РАЗРАБОТКА ПРОГРАММНОГО ОБЕСПЕЧЕНИЯ ВИЗУАЛИЗАЦИИ ПРОЦЕДУРЫ МНОГОМЕРНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО ПРОЦЕССА
РАЗРАБОТКА ПРОГРАММНОГО ОБЕСПЕЧЕНИЯ ВИЗУАЛИЗАЦИИ ПРОЦЕДУРЫ... .
УДК 004.42; 519.85
РАЗРАБОТКА ПРОГРАММНОГО ОБЕСПЕЧЕНИЯ ВИЗУАЛИЗАЦИИ ПРОЦЕДУРЫ МНОГОМЕРНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ
ПОКАЗАТЕЛЕЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО ПРОЦЕССА1
Т.М. Зубковаa, Е.Н. Ишаковаa, b, М.А. Токареваa a Оренбургский государственный университет, Оренбург, Россия, bars87@mail.ru b Академия при Президенте Российской Федерации, РАНХиГС, Оренбург, Россия, en_ischa@mail.ru
Описана методика проведения многокритериальной оптимизации конструктивных параметров технологического объекта. Приведен обзор существующих методов оптимизации и анализ работ в области фундаментальных исследований и решения прикладных задач. Сформулирована постановка задачи на основании требований к технологическому процессу, позволяющая подобрать геометрические размеры рабочих органов машины и скорости протекания технологического процесса таким образом, чтобы результирующие технико-экономические параметры были оптимальными. В постановке задачи описано применение метода рабочих характеристик, адаптированного к конкретной предметной области. Приведена реализация поставленной задачи, описана методика построения характеристик исследуемого объекта с условием ограничений некоторых параметров как в аналитическом, так и в графическом представлении. На основании теоретических исследований разработана программная система, позволяющая автоматизировать нахождение оптимальных решений для конкретных задач. Используя имеющиеся исходные данные, характеризующие объект исследования, можно установить идентификаторы и ввести ограничения как с одной стороны, так и в интервале. В результате получена визуальная картина зависимостей основных параметров исследования от остальных, которые могут оказывать влияние на протекание технологического процесса и на качество выпускаемой продукции. Полученная оптимальная область показывает использование разных вариантов конструкции технологического объекта в приемлемом кинематическом диапазоне, что позволяет исследователю выбирать наилучшее конструктивное решение. Ключевые слова: векторная оптимизация, параметрический синтез, кубический сплайн, многокритериальная оптимизация, программная система, оптимальная область, технологический процесс, технологический объект.
VISUALIZATION SOFTWARE DEVELOPMENT FOR PROCEDURE OF MULTI-DIMENSIONAL OPTIMIZATION OF TECHNOLOGICAL PROCESS
FUNCTIONAL PARAMETERS1
T.M. Zubkovaa, E.N. Ishakovaa, b, M.A. Tokarevaa
aOrenburg State University, Orenburg, Russia, bars87@mail.ru b Russian Presidential Academy of National Economy and Public Administration, Orenburg, Russia, En_ischa@mail.ru
A method for multi-criteria optimization of the design parameters for technological object is described. The existing optimization methods are overviewed, and works in the field of basic research and applied problems are analyzed. The problem is formulated, based on the process requirements, making it possible to choose the geometrical dimensions of machine tips and the flow rate of the process, so that the resulting technical and economical parameters were optimal. In the problem formulation application of the performance method adapted to a particular domain is described. Task implementation is shown; the method of characteristics creation for the studied object in view of some restrictions for parameters in both analytical and graphical representation. On the basis of theoretical research the software system is developed that gives the possibility to automate the discovery of optimal solutions for specific problems. Using available information sources, that characterize the object of study, it is possible to establish identifiers, add restrictions from the one side, and in the interval as well. Obtained result is a visual depiction of dependence of the main study parameters on the others, which may have an impact on both the flow of the process, and the quality of products. The resulting optimal area shows the use of different design options for technological object in an acceptable kinematic range that makes it possible for the researcher to choose the best design solution. Keywords: vector optimization, parametric synthesis, cubic spline, multi-criteria optimization, program system, optimum area, technological process, technological object.
Введение
Векторная оптимизация широко применяется при решении прикладных задач в области машиностроения [1], экономики [2], радиоэлектроники [3], систем автоматизированного управления [4], нефтеперерабатывающего производства [5] и других областях.
