Брэгговское отражение света от двумерных фотонных кристаллов на основе кремния в условиях многоволновой дифракции
ПИСЬМА В РЕДАКЦИЮ
УДК 538.958
БРЭГГОВСКОЕ ОТРАЖЕНИЕ СВЕТА ОТ ДВУМЕРНЫХ ФОТОННЫХ КРИСТАЛЛОВ НА ОСНОВЕ КРЕМНИЯ В УСЛОВИЯХ МНОГОВОЛНОВОЙ ДИФРАКЦИИ
© 2012 г.
В. Г. Федотов*; А. В. Селькин*,**, доктор физ.-мат. наук ** Санкт-Петербургский государственный университет, Санкт-Петербург ** Физико-технический институт им. А.Ф. Иоффе РАН, Санкт-Петербург ** E-mail: vladimir.fedotov@gmail.com
В рамках подхода, основанного на динамической теории дифракции, исследованы механизмы формирования спектров брэгговского отражения света от двумерных фотонных кристаллов. Выполнены расчеты спектров для структуры с гексагональной решеткой на основе кремния. Рассчитанные контуры отражения сопоставлены с энергетическими спектрами собственных мод пространственно ограниченного фотонного кристалла. Впервые продемонстрирована возможность наблюдения эффектов многоволновой дифракции в оптических спектрах двумерных фотоннокристаллических структур.
Ключевые слова: фотонные кристаллы, брэгговское отражение, многоволновая дифракция.
Коды OCIS: 050.5298, 230.5298, 050.1960, 260.1960, 050.1755
Поступила в редакцию 04.05.2012
В последние два десятилетия повышенный интерес исследователей привлекает новый класс материалов, известных как фотонные кристаллы (ФК). Под ФК подразумевают пространственно периодические твердотельные структуры, диэлектрическая проницаемость которых меняется с периодом, сравнимым с длиной волны света [1, 2]. Среди ярких явлений, связанных с ФК, выделяется многоволновая брэгговская дифракция (МБД) [3], возникающая в условиях, когда резонансная дифракция света происходит одновременно на двух или более системах пересекающихся кристаллических плоскостей.
В настоящей работе нами исследованы спектры брэгговского отражения света от двумерных ФК с гексагональной решеткой цилиндрических пустот в массиве кремния. Развит аналитический метод, основанный на динамической теории многоволновой дифракции и позволяющий детально изучать механизмы формирования спектров. Предложенный метод базируется на подходе, разработанном нами ранее для расчета спектров брэгговского отражения света от опалоподобных ФК [4, 5], и использован для анализа двумерных ФК-структур. С учетом эффектов, связанных с наличием границ раздела, выполнены расче-
ты оптических спектров и проведено их сопоставление с энергетическими спектрами собственных электромагнитных мод ФК.
Перспективы практического использования ФК-структур на основе кремния [6] связаны, прежде всего, с их использованием в оптоэлектронике в качестве устройств управления распространением света в спектральном диапазоне Telecom Standard (1,5 мкм). Сильная модификация энергетических спектров собственных мод электромагнитного поля в условиях МБД приводит к новым эффектам в спектрах брэгговского отражения света, что, в свою очередь, открывает новые возможности для эффективного управления светом в устройствах нанофотоники.
В качестве модельного объекта исследования рассматривается полубесконечная ФКструктура, образованная массивом кремния, в котором на расстоянии a друг от друга расположены цилиндрические поры с радиусом R, образующие гексагональную решетку (рис. 1а). При этом плоскость падения света перпендикулярна направлению [0001] гексагональной решетки, что позволяет рассматривать структуру в качестве чисто двумерной. Расчеты выполнены для s-поляризованного света в геометрии, в которой граница раздела перпенди-
112 “Оптический журнал”, 79, 8, 2012
кулярна кристаллографическому направлению типа [1010] .
