Длительность импульса в пространственном чирпе двухрешетчатой линии задержки
УДК 535.421
ДЛИТЕЛЬНОСТЬ ИМПУЛЬСА В ПРОСТРАНСТВЕННОМ ЧИРПЕ ДВУХРЕШЕТЧАТОЙ ЛИНИИ ЗАДЕРЖКИ
© 2011 г. А. В. Гитин, доктор физ.-мат. наук*; А. A. Андреев, доктор физ.-мат. наук*, **
** Институт нелинейной оптики и сверхбыстрой спектроскопии им. Макса Борна, Берлин, ** Германия
** НПК “Государственный оптический институт им. С.И. Вавилова”, Санкт-Петербург
** Е-mail: agitin@mbi-berlin.de
В качестве дисперсионной линии задержки для ультракоротких лазерных импульсов обычно используется система Трейси, состоящая из пары параллельных пропускающих дифракционных решеток. Ограниченный этими решетками слой свободного пространства представляет простейшую изопланарную (инвариантную по отношению к сдвигу в пространстве) оптическую систему. C использованием теории изопланарных оптических систем исследована длительность импульса в области пространственного чирпа системы Трейси.
Ключевые слова: ультракороткие лазерные импульсы, компрессор, фронт импульса нулевой фазы, изопланарная оптическая система, функция распределения Вигнера, пространственный чирп.
Коды OCIS: 050.0050, 070.0070, 140.0140, 320.0320
Поступила в редакцию 29.04.2011
Введение
Оптика ультракоротких световых импульсов – один из наиболее быстро развивающихся разделов лазерной оптики. Чем короче лазерный импульс, тем шире его спектр частот и тем больше на него влияет дисперсия среды, поэтому оптика ультракоротких световых импульсов имеет важный предмет исследования – дисперсионные линии задержки, позволяющие управлять длительностью импульсов [1]. Любая дисперсионная линия задержки – это фильтр временных частот с фазовой передаточной функцией [2].
В настоящее время в качестве дисперсионной линии задержки с отрицательной дисперсией широко используется система Трейси (СТ), состоящая из пары либо отражающих [3, 4], либо пропускающих [1, 5] дифракционных решеток, разделенных плоскопараллельным слоем свободного пространства. Слой свободного пространства – простейший фильтр пространственных частот [6, 7], и поэтому СТ – это фильтр не только временных, но и пространственных частот [8, 9].
Отметим, что в СТ с пропускающими дифракционными решетками световая волна падает по нормали на плоскопараллельный слой
свободного пространства, т. е. это идеальный объект для описания его работы методами фурье-оптики [6, 7]. СТ же с отражающими решетками описать несколько сложнее, поскольку в ней световая волна падает на плоскопараллельный слой свободного пространства под неким углом. В данной работе авторы ограничились описанием СТ с преломляющими дифракционными решетками, но в дальнейшем намерены исследовать и случай СТ с отражающими дифракционными решетками.
Ультракороткий лазерный импульс обладает широким частотным спектром, и поэтому тонкий лазерный пучок, который переносит ультракороткий импульс, можно рассматривать как входной полихроматический световой луч (ПЛin). В этом идеальном случае ПЛin преобразуется СТ в “пространственный чирп” (ПЧ) [10] – одномерный пучок параллельных квазимонохроматических лучей разных длин волн, каждый из которых параллелен исходному полихроматическому лучу. Согласно принципу неопределенности, длительность этих квазимонохроматических волн в ПЧ гораздо больше длительности входного ультракороткого импульса.
Заметим, что в реальном случае при увеличении толщины D лазерного пучка соседние
20 “Оптический журнал”, 78, 10, 2011
квазимонохроматические лучи ПЧ накладываются друг на друга, что расширяет частотный спектр лучей в пространственном чирпе и, следовательно, укорачивает их длительность.
Используя теорию пространственной фильтрации, рассмотрим влияние толщины D лазерного пучка на минимальную длительность и мпульса в ПЧ.
Помимо чисто научного интереса, знание минимальной длительности импульса в ПЧ имеет и практическое значение, поскольку именно она определяет интенсивность излучения падающего на вторую решетку СТ, т. е. исходя из этой интенсивности можно рассчитывать лучевую прочность этой решетки.
1. Система Трейси
Рассмотрим СТ, состоящую из слоя свободного пространства, ограниченного парой одинаковых параллельно расположенных пропускающих дифракционных решеток ДР1 и ДР2 с постоянной d [5] (рис. 1). Если ПЛin падает по нормали в точку F первой дифракционной решетки ДР1, то эта решетка отклонит j-ю монохроматическую компоненту луча с длиной волны λj на угол дифракции θj
sinθj = ± λj/d.
