Аналитическое решение дифференциальных уравнений тепло- и влагопереноса при инфракрасном нагреве масличных семян
УДК 664.8.036.521
Аналитическое решение дифференциальных уравнений тепло- и влагопереноса при инфракрасном нагреве масличных семян
Вороненко Б.А., Демидов А.С., Демидов С.Ф. mtomz85@mail.ru
Санкт-Петербургский государственный университет низкотемпературных и пищевых технологий
Получено аналитическое решение дифференциальных уравнений тепло- и влагопереноса при инфракрасном нагреве масличных семян.
Ключевые слова: аналитическое решение, масличные семена, температура, влагосодержание, тепломассоперенос, дифференциальное уравнение.
The analytical solution of differential equations of heat and moisture transfer in infrared heating oil seeds
Voronenko B.A., Demidov A.S., Demidov S.F. mtomz85@mail.ru
Saint-Petersburg state university of refrigeration and food engineering
An analytical solution of differential equations of heat and moisture transfer during infrared heating oil seeds.
Keywords: analytical solution, oil seeds, temperature, moisture, heat and mass transfer, the differential equation.
Процессы кондиционирования масличных семян по влажности и температуре являются типичными нестационарными процессами, которые протекают как с постоянной, так и с переменной (убывающей) скоростью. Все виды масличных семян, как объекты кондиционирования, с учетом анатомического строения, геометрических размеров и формы целесообразно подразделить на четыре группы [1, 2, 3, 4].
К первой группе относятся семена, плодовая (семенная) оболочка которых неплотно прилегает к семядолям, образуя воздушные полости; их геометрические размеры несоизмеримы и форма значительно отличается от сферической (например, семена подсолнечника).
Ко второй группе относятся семена с неплотно прилегающей плодовой (семенной) оболочкой, однако геометрические размеры семян этой группы
соизмеримы, поэтому их можно рассматривать как совокупность тел, имеющих форму, близкую к сферической (например, семена клещевины).
К третьей группе относятся семена с плотно прилегающей плодовой (семенной) оболочкой и несферической формы (например, семена льна).
К четвертой группе относятся семена с плотно прилегающей плодовой (семенной) оболочкой, по форме близкие к сферической (например, семена сои).
Одним из перспективных методов подготовки большого объема масличных семян к длительному и качественному хранению является их кондиционирование по влажности и температуре с использованием поля инфракрасного диапазона [5, 6].
Развитием идей работ [1, 2] является учет внутренних источников тепла при ИК-нагреве. Определенные сорта семян подсолнечника, особенно высокомасличные, в первом приближении можно принять имеющими форму, близкую к сферической. Тогда для нахождения полей температур и влагосодержаний в единичном семени подсолнечника с плотно прилегающей плодовой (семенной) оболочкой, рассматриваемом как двухслойное сферическое капиллярно-пористое тело (“оболочка - ядро”) можно применить систему дифференциальных уравнений совместного тепло- и массопереноса [7]:
rti r,
aqi
2 rti r, r2
i i rui r, cqi
rQv ;
(1)
rui r,
ami
2 rui r, r2
ami i
2 rti r, r2
.
(2)
Для зональной системы расчета теплофизические характеристики
материала являются постоянными, усредненными величинами, различными
для разных слоев.
Температура и влагосодержание окружающей среды в процессе
кондиционирования семян подсолнечника изменяются незначительно. Кроме
того, в рассматриваемом процессе термический перенос вещества не имеет
существенного значения, т.е. i 0 [8]. К моменту начала сушки семян в них
устанавливается равномерное распределение температуры t0 и влаги u0 .
При инфракрасном нагреве мощность внутреннего источника теплоты
Qv снижается в зависимости от расстояния от поверхности оболочки по
экспоненциальному закону [8, 9]:
Qv
Q0 e k R1 r cq1 01
Материал оболочки
инфракрасных лучей.
семени
предполагается
прозрачным
(3) для
Так как толщина оболочки R2 R1 R1, то для оболочки уравнения
тепло- и массопереноса можно заменить несвязанными уравнениями теплопроводности и диффузии.
Отмеченные особенности термической обработки масличных семян приводят к решению упрощенной системы уравнений (1) – (2) при следующих начальных
ti r,0 t0 const;ui r,0 u0 const
и граничных условиях:
(4)
t1 R1, t2 R1, ;
(5)
t1 R1, q1 r
q2
u1 R1, u2 R1, ;
t2 R1, r
;
(6) (7)
u1 R1, m1 r
m2
u2 R1, r
;
(8)
t1 0, r
t1 0,
u1 0,
r ; u1 0,
0; ;
(9) (10)
t2 R2 , tc const; u2 R2 , up const
(11)
Равенства (5) – (8) – граничные условия 4-го рода, заключающиеся в
равенстве температур, влагосодержаний и потоков тепла и влаги на границе
раздела ядра семени и его оболочки.
