МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОЛЕЙ ДЕФОРМАЦИЙ И НАПРЯЖЕНИЙ В ДИСКОВЫХ ОПТИЧЕСКИХ ЭЛЕМЕНТАХ
А.Г. Новак, В.А. Трофимов, М.Л. Шванова
УДК 535.551
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОЛЕЙ ДЕФОРМАЦИЙ И НАПРЯЖЕНИЙ В ДИСКОВЫХ ОПТИЧЕСКИХ ЭЛЕМЕНТАХ
А.Г. Новак, В.А. Трофимов, М.Л. Шванова
Разработана математическая модель полей деформации и напряжений в дисковых оптических элементах, которая позволяет прогнозировать картины интерференции и распределений показателя преломления в плоском элементе оптического диска при механическом воздействии на диск. Ключевые слова: математическое моделирование, фотоупругость, действие сил, механическое напряжение, картина интерференции.
Введение
Совершенствование оптических прецизионных измерительных приборов и систем связано с учетом особо сложных и тонких эффектов, оказывающих влияние на характер их эксплуатации и результаты измерения. В связи с этим представляет интерес исследование влияния оптической анизотропии, вызванной эффектом фотоупругости, в различных оптических средах. Такого рода проблемы могут возникать, например, в условиях большого диапазона изменения температур в условиях космоса либо в присутствии высоких давлений на больших глубинах океанов. Кроме очевидных экстремальных примеров, эффект фотоупругости может проявить себя при нормальных лабораторных условиях в биологических объектах и в оптических элементах, выполненных из полимеров. Такие разнородные объекты объединяет зависимость их оптических свойств от характера внутренних механических напряжений.
Известно, что наблюдаемый в оптических средах эффект фотоупругости может быть использован как для оценки свойств оптической среды, так и для оценки внешних факторов, влияющих на ее состояние. Зачастую оптические среды обладают значительной чувствительностью к такому эффекту, что объясняет интерес к возможности использования этого свойства для разработки методов исследования оптических сред на основе эффекта фотоупругости.
Локальное неразрушающее определение механических и оптических характеристик оптических элементов способствует качественному изготовлению и оптимальным эксплуатационным характеристикам оптико-электронных приборов различного назначения. Эффект фотоупругости традиционно применяется для нахождения полей деформаций и напряжений в детали или узле конструкции на плоских или объемных прозрачных моделях [1].
Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики, 2011, № 5 (75)
5
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОЛЕЙ ДЕФОРМАЦИЙ …
Математическое моделирование
В рамках компьютерного моделирования предоставляется возможность экспериментировать с моделями, которые обладают формой и свойствами исследуемых объектов и на которые действуют возможные механические нагрузки. Математическое моделирование особенно предпочтительно при исследовании объектов, натурные испытания которых сложны и дорогостоящи или невозможны. Численное моделирование позволяет установить соответствие между экспериментально наблюдаемым распределением интенсивности света в картине интерференции, полей изоклин и изохром, вызванным наведенной оптической анизотропией при наличии напряженно-деформированного состояния объекта, и факторами, определяющими это напряженное состояние [2].
Не изменяя физическую сущность задачи, для упрощения описания разрабатываемой методики в качестве объекта исследования выберем плоскопараллельный однородный изотропный диск. Поместим диск в декартовой системе координат (рис. 1) таким образом, чтобы его срединная плоскость совпала с плоскостью z = 0, а начало системы координат совместилось с центром кругового сечения диска срединной плоскостью. Пусть на пластинку действует п контактных нагрузок с радиальным распределением напряжений. Каждая из сил сосредоточена вдоль одной из образующих цилиндрической поверхности диска. Сила Рi приложена вдоль цилиндрической образующей, которая пересекает срединную плоскость в точке (xi, yi). Для решения задачи моделирования удобно представить пространственное положение точки (xi, yi) как в декартовых, так и в полярных координатах. Начало полярных координат совмещено с точкой срединной плоскости O, а полярным углом является угол βi, отсчитываемый от положительного направления оси Ох против часовой стрелки. В рассматриваемом примере обязательным условием является выполнение требования равенства нулю векторной суммы всех внешних сил и вращательных моментов [3].
y Pi
yi R
O i
z
i xi x
Рис. 1. Представление диска в декартовой и полярной системе координат
Для каждой точки срединной плоскости диска можно определить составляющие напряжений при действии n контактных радиальных нагрузок в результате суммирования (суперпозиции) по i.
Анализ действия одной силы
Пусть сила Pi приложена к диску вдоль цилиндрической образующей, пересекающей срединную плоскость в точке с координатами (xi, yi) (рис. 1) [1]. Если полюс (начало) полярных координат поместить в центр кругового сечения диска срединной плоскостью (точка O), а в качестве полярной оси
принять положительное направление оси Ох, то полярным радиусом точки (xi, yi) будет R=D/2, где D – диаметр диска, и полярный угол βi можно определять следующим образом:
βi
arctg
yi xi
при yi 0;
βi
arctg
yi xi
π
при
yi 0.