(1)
(В дисперсионных линиях задержки обычно используют первый порядок дифракции.) Таким образом, первая дифракционная решетка ДР1 преобразует ПЛin в одномерный гомоцентрический пучок монохроматических лучей с центром в точке F. Согласно принципу обратимости [5], после дифракции на второй дифрак-
ционной решетке ДР2 этот гомоцентрический
пучок превратится в ПЧ (рис. 1) [8, 9].
Заметим, что смещение монохроматическо-
го светового луча в ПЧ относительно продол-
жения входного луча, т. е. xz – x, однозначно определяется длиной волны λj. Поэтому ось xz, пересекающую ПЧ, можно использовать как
естественную (но не однородную) шкалу длин
волн (рис. 1). Смещение xz – x можно отградуировать, пользуясь формулой дифракционной
решетки (1) в угловых частотах ωj = 2πc/λj
xz - x = Z tanθj = Z tan éêëarcsin(Λc ωj )ùûú = = Z(Λc ωj ) 1-(Λc ωj )2,
(2)
где Z – расстояние между дифракционными решетками, с – скорость света в вакууме, Λ ≡ 2π/d – пространственная частота дифрак ционной решетки.
Если пренебречь толщиной преломляющих дифракционных решеток, то в СТ лазерное излучение распространяется в свободном пространстве. Поэтому временная задержка монохроматической компоненты ультракороткого импульса пропорциональна длине отрезка FМj (рис. 1). Разные компоненты ультракороткого импульса проходят разные отрезки FМj. Проще сравнивать длины отрезков, расположенных параллельно. Поэтому воспользуемся методом развертки [9], суть которого в продолжении каждого из квазимонохроматических лучей ПЧ от точки Mj в обратном направлении до точки Fj, удаленной на то же расстояние от точки Мj, что и точка F: |FjМj| = |FМj|. При изменении длины волны точка Mj движется вдоль второй дифракционной решетки и множество точек Fj формирует кривую, которую можно назвать “фронтом импульса нулевой фазы” [9] или, короче, “0-фронтом”.
Поскольку |FjМj| = Z/cosθj, то соответствующую временную задержку СТ легко рассчитать по формуле [5]
Tj = Z/(ccosθj).
(3)
Таким образом, 0-фронт в системе координат “время задержки T – смещение (xz – x)” (рис. 1) является естественной характеристикой дисперсии СТ.
Рис. 1. Аппаратная функция hz(xz – x) и 0-фронт T(xz – x) СТ в координатной системе “время задержки T – смещение xz – x”. “Оптический журнал”, 78, 10, 2011
2. СТ как фильтр пространственных частот
Отметим, что СТ изопланарна, т. е. инвариантна по отношению к сдвигу (рис. 2): сдвиг
21
Рис. 2. СТ как изопланарная система.
“точечного” входного воздействия на величину ξ вызывает точно такой же сдвиг реакции системы. В СТ “точечная” входная нагрузка – это ПЛin, направленный в точку x первой дифракционной решетки, а реакция системы – возникающие при этом “0-фронт” T(xz – x) и распределение освещенности hz(xz – x) по плоскости второй дифракционной решетки {xz} [8], которую можно назвать аппаратной функцией СТ [11] (рис. 1, 2).
Вычислим аппаратную функцию СТ hz(xz – x). В скалярном приближении (пренебрегая поляризацией) монохроматическую компоненту волнового пучка (пучка параллельных ПЛin) с угловой частотой ω, падающего на СТ, можно описать либо распределением комплексной амплитуды по плоскости первой дифракционной решетки Uin(x; ω), либо соответствующим спектром пространственных частот U~in(p; ω). Оба способа эквивалентны, поскольку связаны между собой прямым и обратным преобразованиями Фурье.
Uin(p; ω)º Fx® p {Uin(x; ω)} º
¥
òº 1 2πi
{Uin(x; ω)}exp{-ipx}dx,
-¥
(4a)
{ }Uin(x; ω)º Fp-®1 x Uin(p; ω) º
º-
1 2πi
¥
ò {Uin
-¥
(p;
ω)}exp{ipx}dp,
где p – пространственная частота.
(4б)
Первая дифракционная решетка ДР1 модулирует падающую волну [6, 7], а модуляционная функция синусоидальной дифракционной решетки равна m(x) = exp{iΛx}. Поэтому, согласно теореме о сдвиге [6, 7], спектр пространственных частот в волновом пучке, прошедшем первую дифракционную решетку ДР1, равен
U ÄÐ1(p; ω)= Uin(p - Λ; ω).
(5)
В современной оптике и радиотехнике для описания преобразований оптических сигналов широко используется теория функции распределения Вигнера (Wigner distribution function, WDF) [2, 12]. WDF волнового пучка (5) легко вычислить по формуле
W ÄÐ1(x, p; ω)º
º FΔ-p1®x îìïïïíï
U
ÄÐ1
æèççç
p
+
Δp 2
;
ωö÷÷÷øU
ÄÐ1
*
çççæè
p
-
Δp 2
;
ωö÷÷ø÷
ïþýïïïü.
