Катадиоптрический световозвращатель
УДК 535.513 КАТАДИОПТРИЧЕСКИЙ СВЕТОВОЗВРАЩАТЕЛЬ
© 2011 г. А. Д. Цветков, доктор техн. наук
Научно-исследовательский институт комплексных испытаний оптико-электронных приборов и систем, г. Сосновый Бор, Ленинградская обл.
E-mail: contact@niiki.ru
Предложена новая конструкция световозвращателя, представляющего собой двояковыпуклую линзу с концентрическими поверхностями, задняя из которых является зеркальной. На основе расчета аберраций 3-го порядка и дифракции, рассчитанной с помощью интеграла Френеля–Кирхгофа в приближении Фраунгофера, проведено исследование влияния длины световозвращателя на осевую силу света.
Ключевые слова: световозвращатель, аберрации, лазерное излучение, дифракция, осевая сила света.
Коды OCIS: 050.1940.
Поступила в редакцию 06.07.2010.
Световозвращающие оптические элементы – это устройства, позволяющие получать поток излучения в обратном направлении по отношению к прямому, не зависящий в определенных пределах от угла поля зрения. Наиболее широкое распространение получили триппельпризмы (катафоты, уголковые призмы) и микросферы, изготовленные из полимеров или стекла. Микросферы и уголковые микропризмы используются для изготовления светоотражающих покрытий в автодорожной и автомобильной светотехнике (дорожные знаки, разметка дорожного полотна и т. д.) [1, 2]. Триппельпризмы – это призмы, изготовленные, как правило, из стекла, три грани которых расположены по отношению друг к другу под углом 90°. Свет, попадая через диагональную грань и трижды отражаясь, возвращается обратно. Взаимно перпендикулярные грани триппельпризмы могут быть без покрытия, и тогда свет отражается от этих граней за счет полного внутреннего отражения. На грани могут быть также нанесены металлические покрытия из серебра или алюминия [3]. Триппель-призмы, как световозвращающие элементы, широко используются в геодезических и светодальномерных работах, в системах охранной сигнализации [4], а также в работах по измерению различного рода примесей (например газовых) в прилегающих к поверхности земли слоях атмосферы [5]. Особое значение призменные световозвращатели приобрели при проведении
высокоточных измерений траекторий летательных и космических аппаратов [6].
В настоящей работе предложена новая конструкция катадиоптрического световозвращателя (КСВ) и проведено исследование отражающих свойств световозвращателя на основе расчета сферической аберрации 3-го порядка и дифракции лазерного излучения в зоне Фраунгофера с учетом волновых аберраций.
Идею конструкции КСВ [7] поясняет рис. 1, где приведена оптическая схема распространения пучков в КСВ. Оптический элемент в виде двояковыпуклой линзы выполнен из оптически прозрачного материала с показателем преломления n2. Радиусы кривизны поверхностей r1, r2 подобраны таким образом и расположены в пространстве так, что их сумма (по абсолютной величине) и фокусное расстояние первой сферической поверхности линзы равны толщине линзы по оси d.
Излучение, падая на первую выпуклую сферическую поверхность, фокусируется на вторую поверхность, которая является зеркалом, и, отражаясь, снова проходит через первую поверхность. Преломляясь на выходной поверхности, излучение коллимированным пучком выходит из оптического элемента строго в обратном направлении. Поскольку обе поверхности являются концентрическими, то угол поля зрения такого световозвращателя ограничен только элементами конструкции и может в принципе достигать угла, близкого к 180°.
“Оптический журнал”, 78, 3, 2011
21
h1 2ρ r1
–h3 –h2 – y1
n1 n2 –r2
волновой фронт на выходной поверхности КСВ приобретает сложную конфигурацию, которая в общем случае зависит от показателя преломления материала, радиусов кривизны, длины элемента по оси. Расчет волновой сферической аберрации КСВ в работе выполнен на основе теории аберраций третьего порядка [8, 9]. Для учета влияния волновой аберрации на распределение излучения в дальней зоне использован интеграл Френеля–Кирхгофа в приближении Фраунгофера [10].
d–
Рис. 1. Оптическая схема КСВ. n1 и n2 – показатели преломления окружающей среды и стекла соответственно; r1 и r2 – радиусы кривизны 1-й и 2-й поверхностей; d – длина КСВ по оси, Δ – величина смещения второй поверхности по оси, 2ρ – диаметр входного и выходного пучков, α – угол поля зрения.
