Управление подъемно-транспортным устройством, оптимальное по быстродействию
УДК 681.513.52
Управление подъемно-транспортным устройством, оптимальное по быстродействию.
Корниенко Л.Н., Штейнгарт С.А. seht@pochta.ru
Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики. Институт холода и биотехнологий.
В статье рассматривается алгоритм построения управления оптимального по быстродействию подъемно-транспортным устройством, которое определяется линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами.
Ключевые слова: управление, оптимизация, быстродействие.
Control of the hoisting-transport device, is optimal in speed.
Kornienko L.N., Shteyngart S.A. seht@pochta.ru
Saint-Petersburg National Research University of Information Technologies, Mechanics and Optics.
Institute of Refrigeration and Biotechnology.
This article considers algorithm of speed management hoisting-transport device which is determined with the help of linear differential equations with constant coefficients.
Keywords: control, optimization, performance.
Важнейшей проблемой современной теории и практики автоматического регулирования является оптимизация процессов управления. В настоящее время в теории оптимального управления получен ряд принципиально важных результатов. Одним из них является так называемая теорема об n интервалах при быстродействии, впервые сформулированная профессором А. А. Фельдбаумом [1,2]. Согласно этой теореме, для перевода объекта, движение которого описывается линейными дифференциальными уравнениями (ДУ) n-ого порядка с постоянными коэффициентами из начальной в конечную точку за минимальное время, необходимо в релейном управлении n-1 релейных переключений по знаку.
Среди критериев оптимальности особое место занимает критерий оптимального по быстродействию управления, который обеспечивает минимум времени переходного процесса и достаточно высокую динамичность. Оптимизированная по быстродействию система может оказаться близкой к оптимальной и по другим критериям, которые обеспечивают вместе с быстродействием дополнительный выигрыш, минимизируя время переходного процесса.
Практически для всех автоматизированных систем управления быстродействие является одним из основных требований, а для целого ряда условий функционирования распространенных объектов - определяющим. Таким образом, синтез оптимальных по быстродействию систем, относится к важнейшим задачам теории автоматического управления.
На сегодняшний момент используется теория оптимизации по быстродействию управления объектами описываемыми линейными ДУ с постоянными коэффициентами в работах Фельдбаума, Павлова и др. Основой для нее, как отмечалось выше, является теорема об n-1 раз переключений релейного элемента в линейных системах объекта n-ого порядка, при переходном процессе. Для объекта, описываемого линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами, оптимальное управление содержит n чередующихся по знаку интервалов управления.
Важной задачей синтеза оптимального управления является определение длительности каждого интервала управления или моментов переключения знаков релейно - управляющего сигнала. Для этого применяют метод стыкования управляющей координаты Х и ее производных до n-1 включительно. Предпосылкой для применения метода стыкования является непрерывность координаты Х и еѐ производных при переключении знака сигнала на выходе релейного элемента.
В данной статье приведен алгоритм построения управления оптимального по быстродействию подъемно-транспортным механизмом (ПТМ имеют широкое применение во многих отраслях промышленности, в том числе и пищевой), которое определяется линейными ДУ с постоянными коэффициентами [3]. Для практического использования алгоритма, необходимо применение численных методов решения с помощью ЭВМ.
Рассмотрим управление оптимальное по быстродействию простейшего подъемно-транспортного устройства (см. рис.1), у которого заданы силы натяжения троса T +=k1G при подъеме груза с ускорением и T -=k2G при торможении соответственно, где G - вес груза; k1 и k2 - запасы прочности. Тогда в этом случае при разгоне m =T +- G , а при торможении m =T -- G. Или m =(k1-1)G при разгоне и m =(k2-1)G при торможении. Так как это линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, то для оптимального по быстродействию управления системой, необходимо одно релейное переключение (согласно теореме А.А.
Фельдбаума). В момент времени t1 переключения = (k1-1)gt1 ; L1 = (k1-1)g
при нулевых начальных условиях и в момент t2 торможения, с учетом найденной скорости на первом участке получим: = (k2-1)gt2 +(k1-1)gt1 ;
L2 = (k2-1)g + (k1-1)gt1t2. Для необходимой высоты подъема груза L, можем записать выражение
L=L1+L2=(k1-1)g + (k2-1)g + (k1-1)gt1t2 или
A + 2At1t2 - B = C (*) ,
где A=k1-1; B=1-k2; C=2L/g. Уравнение (*) определяет гиперболу (см. рис.2). Величину времени
T=t1+t2 при оптимальном быстродействии системы, найдем следующим образом: подставим t2 = T-t1 в (*), решим его относительно T и найдем ветвь, определяющую оптимальное значение T. Для определения экстремума
найдем производную вида
. В результате упрощений получим:
,
Найти корень t1 этого алгебраического уравнения можно численными методами, например, методом половинного деления.
При известном t1 из (*) найдем t2 и искомую величину minT.
Рис. 1
Рис. 2
Список литературы:
1. Клюев А.С. , Колесников А.А. Оптимизация автоматических систем управления по быстродействию. М.: Энергоиздат, 1982. - 238 с.
2. Антомонов Ю.Г. Расчет систем оптимальных по быстродействию (управление судном по курсу). Л.: Cудостроение, 1964. - 72 с.
3. Корниенко Л.Н. и др. Динамика механических систем с гибкими связями с учетом их прочности. Методические указания по дисциплине теоретическая механика. / Под редакцией д.т.н. проф. В. А. Арета – СПб.: СПБГУНиПТ,2000. - 17 с.