(9) – условия симметрии; (10) – условия физической ограниченности
температуры и влагосодержания в центре шара.
Равенства (11) – граничные условия 1-го рода, задающие температуру
tc и влагосодержание u p на поверхности семени.
Поставленная краевая задача (1) – (11) решена аналитически методом
интегрального преобразования Лапласа. Распределения температур и
влагосодержаний получены в следующем виде:
T X ,Fo
1
2 yX 2 y2 Fo X 2y
1 y2
exp y2Fo
Po y3X
exp
y1 X
Po y3 0
Ko 1 11
Lu1
m1
2 sin mX
m X exp
2 m
Lu1Fo
Po k exp y2Fo
2 n 1x
n sin
n X exp
2 n
Fo
;
X ,Fo
1 1 sin m 1 mX
m X exp
2mLu1Fo .
Здесь введены следующие обозначения:
0 2 y qk q y 1 2 1 ;
k
2 y2Fo y
1 11k Lu1 1k
2 kaq 22k
2k
(12) (13)
1 y 1 11k
k q
1k
1 22k Lu1 2k
sh yX ch yX
y2 X
; y
m 1 mk m sin m cos m m
m 1 mk m cos m cos m m
m
m
k m
sin
m sin
q kaq kR 1 ; m kam kR 1 ;
mm;
m - последовательные уравнения
ctg m
k 1 ctg m
положительные
;
корни
характеристического (14)
n
y 1n 2n Po
2 n
y2 2 1n
;
2n
n - последовательные уравнения
положительные
корни
характеристического
ctg q
k 1 ctg ; q
1k
y shych k
qy
sh q y
ychy shy ;
q
2k
2
qk
sh
q
qy
y kaq ch q y ;
1n 1 qk q sin n cos q n n 1 qk q cos n cos q n
n
q
k q
sin
n sin
qn;
2n
n sin n cos m n k sin m n ;
Lu1 Lu1
Lu1 m
Lu1
1k
k ch y m Lu1
Lu1 sh y sh m y y Lu1 Lu1
sh y ch m y ; Lu1 Lu1
2k
2k y 1 sh q
qy
2 y kaq ch
qy ;
11k
m
k1 m
Lu1 y2
sh y sh m y Lu1 Lu1
1
mk m ch
y ch Lu1
my Lu1
k m
Lu1 ch
y
sh
my
y Lu1 Lu1
Lu1 mk m sh y ch m y ; y Lu1 Lu1
22k k k q y 1 y 1 ch qk q y
y
q
k sh q
qk q y ;
11k 1 qk q shych qk q y y 1 qk q chych qk q y
y
q
k shysh q
qk q y ;
(15)
22k
mk m
sh
y ch Lu1
my Lu1
y1 Lu1
mk m ch
y ch Lu1
my Lu1
y Lu1
m
k sh m
y sh Lu1
my ; Lu1
1n
k cos n m Lu1
Lu1 sin n sin m n sin n cos m n ;
n Lu1 Lu1
Lu1 Lu1
2n
2 n
y2
n
yPo k q
2 n
1 y 2 1 sin q n
n
y
2 n
y2 cos
qn
2
При мягких условиях сушки (температура семян < 50°С и отсутствии
внутреннего источника тепла (инфракрасного излучения)) перенос влаги в
материале происходит только в виде жидкости ( =0). В этом случае
исходная система уравнений (1) - (2) превращается в несвязанную систему
уравнений тепло- и массопереноса, решение которой совместно с прежними
граничными условиями приводит к известным решениям [7,10].
Выводы. 1. Решена краевая задача совместного тепло- и массопереноса, поставленная применительно к процессам кондиционирования
масличных семян с плотно прилегающей плодовой (семенной) оболочкой, по форме близкой к сферической. 2. Полученное аналитическое решение дает возможность прогнозировать необходимые значения температуры и влагосодержания в масличном семени, время, необходимое для получения искомых конечных значений температуры и влагосодержания, и является основой для оптимизации процессов сушки масличных семян при термической обработке их электромагнитным полем выделенного электромагнитного диапазона.