В длинноволновой области спектра существенный вклад в энергетический спектр собственных мод и, как следствие, в спектр отражения вносит лишь ограниченное число мод. К их числу относятся собственные моды, связанные с полем прошедшей волны, полем, порожденным дифракцией на системе лате-
ральных плоскостей (параллельных поверхности раздела) и полем, генерируемым дифракцией на системе наклонных (по отношению к поверхности) кристаллических плоскостей. В таком приближении в разложении напряженности электрического поля внутри ФК по векторам обратной решетки сохраняются только члены, содержащие векторы G0 = 0, G – М, и G – М
å( )E(r) =
AKeiK⋅r + AK-G-M ei(K-G-M )⋅r + AK-G-M¢ ei(K-G-M¢ )⋅r ,
K
(1)
где K – волновые векторы блоховских мод, G – М и G – М – минимальные по длине векторы обратной решетки в направлениях – M и – M первой зоны Бриллюэна (рис. 1б), A – координатно-независимые амплитуды плоских волн.
Значения коэффициентов модуляции диэлектрической проницаемости (фурье-коэффициентов в разложении диэлектрической функции по векторам G) определяются путем обратного фурье-преобразования диэлектрической функции, где интегрирование проводится по объему ячейки Вигнера–Зейтца прямой решетки. Для рассматриваемой двумерной структуры такие коэффициенты не могут быть выражены в явном виде через элементарные функции и выражаются через функции Бесселя первого рода
(а)
Ra
(б)
M
MK Рис. 1. Геометрия двумерной фотоннокристаллической структуры – (а). R – радиус цилиндрических пор в структуре, a – расстояние между ближайшими порами. Первая зона Бриллюэна гексагональной решетки – (б).
G = (Si - pore )2f0J1(GR)/(GR),
(2)
где Si – диэлектрическая проницаемость кремния, pore – диэлектрическая проницаемость материала пор, f0 – коэффициент заполнения ФК кремнием, G = 4 3a – длина вектора обратной решетки (отметим, что G – М = G – М). Численные расчеты выполнялись с учетом частотной дисперсии диэлектрической проницаемости кремния (Si = Si()) [7]. Предполагалось, что поры структуры не заполнены каким-либо материалом (pore = 1). Расстояние между центрами пор a = 600 нм, радиус пор R = 285 нм.
Рассчитанные спектры брэгговского отражения от полубесконечного двумерного ФК с гексагональной решеткой представлены на рис. 2 сплошными кривыми (левая колонка) для трех углов падения = 40 (а), = 60 (б) и = 80 (в). Эти спектры сопоставляются с дисперсионными кривыми собственных мод (правая колонка – (а), (б), (в)), построенными для тех же значений углов . По вертикальной оси на рис. 2 отложено безразмерное отношение a/, где – длина волны света в вакууме. Вдоль горизонтальной оси правой колонки на рис. 2 отложено безразмерное отношение ReKZ/G, где ReKZ – проекция вещественной части волнового вектора моды на нормаль к поверхности.
Спектры отражения демонстрируют дублетную структуру, обусловленную многоволновым характером дифракции. Как и в случае опалоподобных ФК [4, 5], такая структура формируется за счет провала, который с увеличением угла смещается в длинноволновую область спектра, в то время как основная полоса брэгговского отражения сдвигается в область коротких длин волн. Из сопоставления спектров отражения (рис. 2а, б, в) с соответствующими дисперсионными кривыми собственных мод
“Оптический журнал”, 79, 8, 2012
113
a/
(а)
0,575 (а)
= 40
0,475
0,375
0,275
(б)
0,575 (б)
= 60
0,475
0,375
0,275
(в)
0,575 (в)
= 80
0,475
0,375
0,275
1,0 0,5 0,0 Отражение
0,00
0,50 ReKZ/G
1,00
Рис. 2. Рассчитанные спектры брэгговского отражения (а), (б), (в) и соответствующие дисперсионные кривые (а), (б), (в) для собственных электромагнитных мод полубесконечного двумерного фотонного кристалла с гексагональной решеткой при трех углах падения . Сплошные кривые описывают случай одновременной дифракции на двух системах кристаллических плоскостей: латеральных (параллельных поверхности) и наклонных по отношению к ним. Штриховые кривые соответствуют дифракции только на системе латеральных плоскостей. a – расстояние между ближайшими цилиндрическими порами в структуре, – длина волны света в вакууме, ReKZ – проекция вещественной части волнового вектора моды на нормаль к поверхности, G – минимальная длина вектора обратной решетки в направлении –M первой зоны Бриллюэна.