Фронт волны излучения, дважды проходя через первую поверхность, приобретает волновую сферическую аберрацию. Если вторая отражающая поверхность немного смещена влево или вправо вдоль оптической оси элемента относительно гауссовой плоскости (плоскости фокусировки первой поверхности), то волновая аберрация будет различной и зависящей от положения второй поверхности. В результате
Расчет волновой сферической аберрации КСВ
Ход главного луча в КСВ показан на рис. 2,
где α1, α2, α3, α4 – углы наклона луча относительно оси; n1, n2, n3, n4 – показатели преломления сред, через которые последователь-
но проходит луч; h1, h2, h3 – высоты падения луча последовательно на каждую поверхность;
r1, r2, r3 – радиусы кривизны сферических поверхностей; d1 – длина оптического элемента по оси, Р0 – точка параксиального фокуса, Δs1, Δy1 – продольная и поперечная сферическая аберрация.
Для расчета сферической аберрации 3-го
порядка [8] проводим нормировку при α1 = 0, h1 = 1.
Вводим следующие обозначения: n1 = 1, n2 = n2, n3 = –n2, n4 = –n1; μ1 = 1/n1, μ2 = 1/n2, μ3 = 1/n3, μ4 = 1/n4, d2 = – d1.
1= 0
n1
n2
2
–n4
4
–r 3 r1
3
d1
Рис. 2. Ход главного луча в КСВ (пояснения в тексте).
22
–r 2 – s1
P0
–n3
“Оптический журнал”, 78, 3, 2011
Теперь последовательно рассчитываем углы, высоты и коэффициенты аберраций по следующим формулам:
α2 = n1α1/n2 + (n2 – n1)h1/n2r1, h2 = h1 – α2d1,
α3 = n2α2/n3 + (n3 – n2)h2/n3r2, h3 = h2 – α2d1,
α4 = n3α3/n4 + (n4 – n3)h3/n4r3, P1 = [(α2 – α1)/(μ2 – μ1)]2(α2μ2 – α1μ1),
P2 = [(α3 – α2)/(μ3 – μ2)]2(α3μ3 – α2μ2),
P3 = [(α4 – α3)/(μ4 – μ3)]2(α4μ4 – α3μ3).
С помощью полученных формул найдем фокусное расстояние внутри КСВ, поперечную и продольную сферическую аберрацию:
F = n2r1/(n2 – 1), Δy1 = P1F4u13/2n2,
Δs1 = P1F4u12/2n2, u1 = ρ/F1,
где u1 – апертурный угол, ρ – произвольно выбранный радиус входной апертуры.
Сумма Зейделя для вычисления сферической аберрации световозвращателя
S1 = ΣPihi.
(1)
Волновая аберрация на выходе из световозвращателя
L = ξu12/2 + S1F4u14/8n2.
(2)
Здесь ξ = 2Δ – изменение положения плоскости фокусировки пучка, прошедшего первую поверхность, относительно гауссовой плоскости; Δ – изменение длины по оси КСВ путем перемещения задней (второй) поверхности вдоль оси.
Расчет дифракции лазерного излучения на выходе из световозвращателя
Выражение (2) для волновой аберрации запишем в виде, удобном для введения в подынтегральное выражение при расчете дифракции Фраунгофера. Заменив апертурный угол u1 величиной у (координатой входной апертуры КСВ), получим
L1 = ξy2/2F2 + S1y4/8n2,
(3)
где у = u1F. Заметим, что если в формуле (3) волновую
аберрацию приравнять нулю, то можно опреде-
лить смещение Δm, при котором на выходной поверхности КСВ волновые аберрации при вы-
бранном значении ρ будут минимальны, –
Δm = – S1F2ρ/8n2.
(4)
Распределение интенсивности излучения на расстоянии z от КСВ записывается с помощью интеграла Френеля–Кирхгофа в приближении Фраунгофера в следующем виде:
∫I(y2) = C
y0 0
U(y)yJ0
[x(y2
)y]dy
2
,
(5)
где y – текущая координата, y0 – радиус выходного зрачка КСВ, y2 – радиальная координата в плоскости изображения, x(y2) = ky2/z, k = 2π/λ – волновое число, λ – длина волны из-
лучения, C – нормировочная константа, z – рас-
стояние от выходной апертуры оптической си-
стемы до экрана, J0(x(y2)y) – функция Бесселя нулевого порядка, U(y) – комплексная ампли-
туда сигнала, I(y2) – интенсивность излучения в плоскости экрана.