В фундаментальных исследованиях рассмотрены вопросы решения задач оптимизации на метрических пространствах [6, 7]; при заданных линейных ограничениях [8]; предложены методы выпуклого анализа [9–11]; решены вопросы устойчивости в задачах оптимизации [12, 13]; разработаны
1 Работа выполнена при финансовой поддержке Правительства Оренбургской области (грант № 14-08-97031). 1 The paper was financially supported by the government of the Orenburg region (grant № 14-08-97031).
156
Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики Scientific and Technical Journal of Information Technologies, Mechanics and Optics
2014, № 3 (91)
Т.М. Зубкова, Е.Н. Ишакова, М.А. Токарева
методы приближенных решений в задачах векторной оптимизации [14]; теории векторных алгоритмов метода Монте-Карло для решения систем интегральных уравнений [15].
Среди методов отыскания оптимального (или рационального) решения по нескольким параметрам можно выделить метод Парето, весовой метод, метод векторной оптимизации на дискретном множестве; при линейных целевых функциях и линейных ограничениях; при гладких целевых функциях и отсутствии ограничений [16].
Несмотря на достаточную разработанность методов векторной оптимизации, остаются открытыми вопросы их прикладной привязки к решению проблем конкретной предметной области, и, в частности, к подбору конструктивных параметров технологических объектов.
Постановка задачи
Любой технологический процесс характеризуется энергоемкостью, производительностью машины и качеством выпускаемой продукции. При проведении параметрического синтеза можно подобрать геометрические размеры рабочих органов и скорость протекания технологического процесса таким образом, чтобы энергоемкость была минимальной, производительность – максимальной, качество выпускаемой продукции – удовлетворительным и др. Таким образом, необходимо решить многокритериальную задачу, т.е. провести векторную оптимизацию для достижения поставленных целей.
Один из наиболее удобных методов проведения параметрического синтеза технологических машин – метод рабочих характеристик. В нем исследователь ищет оптимум одного из технологических параметров, например, p1, при всех остальных показателях, приведенных в разряд ограничений типа равенства, т.е. решается задача нахождения p1max при p2=const, p3=const, …, pn=const [16].
Найденное максимальное значение p1max зависит от фиксированных значений p2=const, p3=const, …, pn=const. Эта зависимость является рабочей поверхностью вида p1max=f(p2, p3,…, pn).
Для нахождения рабочей поверхности величину p1max определяют при всех интересующих проектировщика комбинациях параметров p2,…, pn.
Рабочая поверхность, рассматриваемая как функция одного из своих аргументов, называется рабочей характеристикой. Таким образом, можно составить m–1 рабочую характеристику. Доказано, что рабочая поверхность содержит все точки, принадлежащие оптимальной поверхности. Необходимым и достаточным условием совпадения рабочей и оптимальной поверхностей является монотонно убывающий характер всех соответствующих этой поверхности рабочих характеристик. Исходя из этого, после отыскания рабочих характеристик необходимо исключить из них все возрастающие участки [16].
Реализация поставленной задачи
Суть рассматриваемого метода состоит в том, что в прямоугольной системе координат определяет-
ся зависимость одного параметра от другого при неизменных значениях всех остальных параметров оп-
тимизируемого объекта. При изучении влияния на технико-экономические результаты конструктивного
(геометрического или технологического) параметра объекта его фиксированное значение изменяется сту-
пенчато при постоянных значениях остальных параметров. Получается система зависимостей первого
параметра от второго, разнящихся значениями конструктивного параметра и образующих координатную
сетку другой системы координат, в которой переменной является конструктивный (геометрический, тех-
нологический) параметр.
В первой системе координат строится координатная сетка изменения третьего, четвертого и пятого
параметров. Поверхность, образованная точками зависимости первого параметра от второго, является
рабочей или оптимальной поверхностью рассматриваемого конструктивного (геометрического, техноло-
гического) параметра. Данные характеристики могут быть использованы для нахождения оптимальной
поверхности параметров и последующего параметрического синтеза оптимального технологического
объекта.
Множество параметров Mi , i 1, ..., n (множество качеств и свойств технологического объекта)
может быть представлено в виде Mi Mi (N1, N2 , ..., Nn ) , где N1, N2 ,..., Nn – геометрические, конструктивные, кинематические и другие параметры.