(6)
Естественно предположить, что WDF этого волнового пучка факторизуется по независимым переменным x, p и ω, т. е. с учетом равенства (5) WDF волнового пучка примет вид
WÄÐ1(x, p; ω)= M(x)δ(p - Λ)K(ω),
(7)
где M(x)º ò Uin (x; ω)Ui*n (x; ω) dω – распредеR
ление интенсивности лазерного пучка по плоскости первой дифракционной решетки в сечении, K(ω) – частотный спектр ультракороткого импульса.
Между дифракционными решетками расположен плоскопараллельный слой свободного пространства [6, 7], который преобразует входную комплексную амплитуду световой волны за первой дифракционной решеткой UДР1(x, ω) в комплексную амплитуду световой волны UДР2(xz, ω), падающую на вторую дифракционную решетку. В пространственной области это преобразование описывается оператором свертки
òUÄÐ2(xz; ω)= UÄÐ1(x; ω)Hω (xx - x)dx, (8а) R
а в области пространственных частот – произведением спектров этих комплексных амплитуд
U ÄÐ2(p; ω)= U ÄÐ1(p; ω)H ω(p).
(8б)
Здесь
{ }Hω(xz - x)= Fp-®1 (xz-x) H ω (p)
(9а)
– импульсная характеристика и
22 “Оптический журнал”, 78, 10, 2011
{ }H ω(p)= exp iZ k2 - p2 =
{ }= exp iZ (ω c)2 - p2
(9б)
–– частотная передаточная функция слоя свободного пространства толщиной Z, k = ω/c – волновое число.
В представлении WDF (6) фильтр описывается выражением, которое объединяет его пространственное (8а) и частотное (8б) описания [13, 14]
W ÄÐ2(xz, p; ω)=
ò= W ÄÐ1 (x, p; ω)WωH (xz - x, p)dx,
(10)
R
где
WωH(xz - x, p)=
=
FΔ-p1®(xz
-x)
ïíìïîïïH ω
çèæçç
p
+
Δp 2
÷ø÷ö÷
H ω*
ççèæç
p
-
Δp 2
÷÷÷øöïüýïïïþ.
(11)
Поскольку передаточная функция свободного пространства чисто фазовая функция (9б), то последнее выражение примет вид
(WωH(xz- x, p)= δ xz + Z ¶H ω ¶p)=
= δæçççèxz - Zp (ω c)2- p2 ÷ö÷÷ø.
(12)
Заметим, что распределение освещенности по поверхности второй дифракционной решетки E(xz) такое же, как и распределение освещенности по любому поперечному сечению ПЧ на выходе СТ. Его можно вычислить, проинтегрировав формулу (10) по временным и пространственным частотам
E(xz )º òò WÄÐ2(xz, p; ω)dpdω = R2
=òòò WÄÐ1(x, p; ω)WωH(xz- x, p)dxdpdω. R3
(13)
При подстановке выражений (7) и (12) интеграл
(13) примет вид свертки
E(xz )= ò M(x)hz(xz- x)dx, R
(14)
где
hz (xz - x)=
òò=
R2
K(ω)δ( p - Λ)δççèçæçççxz- x - Z
p
(ω/c)2-
p2
ø÷÷÷÷ö÷÷÷dpdω
=
ò= R K(ω)δççççççèçæxz - x - Z
(ω
1
Λc)2
-1
ø÷÷÷÷÷÷ö÷÷dω
(15)
– искомая аппаратная функция СТ. Введем новую безразмерную переменную
v º1/ éêë(ω/Λc)2-1ùúû. В новых переменных выра-
жение (15) примет вид
hz(xz- x)=
ò= KèçççæcΛ R
(1
v)2
+ 1ø÷÷÷öδ(xz -
x
-
Zv)
dω dv
dv
=
(16)
=
1 Z
hæçèçç
xz Z
x öø÷÷÷,
где
hæèççç
xz Z
x
øö÷÷÷
=
K
æèçççcΛ
éëZ (xz - x)ùû2 +1øö÷÷÷ cΛ
îïìïïïíèçæçç
xz Z
x
÷÷øö÷3
èæççç
éëZ (xz - x)ùû2 +1öø÷÷÷üïïþïïý
(17)
– нормированная аппаратная функция СТ, однозначно связанная с частотным спектром исходного ультракороткого импульса K(ω).
Зная аппаратную функцию, можно, например, оптимизировать размеры дифракционных решеток СТ [8]. Но в настоящей работе она используется для исследования влияния толщины D лазерного пучка на длительность импульса в ПЧ.