Комплексная амплитуда сигнала с учетом
(3) выражается следующей формулой:
U(y)
=
Rexp
⎢⎣⎢⎡⎢ik⎜⎝⎜⎛⎜⎜ξ
y2 2F2
+ S1
y4 8n2
⎟⎟⎠⎟⎞⎟⎥⎦⎥⎤⎥,
(6)
где R – коэффициент отражения от задней (вто-
рой) поверхности, i – мнимая единица.
По этим формулам проводился расчет рас-
пределения излучения на заданном расстоянии
при наличии сферической аберрации. Интеграл
(5) в случае отсутствия волновых аберраций
может быть заменен более простым для вычис-
ления выражением
I(y2 )
=
I0
⎡⎣⎢⎢⎢
y02 y22
J1(x(y2)y0 )2
⎦⎥⎥⎤⎥.
(7)
Здесь J1(x(y2)y0) – функция Бесселя первого порядка, I0 – интенсивность (плотность) излучения в плоскости зрачка, I(y2) – распределение интенсивности в плоскости экрана.
Для нахождения плотности излучения на
оси I10 в плоскости экрана при отсутствии аберраций удобно пользоваться простой формулой
I10 = k2y02/4z2.
(8)
Нормировочная константа в (5) может быть представлена как
C = (4π2I0)/(z2λ2).
(9)
В работе предполагается, что источник и приемник излучения расположены достаточно далеко от КСВ, так что диаметр входной апер-
“Оптический журнал”, 78, 3, 2011
23
туры приемника “перехватывает” только малую центральную часть падающего излучения. Поэтому в расчетах по формуле (5) мы используем характеристику, называемую осевой силой света, которая соответствует плотности излучения центральной осевой части нулевого дифракционного максимума, и обозначим ее I(0).
Падающий на первую поверхность КСВ плоский фронт волны, преломляясь во всех точках первой сферической поверхности, образует значительную сферическую аберрацию. После отражения от второй поверхности и повторного преломления на первой аберрированный фронт волны выходного пучка приобретает аберрацию и имеет неоднородную структуру: центральная приосевая часть практически плоская, а периферийная часть деформирована сложным образом, причем с ростом диаметра выходного зрачка 2ρ эта деформация быстро нарастает. На формирование дифракционной картины в зоне Фраунгофера прежде всего оказывает влияние центральная часть пучка. Поэтому для анализа работы КСВ важно определить этот эффективный диаметр выходной апертуры. На примере расчета КСВ проследим, как изменяется осевая сила света при изменении диаметра выходного зрачка и как при этом меняется эта характеристика в зависимости от длины световозвращателя по оси.
Введем следующие исходные данные: материал КСВ – стекло К8, λ = 0,53 мкм, n1 = 1, n2 = 1,519158, r1 = 2,805, r2 = –5,403, d1 = F = = 8,208, z = 10 000 мм, Е = 1, R = 1.
На рис. 3 представлены результаты расчета осевой силы света I(0) при изменении длины КСВ для различных диаметров выходного зрачка. На рисунках в правом верхнем углу обозначены диаметры выходного зрачка 2ρ, соответствующие данному распределению. Крестиками отмечены расчетные значения осевой силы света при изменении длины КСВ, определяемой по формуле (3) значением величины Δm.
При сравнении рисунков видно, что по мере увеличения диаметра выходного зрачка распределение I(0) все более усложняется, постепенно переходя из монотонной кривой с одним экстремумом к многоэкстремальным кривым. При этом осевая сила света для каждого диаметра зрачка в экстремальных максимумах вначале постепенно нарастает, достигая значения Iмакс(0) = 0,1, а затем стабилизируется, колеблясь около значения I(0) = 0,08.