Обозначения:
i - номер слоя, i =1 (ядро): 0< r < R 1 ; i =2 (оболочка): R 1
Аналитическое решение дифференциальных уравнений тепло- и влагопереноса при инфракрасном нагреве масличных семян
Вороненко Б.А., Демидов А.С., Демидов С.Ф. mtomz85@mail.ru
Санкт-Петербургский государственный университет низкотемпературных и пищевых технологий
Получено аналитическое решение дифференциальных уравнений тепло- и влагопереноса при инфракрасном нагреве масличных семян.
Ключевые слова: аналитическое решение, масличные семена, температура, влагосодержание, тепломассоперенос, дифференциальное уравнение.
The analytical solution of differential equations of heat and moisture transfer in infrared heating oil seeds
Voronenko B.A., Demidov A.S., Demidov S.F. mtomz85@mail.ru
Saint-Petersburg state university of refrigeration and food engineering
An analytical solution of differential equations of heat and moisture transfer during infrared heating oil seeds.
Keywords: analytical solution, oil seeds, temperature, moisture, heat and mass transfer, the differential equation.
Процессы кондиционирования масличных семян по влажности и температуре являются типичными нестационарными процессами, которые протекают как с постоянной, так и с переменной (убывающей) скоростью. Все виды масличных семян, как объекты кондиционирования, с учетом анатомического строения, геометрических размеров и формы целесообразно подразделить на четыре группы [1, 2, 3, 4].
К первой группе относятся семена, плодовая (семенная) оболочка которых неплотно прилегает к семядолям, образуя воздушные полости; их геометрические размеры несоизмеримы и форма значительно отличается от сферической (например, семена подсолнечника).
Ко второй группе относятся семена с неплотно прилегающей плодовой (семенной) оболочкой, однако геометрические размеры семян этой группы
соизмеримы, поэтому их можно рассматривать как совокупность тел, имеющих форму, близкую к сферической (например, семена клещевины).
К третьей группе относятся семена с плотно прилегающей плодовой (семенной) оболочкой и несферической формы (например, семена льна).
К четвертой группе относятся семена с плотно прилегающей плодовой (семенной) оболочкой, по форме близкие к сферической (например, семена сои).
Одним из перспективных методов подготовки большого объема масличных семян к длительному и качественному хранению является их кондиционирование по влажности и температуре с использованием поля инфракрасного диапазона [5, 6].
Развитием идей работ [1, 2] является учет внутренних источников тепла при ИК-нагреве. Определенные сорта семян подсолнечника, особенно высокомасличные, в первом приближении можно принять имеющими форму, близкую к сферической. Тогда для нахождения полей температур и влагосодержаний в единичном семени подсолнечника с плотно прилегающей плодовой (семенной) оболочкой, рассматриваемом как двухслойное сферическое капиллярно-пористое тело (“оболочка - ядро”) можно применить систему дифференциальных уравнений совместного тепло- и массопереноса [7]:
rti r,
aqi
2 rti r, r2
i i rui r, cqi
rQv ;
(1)
rui r,
ami
2 rui r, r2
ami i
2 rti r, r2
.
(2)
Для зональной системы расчета теплофизические характеристики
материала являются постоянными, усредненными величинами, различными
для разных слоев.
Температура и влагосодержание окружающей среды в процессе
кондиционирования семян подсолнечника изменяются незначительно. Кроме
того, в рассматриваемом процессе термический перенос вещества не имеет
существенного значения, т.е. i 0 [8]. К моменту начала сушки семян в них
устанавливается равномерное распределение температуры t0 и влаги u0 .
При инфракрасном нагреве мощность внутреннего источника теплоты
Qv снижается в зависимости от расстояния от поверхности оболочки по
экспоненциальному закону [8, 9]:
Qv
Q0 e k R1 r cq1 01
Материал оболочки
инфракрасных лучей.
семени
предполагается
прозрачным
(3) для
Так как толщина оболочки R2 R1 R1, то для оболочки уравнения
тепло- и массопереноса можно заменить несвязанными уравнениями теплопроводности и диффузии.
Отмеченные особенности термической обработки масличных семян приводят к решению упрощенной системы уравнений (1) – (2) при следующих начальных
ti r,0 t0 const;ui r,0 u0 const
и граничных условиях:
(4)
t1 R1, t2 R1, ;
(5)
t1 R1, q1 r
q2
u1 R1, u2 R1, ;
t2 R1, r
;
(6) (7)
u1 R1, m1 r
m2
u2 R1, r
;
(8)
t1 0, r
t1 0,
u1 0,
r ; u1 0,
0; ;
(9) (10)
t2 R2 , tc const; u2 R2 , up const
(11)
Равенства (5) – (8) – граничные условия 4-го рода, заключающиеся в
равенстве температур, влагосодержаний и потоков тепла и влаги на границе
раздела ядра семени и его оболочки.