Предположим, что распределение интенсивности в падающем полихроматическом пучке M(x) равномерно, т. е. его поперечное сечение занимает область (рис. 3а)
(x0 – D/2, x0 + D/2).
(18)
В этом случае, согласно формуле (14), освещенность в произвольной точке xz второй дифракционной решетки вычисляется как
x0 +D/2
E(xz )= ò hz(xz- x)dx. x0 -D/2
(19)
Используя замену переменной xz = x0 + ς и масштабное подобие (16), выражение (19) можно переписать так:
“Оптический журнал”, 78, 10, 2011
23
(а) роткого импульса K(ω), причем угловая частота ω связана с безразмерной переменной v соот-
ношением ω(v) º ñΛ ëéê1+ (1/ v)2 úùû (рис. 4а), по этому выражение (20а) можно переписать так:
cΛ
1+æèççç
1 ν+D/2Z
ö÷ø÷÷÷2
E(x0 + Zv)= ò K(ω)dω.
cΛ 1+çèççæv-D1/2Z ÷÷ø÷÷ö2
(21)
Таким образом, при формировании освещенD ности в точке xz ПЧ СТ работает как полосовой
частотный фильтр.
Если предположить, что спектр импульса входной волны K(ω) равномерен в полосе частот
( )(ω-, ω+ )º ω0 - σωin/2, ω0 + σωin/2 ,
(22)
(б) то полоса частот спектра импульса в ПЧ равна пересечению полос частот СТ (21) и входного импульса (22) (рис. 4б)
Рис. 3. Увеличение диаметра D входного пучка в СТ (а) эквивалентно увеличению полосы пропускания с центром в точке xz (б), вырезающей из аппаратной функции hz(ζ) ту ее часть, которая определяет спектр излучения в точке xz ПЧ.
(xz +D)/2
E(x0 + ς)= ò hz(ς)dς. (xz -D)/2
(20)
Последнее выражение можно графически ин-
терпретировать таким образом, что диаметр
D входного пучка как бы определяет ширину
полосы пропускания с центром в точке xz, вырезающей из аппаратной функции СТ hz(ζ) ту ее часть (рис. 3б), которая участвует в фор-
мировании освещенности в точке xz. Согласно уравнению (17), нормированная
аппаратная функция СТ h(x) однозначно связа-
на с частотным спектром исходного ультрако-
çççççèçæcΛ
1
+
çèççæ
v
+
1 D/2Z
ø÷÷ö÷÷2
,
( )cΛ
1
+
ççèçæ
v
-
1 D/2Z
÷÷÷ø÷ö2
÷÷ø÷÷÷ö÷÷
Ç
ω0 - σωin /2, ω0 + σωin /2
(23) .
Таким образом, ширина спектра излучения в ПЧ равна
σωchirp(v)= minèççççççæcΛ
1
+
çèççæ
v
-
1 D/2Z
÷÷÷ø÷ö2
,
ω0
+
σωin/2ø÷÷÷÷÷÷ö÷
-
- maxççççæçççèçcΛ
1
+
ççççæèç
v
+
1 D
2Z
÷÷÷÷ö÷÷ø2
,
ω0
-
σωin
/2÷÷÷÷÷÷ö÷ø÷÷
.
(24)
Распределение ширины спектра излучения по сечению ПЧ определяют абсциссы точек 1 и 2 (рис. 4б, в)
v1
=
D 2Z
+
1 Ω2+ -1
(25а)
и
v2
=
-
D 2Z
+
1, Ω-2 -1
(25б)
где
Ω+
º
ω0
+ σωin/2 cΛ
=
d λmin
24 “Оптический журнал”, 78, 10, 2011
(а)
и у входного импульса, т. е. постоянна и не з ависит от диаметра входного пучка D.
Если же
v1 < v2 ⇔ D/Z < 1/ (Ω-2 -1) – 1/ (Ω2+ -1),
то максимальная ширина спектра импульса в
интервале [x1, x2 ] ПЧ зависит от диаметра вход-
ного пучка D и достигает своего максимального значения в точке v1 (25а)
maxσcωhirp = cΛççæèçΩ+ - 1+1 [x1 + D/2Z]2 ÷öø÷÷ =
= cΔççæçèçΩ+ - 1+1 éêë1 Ω2+ -1 + D/2Zùúû 2 ö÷÷÷÷÷ø.