Анализ результатов оптимизации предопределен программой вычислений, в которой рассматри-
ваемые параметры вычисляются и ограничиваются допустимыми значениями. Ограничения параметров
имеют вид
pn k1 ,
(1)
k2 pn k3 ,
(2)
pn k4 ,
(3)
где k1, k2 , k3, k4 – возможные уровни ограничения параметров. До начала оптимизации исследователь должен определить ограничения параметров в виде (1), (2) или (3). При построении рабочих характери-
стик первого, второго, третьего и так далее до n -го вспомогательного параметра необходимо включать эти
Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики Scientific and Technical Journal of Information Technologies, Mechanics and Optics
157
2014, № 3 (91)
РАЗРАБОТКА ПРОГРАММНОГО ОБЕСПЕЧЕНИЯ ВИЗУАЛИЗАЦИИ ПРОЦЕДУРЫ... .
ограничения в число определяемых значений, причем таким образом, чтобы в область допустимых значений попало достаточное число функциональных зависимостей рабочих характеристик [17]. Тогда в принятой системе координат функциональные зависимости на рабочей поверхности ограничат оптимальный участок, если таковой имеется. Также оптимальный участок может быть ограничен значениями параметров, которые выбраны в качестве основных pосн1 и pосн2. Графическое представление полученных результатов более наглядно отражает вид взаимосвязи между интересующими исследователя параметрами.
По имеющейся математической модели, заданным исходным данным (геометрическим, конструктивным, кинематическим), а также данным, характеризующим свойства обрабатываемого материала, получаем результаты, которые являются технико-экономическими параметрами технологического процесса (рис. 1).
Исходные данные
конструктивные параметры пространства взаимодействия,
кинематические, технологические
параметры и др.
Технологический объект
модель механического взаимодействия рабочих органов с обрабатываемым
материалом
Технико-экономические параметры
КПД, производительность, энергоемкость, качество продукции и др.
Рис. 1. Взаимосвязь входных параметров технологического процесса и результатов обработки материала
Из получившихся технико-экономических параметров можно выбрать два, которые в настоящий
момент имеют наибольший интерес, и обозначить их через I1 и I2 , далее по этим параметрам провести оптимизацию.
Выбрав какой-то параметр из исходных, например, диаметр конструктивного элемента, можно из-
менять его значения в сторону увеличения или уменьшения и соответственно получать значения технико-
экономических параметров для каждого изменения, т.е. получать семейства зависимостей pi f (I1) ,
i 1, ..., n и I2 f (I1) для выбранного изменяющегося входного параметра.
Затем технико-экономические параметры разделяются по конструкциям, сортируются по интере-
сующему параметру ( I1 ). Проводится интерполяция кубическим сплайном в виде
yi
ai
bi
x
xi1 ci
x
x 2 i 1
di
x
xi1 3 ,
где ai , bi , ci , di – коэффициенты кубического сплайна, x xi1, xi , i 2, ..., n .
Коэффициенты сплайна можно определить, если принять в узлах непрерывность первой и второй
производных и нулевую кривизну в граничных точках x0 и xn . Последнее предположение не может существенно отразиться на точности определения оптимальной области, поскольку относится к контуру
рабочей характеристики. Интерполяция проводится для выходных параметров р1 от интересующего па-
раметра I1 , р2 от I1 , р3 от I1 , …, рn от I1 , а также I2 от I1 .
Получаем зависимости p1 f (n, I1) , p2 f (n, I1) , p3 f (n, I1), ..., pn f (n, I1) и I2 f (n, I1) , где n – варианты изменения входного параметра (рис. 2). Все эти зависимости характерны тем, что каждая
из них построена при изменении некоторого входного параметра, влияние которого исследуется при из-
менении скорости протекания технологического процесса, а все остальные входные параметры имеют
постоянные значения. Количество семейств диаграмм на характеристике определяется количеством вари-
антов, которых должно быть не менее пяти, поскольку при таком значении можно определить вид графи-
ка достаточно точно.
