0 ( T ) – это аналитические функции тем
пературы, которые представлены в виде:
Функция ζ ( Ts ,T ) представлена в виде произведения двух функций:
(13) Если в термическое уравнение, полученное на основе (8) подставить T = Ts , то в результате получим выражение для давления на линии упругости:
Функция ϑ (Ts ,T ) выбрана в соответствии с [7]:
(14)
. (15)
в которой показатель степени k0 і 2 .
Обратим
внимание,
что
частная
производная
ϑ
' ω
=
(∂ϑ
∂ω )T
обращается в
нуль в каждой точке линии фазового равновесия.
Термическое уравнение состояния с учетом уточнений, сделанных о функ
циях ζ ( Ts ,T ) и ϑ ( Ts ,T ) , принимает следующий вид:
(16 )
В силу того, что µ = F + p / ρ , используя формулы (8) и (16), можно пока
зать, что равенство (1) в рамках рассмотренного в работе подхода выполняется строго в каждой точке линии фазового равновесия.
Предложенное в данной работе фундаментальное асимметричное уравне ние состояния также верно, как и асимметричное масштабное уравнение состо яния [10], передает как требования (1) ё (4), так и зависимости (5) ё (7).
Количественная оценка его точности и размера рабочей области проведена на примере описания равновесных свойств хладона R218. Погрешность описа ния плотности и изохорной теплоемкости в однофазной области, теплоты па рообразования, давления и плотности на линии фазового равновесия предло женным фундаментальным асимметричным уравнением состояния сравнима с погрешностью соответствующих экспериментальных данных. Полученные ре зультаты (см. рис. 1 и рис. 2) позволяют сделать вывод о том, что рабочая об ласть фундаментального асимметричного уравнения состояния (8) ограничена
по температуре диапазоном 190÷430 K, а по давлению 50 МПа.
δρ,% 1,2
11
0,8 2
0,6 3
0,4 0,2
4
0
-0,2
-0,4
320 340 360 380 400 420 440 T , K
Рис. 1. Отклонения значений плотности, рассчитанных по уравнению состояния (16)
данной работы, от экспериментальных данных [1]: 1 − 564,6 кг/м3; 2 − 479,9 кг/м3; 3 − 375,3 кг/м3; 4 − 187,8 кг/м3.
δ Cv , %
1,5
1
0,5 1
02
-0,5 3
-1 4 5
-1,5
330 340 350 360 370 380 T , K
Рис.2. Отклонения значений Cv хладона 218, рассчитанных на основе фундаменталь
ного асимметричного уравнения состояния (8) данной работы, от опытных данных Рыкова В.А. [6] и Рябушевой Т.И. [9]. Изохоры: 1 – 806 кг/м3; 2 – 503 кг/м3; 3 – 685 кг/м3; 4 – 377
кг/м3; 5 – 995 кг/м3.
Список литературы:
1. Brown I. A. Physical properties of perfluoropropane // J. Chem. Eng. Data. – 1963. Vol. 8, № 11. P. 106–108.
2. Sengers J.V., Levelt Sengers J.M.H. A universal representation of the thermo dynamic properties of fluids in the critical region // Intern. J. Thermoph. – 1984. – V.5, № 2. – P. 195–208.
3. Адамов Ш.П., Анисимов М.А., Киселев С.Б., Смирнов В.А. Уравнение состояния и методы расчета теплофизических свойств в окрестности критиче ской точки // ИФЖ. – 1981, – Т. 40, № 2, – С. 163–164.
4. Кудрявцева И.В., Рыков В.А., Рыков С.В. Асимметричное единое урав нение состояния R134a // Вестник Международной академии холода. – 2008. – № 2. – С.36–39.
5. Ма Ш. Современная теория критических явлений. – М.: Мир. – 1980. – 298 с.
6. Рыков В.А. Анализ закономерностей изменения термодинамических свойств веществ в широком диапазоне параметров состояния, включая окрестность критической точки и метастабильную область // Дис. на соискание уч. ст. канд. техн. наук. – Л.: ЛТИХП, – 1988. – 275 с.
7. Рыков В.А. Единое неаналитическое уравнение состояния газа и жидко сти и таблицы термодинамических свойств аргона и хладагентов R134а, R218, R134а // Дис. на соискание уч.ст. докт. техн. наук. СПб.: СПбГУНиПТ, 2000. – 456 с.
8. Рыков С.В., Кудрявцева И.В. Выбор структуры асимметричных масштабных функций свободной энергии в физических переменных // Вестник Международной академии холода. – 2009. – № 1. – С. 43–45.
9. Рябушева Т.И. Исследование изохорной теплоемкости холодильных агентов // Дис. на соискание уч. ст. канд. техн. наук. – Л.: ЛТИХП, – 1979. –189 с.
10. Рыков А.В., Кудрявцева И.В., Рыков В.А. Асимметричное масштабное уравнение состояния хладона R23 // Вестник Международной академии холода. – 2012. – № 4. – С. 26–28.