(26)
Для оценочных расчетов предположим, что постоянная дифракционной решетки (б) d = 1000 нм, а титан-сапфировый лазер генерирует ультракороткие импульсы длительностью 12 фс на длине волны λ0 = 780 нм, т. е. спектр импульса занимает диапазон длин волн от λmin = 740 нм до λmax = 820 нм. В этом случае Ω+ ≈ 1,35, Ω– ≈ 1,22, и при условии, что D/Z <
ДЛИТЕЛЬНОСТЬ ИМПУЛЬСА В ПРОСТРАНСТВЕННОМ ЧИРПЕ ДВУХРЕШЕТЧАТОЙ ЛИНИИ ЗАДЕРЖКИ
© 2011 г. А. В. Гитин, доктор физ.-мат. наук*; А. A. Андреев, доктор физ.-мат. наук*, **
** Институт нелинейной оптики и сверхбыстрой спектроскопии им. Макса Борна, Берлин, ** Германия
** НПК “Государственный оптический институт им. С.И. Вавилова”, Санкт-Петербург
** Е-mail: agitin@mbi-berlin.de
В качестве дисперсионной линии задержки для ультракоротких лазерных импульсов обычно используется система Трейси, состоящая из пары параллельных пропускающих дифракционных решеток. Ограниченный этими решетками слой свободного пространства представляет простейшую изопланарную (инвариантную по отношению к сдвигу в пространстве) оптическую систему. C использованием теории изопланарных оптических систем исследована длительность импульса в области пространственного чирпа системы Трейси.
Ключевые слова: ультракороткие лазерные импульсы, компрессор, фронт импульса нулевой фазы, изопланарная оптическая система, функция распределения Вигнера, пространственный чирп.
Коды OCIS: 050.0050, 070.0070, 140.0140, 320.0320
Поступила в редакцию 29.04.2011
Введение
Оптика ультракоротких световых импульсов – один из наиболее быстро развивающихся разделов лазерной оптики. Чем короче лазерный импульс, тем шире его спектр частот и тем больше на него влияет дисперсия среды, поэтому оптика ультракоротких световых импульсов имеет важный предмет исследования – дисперсионные линии задержки, позволяющие управлять длительностью импульсов [1]. Любая дисперсионная линия задержки – это фильтр временных частот с фазовой передаточной функцией [2].
В настоящее время в качестве дисперсионной линии задержки с отрицательной дисперсией широко используется система Трейси (СТ), состоящая из пары либо отражающих [3, 4], либо пропускающих [1, 5] дифракционных решеток, разделенных плоскопараллельным слоем свободного пространства. Слой свободного пространства – простейший фильтр пространственных частот [6, 7], и поэтому СТ – это фильтр не только временных, но и пространственных частот [8, 9].
Отметим, что в СТ с пропускающими дифракционными решетками световая волна падает по нормали на плоскопараллельный слой
свободного пространства, т. е. это идеальный объект для описания его работы методами фурье-оптики [6, 7]. СТ же с отражающими решетками описать несколько сложнее, поскольку в ней световая волна падает на плоскопараллельный слой свободного пространства под неким углом. В данной работе авторы ограничились описанием СТ с преломляющими дифракционными решетками, но в дальнейшем намерены исследовать и случай СТ с отражающими дифракционными решетками.
Ультракороткий лазерный импульс обладает широким частотным спектром, и поэтому тонкий лазерный пучок, который переносит ультракороткий импульс, можно рассматривать как входной полихроматический световой луч (ПЛin). В этом идеальном случае ПЛin преобразуется СТ в “пространственный чирп” (ПЧ) [10] – одномерный пучок параллельных квазимонохроматических лучей разных длин волн, каждый из которых параллелен исходному полихроматическому лучу. Согласно принципу неопределенности, длительность этих квазимонохроматических волн в ПЧ гораздо больше длительности входного ультракороткого импульса.
Заметим, что в реальном случае при увеличении толщины D лазерного пучка соседние
20 “Оптический журнал”, 78, 10, 2011
квазимонохроматические лучи ПЧ накладываются друг на друга, что расширяет частотный спектр лучей в пространственном чирпе и, следовательно, укорачивает их длительность.
Используя теорию пространственной фильтрации, рассмотрим влияние толщины D лазерного пучка на минимальную длительность и мпульса в ПЧ.
Помимо чисто научного интереса, знание минимальной длительности импульса в ПЧ имеет и практическое значение, поскольку именно она определяет интенсивность излучения падающего на вторую решетку СТ, т. е. исходя из этой интенсивности можно рассчитывать лучевую прочность этой решетки.
1. Система Трейси
Рассмотрим СТ, состоящую из слоя свободного пространства, ограниченного парой одинаковых параллельно расположенных пропускающих дифракционных решеток ДР1 и ДР2 с постоянной d [5] (рис. 1). Если ПЛin падает по нормали в точку F первой дифракционной решетки ДР1, то эта решетка отклонит j-ю монохроматическую компоненту луча с длиной волны λj на угол дифракции θj
sinθj = ± λj/d.