Далее определяем интервалы изменения выходных параметров, они могут иметь верхнюю границу
p1в – считаем, что большие значения этого параметра могут негативно сказаться на качестве готовой продукции или привести к быстрому износу оборудования и т.п. (рис. 2, а). Параметры могут иметь нижнюю
границу p3н – меньшие значения данного параметра нецелесообразны (рис. 2, в). Значения параметров могут также находиться в интервале p2в–p2н, как показано на рис. 2, б, или не иметь ограничений, когда весь диапазон представленной характеристики удовлетворяет заданным требованиям (рис. 2, г).
Если прямая ограничений не пересекает все варианты зависимости p1 f (n, I1) , то нас будут интересовать первая и последняя точки на этих кривых. Если ветвь кривой параллельна оси абсцисс, то мо-
жет быть два варианта решения. В первом случае, если ограничения на данный параметр выполняют все
конструкции, то на основном графике они отображаются согласно своим граничным значениям по I1 . Во
158
Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики Scientific and Technical Journal of Information Technologies, Mechanics and Optics
2014, № 3 (91)
Т.М. Зубкова, Е.Н. Ишакова, М.А. Токарева
втором случае, если какие-то конструкции не попадают в заданный интервал, на основном графике они просто отбрасываются.
р1 n р2 n
р1в
5 4 3
12
5 4
р2в 3
2
1
р2н
I1 I1
аб р3 рn
n 5 4 3
2 1 р3н
n 5 4 3 2 1
I1 в
I1 г
Рис. 2. Схематическое изображение зависимостей p1 f (n, I1 ) , p2 f (n, I1) , p3 f (n, I1), pn f (n, I1)
и промежуточные построения для границ оптимальной области: параметры имеют верхнюю границу (а); параметры находятся в интервале (б); параметры имеют нижнюю границу (в); параметры не имеют ограничений (г); 1–n – номера вариантов конструкций
Таким образом, в результате вышеописанных действий получаем от первого параметра I1 матрицу размерностью (n×2) значений, аналогичные матрицы получаем от второго и третьего параметров и т.д.
Затем по сплайнам зависимостей второго основного параметра от первого I2 f (I1) и найденным значе-
ниям первого основного параметра I1(n, 2) находим значения второго основного параметра. По вновь
полученным точкам строим кубический сплайн I2 f (I1) при постоянном значении первого основного
параметра p1 const , по этим кривым определим оптимальную область выбранного входного параметра
согласно условиям (1)–(3). Далее по полученным данным возможно построение графических зависимостей. Строятся оси ко-
ординат первого и второго основных параметров, координатная сетка по оси Ox , проводится масштаби-
рование и разбивка по осям Ox и Oy . Строятся кривые I2 f (n, I1) , p1=const, p2=const, p3=const и т.д.,
затем с учетом ограничений определяется оптимальная область. На ней видно, при каких значениях входного параметра интересующий нас технико-экономический параметр (выходной параметр) становится максимальным с учетом ограничений других параметров. Согласно ограничениям, показанным на рис. 2, получаем оптимальную область (рис. 3).
На рис. 3 видно, что конструкции 1 и 2 не попадают в оптимальную область, т.е. не удовлетворяют заданным требованиям по некоторым параметрам. В оптимальную область входят конструкции 3, 4 и 5 в определенных кинематических ограничениях.
Далее фиксируем значение этого входного параметра и переходим к нахождению оптимального значения другого параметра. Этот процесс продолжается до тех пор, пока не будут исследованы все входные параметры, для которых есть смысл проводить параметрический синтез.
Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики Scientific and Technical Journal of Information Technologies, Mechanics and Optics 2014, № 3 (91)
159
РАЗРАБОТКА ПРОГРАММНОГО ОБЕСПЕЧЕНИЯ ВИЗУАЛИЗАЦИИ ПРОЦЕДУРЫ... .
I2 р2н р1в
1 2 3 45 n
р3н р2в
I1
Рис. 3. Построение оптимальной области
Результаты применения разработанной методики
По данной методике разработана программная система (ПС), которая позволяет автоматизировать процесс оптимизации [18]. На рис. 4, а, показана работа ПС.