(рис. 2а, б, в) видно, что провал в контуре отражения возникает, когда возбуждаются дополнительные собственные моды, связанные с дифракцией электромагнитного поля на наклонных кристаллических плоскостях. В том случае, когда учитывается дифракция только на системе латеральных кристаллических плоскостей, дублетная структура не наблюдается, а контур отражения в пределах фотонной стопзоны представляет собой 100% плато (рис. 2, штриховые кривые).
Несмотря на общее качественное сходство обсуждаемой ситуации с той, которая имеет место в случае трехмерных опалоподобных ФК-структур (обладающих кубической гранецентрированной решеткой), энергетический спектр собственных мод двумерной структуры имеет свои специфические черты. Это связано как с различием в симметрии сравниваемых структур, так и с тем, что интересующий нас двумерный ФК на основе кремния обладает довольно высоким значением средней диэлектрической проницаемости 0 = Sif0 + pore (1- f0 ) и характеризуется очень сильным диэлектрическим контрастом. В частности, большое значение 0 приводит к тому, что угловые зависимости спектральных положений особенностей оказываются слабыми, а резонансная МБД наблюдается в существенно более широком диапазоне углов падения света.
Необходимо отметить, что существует максимальное значение 0, ограничивающее возможность наблюдения эффектов резонансной МБД света. Как следствие, для наблюдения таких эффектов в оптических спектрах ФКструктур на основе кремния, обладающего высоким значением диэлектрической проницаемости, диаметр пор должен быть близок к расстоянию между ними (2R/a 1). Тем самым можно уменьшить коэффициент заполнения f0 структуры кремнием и, следовательно, значение средней диэлектрической проницаемости.
Работа выполнена при поддержке Программы развития Санкт-Петербургского государственного университета (НИР 11.37.23.2011).
*****
ЛИТЕРАТУРА
1. Joannopoulos J.D., Johnson S.G., Winn J.N., Meade R.D. Photonic crystals: molding the flow of light. Princeton: Princeton University Press, 2008. 286 р.
2. Sakoda K. Optical properties of photonic crystals. Berlin–Heidelberg–N.Y.: Springer, 2005. 253 р.
114 “Оптический журнал”, 79, 8, 2012
3. Van Driel H.M., Vos W.L. Multiple Bragg wave coupling in photonic band-gap crystals // Physical Review B. 2000. V. 62. № 15. P. 9872–9875.
4. Sel’kin A.V. Structural characterization of photonic crystals by Bragg reflection spectroscopy // Proc. of 12th Int. Symp. “Nanostructures: Physics and Technology”. St. Petersburg, 2004. P. 111–112.
5. Fedotov V.G., Sel’kin A.V., Ukleev T.A., Men’shikova A.Yu., Shevchenko N.N. Resonant multiple diffraction of light in 3D opal-like photonic crystals // Physica Status Solidi B. 2011. V. 248. № 9. P. 2175-2179.
6. Жарова А.Ю., Федулова Г.В., Астрова Е.В., Балдычева А.В., Толмачев В.А., Перова Т.С. Технология получения гетеропереходов в решетке двумерного фотонного кристалла на основе макропористого кремния // Физика и техника полупроводников. 2011. Т. 45. № 8. С. 1136-1143.
