ОБРАБОТКА ДИСКРЕТНЫХ СПЕКТРОВ С ПОМОЩЬЮ АЛГОРИТМА ИНТЕГРАЛЬНОЙ АППРОКСИМАЦИИ
ОБРАБОТКА ДИСКРЕТНЫХ СПЕКТРОВ С ПОМОЩЬЮ АЛГОРИТМА …
УДК 535.33+517.615.5
ОБРАБОТКА ДИСКРЕТНЫХ СПЕКТРОВ С ПОМОЩЬЮ АЛГОРИТМА ИНТЕГРАЛЬНОЙ АППРОКСИМАЦИИ
А.В. Кривых, В.С. Сизиков
Рассматривается обратная задача спектроскопии – восстановление дискретных спектров по измеренному спектру и аппаратной функции спектрометра путем решения системы линейно-нелинейных уравнений алгоритмом интегральной аппроксимации. Приведен численный пример, показывающий, что эффективное решение данной задачи позволяет повысить разрешающую способность спектрометра. Ключевые слова: обратная задача спектроскопии, система линейно-нелинейных уравнений, алгоритм интегральной аппроксимации, разрешающая способность спектрометра, дискретные спектры.
Введение
Спектральный анализ широко используется для качественного и количественного исследования веществ [1–7]. Он основан на изучении спектров излучения, поглощения, отражения, комбинационного рассеяния света и люминесценции. Областями его применения являются физика, астрофизика, томография, металлургия, химия и т.д.
Под спектром u(ν) подразумевается зависимость интенсивности излучения u от частоты ν. Спектры бывают непрерывные, дискретные, полосатые и комбинированные. Для разложения излучения в спектр и его регистрации используются оптические спектральные приборы [2, С. 703].
Чтобы повысить разрешающую способность спектрометра, а значит, и качество спектрального анализа, можно использовать физико-технико-коммерческий путь (использовать более совершенный и дорогой спектрометр) или более экономичный математико-компьютерный путь (выполнить обработку результатов измерений).
Целью данной работы является разработка методики и программного обеспечения для обработки дискретных спектров (решения обратной задачи спектроскопии) – восстановления истинного дискретного спектра по измеренному спектру и известной аппаратной функции спектрометра путем решения системы линейно-нелинейных уравнений (часть неизвестных входит в систему линейно, а часть – нелинейно) алгоритмом интегральной аппроксимации в рамках системы MatLab.
Задача восстановления спектра называется обратной задачей спектроскопии [1, 3, 4, 6, 7] или задачей редукции к идеальному спектру [1, 4, 7] и является одним из вариантов редукционной проблемы Рэлея [4, 7].
Постановка задачи
Измеренный спектрометром (например, интерферометром Фабри–Перо [2, 5]) спектр u(ν) обычно отличается от истинного спектра z(ν), во-первых, большей сглаженностью (не разрешены близкие линии – результат воздействия аппаратной функции спектрального прибора K (, ) [3–5, 7]), а, во-вторых, зашум-
ленностью (слабые линии «тонут» в шуме – результат случайных погрешностей измерений [1, 3, 4, 7]). Можно дать следующее определение аппаратной функции [1; 2, С. 704; 4–7]. Аппаратной функци-
ей, АФ (спектральной чувствительностью, функцией пропускания, частотной характеристикой), спектрометра K (, ) называется реакция спектрометра (в виде измеренной интенсивности) на дискретную
линию единичной интенсивности и частоты при настройке спектрометра на частоту . Фиксируя и изменяя , получим некоторую зависимость K (, ) в виде кривой (рис. 1). Ана-
логичные кривые получим для других значений . В результате получим двухмерную функцию K (, ) .
1
K(, ’)
’
, ’
Рис. 1. Зависимость K (, ) при некотором фиксированном
14 Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета
информационных технологий, механики и оптики, 2011, № 5 (75)
А.В. Кривых, В.С. Сизиков
Чем шире K (, ) , тем более заглаженным будет измеренный спектр u() по сравнению с истин-
ным спектром z() . В случае дискретного спектра, когда искомый спектр z(ν) состоит из отдельных поч-
ти монохроматических спектральных линий, характеризуемых их частотами и интенсивностями, задача восстановления истинного спектра описывается следующими соотношениями:
n K (i , j ) z j F u~(i ) ,
j 1
i 1, m ,
c i d ,
(1)
где z j – амплитуда (интенсивность) j-й линии; j – ее частота; n – число линий; i – дискретный отсчет частоты настройки спектрометра ν; m – число отсчетов; [c, d ] – диапазон частот; u~(i ) u(i ) u(i ) , δu – случайная компонента шума измерений; F – детерминированная компонента шума (фон).