аб Рис. 4. Работа программной системы (а); идентификация параметров (б)
В закладке «Задание» можно ввести новые данные (например, полученные с помощью физического эксперимента) или открыть данные, сохраненные в результате вычислительного эксперимента (рис 4, а). В закладке «Параметры» можно ввести названия исследуемых переменных, как основных, так и вспомогательных (рис. 4, б). В нижней части основного окна вводятся ограничения параметров, которые по семантике могут задавать границу сверху и снизу или диапазон. Можно построить зависимости выбранных параметров в виде графиков, как показано на рис. 5, а (закладка «Графики»). С учетом ограничений, показанных на рис. 4, а, оптимальная область исследуемого объекта имеет вид, представленный на рис. 5, б. Панель инструментов дублирует наиболее частые действия основного меню.
Графики зависимостей параметров выполняются разными цветами для улучшения визуального восприятия идентифицируемых параметров.
Заключение
Таким образом, на основании рассмотренной методики векторной оптимизации у исследователя появляется возможность получить технологическую машину с заранее заданными свойствами и характеристиками. Разработанная программная система позволяет повысить производительность труда инженера-конструктора. Данный метод также может быть успешно применен для решения задач оптимизации в других научных областях.
160
Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики Scientific and Technical Journal of Information Technologies, Mechanics and Optics
2014, № 3 (91)
Т.М. Зубкова, Е.Н. Ишакова, М.А. Токарева
Рис. 5. Построение графических зависимостей (а); оптимальная область исследуемого объекта (б)
Литература
1. Зубкова Т.М. Параметрический синтез технологических объектов с использованием программных средств // Вестник Оренбургского государственного университета. 2006. № 5. С. 150–157.
2. Никонов О.И., Медведев М.А. Методы векторной оптимизации в работе с контрагентами предприятий // Экономика региона. 2011. № 3. С. 217–224.
3. Охрущак Д.В., Скоблилова Н.М., Стасюк В.И., Мухин А.М. Векторная оптимизация комбинированных систем фазовой автоподстройки // Известия высших учебных заведений. Радиоэлектроника. 2003. Т. 46. № 8. С. 30–34.
4. Северин B.П. Векторная оптимизация интегральных квадратичных оценок систем автоматического управления // Известия РАН. Теория и системы управления. 2005. № 2. С. 52–61.
5. Сизиков А.П. Разработка предметно-ориентированных систем оптимизации (на примере нефтеперерабатывающего производства) // Управление большими системами: сборник трудов. 2012. Т. 40. С. 291–310.
6. Бахтин В.И., Гороховик В.В. Условия оптимальности первого и второго порядка в задачах векторной оптимизации на метрических пространствах // Труды института математики и механики УрО РАН. 2009. Т. 15. № 4. С. 32–43.
7. Брусов B.C., Суздальцев А.Л. Применение теоретико-множественного подхода к учету неопределенностей при решении задач векторной оптимизации // Автоматика и телемеханика. 2008. № 4. С. 94– 100.
8. Гавалец М., Гад М., Циммерман К. Задачи оптимизации при (max, min) -линейных ограничениях в виде равенств и/или неравенств // Фундаментальная и прикладная математика. 2012. Т. 17. № 6. С. 3–21.
9. Кутателадзе С.С. Многоцелевые задачи выпуклой геометрии // Сибирский математический журнал. 2009. Т. 50. № 5. С. 1123–1137.
10. Титаренко В.Н., Ягола А.Г. Метод отсечения выпуклых многогранников и его применение к некорректным задачам // Вычислительные методы и программирование. 2000. Т. 1. № 1. С. 8–13.
11. Пиуновский А.Б. Управляемые случайные последовательности: методы выпуклого анализа и задачи с функциональными ограничениями // Успехи математических наук. 1998. Т. 53. № 6 (324). С. 129–192.
12. Емеличев В.А., Кузьмин К.Г., Леонович А.М. Устойчивость в векторных комбинаторных задачах оптимизации // Автоматика и телемеханика. 2004. № 2. С. 79–92.
13. Лебедева Т.Т., Семенова Н.В., Сергиенко Т.И. Устойчивость векторных задач целочисленной оптимизации: взаимосвязь с устойчивостью множеств оптимальных и неоптимальных решений // Кибернетика и системный анализ. 2005. Т. 41. № 4. С. 89–100.
Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики Scientific and Technical Journal of Information Technologies, Mechanics and Optics 2014, № 3 (91)
161
РАЗРАБОТКА ПРОГРАММНОГО ОБЕСПЕЧЕНИЯ ВИЗУАЛИЗАЦИИ ПРОЦЕДУРЫ... .