Method of construction of the fundamental equation of state consider ing features of critical area
Rykov S.V., Kudryavtseva I.V., Rykov A.V., Kurova L.V.
National Research University of Information Technologies, Mechanics and Optics
The equation received in work considers asymmetry of a real liquid concerning critical isochoruses. The quantitative estimation of its accuracy and the size of working area is spent on an example of the description of equilibrium properties R218. The error of the description of density and isochoric thermal capacities in single-phase area, warmth of steam formation, pressure and density on a line of phase balance the offered not analytical equation of state is comparable with a margin error corresponding experimental data. Key words: R218, asymmetrical equation of state, fundamental equation of state, equality of the chemical potentials, thermodynamic properties.
Метод построения фундаментального уравнения состояния, учитывающе го особенности критической области
Рыков С.В., Кудрявцева И.В., Рыков А.В., Курова Л.В.
Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики
Полученное в работе уравнение учитывает асимметрию реальной жидко сти относительно критической изохоры. Количественная оценка его точности и размера рабочей области проведена на примере описания рав новесных свойств хладона R218. Погрешность описания плотности и изо хорной теплоемкости в однофазной области, теплоты парообразования, давления и плотности на линии фазового равновесия предложенным неана литическим уравнением состояния сравнима с погрешностью соответ ствующих экспериментальных данных. Ключевые слова: R218, асимметричное уравнение состояния, фундаментальное уравнение состояния, равенство химических потенциалов, термодинамические свойства.
Рассмотренный в работе метод является развитием метода построения ши рокодиапазонного уравнения состояния, предложенного в работе [7]. Уравне ния состояния, разработанные в рамках подхода [7], качественно удовлетворя ют всем требованиям, которые обычно предъявляют к единым аналитическим уравнениям состояния и обеспечивают, во-первых, предельный переход в обла сти малых плотностей ρ и давлений p к уравнению состояния идеального газа:
. (1)
Во-вторых, равенство химических потенциалов µ на обеих ветвях линии насыщения:
. В-третьих, выполнение правила Планка-Гиббса:
(2)
В-четвертых, критических условий:
.
(3)
(4)
Однако, при описании широкой окрестности критической точки автор [7] ограничился передачей особенностей поведения вещества в соответствии с мо делью решеточного газа и не учел асимметрию реальной жидкости относитель но критической изохоры. Пути устранения этого недостатка подхода, развитого в [7], и обсуждаются в данной работе.
С этой целью были проанализированы уравнения состояния, в которых учитывалась асимметрия системы жидкость-газ относительно критической изо хоры [4, 6]. Обратим внимание, что в соответствии с современной теорией кри тических явлений [5], равновесные свойства реальной системы жидкость-газ на изолиниях в окрестности критической точки, должны удовлетворять следую щим зависимостям:
– на критической изотерме:
– на критической изохоре:
, ,
,
(5)
– на линии равновесия:
, ,
(6)
, (7)
Подходы к решению поставленной проблемы можно разбить на две груп пы: соответственно, основанные на параметрическом подходе [2, 3] и основан ные на методе построения масштабных асимметричных уравнений состояния в физических переменных [4, 6, 7]. Область применения уравнений состояния, основанных на параметрической модели, в основном, ограничена широкой окрестностью критической точки. В тоже время, в работах [4, 6] показано, что предложенные в них уравнения состояния ни качественно, ни количественно не уступают параметрическим уравнениям состояния. В силу того, что регулярная
часть термодинамической поверхности описывается и количественно и каче ственно верно едиными уравнениями состояния в физических переменных, представляется целесообразным для решения обозначенной в данной работе проблемы в дальнейшем использовать физические переменные плотность-тем пература.
Фундаментальное уравнение состояния, положенное в основу рассматри ваемого в данной работе метода, имеет вид:
(8)
где F0 ( T ) − идеально-газовая составляющая свободной энергии Гельмгольца; Ts = Ts ( ω ) – уравнение линии насыщения; ai ( x% ) – масштабные функции сво
бодной энергии [3]:
(9)
(10)
(11)
(12)
. Здесь x% – обобщенная масштабная переменная Рыкова; α , β , γ , δ , ∆ i – критические индексы.
В формуле (8) функции F%0 ( T ) и A0 ( T ) – это аналитические функции тем
пературы, которые представлены в виде:
Функция ζ ( Ts ,T ) представлена в виде произведения двух функций:
(13) Если в термическое уравнение, полученное на основе (8) подставить T = Ts , то в результате получим выражение для давления на линии упругости:
Функция ϑ (Ts ,T ) выбрана в соответствии с [7]:
(14)
. (15)
в которой показатель степени k0 і 2 .
Обратим
внимание,
что
частная
производная
ϑ
' ω
=
(∂ϑ
∂ω )T
обращается в
нуль в каждой точке линии фазового равновесия.