Этот эффект изменения осевой силы света в зависимости от диаметра входного зрачка
и длины КСВ можно объяснить тем, что при малом зрачке сферическая аберрация также мала, каустика ничтожна и смещение по оси не дает заметного эффекта в увеличении силы света. При увеличении диаметра зрачка волновая аберрация растет еще достаточно медленно, а сила света в центре дифракционного пятна увеличивается за счет увеличения полной энергии и уменьшения его диаметра. При достижении определенной стабилизации, вызванной одновременным действием двух противоположных факторов, на осевую силу света волновая сферическая аберрация уже практически не влияет, избыточная энергия рассеивается в большие углы по сравнению с углом дифракции. При диаметре зрачка 2ρ = 1,6 мм интервал изменения длины КСВ, при котором осевая сила света достигает максимума, становится совсем малым – около 0,1 мм. Волновая аберрация при всех принятых исходных данных, рассчитанная по формуле (3), составляет L1 = 0, 05λ. При увеличении диаметра зрачка до 1,8 мм волновая аберрация уже равна 0,375λ, т. е. существенно превосходит известный критерий Рэлея (0,25λ). По сути, диаметр зрачка КСВ, опре-
I(0) (а)
0,08
0,8 (б)
1,6
0,06
0,04
0,02
0
0,1 (в)
0,08
2,0 (г)
2,4
0,06
0,04 0,02
0 7,6 7,8
8 8,2 8,4
d
7,6 7,8 8 8,2 8,4
d
Рис. 3. Распределение осевой силы света в дифракционной картине при изменении длины КСВ для различных диаметров выходного зрачка (в правом верхнем углу обозначены размеры 2ρ).
24 “Оптический журнал”, 78, 3, 2011
деляемый из этого критерия, и является эффективным диаметром выходной апертуры и равен в данном случае 1,6 мм.
Заметим, что данная методика исследования основана на расчете волновой сферической аберрации 3-го порядка и поэтому влияние аберрации высших порядков не учитывает. Однако ее влияние на результаты расчета должны все же сказываться. Для сравнения приведем некоторые данные по оптимизации КСВ, полученные при расчете световозвращателя с использованием известной программы расчета оптических систем SARO. Данные, которые вводились в программу, совпадали с исходными данными, приведенными в статье выше. Результаты расчета следующие. При диаметре выходного зрачка 2ρ = 1,5 мм и оптимизированной длине КСВ по оси 8,155 мм волновая аберрация практически не превосходила 0,25λ, что соответствует критерию Рэлея. При увеличении диаметра входного зрачка до 1,6 мм волновые аберрации быстро нарастали. Результаты точного и приближенного (без влияния аберрации высших порядков) расчетов в определении эффективного размера зрачка отличались не более, чем на 0,1 мм, что можно считать вполне удовлетворительным.
Cмещение Δm, с помощью которого рассчитывалась оптимальная длина КСВ по оси, совпало с расчетами длины, полученной по программе SARO. Заметим, что расчет смещения важен при уточнении требований к конструкции световозвращателей в процессе проектирования и изготовления.
ЛИТЕРАТУРА
1. Алексеев В.А., Билибин С.В., Молохина Л.А., Опарин Ю.Я., Рябикова Г.А., Филин С.А. Световозвращающий материал // Патент России № 2075906. 1997.
2. Выгобский Ю.Н., Гурари А.М., Молохина Л.А., Филин С.А. Световозвращающая разметочная линия и способ ее получения (варианты) // Патент России № 2117723. 1998.
3. Кобак В.О. Радиолокационные отражатели. М.: Советское радио, 1975. С. 158.
4. Рожин В.В. Расчет дальности действия охранного устройства “лучевой барьер” с отражателем // Оптический журнал. 2002. Т. 69. № 4. С. 48–50.
5. Коршунов В.А. Анализ оптической схемы трассового газоанализатора с ретрорефлектором // Оптический журнал. 2003. Т. 70. № 6. С. 53–56.
6. Садовников М.А. Точность определения поправки приведения измерений к центру масс цели в высокоточной спутниковой лазерной дальнометрии // Успехи современной радиоэлектроники. 2009. № 8. С. 63–66.
7. Медведков И.А., Потапова Н.И., Цветков А.Д., Шкатов О.Ю. Световозвращающий элемент для моделирования отражательных характеристик светового, в том числе лазерного, излучения // Патент России № 2349940. 2009.
8. Турыгин И.А. Прикладная оптика. М.: Машиностроение, 1966. 431 с.
9. Борн М., Вольф Э. Основы оптики. М.: Наука, 1973. 719 с.
10. Тудоровский А.И. Теория оптических приборов. Л.: АН СССР, 1948. Ч. 1. 661 с.