14. Рабинович Я.И. О сравнении приближенных решений в задачах векторной оптимизации // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2006. Т. 46. № 10. С. 1790–1801.
15. Михайлов Г.А., Медведев И.Н. Векторные оценки метода Монте-Карло: двойственные представления и оптимизация // Сибирский журнал вычислительной математики. 2010. Т. 13. № 4. С. 423–438.
16. Руднев В.Е., Володин К.М., Лучанский В.Б., Петров В.Б. Формирование технических объектов на основе системного анализа. М.: Машиностроение, 1991. 318 с.
17. Карташов Л.П., Зубкова Т.М. Параметрический и структурный синтез технологических объектов на основе системного подхода и математического моделирования. Екатеринбург: УрО РАН, 2009. 225 с.
18. Зубкова Т.М., Ишакова Е.Н., Кузьмин М.И. Программная система проведения параметрической векторной оптимизации: Свидетельство о государственной регистрации программ для ЭВМ №2013660216. Заявлено 02.09.2013. Опубл. 28.10.2013.
Зубкова Татьяна Михайловна Ишакова Елена Николаевна
Токарева Марина Афанасьевна
– доктор технических наук, профессор, Оренбургский государственный университет, Оренбург, Россия, bars87@mail.ru
– кандидат педагогических наук, доцент, Оренбургский государственный университет Оренбург, Россия; Академия при Президенте Российской
Федерации, РАНХиГС, доцент, en_ischa@mail.ru
– кандидат технических наук, доцент, зав. кафедрой, Оренбургский государственный университет, Оренбург, Россия, tokareva@unpk.osu.ru
Tatiana M. Zubkova Elena N. Ishakova
Marina A. Tokareva
– Professor, D.Sc., Professor, Orenburg State University, Orenburg, Russia, bars87@mail.ru
– Associate professor, PhD, Associate professor, Orenburg State University, Orenburg, Russia; Associate professor, Russian Presidential Academy of National Economy and Public Administration, Orenburg, Russia;
en_ischa@mail.ru – PhD, Associate professor, Department head, Orenburg State University,
Orenburg, Russia, tokareva@unpk.osu.ru
Принято к печати 03.03.2014 Accepted 03.03.2014
162
Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики Scientific and Technical Journal of Information Technologies, Mechanics and Optics
2014, № 3 (91)
УДК 004.42; 519.85
РАЗРАБОТКА ПРОГРАММНОГО ОБЕСПЕЧЕНИЯ ВИЗУАЛИЗАЦИИ ПРОЦЕДУРЫ МНОГОМЕРНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ
ПОКАЗАТЕЛЕЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО ПРОЦЕССА1
Т.М. Зубковаa, Е.Н. Ишаковаa, b, М.А. Токареваa a Оренбургский государственный университет, Оренбург, Россия, bars87@mail.ru b Академия при Президенте Российской Федерации, РАНХиГС, Оренбург, Россия, en_ischa@mail.ru
Описана методика проведения многокритериальной оптимизации конструктивных параметров технологического объекта. Приведен обзор существующих методов оптимизации и анализ работ в области фундаментальных исследований и решения прикладных задач. Сформулирована постановка задачи на основании требований к технологическому процессу, позволяющая подобрать геометрические размеры рабочих органов машины и скорости протекания технологического процесса таким образом, чтобы результирующие технико-экономические параметры были оптимальными. В постановке задачи описано применение метода рабочих характеристик, адаптированного к конкретной предметной области. Приведена реализация поставленной задачи, описана методика построения характеристик исследуемого объекта с условием ограничений некоторых параметров как в аналитическом, так и в графическом представлении. На основании теоретических исследований разработана программная система, позволяющая автоматизировать нахождение оптимальных решений для конкретных задач. Используя имеющиеся исходные данные, характеризующие объект исследования, можно установить идентификаторы и ввести ограничения как с одной стороны, так и в интервале. В результате получена визуальная картина зависимостей основных параметров исследования от остальных, которые могут оказывать влияние на протекание технологического процесса и на качество выпускаемой продукции. Полученная оптимальная область показывает использование разных вариантов конструкции технологического объекта в приемлемом кинематическом диапазоне, что позволяет исследователю выбирать наилучшее конструктивное решение. Ключевые слова: векторная оптимизация, параметрический синтез, кубический сплайн, многокритериальная оптимизация, программная система, оптимальная область, технологический процесс, технологический объект.