(9) – условия симметрии; (10) – условия физической ограниченности
температуры и влагосодержания в центре шара.
Равенства (11) – граничные условия 1-го рода, задающие температуру
tc и влагосодержание u p на поверхности семени.
Поставленная краевая задача (1) – (11) решена аналитически методом
интегрального преобразования Лапласа. Распределения температур и
влагосодержаний получены в следующем виде:
T X ,Fo
1
2 yX 2 y2 Fo X 2y
1 y2
exp y2Fo
Po y3X
exp
y1 X
Po y3 0
Ko 1 11
Lu1
m1
2 sin mX
m X exp
2 m
Lu1Fo
Po k exp y2Fo
2 n 1x
n sin
n X exp
2 n
Fo
;
X ,Fo
1 1 sin m 1 mX
m X exp
2mLu1Fo .
Здесь введены следующие обозначения:
0 2 y qk q y 1 2 1 ;
k
2 y2Fo y
1 11k Lu1 1k
2 kaq 22k
2k
(12) (13)
1 y 1 11k
k q
1k
1 22k Lu1 2k
sh yX ch yX
y2 X
; y
m 1 mk m sin m cos m m
m 1 mk m cos m cos m m
m
m
k m
sin
m sin
q kaq kR 1 ; m kam kR 1 ;
mm;
m - последовательные уравнения
ctg m
k 1 ctg m
положительные
;
корни
характеристического (14)
n
y 1n 2n Po
2 n
y2 2 1n
;
2n
n - последовательные уравнения
положительные
корни
характеристического
ctg q
k 1 ctg ; q
1k
y shych k
qy
sh q y
ychy shy ;
q
2k
2
qk
sh
q
qy
y kaq ch q y ;
1n 1 qk q sin n cos q n n 1 qk q cos n cos q n
n
q
k q
sin
n sin
qn;
2n
n sin n cos m n k sin m n ;
Lu1 Lu1
Lu1 m
Lu1
1k
k ch y m Lu1
Lu1 sh y sh m y y Lu1 Lu1
sh y ch m y ; Lu1 Lu1
2k
2k y 1 sh q
qy
2 y kaq ch
qy ;
11k
m
k1 m
Lu1 y2
sh y sh m y Lu1 Lu1
1
mk m ch
y ch Lu1
my Lu1
k m
Lu1 ch
y
sh
my
y Lu1 Lu1
Lu1 mk m sh y ch m y ; y Lu1 Lu1
22k k k q y 1 y 1 ch qk q y
y
q
k sh q
qk q y ;
11k 1 qk q shych qk q y y 1 qk q chych qk q y
y
q
k shysh q
qk q y ;
(15)
22k
mk m
sh
y ch Lu1
my Lu1
y1 Lu1
mk m ch
y ch Lu1
my Lu1
y Lu1
m
k sh m
y sh Lu1
my ; Lu1
1n
k cos n m Lu1
Lu1 sin n sin m n sin n cos m n ;
n Lu1 Lu1
Lu1 Lu1
2n
2 n
y2
n
yPo k q
2 n
1 y 2 1 sin q n
n
y
2 n
y2 cos
qn
2
При мягких условиях сушки (температура семян < 50°С и отсутствии
внутреннего источника тепла (инфракрасного излучения)) перенос влаги в
материале происходит только в виде жидкости ( =0). В этом случае
исходная система уравнений (1) - (2) превращается в несвязанную систему
уравнений тепло- и массопереноса, решение которой совместно с прежними
граничными условиями приводит к известным решениям [7,10].
Выводы. 1. Решена краевая задача совместного тепло- и массопереноса, поставленная применительно к процессам кондиционирования
масличных семян с плотно прилегающей плодовой (семенной) оболочкой, по форме близкой к сферической. 2. Полученное аналитическое решение дает возможность прогнозировать необходимые значения температуры и влагосодержания в масличном семени, время, необходимое для получения искомых конечных значений температуры и влагосодержания, и является основой для оптимизации процессов сушки масличных семян при термической обработке их электромагнитным полем выделенного электромагнитного диапазона.
Обозначения:
i - номер слоя, i =1 (ядро): 0< r < R 1 ; i =2 (оболочка): R 1