7. Hull R. Properties of Crystalline Silicon. London: The Institution of Electrical Engineers. 1999. 1016 р.
“Оптический журнал”, 79, 8, 2012
115
УДК 538.958
БРЭГГОВСКОЕ ОТРАЖЕНИЕ СВЕТА ОТ ДВУМЕРНЫХ ФОТОННЫХ КРИСТАЛЛОВ НА ОСНОВЕ КРЕМНИЯ В УСЛОВИЯХ МНОГОВОЛНОВОЙ ДИФРАКЦИИ
© 2012 г.
В. Г. Федотов*; А. В. Селькин*,**, доктор физ.-мат. наук ** Санкт-Петербургский государственный университет, Санкт-Петербург ** Физико-технический институт им. А.Ф. Иоффе РАН, Санкт-Петербург ** E-mail: vladimir.fedotov@gmail.com
В рамках подхода, основанного на динамической теории дифракции, исследованы механизмы формирования спектров брэгговского отражения света от двумерных фотонных кристаллов. Выполнены расчеты спектров для структуры с гексагональной решеткой на основе кремния. Рассчитанные контуры отражения сопоставлены с энергетическими спектрами собственных мод пространственно ограниченного фотонного кристалла. Впервые продемонстрирована возможность наблюдения эффектов многоволновой дифракции в оптических спектрах двумерных фотоннокристаллических структур.
Ключевые слова: фотонные кристаллы, брэгговское отражение, многоволновая дифракция.
Коды OCIS: 050.5298, 230.5298, 050.1960, 260.1960, 050.1755
Поступила в редакцию 04.05.2012
В последние два десятилетия повышенный интерес исследователей привлекает новый класс материалов, известных как фотонные кристаллы (ФК). Под ФК подразумевают пространственно периодические твердотельные структуры, диэлектрическая проницаемость которых меняется с периодом, сравнимым с длиной волны света [1, 2]. Среди ярких явлений, связанных с ФК, выделяется многоволновая брэгговская дифракция (МБД) [3], возникающая в условиях, когда резонансная дифракция света происходит одновременно на двух или более системах пересекающихся кристаллических плоскостей.
В настоящей работе нами исследованы спектры брэгговского отражения света от двумерных ФК с гексагональной решеткой цилиндрических пустот в массиве кремния. Развит аналитический метод, основанный на динамической теории многоволновой дифракции и позволяющий детально изучать механизмы формирования спектров. Предложенный метод базируется на подходе, разработанном нами ранее для расчета спектров брэгговского отражения света от опалоподобных ФК [4, 5], и использован для анализа двумерных ФК-структур. С учетом эффектов, связанных с наличием границ раздела, выполнены расче-
ты оптических спектров и проведено их сопоставление с энергетическими спектрами собственных электромагнитных мод ФК.
Перспективы практического использования ФК-структур на основе кремния [6] связаны, прежде всего, с их использованием в оптоэлектронике в качестве устройств управления распространением света в спектральном диапазоне Telecom Standard (1,5 мкм). Сильная модификация энергетических спектров собственных мод электромагнитного поля в условиях МБД приводит к новым эффектам в спектрах брэгговского отражения света, что, в свою очередь, открывает новые возможности для эффективного управления светом в устройствах нанофотоники.
В качестве модельного объекта исследования рассматривается полубесконечная ФКструктура, образованная массивом кремния, в котором на расстоянии a друг от друга расположены цилиндрические поры с радиусом R, образующие гексагональную решетку (рис. 1а). При этом плоскость падения света перпендикулярна направлению [0001] гексагональной решетки, что позволяет рассматривать структуру в качестве чисто двумерной. Расчеты выполнены для s-поляризованного света в геометрии, в которой граница раздела перпенди-
112 “Оптический журнал”, 79, 8, 2012
кулярна кристаллографическому направлению типа [1010] .