В (1) известны u~(i ) , K (, ) , i , c, d, m, а искомыми являются z j , j , n, F. Соотношения (1)
образуют систему линейно-нелинейных уравнений (СЛНУ), поскольку часть неизвестных ( z j и F) вхо-
дит линейно, а часть ( j ) – нелинейно.
Система (1) может рассматриваться и как система нелинейных уравнений (СНУ) и в этом случае ее можно решать известными методами решения СНУ – методом Ньютона–Канторовича, градиента, хорд, проекций градиента, оврагов и др. [8, 9]. Однако эти методы не учитывают специфику системы (в результате потребуется повышенное компьютерное время и память для ее решения, повысится вероятность появления ложных линий – корней нелинейной системы и т.д.) и оставляют открытым вопрос о числе спектральных линий n.
Для решения системы (1) можно воспользоваться методами, предназначенными для решения СЛНУ, например, методом Прони [10], алгоритмом Пиблза–Берковича [11], алгоритмом Фальковича– Коновалова [12], но они либо ориентированы на специальный тип СЛНУ, либо оказываются весьма неточными, либо являются слишком громоздкими.
Можно использовать так называемый метод переменных проекций (the variable projection method) Голуба–Хегланда–Муллена [13], в котором также решается СЛНУ, однако для отыскания частот используется нелинейный метод (типа Гаусса–Ньютона).
Алгоритм интегральной аппроксимации
Для эффективного решения СЛНУ (1), учитывающего ее специфику, воспользуемся алгоритмом интегральной аппроксимации [4, 7, 14–16], который учитывает особенности этой системы и который уже продемонстрировал свою эффективность в обработке сигналов [15]. Согласно данному алгоритму, реа-
лизуется следующая последовательность действий.
1. Решается интегральное уравнение (ИУ) Фредгольма I рода
b
K (, ) z() dv u~() ,
cd
(2)
a
методом регуляризации Тихонова [4, 17] с заниженным значением параметра регуляризации α (это
необходимо для разрешения близких линий). В результате будет получено решение z () , в котором
могут разрешиться близкие линии, но из-за пониженности α также возникнут ложные флуктуации– линии.
2. В полученном решении z () на основе дополнительной информации выделяется ограниченное ко-
личество L N наиболее мощных максимумов, причем N задается так, чтобы N n , где n – пред-
полагаемое число линий. Фиксируются частóты наиболее мощных максимумов ~j , j 1, L .
3. Решается уточняющая система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)
L K (i , ~j ) ~z j F~ u~(i ) ,
i 1, m ,
c i d ,
(3)
j 1
методом наименьших квадратов Гаусса относительно L, интенсивностей ~z j и фона F~ .
4. Оставляются лишь те линии, значения интенсивностей ~z j которых преодолели некоторый априори
заданный барьер Z (обычно ложные максимумы принимают отрицательные значения или значения,
близкие к нулю).
Достоинством алгоритма является то, что наиболее сложная часть задачи – определение значений нелинейно входящих параметров (частот спектральных линий ~j ) – решается линейно, а именно, путем
решения линейного ИУ (2).
Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики, 2011, № 5 (75)
15
ОБРАБОТКА ДИСКРЕТНЫХ СПЕКТРОВ С ПОМОЩЬЮ АЛГОРИТМА …
Метод регуляризации Тихонова
Задача решения уравнения (2) является некорректной [3, 4, 7, 17] (если решать уравнение (2), например, методом квадратур, то в качестве решения получим так называемую «пилу» [4, С. 182; 7, С. 205] – крайне неустойчивое решение). Исходя из этого, для его устойчивого решения необходимо применение устойчивых методов, например, метода регуляризации Тихонова [3, 4, 7, 9, 17].
Применительно к интегральному уравнению Фредгольма I рода (типа (2))
b
A y K (x, s) y(s) ds f (x), c x d , a
метод регуляризации Тихонова сводится к решению интегрального уравнения
b
y (t) R(t, s) y (s) ds F (t), a t b , a
где 0 – параметр регуляризации, а новое ядро и новая правая часть равны
dd
R(t, s) R(s,t) K (x,t) K (x, s) dx, F (t) K (x,t) f (x) dx . cc
Численный пример
В рамках системы MatLab7 разработано программное обеспечение для восстановления дискретных спектров, реализующее алгоритм интегральной аппроксимации, а также решен модельный пример [4, С. 89; 7, С. 220].