“Оптический журнал”, 78, 3, 2011
25
© 2011 г. А. Д. Цветков, доктор техн. наук
Научно-исследовательский институт комплексных испытаний оптико-электронных приборов и систем, г. Сосновый Бор, Ленинградская обл.
E-mail: contact@niiki.ru
Предложена новая конструкция световозвращателя, представляющего собой двояковыпуклую линзу с концентрическими поверхностями, задняя из которых является зеркальной. На основе расчета аберраций 3-го порядка и дифракции, рассчитанной с помощью интеграла Френеля–Кирхгофа в приближении Фраунгофера, проведено исследование влияния длины световозвращателя на осевую силу света.
Ключевые слова: световозвращатель, аберрации, лазерное излучение, дифракция, осевая сила света.
Коды OCIS: 050.1940.
Поступила в редакцию 06.07.2010.
Световозвращающие оптические элементы – это устройства, позволяющие получать поток излучения в обратном направлении по отношению к прямому, не зависящий в определенных пределах от угла поля зрения. Наиболее широкое распространение получили триппельпризмы (катафоты, уголковые призмы) и микросферы, изготовленные из полимеров или стекла. Микросферы и уголковые микропризмы используются для изготовления светоотражающих покрытий в автодорожной и автомобильной светотехнике (дорожные знаки, разметка дорожного полотна и т. д.) [1, 2]. Триппельпризмы – это призмы, изготовленные, как правило, из стекла, три грани которых расположены по отношению друг к другу под углом 90°. Свет, попадая через диагональную грань и трижды отражаясь, возвращается обратно. Взаимно перпендикулярные грани триппельпризмы могут быть без покрытия, и тогда свет отражается от этих граней за счет полного внутреннего отражения. На грани могут быть также нанесены металлические покрытия из серебра или алюминия [3]. Триппель-призмы, как световозвращающие элементы, широко используются в геодезических и светодальномерных работах, в системах охранной сигнализации [4], а также в работах по измерению различного рода примесей (например газовых) в прилегающих к поверхности земли слоях атмосферы [5]. Особое значение призменные световозвращатели приобрели при проведении
высокоточных измерений траекторий летательных и космических аппаратов [6].
В настоящей работе предложена новая конструкция катадиоптрического световозвращателя (КСВ) и проведено исследование отражающих свойств световозвращателя на основе расчета сферической аберрации 3-го порядка и дифракции лазерного излучения в зоне Фраунгофера с учетом волновых аберраций.
Идею конструкции КСВ [7] поясняет рис. 1, где приведена оптическая схема распространения пучков в КСВ. Оптический элемент в виде двояковыпуклой линзы выполнен из оптически прозрачного материала с показателем преломления n2. Радиусы кривизны поверхностей r1, r2 подобраны таким образом и расположены в пространстве так, что их сумма (по абсолютной величине) и фокусное расстояние первой сферической поверхности линзы равны толщине линзы по оси d.
Излучение, падая на первую выпуклую сферическую поверхность, фокусируется на вторую поверхность, которая является зеркалом, и, отражаясь, снова проходит через первую поверхность. Преломляясь на выходной поверхности, излучение коллимированным пучком выходит из оптического элемента строго в обратном направлении. Поскольку обе поверхности являются концентрическими, то угол поля зрения такого световозвращателя ограничен только элементами конструкции и может в принципе достигать угла, близкого к 180°.
“Оптический журнал”, 78, 3, 2011
21
h1 2ρ r1
–h3 –h2 – y1
n1 n2 –r2
волновой фронт на выходной поверхности КСВ приобретает сложную конфигурацию, которая в общем случае зависит от показателя преломления материала, радиусов кривизны, длины элемента по оси. Расчет волновой сферической аберрации КСВ в работе выполнен на основе теории аберраций третьего порядка [8, 9]. Для учета влияния волновой аберрации на распределение излучения в дальней зоне использован интеграл Френеля–Кирхгофа в приближении Фраунгофера [10].
d–
Рис. 1. Оптическая схема КСВ. n1 и n2 – показатели преломления окружающей среды и стекла соответственно; r1 и r2 – радиусы кривизны 1-й и 2-й поверхностей; d – длина КСВ по оси, Δ – величина смещения второй поверхности по оси, 2ρ – диаметр входного и выходного пучков, α – угол поля зрения.