VISUALIZATION SOFTWARE DEVELOPMENT FOR PROCEDURE OF MULTI-DIMENSIONAL OPTIMIZATION OF TECHNOLOGICAL PROCESS
FUNCTIONAL PARAMETERS1
T.M. Zubkovaa, E.N. Ishakovaa, b, M.A. Tokarevaa
aOrenburg State University, Orenburg, Russia, bars87@mail.ru b Russian Presidential Academy of National Economy and Public Administration, Orenburg, Russia, En_ischa@mail.ru
A method for multi-criteria optimization of the design parameters for technological object is described. The existing optimization methods are overviewed, and works in the field of basic research and applied problems are analyzed. The problem is formulated, based on the process requirements, making it possible to choose the geometrical dimensions of machine tips and the flow rate of the process, so that the resulting technical and economical parameters were optimal. In the problem formulation application of the performance method adapted to a particular domain is described. Task implementation is shown; the method of characteristics creation for the studied object in view of some restrictions for parameters in both analytical and graphical representation. On the basis of theoretical research the software system is developed that gives the possibility to automate the discovery of optimal solutions for specific problems. Using available information sources, that characterize the object of study, it is possible to establish identifiers, add restrictions from the one side, and in the interval as well. Obtained result is a visual depiction of dependence of the main study parameters on the others, which may have an impact on both the flow of the process, and the quality of products. The resulting optimal area shows the use of different design options for technological object in an acceptable kinematic range that makes it possible for the researcher to choose the best design solution. Keywords: vector optimization, parametric synthesis, cubic spline, multi-criteria optimization, program system, optimum area, technological process, technological object.
Введение
Векторная оптимизация широко применяется при решении прикладных задач в области машиностроения [1], экономики [2], радиоэлектроники [3], систем автоматизированного управления [4], нефтеперерабатывающего производства [5] и других областях.
В фундаментальных исследованиях рассмотрены вопросы решения задач оптимизации на метрических пространствах [6, 7]; при заданных линейных ограничениях [8]; предложены методы выпуклого анализа [9–11]; решены вопросы устойчивости в задачах оптимизации [12, 13]; разработаны
1 Работа выполнена при финансовой поддержке Правительства Оренбургской области (грант № 14-08-97031). 1 The paper was financially supported by the government of the Orenburg region (grant № 14-08-97031).
156
Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики Scientific and Technical Journal of Information Technologies, Mechanics and Optics
2014, № 3 (91)
Т.М. Зубкова, Е.Н. Ишакова, М.А. Токарева
методы приближенных решений в задачах векторной оптимизации [14]; теории векторных алгоритмов метода Монте-Карло для решения систем интегральных уравнений [15].
Среди методов отыскания оптимального (или рационального) решения по нескольким параметрам можно выделить метод Парето, весовой метод, метод векторной оптимизации на дискретном множестве; при линейных целевых функциях и линейных ограничениях; при гладких целевых функциях и отсутствии ограничений [16].
Несмотря на достаточную разработанность методов векторной оптимизации, остаются открытыми вопросы их прикладной привязки к решению проблем конкретной предметной области, и, в частности, к подбору конструктивных параметров технологических объектов.
Постановка задачи
Любой технологический процесс характеризуется энергоемкостью, производительностью машины и качеством выпускаемой продукции. При проведении параметрического синтеза можно подобрать геометрические размеры рабочих органов и скорость протекания технологического процесса таким образом, чтобы энергоемкость была минимальной, производительность – максимальной, качество выпускаемой продукции – удовлетворительным и др. Таким образом, необходимо решить многокритериальную задачу, т.е. провести векторную оптимизацию для достижения поставленных целей.
Один из наиболее удобных методов проведения параметрического синтеза технологических машин – метод рабочих характеристик. В нем исследователь ищет оптимум одного из технологических параметров, например, p1, при всех остальных показателях, приведенных в разряд ограничений типа равенства, т.е. решается задача нахождения p1max при p2=const, p3=const, …, pn=const [16].