В нем истинный спектр задавался в виде семи дискретных спектральных линий с амплитудами (в
условных единицах) z1 4,4 , z2 4,6 , z3 1,1 , z4 3,2 , z5 3,2 , z6 2,8 , z7 3,6 и частотами (так-
же в условных единицах) 1 2,28 , 2 2,36 , 3 2,95 , 4 3,02 , 5 3,56 , 6 3,64 , 7 3,69 .
АФ спектрометра задавалась частотно-неинвариантной (ширина K уменьшается с увеличением частоты настройки спектрометра ν) функцией
K (, ) 0,9
exp
( )2 22 (1 0,16)
,
где 0,05 . Значение детерминированной компоненты шума (фона) было взято F 0,2 , а случайная
компонента шума измерений имела среднеквадратическое отклонение (СКО) [18], равное 0,05 (2%).
На рис. 2 представлены истинный дискретный измеренный (экспериментальный) спектр без шума
u((лνи)ниейсчаштыуйм)омспеu~к(тр)
z(ν), состоящий из 7 линий, , а также АФ спектрометра
K (, ) на низкой и высокой частотах. Видим, что истинный спектр z(ν) содержит близкие линии (две
слева, две посередине и три справа), которые в измеренном спектре u(ν) не разрешаются. Применив алгоритм интегральной аппроксимации для восстановления истинного спектра, сна-
чала решаем ИУ (2) методом регуляризации Тихонова при 106 . Полученное регуляризованное ре-
шение z () приведено на рис. 3. В нем разрешились все истинные спектральные линии, однако появилось много ложных линий (максимумов).
Взяв в регуляризованном решении z () первые L 12 наиболее мощных максимумов, решаем уточняющую СЛАУ (3) относительно L 1 13 неизвестных (12 амплитуд ~z j и фона F) методом наименьших квадратов Гаусса. На рис. 3 отмечены полученные значения ~z j . Видим, что все ложные макси-
мумы получили отрицательные значения или значения, близкие к нулю (в качестве барьера для отфильтровывания ложных линий использовался порог Z, равный 20% от полученного значения фона F, т.е. Z 0,2F ), а истинные максимумы получили значения ~z j , весьма близкие к точным значениям амплитуд
zj .
В результате можно констатировать, что в модельном примере все 7 спектральных линий разрешились и с приемлемой точностью определились их частóты ~j и интенсивности ~z j , причем ни одна линия
не потерялась и ни одна ложная линия не появилась, хотя помехо-сигнальная ситуация была выбрана специально сложной, чтобы продемонстрировать возможности алгоритма интегральной аппроксимации.
16 Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета
информационных технологий, механики и оптики, 2011, № 5 (75)
А.В. Кривых, В.С. Сизиков
5
4 1
3
2 3
Интенсивность, у.е.
2
1 4
5
02
2,2 2,4 2,6 2,8
3
3,2 3,4 3,6 3,8
4
Частота, у.е.
Рис. 2. Численный пример. Прямая задача. По оси абсцисс – частота , по оси ординат – z, u, ũ и K (в условных единицах): 1 – истинный дискретный спектр z() ; 2 – заглаженный спектр u() ; 3 – заглаженный и зашумленный спектр u~() ; 4 – K (2,1, ) – АФ на низкой частоте;
5 – K (3,9, ) – АФ на высокой частоте
2 53 4
Интенсивность, у.е.
3
2
1 1
0
–1
2
2,2 2,4 2,6 2,8
3
3,2 3,4 3,6 3,8
4
Частота, у.е.