Фронт волны излучения, дважды проходя через первую поверхность, приобретает волновую сферическую аберрацию. Если вторая отражающая поверхность немного смещена влево или вправо вдоль оптической оси элемента относительно гауссовой плоскости (плоскости фокусировки первой поверхности), то волновая аберрация будет различной и зависящей от положения второй поверхности. В результате
Расчет волновой сферической аберрации КСВ
Ход главного луча в КСВ показан на рис. 2,
где α1, α2, α3, α4 – углы наклона луча относительно оси; n1, n2, n3, n4 – показатели преломления сред, через которые последователь-
но проходит луч; h1, h2, h3 – высоты падения луча последовательно на каждую поверхность;
r1, r2, r3 – радиусы кривизны сферических поверхностей; d1 – длина оптического элемента по оси, Р0 – точка параксиального фокуса, Δs1, Δy1 – продольная и поперечная сферическая аберрация.
Для расчета сферической аберрации 3-го
порядка [8] проводим нормировку при α1 = 0, h1 = 1.
Вводим следующие обозначения: n1 = 1, n2 = n2, n3 = –n2, n4 = –n1; μ1 = 1/n1, μ2 = 1/n2, μ3 = 1/n3, μ4 = 1/n4, d2 = – d1.
1= 0
n1
n2
2
–n4
4
–r 3 r1
3
d1
Рис. 2. Ход главного луча в КСВ (пояснения в тексте).
22
–r 2 – s1
P0
–n3
“Оптический журнал”, 78, 3, 2011
Теперь последовательно рассчитываем углы, высоты и коэффициенты аберраций по следующим формулам:
α2 = n1α1/n2 + (n2 – n1)h1/n2r1, h2 = h1 – α2d1,
α3 = n2α2/n3 + (n3 – n2)h2/n3r2, h3 = h2 – α2d1,
α4 = n3α3/n4 + (n4 – n3)h3/n4r3, P1 = [(α2 – α1)/(μ2 – μ1)]2(α2μ2 – α1μ1),
P2 = [(α3 – α2)/(μ3 – μ2)]2(α3μ3 – α2μ2),
P3 = [(α4 – α3)/(μ4 – μ3)]2(α4μ4 – α3μ3).
С помощью полученных формул найдем фокусное расстояние внутри КСВ, поперечную и продольную сферическую аберрацию:
F = n2r1/(n2 – 1), Δy1 = P1F4u13/2n2,
Δs1 = P1F4u12/2n2, u1 = ρ/F1,
где u1 – апертурный угол, ρ – произвольно выбранный радиус входной апертуры.
Сумма Зейделя для вычисления сферической аберрации световозвращателя
S1 = ΣPihi.
(1)
Волновая аберрация на выходе из световозвращателя
L = ξu12/2 + S1F4u14/8n2.
(2)
Здесь ξ = 2Δ – изменение положения плоскости фокусировки пучка, прошедшего первую поверхность, относительно гауссовой плоскости; Δ – изменение длины по оси КСВ путем перемещения задней (второй) поверхности вдоль оси.
Расчет дифракции лазерного излучения на выходе из световозвращателя
Выражение (2) для волновой аберрации запишем в виде, удобном для введения в подынтегральное выражение при расчете дифракции Фраунгофера. Заменив апертурный угол u1 величиной у (координатой входной апертуры КСВ), получим
L1 = ξy2/2F2 + S1y4/8n2,
(3)
где у = u1F. Заметим, что если в формуле (3) волновую
аберрацию приравнять нулю, то можно опреде-
лить смещение Δm, при котором на выходной поверхности КСВ волновые аберрации при вы-
бранном значении ρ будут минимальны, –
Δm = – S1F2ρ/8n2.
(4)
Распределение интенсивности излучения на расстоянии z от КСВ записывается с помощью интеграла Френеля–Кирхгофа в приближении Фраунгофера в следующем виде:
∫I(y2) = C
y0 0
U(y)yJ0
[x(y2
)y]dy
2
,
(5)
где y – текущая координата, y0 – радиус выходного зрачка КСВ, y2 – радиальная координата в плоскости изображения, x(y2) = ky2/z, k = 2π/λ – волновое число, λ – длина волны из-
лучения, C – нормировочная константа, z – рас-
стояние от выходной апертуры оптической си-
стемы до экрана, J0(x(y2)y) – функция Бесселя нулевого порядка, U(y) – комплексная ампли-
туда сигнала, I(y2) – интенсивность излучения в плоскости экрана.