(1)
(В дисперсионных линиях задержки обычно используют первый порядок дифракции.) Таким образом, первая дифракционная решетка ДР1 преобразует ПЛin в одномерный гомоцентрический пучок монохроматических лучей с центром в точке F. Согласно принципу обратимости [5], после дифракции на второй дифрак-
ционной решетке ДР2 этот гомоцентрический
пучок превратится в ПЧ (рис. 1) [8, 9].
Заметим, что смещение монохроматическо-
го светового луча в ПЧ относительно продол-
жения входного луча, т. е. xz – x, однозначно определяется длиной волны λj. Поэтому ось xz, пересекающую ПЧ, можно использовать как
естественную (но не однородную) шкалу длин
волн (рис. 1). Смещение xz – x можно отградуировать, пользуясь формулой дифракционной
решетки (1) в угловых частотах ωj = 2πc/λj
xz - x = Z tanθj = Z tan éêëarcsin(Λc ωj )ùûú = = Z(Λc ωj ) 1-(Λc ωj )2,
(2)
где Z – расстояние между дифракционными решетками, с – скорость света в вакууме, Λ ≡ 2π/d – пространственная частота дифрак ционной решетки.
Если пренебречь толщиной преломляющих дифракционных решеток, то в СТ лазерное излучение распространяется в свободном пространстве. Поэтому временная задержка монохроматической компоненты ультракороткого импульса пропорциональна длине отрезка FМj (рис. 1). Разные компоненты ультракороткого импульса проходят разные отрезки FМj. Проще сравнивать длины отрезков, расположенных параллельно. Поэтому воспользуемся методом развертки [9], суть которого в продолжении каждого из квазимонохроматических лучей ПЧ от точки Mj в обратном направлении до точки Fj, удаленной на то же расстояние от точки Мj, что и точка F: |FjМj| = |FМj|. При изменении длины волны точка Mj движется вдоль второй дифракционной решетки и множество точек Fj формирует кривую, которую можно назвать “фронтом импульса нулевой фазы” [9] или, короче, “0-фронтом”.
Поскольку |FjМj| = Z/cosθj, то соответствующую временную задержку СТ легко рассчитать по формуле [5]
Tj = Z/(ccosθj).
(3)
Таким образом, 0-фронт в системе координат “время задержки T – смещение (xz – x)” (рис. 1) является естественной характеристикой дисперсии СТ.
Рис. 1. Аппаратная функция hz(xz – x) и 0-фронт T(xz – x) СТ в координатной системе “время задержки T – смещение xz – x”. “Оптический журнал”, 78, 10, 2011
2. СТ как фильтр пространственных частот
Отметим, что СТ изопланарна, т. е. инвариантна по отношению к сдвигу (рис. 2): сдвиг
21
Рис. 2. СТ как изопланарная система.
“точечного” входного воздействия на величину ξ вызывает точно такой же сдвиг реакции системы. В СТ “точечная” входная нагрузка – это ПЛin, направленный в точку x первой дифракционной решетки, а реакция системы – возникающие при этом “0-фронт” T(xz – x) и распределение освещенности hz(xz – x) по плоскости второй дифракционной решетки {xz} [8], которую можно назвать аппаратной функцией СТ [11] (рис. 1, 2).
Вычислим аппаратную функцию СТ hz(xz – x). В скалярном приближении (пренебрегая поляризацией) монохроматическую компоненту волнового пучка (пучка параллельных ПЛin) с угловой частотой ω, падающего на СТ, можно описать либо распределением комплексной амплитуды по плоскости первой дифракционной решетки Uin(x; ω), либо соответствующим спектром пространственных частот U~in(p; ω). Оба способа эквивалентны, поскольку связаны между собой прямым и обратным преобразованиями Фурье.
Uin(p; ω)º Fx® p {Uin(x; ω)} º
¥
òº 1 2πi
{Uin(x; ω)}exp{-ipx}dx,
-¥
(4a)
{ }Uin(x; ω)º Fp-®1 x Uin(p; ω) º
º-
1 2πi
¥
ò {Uin
-¥
(p;
ω)}exp{ipx}dp,
где p – пространственная частота.
(4б)
Первая дифракционная решетка ДР1 модулирует падающую волну [6, 7], а модуляционная функция синусоидальной дифракционной решетки равна m(x) = exp{iΛx}. Поэтому, согласно теореме о сдвиге [6, 7], спектр пространственных частот в волновом пучке, прошедшем первую дифракционную решетку ДР1, равен
U ÄÐ1(p; ω)= Uin(p - Λ; ω).
(5)
В современной оптике и радиотехнике для описания преобразований оптических сигналов широко используется теория функции распределения Вигнера (Wigner distribution function, WDF) [2, 12]. WDF волнового пучка (5) легко вычислить по формуле
W ÄÐ1(x, p; ω)º
º FΔ-p1®x îìïïïíï
U
ÄÐ1
æèççç
p
+
Δp 2
;
ωö÷÷÷øU
ÄÐ1
*
çççæè
p
-
Δp 2
;
ωö÷÷ø÷
ïþýïïïü.