Рис. 3. Численный пример. Обратная задача. По оси абсцисс – частота , по оси ординат – z (в условных единицах): 1 – истинный спектр z() (вертикальные сплошные линии); 2 – регуляризованное
решение z () (пунктир); 3 – восстановленный спектр z j () (вертикальные штрих-пунктирные линии)
Заключение
Решение модельных примеров демонстрирует большие возможности и высокую эффективность примененной методики. В результате имеет место повышение разрешающей способности спектрометра, а, значит, и качества спектрального анализа (разрешение близких линий, выделение слабых линий из шума и т.д.) путем математико-компьютерной обработки спектров. Спектрометр может быть состыкован
Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики, 2011, № 5 (75)
17
ОБРАБОТКА ДИСКРЕТНЫХ СПЕКТРОВ С ПОМОЩЬЮ АЛГОРИТМА …
с компьютером с заложенным в него программным обеспечением или дополнен специализированным вычислительным устройством, реализующим рассмотренный алгоритм обработки спектров. При этом можно использовать несовершенный (и недорогой) спектрометр, но за счет математико-компьютерной обработки получить практически столь же качественные результаты, как с помощью более совершенного (и более дорогого). Под термином «более совершенный» подразумевается спектрометр с более узкой аппаратной функцией, что позволяет разрешать близкие и (или) слабые линии в спектре без его математической обработки.
Следует отметить, что примененный алгоритм решения обратной задачи спектроскопии в случае дискретных спектров является универсальным и может быть использован для восстановления заглаженных и зашумленных спектров в различных областях.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 09-08-00034).
Литература
1. Раутиан С.Г. Реальные спектральные приборы // Успехи физических наук. – 1958. – Т. 66. – Вып. 3. – С. 475–517.
2. Физический энциклопедический словарь / Гл. ред. А.М. Прохоров. – М.: Сов. энциклопедия, 1984. – 944 с. 3. Кочиков И.В., Курамшина Г.М., Пентин Ю.А., Ягола А.Г. Обратные задачи колебательной спектро-
скопии. – М.: Изд-во МГУ, 1993. – 204 c. 4. Сизиков В.С. Математические методы обработки результатов измерений. – CПб: Политехника, 2001.
– 240 с. 5. Ландсберг Г.С. Оптика: Учебное пособие для вузов. – 6-е изд. – М.: Физматлит, 2006. – 848 с. 6. Сизиков В.С., Кривых А.В. Использование способа моделирования при решении обратной задачи спек-
троскопии методом регуляризации // Изв. вузов. Приборостроение. – 2011. – Т. 54. – № 9. – С. 44–51. 7. Сизиков В.С. Обратные прикладные задачи и MatLab. – СПб: Лань, 2011. – 247 с. 8. Химельблау Д. Прикладное нелинейное программирование. – М.: Мир, 1975. – 536 с. 9. Гончарский А.В., Черепащук А.М., Ягола А.Г. Численные методы решения обратных задач астрофи-
зики. – М.: Наука, 1978. – 336 с. 10. Кей С.М., Марпл С.Л. Современные методы спектрального анализа (обзор) // Труды Ин-та инж. по
электротехнике и радиоэлектрон. – 1981. – Т. 69. – № 11. – С. 5–51. 11. Пиблз, Беркович. Многолучевой моноимпульсный радиолокатор // Зарубежн. радиоэлектроника. –
1969. – № 10. 12. Фалькович С.Е., Коновалов Л.Н. Разрешение неизвестного числа сигналов // Радиотехника и электро-
ника. – 1982. – Т. 27. – № 1. – С. 92–97. 13. Mullen K.M., van Stokkum I.H.M. The variable projection algorithm in time-resolved spectroscopy, micros-
copy and mass spectrometry applications // Numerical Algorithms. – 2009. – V. 51. – № 3. – P. 319–340. 14. Сизиков В.С. О моделировании некоторых некорректных задач с использованием принципов подобия
// Электрон. моделирование. – 1981. – № 6. – C. 3–8. 15. Сизиков В.С. Обобщенный метод редукции измерений. I, III // Электрон. моделирование. – 1991. –
Т. 13. – № 4. – C. 7–14; № 6. – C. 3–9. 16. Верлань А.Ф., Сизиков В.С., Мосенцова Л.В. Метод вычислительных экспериментов для решения
интегральных уравнений в обратной задаче спектроскопии // Электрон. моделирование. – 2011. – Т. 33. – № 2. – C. 3–12. 17. Верлань А.Ф., Сизиков В.С. Интегральные уравнения: методы, алгоритмы, программы. – Киев: Наукова думка, 1986. – 544 с. 18. Дайнеко М.В., Сизиков В.С. Восстановление смазанных под углом и зашумленных изображений без учета граничных условий // Научно-технический вестник СПбГУ ИТМО. – 2010. – № 4 (68). – С. 28–32.