Комплексная амплитуда сигнала с учетом
(3) выражается следующей формулой:
U(y)
=
Rexp
⎢⎣⎢⎡⎢ik⎜⎝⎜⎛⎜⎜ξ
y2 2F2
+ S1
y4 8n2
⎟⎟⎠⎟⎞⎟⎥⎦⎥⎤⎥,
(6)
где R – коэффициент отражения от задней (вто-
рой) поверхности, i – мнимая единица.
По этим формулам проводился расчет рас-
пределения излучения на заданном расстоянии
при наличии сферической аберрации. Интеграл
(5) в случае отсутствия волновых аберраций
может быть заменен более простым для вычис-
ления выражением
I(y2 )
=
I0
⎡⎣⎢⎢⎢
y02 y22
J1(x(y2)y0 )2
⎦⎥⎥⎤⎥.
(7)
Здесь J1(x(y2)y0) – функция Бесселя первого порядка, I0 – интенсивность (плотность) излучения в плоскости зрачка, I(y2) – распределение интенсивности в плоскости экрана.
Для нахождения плотности излучения на
оси I10 в плоскости экрана при отсутствии аберраций удобно пользоваться простой формулой
I10 = k2y02/4z2.
(8)
Нормировочная константа в (5) может быть представлена как
C = (4π2I0)/(z2λ2).
(9)
В работе предполагается, что источник и приемник излучения расположены достаточно далеко от КСВ, так что диаметр входной апер-
“Оптический журнал”, 78, 3, 2011
23
туры приемника “перехватывает” только малую центральную часть падающего излучения. Поэтому в расчетах по формуле (5) мы используем характеристику, называемую осевой силой света, которая соответствует плотности излучения центральной осевой части нулевого дифракционного максимума, и обозначим ее I(0).
Падающий на первую поверхность КСВ плоский фронт волны, преломляясь во всех точках первой сферической поверхности, образует значительную сферическую аберрацию. После отражения от второй поверхности и повторного преломления на первой аберрированный фронт волны выходного пучка приобретает аберрацию и имеет неоднородную структуру: центральная приосевая часть практически плоская, а периферийная часть деформирована сложным образом, причем с ростом диаметра выходного зрачка 2ρ эта деформация быстро нарастает. На формирование дифракционной картины в зоне Фраунгофера прежде всего оказывает влияние центральная часть пучка. Поэтому для анализа работы КСВ важно определить этот эффективный диаметр выходной апертуры. На примере расчета КСВ проследим, как изменяется осевая сила света при изменении диаметра выходного зрачка и как при этом меняется эта характеристика в зависимости от длины световозвращателя по оси.
Введем следующие исходные данные: материал КСВ – стекло К8, λ = 0,53 мкм, n1 = 1, n2 = 1,519158, r1 = 2,805, r2 = –5,403, d1 = F = = 8,208, z = 10 000 мм, Е = 1, R = 1.
На рис. 3 представлены результаты расчета осевой силы света I(0) при изменении длины КСВ для различных диаметров выходного зрачка. На рисунках в правом верхнем углу обозначены диаметры выходного зрачка 2ρ, соответствующие данному распределению. Крестиками отмечены расчетные значения осевой силы света при изменении длины КСВ, определяемой по формуле (3) значением величины Δm.
При сравнении рисунков видно, что по мере увеличения диаметра выходного зрачка распределение I(0) все более усложняется, постепенно переходя из монотонной кривой с одним экстремумом к многоэкстремальным кривым. При этом осевая сила света для каждого диаметра зрачка в экстремальных максимумах вначале постепенно нарастает, достигая значения Iмакс(0) = 0,1, а затем стабилизируется, колеблясь около значения I(0) = 0,08.