(6)
Естественно предположить, что WDF этого волнового пучка факторизуется по независимым переменным x, p и ω, т. е. с учетом равенства (5) WDF волнового пучка примет вид
WÄÐ1(x, p; ω)= M(x)δ(p - Λ)K(ω),
(7)
где M(x)º ò Uin (x; ω)Ui*n (x; ω) dω – распредеR
ление интенсивности лазерного пучка по плоскости первой дифракционной решетки в сечении, K(ω) – частотный спектр ультракороткого импульса.
Между дифракционными решетками расположен плоскопараллельный слой свободного пространства [6, 7], который преобразует входную комплексную амплитуду световой волны за первой дифракционной решеткой UДР1(x, ω) в комплексную амплитуду световой волны UДР2(xz, ω), падающую на вторую дифракционную решетку. В пространственной области это преобразование описывается оператором свертки
òUÄÐ2(xz; ω)= UÄÐ1(x; ω)Hω (xx - x)dx, (8а) R
а в области пространственных частот – произведением спектров этих комплексных амплитуд
U ÄÐ2(p; ω)= U ÄÐ1(p; ω)H ω(p).
(8б)
Здесь
{ }Hω(xz - x)= Fp-®1 (xz-x) H ω (p)
(9а)
– импульсная характеристика и
22 “Оптический журнал”, 78, 10, 2011
{ }H ω(p)= exp iZ k2 - p2 =
{ }= exp iZ (ω c)2 - p2
(9б)
–– частотная передаточная функция слоя свободного пространства толщиной Z, k = ω/c – волновое число.
В представлении WDF (6) фильтр описывается выражением, которое объединяет его пространственное (8а) и частотное (8б) описания [13, 14]
W ÄÐ2(xz, p; ω)=
ò= W ÄÐ1 (x, p; ω)WωH (xz - x, p)dx,
(10)
R
где
WωH(xz - x, p)=
=
FΔ-p1®(xz
-x)
ïíìïîïïH ω
çèæçç
p
+
Δp 2
÷ø÷ö÷
H ω*
ççèæç
p
-
Δp 2
÷÷÷øöïüýïïïþ.
(11)
Поскольку передаточная функция свободного пространства чисто фазовая функция (9б), то последнее выражение примет вид
(WωH(xz- x, p)= δ xz + Z ¶H ω ¶p)=
= δæçççèxz - Zp (ω c)2- p2 ÷ö÷÷ø.
(12)
Заметим, что распределение освещенности по поверхности второй дифракционной решетки E(xz) такое же, как и распределение освещенности по любому поперечному сечению ПЧ на выходе СТ. Его можно вычислить, проинтегрировав формулу (10) по временным и пространственным частотам
E(xz )º òò WÄÐ2(xz, p; ω)dpdω = R2
=òòò WÄÐ1(x, p; ω)WωH(xz- x, p)dxdpdω. R3
(13)
При подстановке выражений (7) и (12) интеграл
(13) примет вид свертки
E(xz )= ò M(x)hz(xz- x)dx, R
(14)
где
hz (xz - x)=
òò=
R2
K(ω)δ( p - Λ)δççèçæçççxz- x - Z
p
(ω/c)2-
p2
ø÷÷÷÷ö÷÷÷dpdω
=
ò= R K(ω)δççççççèçæxz - x - Z
(ω
1
Λc)2
-1
ø÷÷÷÷÷÷ö÷÷dω
(15)
– искомая аппаратная функция СТ. Введем новую безразмерную переменную
v º1/ éêë(ω/Λc)2-1ùúû. В новых переменных выра-
жение (15) примет вид
hz(xz- x)=
ò= KèçççæcΛ R
(1
v)2
+ 1ø÷÷÷öδ(xz -
x
-
Zv)
dω dv
dv
=
(16)
=
1 Z
hæçèçç
xz Z
x öø÷÷÷,
где
hæèççç
xz Z
x
øö÷÷÷
=
K
æèçççcΛ
éëZ (xz - x)ùû2 +1øö÷÷÷ cΛ
îïìïïïíèçæçç
xz Z
x
÷÷øö÷3
èæççç
éëZ (xz - x)ùû2 +1öø÷÷÷üïïþïïý
(17)
– нормированная аппаратная функция СТ, однозначно связанная с частотным спектром исходного ультракороткого импульса K(ω).
Зная аппаратную функцию, можно, например, оптимизировать размеры дифракционных решеток СТ [8]. Но в настоящей работе она используется для исследования влияния толщины D лазерного пучка на длительность импульса в ПЧ.