Кривых Александр Владимирович Сизиков Валерий Сергеевич
– Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, студент, krivykh1987@mail.ru
– Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, доктор технических наук, профессор, sizikov2000@mail.ru
18 Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета
информационных технологий, механики и оптики, 2011, № 5 (75)
УДК 535.33+517.615.5
ОБРАБОТКА ДИСКРЕТНЫХ СПЕКТРОВ С ПОМОЩЬЮ АЛГОРИТМА ИНТЕГРАЛЬНОЙ АППРОКСИМАЦИИ
А.В. Кривых, В.С. Сизиков
Рассматривается обратная задача спектроскопии – восстановление дискретных спектров по измеренному спектру и аппаратной функции спектрометра путем решения системы линейно-нелинейных уравнений алгоритмом интегральной аппроксимации. Приведен численный пример, показывающий, что эффективное решение данной задачи позволяет повысить разрешающую способность спектрометра. Ключевые слова: обратная задача спектроскопии, система линейно-нелинейных уравнений, алгоритм интегральной аппроксимации, разрешающая способность спектрометра, дискретные спектры.
Введение
Спектральный анализ широко используется для качественного и количественного исследования веществ [1–7]. Он основан на изучении спектров излучения, поглощения, отражения, комбинационного рассеяния света и люминесценции. Областями его применения являются физика, астрофизика, томография, металлургия, химия и т.д.
Под спектром u(ν) подразумевается зависимость интенсивности излучения u от частоты ν. Спектры бывают непрерывные, дискретные, полосатые и комбинированные. Для разложения излучения в спектр и его регистрации используются оптические спектральные приборы [2, С. 703].
Чтобы повысить разрешающую способность спектрометра, а значит, и качество спектрального анализа, можно использовать физико-технико-коммерческий путь (использовать более совершенный и дорогой спектрометр) или более экономичный математико-компьютерный путь (выполнить обработку результатов измерений).
Целью данной работы является разработка методики и программного обеспечения для обработки дискретных спектров (решения обратной задачи спектроскопии) – восстановления истинного дискретного спектра по измеренному спектру и известной аппаратной функции спектрометра путем решения системы линейно-нелинейных уравнений (часть неизвестных входит в систему линейно, а часть – нелинейно) алгоритмом интегральной аппроксимации в рамках системы MatLab.
Задача восстановления спектра называется обратной задачей спектроскопии [1, 3, 4, 6, 7] или задачей редукции к идеальному спектру [1, 4, 7] и является одним из вариантов редукционной проблемы Рэлея [4, 7].
Постановка задачи
Измеренный спектрометром (например, интерферометром Фабри–Перо [2, 5]) спектр u(ν) обычно отличается от истинного спектра z(ν), во-первых, большей сглаженностью (не разрешены близкие линии – результат воздействия аппаратной функции спектрального прибора K (, ) [3–5, 7]), а, во-вторых, зашум-
ленностью (слабые линии «тонут» в шуме – результат случайных погрешностей измерений [1, 3, 4, 7]). Можно дать следующее определение аппаратной функции [1; 2, С. 704; 4–7]. Аппаратной функци-
ей, АФ (спектральной чувствительностью, функцией пропускания, частотной характеристикой), спектрометра K (, ) называется реакция спектрометра (в виде измеренной интенсивности) на дискретную
линию единичной интенсивности и частоты при настройке спектрометра на частоту . Фиксируя и изменяя , получим некоторую зависимость K (, ) в виде кривой (рис. 1). Ана-
логичные кривые получим для других значений . В результате получим двухмерную функцию K (, ) .
1
K(, ’)
’
, ’
Рис. 1. Зависимость K (, ) при некотором фиксированном
14 Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета
информационных технологий, механики и оптики, 2011, № 5 (75)
А.В. Кривых, В.С. Сизиков
Чем шире K (, ) , тем более заглаженным будет измеренный спектр u() по сравнению с истин-
ным спектром z() . В случае дискретного спектра, когда искомый спектр z(ν) состоит из отдельных поч-
ти монохроматических спектральных линий, характеризуемых их частотами и интенсивностями, задача восстановления истинного спектра описывается следующими соотношениями:
n K (i , j ) z j F u~(i ) ,
j 1
i 1, m ,
c i d ,
(1)
где z j – амплитуда (интенсивность) j-й линии; j – ее частота; n – число линий; i – дискретный отсчет частоты настройки спектрометра ν; m – число отсчетов; [c, d ] – диапазон частот; u~(i ) u(i ) u(i ) , δu – случайная компонента шума измерений; F – детерминированная компонента шума (фон).