Термическое уравнение состояния с учетом уточнений, сделанных о функ
циях ζ ( Ts ,T ) и ϑ ( Ts ,T ) , принимает следующий вид:
(16 )
В силу того, что µ = F + p / ρ , используя формулы (8) и (16), можно пока
зать, что равенство (1) в рамках рассмотренного в работе подхода выполняется строго в каждой точке линии фазового равновесия.
Предложенное в данной работе фундаментальное асимметричное уравне ние состояния также верно, как и асимметричное масштабное уравнение состо яния [10], передает как требования (1) ё (4), так и зависимости (5) ё (7).
Количественная оценка его точности и размера рабочей области проведена на примере описания равновесных свойств хладона R218. Погрешность описа ния плотности и изохорной теплоемкости в однофазной области, теплоты па рообразования, давления и плотности на линии фазового равновесия предло женным фундаментальным асимметричным уравнением состояния сравнима с погрешностью соответствующих экспериментальных данных. Полученные ре зультаты (см. рис. 1 и рис. 2) позволяют сделать вывод о том, что рабочая об ласть фундаментального асимметричного уравнения состояния (8) ограничена
по температуре диапазоном 190÷430 K, а по давлению 50 МПа.
δρ,% 1,2
11
0,8 2
0,6 3
0,4 0,2
4
0
-0,2
-0,4
320 340 360 380 400 420 440 T , K
Рис. 1. Отклонения значений плотности, рассчитанных по уравнению состояния (16)
данной работы, от экспериментальных данных [1]: 1 − 564,6 кг/м3; 2 − 479,9 кг/м3; 3 − 375,3 кг/м3; 4 − 187,8 кг/м3.
δ Cv , %
1,5
1
0,5 1
02
-0,5 3
-1 4 5
-1,5
330 340 350 360 370 380 T , K
Рис.2. Отклонения значений Cv хладона 218, рассчитанных на основе фундаменталь
ного асимметричного уравнения состояния (8) данной работы, от опытных данных Рыкова В.А. [6] и Рябушевой Т.И. [9]. Изохоры: 1 – 806 кг/м3; 2 – 503 кг/м3; 3 – 685 кг/м3; 4 – 377
кг/м3; 5 – 995 кг/м3.
Список литературы:
1. Brown I. A. Physical properties of perfluoropropane // J. Chem. Eng. Data. – 1963. Vol. 8, № 11. P. 106–108.
2. Sengers J.V., Levelt Sengers J.M.H. A universal representation of the thermo dynamic properties of fluids in the critical region // Intern. J. Thermoph. – 1984. – V.5, № 2. – P. 195–208.
3. Адамов Ш.П., Анисимов М.А., Киселев С.Б., Смирнов В.А. Уравнение состояния и методы расчета теплофизических свойств в окрестности критиче ской точки // ИФЖ. – 1981, – Т. 40, № 2, – С. 163–164.
4. Кудрявцева И.В., Рыков В.А., Рыков С.В. Асимметричное единое урав нение состояния R134a // Вестник Международной академии холода. – 2008. – № 2. – С.36–39.
5. Ма Ш. Современная теория критических явлений. – М.: Мир. – 1980. – 298 с.
6. Рыков В.А. Анализ закономерностей изменения термодинамических свойств веществ в широком диапазоне параметров состояния, включая окрестность критической точки и метастабильную область // Дис. на соискание уч. ст. канд. техн. наук. – Л.: ЛТИХП, – 1988. – 275 с.
7. Рыков В.А. Единое неаналитическое уравнение состояния газа и жидко сти и таблицы термодинамических свойств аргона и хладагентов R134а, R218, R134а // Дис. на соискание уч.ст. докт. техн. наук. СПб.: СПбГУНиПТ, 2000. – 456 с.
8. Рыков С.В., Кудрявцева И.В. Выбор структуры асимметричных масштабных функций свободной энергии в физических переменных // Вестник Международной академии холода. – 2009. – № 1. – С. 43–45.
9. Рябушева Т.И. Исследование изохорной теплоемкости холодильных агентов // Дис. на соискание уч. ст. канд. техн. наук. – Л.: ЛТИХП, – 1979. –189 с.
10. Рыков А.В., Кудрявцева И.В., Рыков В.А. Асимметричное масштабное уравнение состояния хладона R23 // Вестник Международной академии холода. – 2012. – № 4. – С. 26–28.
Method of construction of the fundamental equation of state consider ing features of critical area
Rykov S.V., Kudryavtseva I.V., Rykov A.V., Kurova L.V.
National Research University of Information Technologies, Mechanics and Optics
The equation received in work considers asymmetry of a real liquid concerning critical isochoruses. The quantitative estimation of its accuracy and the size of working area is spent on an example of the description of equilibrium properties R218. The error of the description of density and isochoric thermal capacities in single-phase area, warmth of steam formation, pressure and density on a line of phase balance the offered not analytical equation of state is comparable with a margin error corresponding experimental data. Key words: R218, asymmetrical equation of state, fundamental equation of state, equality of the chemical potentials, thermodynamic properties.