В длинноволновой области спектра существенный вклад в энергетический спектр собственных мод и, как следствие, в спектр отражения вносит лишь ограниченное число мод. К их числу относятся собственные моды, связанные с полем прошедшей волны, полем, порожденным дифракцией на системе лате-
ральных плоскостей (параллельных поверхности раздела) и полем, генерируемым дифракцией на системе наклонных (по отношению к поверхности) кристаллических плоскостей. В таком приближении в разложении напряженности электрического поля внутри ФК по векторам обратной решетки сохраняются только члены, содержащие векторы G0 = 0, G – М, и G – М
å( )E(r) =
AKeiK⋅r + AK-G-M ei(K-G-M )⋅r + AK-G-M¢ ei(K-G-M¢ )⋅r ,
K
(1)
где K – волновые векторы блоховских мод, G – М и G – М – минимальные по длине векторы обратной решетки в направлениях – M и – M первой зоны Бриллюэна (рис. 1б), A – координатно-независимые амплитуды плоских волн.
Значения коэффициентов модуляции диэлектрической проницаемости (фурье-коэффициентов в разложении диэлектрической функции по векторам G) определяются путем обратного фурье-преобразования диэлектрической функции, где интегрирование проводится по объему ячейки Вигнера–Зейтца прямой решетки. Для рассматриваемой двумерной структуры такие коэффициенты не могут быть выражены в явном виде через элементарные функции и выражаются через функции Бесселя первого рода
(а)
Ra
(б)
M
MK Рис. 1. Геометрия двумерной фотоннокристаллической структуры – (а). R – радиус цилиндрических пор в структуре, a – расстояние между ближайшими порами. Первая зона Бриллюэна гексагональной решетки – (б).
G = (Si - pore )2f0J1(GR)/(GR),
(2)
где Si – диэлектрическая проницаемость кремния, pore – диэлектрическая проницаемость материала пор, f0 – коэффициент заполнения ФК кремнием, G = 4 3a – длина вектора обратной решетки (отметим, что G – М = G – М). Численные расчеты выполнялись с учетом частотной дисперсии диэлектрической проницаемости кремния (Si = Si()) [7]. Предполагалось, что поры структуры не заполнены каким-либо материалом (pore = 1). Расстояние между центрами пор a = 600 нм, радиус пор R = 285 нм.
Рассчитанные спектры брэгговского отражения от полубесконечного двумерного ФК с гексагональной решеткой представлены на рис. 2 сплошными кривыми (левая колонка) для трех углов падения = 40 (а), = 60 (б) и = 80 (в). Эти спектры сопоставляются с дисперсионными кривыми собственных мод (правая колонка – (а), (б), (в)), построенными для тех же значений углов . По вертикальной оси на рис. 2 отложено безразмерное отношение a/, где – длина волны света в вакууме. Вдоль горизонтальной оси правой колонки на рис. 2 отложено безразмерное отношение ReKZ/G, где ReKZ – проекция вещественной части волнового вектора моды на нормаль к поверхности.
Спектры отражения демонстрируют дублетную структуру, обусловленную многоволновым характером дифракции. Как и в случае опалоподобных ФК [4, 5], такая структура формируется за счет провала, который с увеличением угла смещается в длинноволновую область спектра, в то время как основная полоса брэгговского отражения сдвигается в область коротких длин волн. Из сопоставления спектров отражения (рис. 2а, б, в) с соответствующими дисперсионными кривыми собственных мод
“Оптический журнал”, 79, 8, 2012
113
a/
(а)
0,575 (а)
= 40
0,475
0,375
0,275
(б)
0,575 (б)
= 60
0,475
0,375
0,275
(в)
0,575 (в)
= 80
0,475
0,375
0,275
1,0 0,5 0,0 Отражение
0,00
0,50 ReKZ/G
1,00
Рис. 2. Рассчитанные спектры брэгговского отражения (а), (б), (в) и соответствующие дисперсионные кривые (а), (б), (в) для собственных электромагнитных мод полубесконечного двумерного фотонного кристалла с гексагональной решеткой при трех углах падения . Сплошные кривые описывают случай одновременной дифракции на двух системах кристаллических плоскостей: латеральных (параллельных поверхности) и наклонных по отношению к ним. Штриховые кривые соответствуют дифракции только на системе латеральных плоскостей. a – расстояние между ближайшими цилиндрическими порами в структуре, – длина волны света в вакууме, ReKZ – проекция вещественной части волнового вектора моды на нормаль к поверхности, G – минимальная длина вектора обратной решетки в направлении –M первой зоны Бриллюэна.