Предположим, что распределение интенсивности в падающем полихроматическом пучке M(x) равномерно, т. е. его поперечное сечение занимает область (рис. 3а)
(x0 – D/2, x0 + D/2).
(18)
В этом случае, согласно формуле (14), освещенность в произвольной точке xz второй дифракционной решетки вычисляется как
x0 +D/2
E(xz )= ò hz(xz- x)dx. x0 -D/2
(19)
Используя замену переменной xz = x0 + ς и масштабное подобие (16), выражение (19) можно переписать так:
“Оптический журнал”, 78, 10, 2011
23
(а) роткого импульса K(ω), причем угловая частота ω связана с безразмерной переменной v соот-
ношением ω(v) º ñΛ ëéê1+ (1/ v)2 úùû (рис. 4а), по этому выражение (20а) можно переписать так:
cΛ
1+æèççç
1 ν+D/2Z
ö÷ø÷÷÷2
E(x0 + Zv)= ò K(ω)dω.
cΛ 1+çèççæv-D1/2Z ÷÷ø÷÷ö2
(21)
Таким образом, при формировании освещенD ности в точке xz ПЧ СТ работает как полосовой
частотный фильтр.
Если предположить, что спектр импульса входной волны K(ω) равномерен в полосе частот
( )(ω-, ω+ )º ω0 - σωin/2, ω0 + σωin/2 ,
(22)
(б) то полоса частот спектра импульса в ПЧ равна пересечению полос частот СТ (21) и входного импульса (22) (рис. 4б)
Рис. 3. Увеличение диаметра D входного пучка в СТ (а) эквивалентно увеличению полосы пропускания с центром в точке xz (б), вырезающей из аппаратной функции hz(ζ) ту ее часть, которая определяет спектр излучения в точке xz ПЧ.
(xz +D)/2
E(x0 + ς)= ò hz(ς)dς. (xz -D)/2
(20)
Последнее выражение можно графически ин-
терпретировать таким образом, что диаметр
D входного пучка как бы определяет ширину
полосы пропускания с центром в точке xz, вырезающей из аппаратной функции СТ hz(ζ) ту ее часть (рис. 3б), которая участвует в фор-
мировании освещенности в точке xz. Согласно уравнению (17), нормированная
аппаратная функция СТ h(x) однозначно связа-
на с частотным спектром исходного ультрако-
çççççèçæcΛ
1
+
çèççæ
v
+
1 D/2Z
ø÷÷ö÷÷2
,
( )cΛ
1
+
ççèçæ
v
-
1 D/2Z
÷÷÷ø÷ö2
÷÷ø÷÷÷ö÷÷
Ç
ω0 - σωin /2, ω0 + σωin /2
(23) .
Таким образом, ширина спектра излучения в ПЧ равна
σωchirp(v)= minèççççççæcΛ
1
+
çèççæ
v
-
1 D/2Z
÷÷÷ø÷ö2
,
ω0
+
σωin/2ø÷÷÷÷÷÷ö÷
-
- maxççççæçççèçcΛ
1
+
ççççæèç
v
+
1 D
2Z
÷÷÷÷ö÷÷ø2
,
ω0
-
σωin
/2÷÷÷÷÷÷ö÷ø÷÷
.
(24)
Распределение ширины спектра излучения по сечению ПЧ определяют абсциссы точек 1 и 2 (рис. 4б, в)
v1
=
D 2Z
+
1 Ω2+ -1
(25а)
и
v2
=
-
D 2Z
+
1, Ω-2 -1
(25б)
где
Ω+
º
ω0
+ σωin/2 cΛ
=
d λmin
24 “Оптический журнал”, 78, 10, 2011
(а)
и у входного импульса, т. е. постоянна и не з ависит от диаметра входного пучка D.
Если же
v1 < v2 ⇔ D/Z < 1/ (Ω-2 -1) – 1/ (Ω2+ -1),
то максимальная ширина спектра импульса в
интервале [x1, x2 ] ПЧ зависит от диаметра вход-
ного пучка D и достигает своего максимального значения в точке v1 (25а)
maxσcωhirp = cΛççæèçΩ+ - 1+1 [x1 + D/2Z]2 ÷öø÷÷ =
= cΔççæçèçΩ+ - 1+1 éêë1 Ω2+ -1 + D/2Zùúû 2 ö÷÷÷÷÷ø.
(26)
Для оценочных расчетов предположим, что постоянная дифракционной решетки (б) d = 1000 нм, а титан-сапфировый лазер генерирует ультракороткие импульсы длительностью 12 фс на длине волны λ0 = 780 нм, т. е. спектр импульса занимает диапазон длин волн от λmin = 740 нм до λmax = 820 нм. В этом случае Ω+ ≈ 1,35, Ω– ≈ 1,22, и при условии, что D/Z <