В (1) известны u~(i ) , K (, ) , i , c, d, m, а искомыми являются z j , j , n, F. Соотношения (1)
образуют систему линейно-нелинейных уравнений (СЛНУ), поскольку часть неизвестных ( z j и F) вхо-
дит линейно, а часть ( j ) – нелинейно.
Система (1) может рассматриваться и как система нелинейных уравнений (СНУ) и в этом случае ее можно решать известными методами решения СНУ – методом Ньютона–Канторовича, градиента, хорд, проекций градиента, оврагов и др. [8, 9]. Однако эти методы не учитывают специфику системы (в результате потребуется повышенное компьютерное время и память для ее решения, повысится вероятность появления ложных линий – корней нелинейной системы и т.д.) и оставляют открытым вопрос о числе спектральных линий n.
Для решения системы (1) можно воспользоваться методами, предназначенными для решения СЛНУ, например, методом Прони [10], алгоритмом Пиблза–Берковича [11], алгоритмом Фальковича– Коновалова [12], но они либо ориентированы на специальный тип СЛНУ, либо оказываются весьма неточными, либо являются слишком громоздкими.
Можно использовать так называемый метод переменных проекций (the variable projection method) Голуба–Хегланда–Муллена [13], в котором также решается СЛНУ, однако для отыскания частот используется нелинейный метод (типа Гаусса–Ньютона).
Алгоритм интегральной аппроксимации
Для эффективного решения СЛНУ (1), учитывающего ее специфику, воспользуемся алгоритмом интегральной аппроксимации [4, 7, 14–16], который учитывает особенности этой системы и который уже продемонстрировал свою эффективность в обработке сигналов [15]. Согласно данному алгоритму, реа-
лизуется следующая последовательность действий.
1. Решается интегральное уравнение (ИУ) Фредгольма I рода
b
K (, ) z() dv u~() ,
cd
(2)
a
методом регуляризации Тихонова [4, 17] с заниженным значением параметра регуляризации α (это
необходимо для разрешения близких линий). В результате будет получено решение z () , в котором
могут разрешиться близкие линии, но из-за пониженности α также возникнут ложные флуктуации– линии.
2. В полученном решении z () на основе дополнительной информации выделяется ограниченное ко-
личество L N наиболее мощных максимумов, причем N задается так, чтобы N n , где n – пред-
полагаемое число линий. Фиксируются частóты наиболее мощных максимумов ~j , j 1, L .
3. Решается уточняющая система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)
L K (i , ~j ) ~z j F~ u~(i ) ,
i 1, m ,
c i d ,
(3)
j 1
методом наименьших квадратов Гаусса относительно L, интенсивностей ~z j и фона F~ .
4. Оставляются лишь те линии, значения интенсивностей ~z j которых преодолели некоторый априори
заданный барьер Z (обычно ложные максимумы принимают отрицательные значения или значения,
близкие к нулю).
Достоинством алгоритма является то, что наиболее сложная часть задачи – определение значений нелинейно входящих параметров (частот спектральных линий ~j ) – решается линейно, а именно, путем
решения линейного ИУ (2).
Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики, 2011, № 5 (75)
15
ОБРАБОТКА ДИСКРЕТНЫХ СПЕКТРОВ С ПОМОЩЬЮ АЛГОРИТМА …
Метод регуляризации Тихонова
Задача решения уравнения (2) является некорректной [3, 4, 7, 17] (если решать уравнение (2), например, методом квадратур, то в качестве решения получим так называемую «пилу» [4, С. 182; 7, С. 205] – крайне неустойчивое решение). Исходя из этого, для его устойчивого решения необходимо применение устойчивых методов, например, метода регуляризации Тихонова [3, 4, 7, 9, 17].
Применительно к интегральному уравнению Фредгольма I рода (типа (2))
b
A y K (x, s) y(s) ds f (x), c x d , a
метод регуляризации Тихонова сводится к решению интегрального уравнения
b
y (t) R(t, s) y (s) ds F (t), a t b , a
где 0 – параметр регуляризации, а новое ядро и новая правая часть равны
dd
R(t, s) R(s,t) K (x,t) K (x, s) dx, F (t) K (x,t) f (x) dx . cc
Численный пример
В рамках системы MatLab7 разработано программное обеспечение для восстановления дискретных спектров, реализующее алгоритм интегральной аппроксимации, а также решен модельный пример [4, С. 89; 7, С. 220].