Этот эффект изменения осевой силы света в зависимости от диаметра входного зрачка
и длины КСВ можно объяснить тем, что при малом зрачке сферическая аберрация также мала, каустика ничтожна и смещение по оси не дает заметного эффекта в увеличении силы света. При увеличении диаметра зрачка волновая аберрация растет еще достаточно медленно, а сила света в центре дифракционного пятна увеличивается за счет увеличения полной энергии и уменьшения его диаметра. При достижении определенной стабилизации, вызванной одновременным действием двух противоположных факторов, на осевую силу света волновая сферическая аберрация уже практически не влияет, избыточная энергия рассеивается в большие углы по сравнению с углом дифракции. При диаметре зрачка 2ρ = 1,6 мм интервал изменения длины КСВ, при котором осевая сила света достигает максимума, становится совсем малым – около 0,1 мм. Волновая аберрация при всех принятых исходных данных, рассчитанная по формуле (3), составляет L1 = 0, 05λ. При увеличении диаметра зрачка до 1,8 мм волновая аберрация уже равна 0,375λ, т. е. существенно превосходит известный критерий Рэлея (0,25λ). По сути, диаметр зрачка КСВ, опре-
I(0) (а)
0,08
0,8 (б)
1,6
0,06
0,04
0,02
0
0,1 (в)
0,08
2,0 (г)
2,4
0,06
0,04 0,02
0 7,6 7,8
8 8,2 8,4
d
7,6 7,8 8 8,2 8,4
d
Рис. 3. Распределение осевой силы света в дифракционной картине при изменении длины КСВ для различных диаметров выходного зрачка (в правом верхнем углу обозначены размеры 2ρ).
24 “Оптический журнал”, 78, 3, 2011
деляемый из этого критерия, и является эффективным диаметром выходной апертуры и равен в данном случае 1,6 мм.
Заметим, что данная методика исследования основана на расчете волновой сферической аберрации 3-го порядка и поэтому влияние аберрации высших порядков не учитывает. Однако ее влияние на результаты расчета должны все же сказываться. Для сравнения приведем некоторые данные по оптимизации КСВ, полученные при расчете световозвращателя с использованием известной программы расчета оптических систем SARO. Данные, которые вводились в программу, совпадали с исходными данными, приведенными в статье выше. Результаты расчета следующие. При диаметре выходного зрачка 2ρ = 1,5 мм и оптимизированной длине КСВ по оси 8,155 мм волновая аберрация практически не превосходила 0,25λ, что соответствует критерию Рэлея. При увеличении диаметра входного зрачка до 1,6 мм волновые аберрации быстро нарастали. Результаты точного и приближенного (без влияния аберрации высших порядков) расчетов в определении эффективного размера зрачка отличались не более, чем на 0,1 мм, что можно считать вполне удовлетворительным.
Cмещение Δm, с помощью которого рассчитывалась оптимальная длина КСВ по оси, совпало с расчетами длины, полученной по программе SARO. Заметим, что расчет смещения важен при уточнении требований к конструкции световозвращателей в процессе проектирования и изготовления.
ЛИТЕРАТУРА
1. Алексеев В.А., Билибин С.В., Молохина Л.А., Опарин Ю.Я., Рябикова Г.А., Филин С.А. Световозвращающий материал // Патент России № 2075906. 1997.
2. Выгобский Ю.Н., Гурари А.М., Молохина Л.А., Филин С.А. Световозвращающая разметочная линия и способ ее получения (варианты) // Патент России № 2117723. 1998.
3. Кобак В.О. Радиолокационные отражатели. М.: Советское радио, 1975. С. 158.
4. Рожин В.В. Расчет дальности действия охранного устройства “лучевой барьер” с отражателем // Оптический журнал. 2002. Т. 69. № 4. С. 48–50.
5. Коршунов В.А. Анализ оптической схемы трассового газоанализатора с ретрорефлектором // Оптический журнал. 2003. Т. 70. № 6. С. 53–56.
6. Садовников М.А. Точность определения поправки приведения измерений к центру масс цели в высокоточной спутниковой лазерной дальнометрии // Успехи современной радиоэлектроники. 2009. № 8. С. 63–66.
7. Медведков И.А., Потапова Н.И., Цветков А.Д., Шкатов О.Ю. Световозвращающий элемент для моделирования отражательных характеристик светового, в том числе лазерного, излучения // Патент России № 2349940. 2009.
8. Турыгин И.А. Прикладная оптика. М.: Машиностроение, 1966. 431 с.
9. Борн М., Вольф Э. Основы оптики. М.: Наука, 1973. 719 с.
10. Тудоровский А.И. Теория оптических приборов. Л.: АН СССР, 1948. Ч. 1. 661 с.
“Оптический журнал”, 78, 3, 2011
25