(рис. 2а, б, в) видно, что провал в контуре отражения возникает, когда возбуждаются дополнительные собственные моды, связанные с дифракцией электромагнитного поля на наклонных кристаллических плоскостях. В том случае, когда учитывается дифракция только на системе латеральных кристаллических плоскостей, дублетная структура не наблюдается, а контур отражения в пределах фотонной стопзоны представляет собой 100% плато (рис. 2, штриховые кривые).
Несмотря на общее качественное сходство обсуждаемой ситуации с той, которая имеет место в случае трехмерных опалоподобных ФК-структур (обладающих кубической гранецентрированной решеткой), энергетический спектр собственных мод двумерной структуры имеет свои специфические черты. Это связано как с различием в симметрии сравниваемых структур, так и с тем, что интересующий нас двумерный ФК на основе кремния обладает довольно высоким значением средней диэлектрической проницаемости 0 = Sif0 + pore (1- f0 ) и характеризуется очень сильным диэлектрическим контрастом. В частности, большое значение 0 приводит к тому, что угловые зависимости спектральных положений особенностей оказываются слабыми, а резонансная МБД наблюдается в существенно более широком диапазоне углов падения света.
Необходимо отметить, что существует максимальное значение 0, ограничивающее возможность наблюдения эффектов резонансной МБД света. Как следствие, для наблюдения таких эффектов в оптических спектрах ФКструктур на основе кремния, обладающего высоким значением диэлектрической проницаемости, диаметр пор должен быть близок к расстоянию между ними (2R/a 1). Тем самым можно уменьшить коэффициент заполнения f0 структуры кремнием и, следовательно, значение средней диэлектрической проницаемости.
Работа выполнена при поддержке Программы развития Санкт-Петербургского государственного университета (НИР 11.37.23.2011).
*****
ЛИТЕРАТУРА
1. Joannopoulos J.D., Johnson S.G., Winn J.N., Meade R.D. Photonic crystals: molding the flow of light. Princeton: Princeton University Press, 2008. 286 р.
2. Sakoda K. Optical properties of photonic crystals. Berlin–Heidelberg–N.Y.: Springer, 2005. 253 р.
114 “Оптический журнал”, 79, 8, 2012
3. Van Driel H.M., Vos W.L. Multiple Bragg wave coupling in photonic band-gap crystals // Physical Review B. 2000. V. 62. № 15. P. 9872–9875.
4. Sel’kin A.V. Structural characterization of photonic crystals by Bragg reflection spectroscopy // Proc. of 12th Int. Symp. “Nanostructures: Physics and Technology”. St. Petersburg, 2004. P. 111–112.
5. Fedotov V.G., Sel’kin A.V., Ukleev T.A., Men’shikova A.Yu., Shevchenko N.N. Resonant multiple diffraction of light in 3D opal-like photonic crystals // Physica Status Solidi B. 2011. V. 248. № 9. P. 2175-2179.
6. Жарова А.Ю., Федулова Г.В., Астрова Е.В., Балдычева А.В., Толмачев В.А., Перова Т.С. Технология получения гетеропереходов в решетке двумерного фотонного кристалла на основе макропористого кремния // Физика и техника полупроводников. 2011. Т. 45. № 8. С. 1136-1143.
7. Hull R. Properties of Crystalline Silicon. London: The Institution of Electrical Engineers. 1999. 1016 р.
“Оптический журнал”, 79, 8, 2012
115