В нем истинный спектр задавался в виде семи дискретных спектральных линий с амплитудами (в
условных единицах) z1 4,4 , z2 4,6 , z3 1,1 , z4 3,2 , z5 3,2 , z6 2,8 , z7 3,6 и частотами (так-
же в условных единицах) 1 2,28 , 2 2,36 , 3 2,95 , 4 3,02 , 5 3,56 , 6 3,64 , 7 3,69 .
АФ спектрометра задавалась частотно-неинвариантной (ширина K уменьшается с увеличением частоты настройки спектрометра ν) функцией
K (, ) 0,9
exp
( )2 22 (1 0,16)
,
где 0,05 . Значение детерминированной компоненты шума (фона) было взято F 0,2 , а случайная
компонента шума измерений имела среднеквадратическое отклонение (СКО) [18], равное 0,05 (2%).
На рис. 2 представлены истинный дискретный измеренный (экспериментальный) спектр без шума
u((лνи)ниейсчаштыуйм)омспеu~к(тр)
z(ν), состоящий из 7 линий, , а также АФ спектрометра
K (, ) на низкой и высокой частотах. Видим, что истинный спектр z(ν) содержит близкие линии (две
слева, две посередине и три справа), которые в измеренном спектре u(ν) не разрешаются. Применив алгоритм интегральной аппроксимации для восстановления истинного спектра, сна-
чала решаем ИУ (2) методом регуляризации Тихонова при 106 . Полученное регуляризованное ре-
шение z () приведено на рис. 3. В нем разрешились все истинные спектральные линии, однако появилось много ложных линий (максимумов).
Взяв в регуляризованном решении z () первые L 12 наиболее мощных максимумов, решаем уточняющую СЛАУ (3) относительно L 1 13 неизвестных (12 амплитуд ~z j и фона F) методом наименьших квадратов Гаусса. На рис. 3 отмечены полученные значения ~z j . Видим, что все ложные макси-
мумы получили отрицательные значения или значения, близкие к нулю (в качестве барьера для отфильтровывания ложных линий использовался порог Z, равный 20% от полученного значения фона F, т.е. Z 0,2F ), а истинные максимумы получили значения ~z j , весьма близкие к точным значениям амплитуд
zj .
В результате можно констатировать, что в модельном примере все 7 спектральных линий разрешились и с приемлемой точностью определились их частóты ~j и интенсивности ~z j , причем ни одна линия
не потерялась и ни одна ложная линия не появилась, хотя помехо-сигнальная ситуация была выбрана специально сложной, чтобы продемонстрировать возможности алгоритма интегральной аппроксимации.
16 Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета
информационных технологий, механики и оптики, 2011, № 5 (75)
А.В. Кривых, В.С. Сизиков
5
4 1
3
2 3
Интенсивность, у.е.
2
1 4
5
02
2,2 2,4 2,6 2,8
3
3,2 3,4 3,6 3,8
4
Частота, у.е.
Рис. 2. Численный пример. Прямая задача. По оси абсцисс – частота , по оси ординат – z, u, ũ и K (в условных единицах): 1 – истинный дискретный спектр z() ; 2 – заглаженный спектр u() ; 3 – заглаженный и зашумленный спектр u~() ; 4 – K (2,1, ) – АФ на низкой частоте;
5 – K (3,9, ) – АФ на высокой частоте
2 53 4
Интенсивность, у.е.
3
2
1 1
0
–1
2
2,2 2,4 2,6 2,8
3
3,2 3,4 3,6 3,8
4
Частота, у.е.
Рис. 3. Численный пример. Обратная задача. По оси абсцисс – частота , по оси ординат – z (в условных единицах): 1 – истинный спектр z() (вертикальные сплошные линии); 2 – регуляризованное
решение z () (пунктир); 3 – восстановленный спектр z j () (вертикальные штрих-пунктирные линии)
Заключение
Решение модельных примеров демонстрирует большие возможности и высокую эффективность примененной методики. В результате имеет место повышение разрешающей способности спектрометра, а, значит, и качества спектрального анализа (разрешение близких линий, выделение слабых линий из шума и т.д.) путем математико-компьютерной обработки спектров. Спектрометр может быть состыкован
Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики, 2011, № 5 (75)
17
ОБРАБОТКА ДИСКРЕТНЫХ СПЕКТРОВ С ПОМОЩЬЮ АЛГОРИТМА …
с компьютером с заложенным в него программным обеспечением или дополнен специализированным вычислительным устройством, реализующим рассмотренный алгоритм обработки спектров. При этом можно использовать несовершенный (и недорогой) спектрометр, но за счет математико-компьютерной обработки получить практически столь же качественные результаты, как с помощью более совершенного (и более дорогого). Под термином «более совершенный» подразумевается спектрометр с более узкой аппаратной функцией, что позволяет разрешать близкие и (или) слабые линии в спектре без его математической обработки.