Для определения механических напряжений в точке (х, у) необходимо задаться расстоянием di между точкой приложения нагрузки в срединной плоскости и исследуемой точкой
d i (x xi)2(y yi)2 ,
а также углом θi, который образует направление действия силы и отрезок, соединяющий точку (xi, yi) с точкой (х, у). В этом случае напряжение в точке срединной плоскости диска (х, у) равно
σ ri
2 pi π
cosθi di
,
6 Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета
информационных технологий, механики и оптики, 2011, № 5 (75)
А.Г. Новак, В.А. Трофимов, М.Л. Шванова
где pi – интенсивность силы в расчете на единицу толщины диска. Представив угол θi в качестве полярного и выполнив ряд преобразований систем координат, можно показать, что с каждой внешней силой можно связать локальную систему координат i Oi i (рис. 2).
y i
i i
Oi, Oi i
O ri i
x
Рис. 2. Локальная система координат
Приложим к диску радиальное распределение нагрузки в виде равномерного растяжения
Si
pi πD
sin( ψi1ψi2)
.
Введем в рассмотрение отрезок AB, пересекающий линию действия силы и являющийся диаметром
диска, а также второй конец хорды, вдоль которой действует сила, (хi', уi'). Угол ψi1 – полярный угол θi для точки А на круге диска, а угол ψi2 – угол с вершиной в точке (хi', уi') между линией, вдоль которой действует сила, и отрезком, соединяющим (хi', уi') с А (рис. 3). Из рис. 3 следует, что для кругового контура действует равенство
ψ i1 ψ i 2
π 2
γi
.
(xi, yi)
y Pi (xi, yi)
B
i2 i1 i
i1
i
i
i O i2
A
x
y
Pi
(xi, yi)
i
B
i2
i1
i i
i1
O
i i2 A
x
(xi, yi)
аб Рис. 3. Равномерное сжатие диска по контуру: а – для случая βi≥αi; б – для случая βi≤αi
Равномерное растяжение в каждой точке контура можно привести к виду
Si
pi πD
cosγ i
.
Напряженное состояние в точках срединной плоскости диска для случая x 2 + y 2 < R 2 будет опреде-
ляться компонентами напряжений в декартовой системе координат хОу
σ xi σricos2θisi
σ yi
σrisin 2θisi
.
σ
xyi
σ
ricosθ
isinθ
i
Анализ действия n сил
(1)
Если на контур диска действует п сосредоточенных сил с радиальным распределением напряжений у каждой, то напряжения в любой точке срединной плоскости диска для случая х2 + у2
УДК 535.551
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОЛЕЙ ДЕФОРМАЦИЙ И НАПРЯЖЕНИЙ В ДИСКОВЫХ ОПТИЧЕСКИХ ЭЛЕМЕНТАХ
А.Г. Новак, В.А. Трофимов, М.Л. Шванова
Разработана математическая модель полей деформации и напряжений в дисковых оптических элементах, которая позволяет прогнозировать картины интерференции и распределений показателя преломления в плоском элементе оптического диска при механическом воздействии на диск. Ключевые слова: математическое моделирование, фотоупругость, действие сил, механическое напряжение, картина интерференции.
Введение
Совершенствование оптических прецизионных измерительных приборов и систем связано с учетом особо сложных и тонких эффектов, оказывающих влияние на характер их эксплуатации и результаты измерения. В связи с этим представляет интерес исследование влияния оптической анизотропии, вызванной эффектом фотоупругости, в различных оптических средах. Такого рода проблемы могут возникать, например, в условиях большого диапазона изменения температур в условиях космоса либо в присутствии высоких давлений на больших глубинах океанов. Кроме очевидных экстремальных примеров, эффект фотоупругости может проявить себя при нормальных лабораторных условиях в биологических объектах и в оптических элементах, выполненных из полимеров. Такие разнородные объекты объединяет зависимость их оптических свойств от характера внутренних механических напряжений.
Известно, что наблюдаемый в оптических средах эффект фотоупругости может быть использован как для оценки свойств оптической среды, так и для оценки внешних факторов, влияющих на ее состояние. Зачастую оптические среды обладают значительной чувствительностью к такому эффекту, что объясняет интерес к возможности использования этого свойства для разработки методов исследования оптических сред на основе эффекта фотоупругости.
Локальное неразрушающее определение механических и оптических характеристик оптических элементов способствует качественному изготовлению и оптимальным эксплуатационным характеристикам оптико-электронных приборов различного назначения. Эффект фотоупругости традиционно применяется для нахождения полей деформаций и напряжений в детали или узле конструкции на плоских или объемных прозрачных моделях [1].
Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики, 2011, № 5 (75)
5
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОЛЕЙ ДЕФОРМАЦИЙ …
Математическое моделирование
В рамках компьютерного моделирования предоставляется возможность экспериментировать с моделями, которые обладают формой и свойствами исследуемых объектов и на которые действуют возможные механические нагрузки. Математическое моделирование особенно предпочтительно при исследовании объектов, натурные испытания которых сложны и дорогостоящи или невозможны. Численное моделирование позволяет установить соответствие между экспериментально наблюдаемым распределением интенсивности света в картине интерференции, полей изоклин и изохром, вызванным наведенной оптической анизотропией при наличии напряженно-деформированного состояния объекта, и факторами, определяющими это напряженное состояние [2].
Не изменяя физическую сущность задачи, для упрощения описания разрабатываемой методики в качестве объекта исследования выберем плоскопараллельный однородный изотропный диск. Поместим диск в декартовой системе координат (рис. 1) таким образом, чтобы его срединная плоскость совпала с плоскостью z = 0, а начало системы координат совместилось с центром кругового сечения диска срединной плоскостью. Пусть на пластинку действует п контактных нагрузок с радиальным распределением напряжений. Каждая из сил сосредоточена вдоль одной из образующих цилиндрической поверхности диска. Сила Рi приложена вдоль цилиндрической образующей, которая пересекает срединную плоскость в точке (xi, yi). Для решения задачи моделирования удобно представить пространственное положение точки (xi, yi) как в декартовых, так и в полярных координатах. Начало полярных координат совмещено с точкой срединной плоскости O, а полярным углом является угол βi, отсчитываемый от положительного направления оси Ох против часовой стрелки. В рассматриваемом примере обязательным условием является выполнение требования равенства нулю векторной суммы всех внешних сил и вращательных моментов [3].
y Pi
yi R
O i
z
i xi x
Рис. 1. Представление диска в декартовой и полярной системе координат
Для каждой точки срединной плоскости диска можно определить составляющие напряжений при действии n контактных радиальных нагрузок в результате суммирования (суперпозиции) по i.
Анализ действия одной силы
Пусть сила Pi приложена к диску вдоль цилиндрической образующей, пересекающей срединную плоскость в точке с координатами (xi, yi) (рис. 1) [1]. Если полюс (начало) полярных координат поместить в центр кругового сечения диска срединной плоскостью (точка O), а в качестве полярной оси
принять положительное направление оси Ох, то полярным радиусом точки (xi, yi) будет R=D/2, где D – диаметр диска, и полярный угол βi можно определять следующим образом:
βi
arctg
yi xi
при yi 0;
βi
arctg
yi xi
π
при
yi 0.
Для определения механических напряжений в точке (х, у) необходимо задаться расстоянием di между точкой приложения нагрузки в срединной плоскости и исследуемой точкой
d i (x xi)2(y yi)2 ,
а также углом θi, который образует направление действия силы и отрезок, соединяющий точку (xi, yi) с точкой (х, у). В этом случае напряжение в точке срединной плоскости диска (х, у) равно
σ ri
2 pi π
cosθi di
,
6 Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета
информационных технологий, механики и оптики, 2011, № 5 (75)
А.Г. Новак, В.А. Трофимов, М.Л. Шванова
где pi – интенсивность силы в расчете на единицу толщины диска. Представив угол θi в качестве полярного и выполнив ряд преобразований систем координат, можно показать, что с каждой внешней силой можно связать локальную систему координат i Oi i (рис. 2).
y i
i i
Oi, Oi i
O ri i
x
Рис. 2. Локальная система координат
Приложим к диску радиальное распределение нагрузки в виде равномерного растяжения
Si
pi πD
sin( ψi1ψi2)
.
Введем в рассмотрение отрезок AB, пересекающий линию действия силы и являющийся диаметром
диска, а также второй конец хорды, вдоль которой действует сила, (хi', уi'). Угол ψi1 – полярный угол θi для точки А на круге диска, а угол ψi2 – угол с вершиной в точке (хi', уi') между линией, вдоль которой действует сила, и отрезком, соединяющим (хi', уi') с А (рис. 3). Из рис. 3 следует, что для кругового контура действует равенство
ψ i1 ψ i 2
π 2
γi
.
(xi, yi)
y Pi (xi, yi)
B
i2 i1 i
i1
i
i
i O i2
A
x
y
Pi
(xi, yi)
i
B
i2
i1
i i
i1
O
i i2 A
x
(xi, yi)
аб Рис. 3. Равномерное сжатие диска по контуру: а – для случая βi≥αi; б – для случая βi≤αi
Равномерное растяжение в каждой точке контура можно привести к виду
Si
pi πD
cosγ i
.
Напряженное состояние в точках срединной плоскости диска для случая x 2 + y 2 < R 2 будет опреде-
ляться компонентами напряжений в декартовой системе координат хОу
σ xi σricos2θisi
σ yi
σrisin 2θisi
.
σ
xyi
σ
ricosθ
isinθ
i
Анализ действия n сил
(1)
Если на контур диска действует п сосредоточенных сил с радиальным распределением напряжений у каждой, то напряжения в любой точке срединной плоскости диска для случая х2 + у2