Управление подъемно-транспортным устройством, оптимальное по быстродействию.
Корниенко Л.Н., Штейнгарт С.А. seht@pochta.ru
Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики. Институт холода и биотехнологий.
В статье рассматривается алгоритм построения управления оптимального по быстродействию подъемно-транспортным устройством, которое определяется линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами.
Ключевые слова: управление, оптимизация, быстродействие.
Control of the hoisting-transport device, is optimal in speed.
Kornienko L.N., Shteyngart S.A. seht@pochta.ru
Saint-Petersburg National Research University of Information Technologies, Mechanics and Optics.
Institute of Refrigeration and Biotechnology.
This article considers algorithm of speed management hoisting-transport device which is determined with the help of linear differential equations with constant coefficients.
Keywords: control, optimization, performance.
Важнейшей проблемой современной теории и практики автоматического регулирования является оптимизация процессов управления. В настоящее время в теории оптимального управления получен ряд принципиально важных результатов. Одним из них является так называемая теорема об n интервалах при быстродействии, впервые сформулированная профессором А. А. Фельдбаумом [1,2]. Согласно этой теореме, для перевода объекта, движение которого описывается линейными дифференциальными уравнениями (ДУ) n-ого порядка с постоянными коэффициентами из начальной в конечную точку за минимальное время, необходимо в релейном управлении n-1 релейных переключений по знаку.
Среди критериев оптимальности особое место занимает критерий оптимального по быстродействию управления, который обеспечивает минимум времени переходного процесса и достаточно высокую динамичность. Оптимизированная по быстродействию система может оказаться близкой к оптимальной и по другим критериям, которые обеспечивают вместе с быстродействием дополнительный выигрыш, минимизируя время переходного процесса.
Практически для всех автоматизированных систем управления быстродействие является одним из основных требований, а для целого ряда условий функционирования распространенных объектов - определяющим. Таким образом, синтез оптимальных по быстродействию систем, относится к важнейшим задачам теории автоматического управления.
На сегодняшний момент используется теория оптимизации по быстродействию управления объектами описываемыми линейными ДУ с постоянными коэффициентами в работах Фельдбаума, Павлова и др. Основой для нее, как отмечалось выше, является теорема об n-1 раз переключений релейного элемента в линейных системах объекта n-ого порядка, при переходном процессе. Для объекта, описываемого линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами, оптимальное управление содержит n чередующихся по знаку интервалов управления.
Важной задачей синтеза оптимального управления является определение длительности каждого интервала управления или моментов переключения знаков релейно - управляющего сигнала. Для этого применяют метод стыкования управляющей координаты Х и ее производных до n-1 включительно. Предпосылкой для применения метода стыкования является непрерывность координаты Х и еѐ производных при переключении знака сигнала на выходе релейного элемента.
В данной статье приведен алгоритм построения управления оптимального по быстродействию подъемно-транспортным механизмом (ПТМ имеют широкое применение во многих отраслях промышленности, в том числе и пищевой), которое определяется линейными ДУ с постоянными коэффициентами [3]. Для практического использования алгоритма, необходимо применение численных методов решения с помощью ЭВМ.
Рассмотрим управление оптимальное по быстродействию простейшего подъемно-транспортного устройства (см. рис.1), у которого заданы силы натяжения троса T +=k1G при подъеме груза с ускорением и T -=k2G при торможении соответственно, где G - вес груза; k1 и k2 - запасы прочности. Тогда в этом случае при разгоне m =T +- G , а при торможении m =T -- G. Или m =(k1-1)G при разгоне и m =(k2-1)G при торможении. Так как это линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, то для оптимального по быстродействию управления системой, необходимо одно релейное переключение (согласно теореме А.А.
Фельдбаума). В момент времени t1 переключения = (k1-1)gt1 ; L1 = (k1-1)g
при нулевых начальных условиях и в момент t2 торможения, с учетом найденной скорости на первом участке получим: = (k2-1)gt2 +(k1-1)gt1 ;
L2 = (k2-1)g + (k1-1)gt1t2. Для необходимой высоты подъема груза L, можем записать выражение
L=L1+L2=(k1-1)g + (k2-1)g + (k1-1)gt1t2 или
A + 2At1t2 - B = C (*) ,
где A=k1-1; B=1-k2; C=2L/g. Уравнение (*) определяет гиперболу (см. рис.2). Величину времени
T=t1+t2 при оптимальном быстродействии системы, найдем следующим образом: подставим t2 = T-t1 в (*), решим его относительно T и найдем ветвь, определяющую оптимальное значение T. Для определения экстремума
найдем производную вида
. В результате упрощений получим:
,
Найти корень t1 этого алгебраического уравнения можно численными методами, например, методом половинного деления.
При известном t1 из (*) найдем t2 и искомую величину minT.
Рис. 1
Рис. 2
Список литературы:
1. Клюев А.С. , Колесников А.А. Оптимизация автоматических систем управления по быстродействию. М.: Энергоиздат, 1982. - 238 с.
2. Антомонов Ю.Г. Расчет систем оптимальных по быстродействию (управление судном по курсу). Л.: Cудостроение, 1964. - 72 с.
3. Корниенко Л.Н. и др. Динамика механических систем с гибкими связями с учетом их прочности. Методические указания по дисциплине теоретическая механика. / Под редакцией д.т.н. проф. В. А. Арета – СПб.: СПБГУНиПТ,2000. - 17 с.