Следует отметить, что примененный алгоритм решения обратной задачи спектроскопии в случае дискретных спектров является универсальным и может быть использован для восстановления заглаженных и зашумленных спектров в различных областях.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 09-08-00034).
Литература
1. Раутиан С.Г. Реальные спектральные приборы // Успехи физических наук. – 1958. – Т. 66. – Вып. 3. – С. 475–517.
2. Физический энциклопедический словарь / Гл. ред. А.М. Прохоров. – М.: Сов. энциклопедия, 1984. – 944 с. 3. Кочиков И.В., Курамшина Г.М., Пентин Ю.А., Ягола А.Г. Обратные задачи колебательной спектро-
скопии. – М.: Изд-во МГУ, 1993. – 204 c. 4. Сизиков В.С. Математические методы обработки результатов измерений. – CПб: Политехника, 2001.
– 240 с. 5. Ландсберг Г.С. Оптика: Учебное пособие для вузов. – 6-е изд. – М.: Физматлит, 2006. – 848 с. 6. Сизиков В.С., Кривых А.В. Использование способа моделирования при решении обратной задачи спек-
троскопии методом регуляризации // Изв. вузов. Приборостроение. – 2011. – Т. 54. – № 9. – С. 44–51. 7. Сизиков В.С. Обратные прикладные задачи и MatLab. – СПб: Лань, 2011. – 247 с. 8. Химельблау Д. Прикладное нелинейное программирование. – М.: Мир, 1975. – 536 с. 9. Гончарский А.В., Черепащук А.М., Ягола А.Г. Численные методы решения обратных задач астрофи-
зики. – М.: Наука, 1978. – 336 с. 10. Кей С.М., Марпл С.Л. Современные методы спектрального анализа (обзор) // Труды Ин-та инж. по
электротехнике и радиоэлектрон. – 1981. – Т. 69. – № 11. – С. 5–51. 11. Пиблз, Беркович. Многолучевой моноимпульсный радиолокатор // Зарубежн. радиоэлектроника. –
1969. – № 10. 12. Фалькович С.Е., Коновалов Л.Н. Разрешение неизвестного числа сигналов // Радиотехника и электро-
ника. – 1982. – Т. 27. – № 1. – С. 92–97. 13. Mullen K.M., van Stokkum I.H.M. The variable projection algorithm in time-resolved spectroscopy, micros-
copy and mass spectrometry applications // Numerical Algorithms. – 2009. – V. 51. – № 3. – P. 319–340. 14. Сизиков В.С. О моделировании некоторых некорректных задач с использованием принципов подобия
// Электрон. моделирование. – 1981. – № 6. – C. 3–8. 15. Сизиков В.С. Обобщенный метод редукции измерений. I, III // Электрон. моделирование. – 1991. –
Т. 13. – № 4. – C. 7–14; № 6. – C. 3–9. 16. Верлань А.Ф., Сизиков В.С., Мосенцова Л.В. Метод вычислительных экспериментов для решения
интегральных уравнений в обратной задаче спектроскопии // Электрон. моделирование. – 2011. – Т. 33. – № 2. – C. 3–12. 17. Верлань А.Ф., Сизиков В.С. Интегральные уравнения: методы, алгоритмы, программы. – Киев: Наукова думка, 1986. – 544 с. 18. Дайнеко М.В., Сизиков В.С. Восстановление смазанных под углом и зашумленных изображений без учета граничных условий // Научно-технический вестник СПбГУ ИТМО. – 2010. – № 4 (68). – С. 28–32.
Кривых Александр Владимирович Сизиков Валерий Сергеевич
– Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, студент, krivykh1987@mail.ru
– Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, доктор технических наук, профессор, sizikov2000@mail.ru
18 Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета
информационных технологий, механики и оптики, 2011, № 5 (75)