Найденное максимальное значение p1max зависит от фиксированных значений p2=const, p3=const, …, pn=const. Эта зависимость является рабочей поверхностью вида p1max=f(p2, p3,…, pn).
Для нахождения рабочей поверхности величину p1max определяют при всех интересующих проектировщика комбинациях параметров p2,…, pn.
Рабочая поверхность, рассматриваемая как функция одного из своих аргументов, называется рабочей характеристикой. Таким образом, можно составить m–1 рабочую характеристику. Доказано, что рабочая поверхность содержит все точки, принадлежащие оптимальной поверхности. Необходимым и достаточным условием совпадения рабочей и оптимальной поверхностей является монотонно убывающий характер всех соответствующих этой поверхности рабочих характеристик. Исходя из этого, после отыскания рабочих характеристик необходимо исключить из них все возрастающие участки [16].
Реализация поставленной задачи
Суть рассматриваемого метода состоит в том, что в прямоугольной системе координат определяет-
ся зависимость одного параметра от другого при неизменных значениях всех остальных параметров оп-
тимизируемого объекта. При изучении влияния на технико-экономические результаты конструктивного
(геометрического или технологического) параметра объекта его фиксированное значение изменяется сту-
пенчато при постоянных значениях остальных параметров. Получается система зависимостей первого
параметра от второго, разнящихся значениями конструктивного параметра и образующих координатную
сетку другой системы координат, в которой переменной является конструктивный (геометрический, тех-
нологический) параметр.
В первой системе координат строится координатная сетка изменения третьего, четвертого и пятого
параметров. Поверхность, образованная точками зависимости первого параметра от второго, является
рабочей или оптимальной поверхностью рассматриваемого конструктивного (геометрического, техноло-
гического) параметра. Данные характеристики могут быть использованы для нахождения оптимальной
поверхности параметров и последующего параметрического синтеза оптимального технологического
объекта.
Множество параметров Mi , i 1, ..., n (множество качеств и свойств технологического объекта)
может быть представлено в виде Mi Mi (N1, N2 , ..., Nn ) , где N1, N2 ,..., Nn – геометрические, конструктивные, кинематические и другие параметры.
Анализ результатов оптимизации предопределен программой вычислений, в которой рассматри-
ваемые параметры вычисляются и ограничиваются допустимыми значениями. Ограничения параметров
имеют вид
pn k1 ,
(1)
k2 pn k3 ,
(2)
pn k4 ,
(3)
где k1, k2 , k3, k4 – возможные уровни ограничения параметров. До начала оптимизации исследователь должен определить ограничения параметров в виде (1), (2) или (3). При построении рабочих характери-
стик первого, второго, третьего и так далее до n -го вспомогательного параметра необходимо включать эти
Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики Scientific and Technical Journal of Information Technologies, Mechanics and Optics
157
2014, № 3 (91)
РАЗРАБОТКА ПРОГРАММНОГО ОБЕСПЕЧЕНИЯ ВИЗУАЛИЗАЦИИ ПРОЦЕДУРЫ... .
ограничения в число определяемых значений, причем таким образом, чтобы в область допустимых значений попало достаточное число функциональных зависимостей рабочих характеристик [17]. Тогда в принятой системе координат функциональные зависимости на рабочей поверхности ограничат оптимальный участок, если таковой имеется. Также оптимальный участок может быть ограничен значениями параметров, которые выбраны в качестве основных pосн1 и pосн2. Графическое представление полученных результатов более наглядно отражает вид взаимосвязи между интересующими исследователя параметрами.
По имеющейся математической модели, заданным исходным данным (геометрическим, конструктивным, кинематическим), а также данным, характеризующим свойства обрабатываемого материала, получаем результаты, которые являются технико-экономическими параметрами технологического процесса (рис. 1).
Исходные данные
конструктивные параметры пространства взаимодействия,
кинематические, технологические
параметры и др.
Технологический объект
модель механического взаимодействия рабочих органов с обрабатываемым
материалом
Технико-экономические параметры
КПД, производительность, энергоемкость, качество продукции и др.
Рис. 1. Взаимосвязь входных параметров технологического процесса и результатов обработки материала
Из получившихся технико-экономических параметров можно выбрать два, которые в настоящий
момент имеют наибольший интерес, и обозначить их через I1 и I2 , далее по этим параметрам провести оптимизацию.
Выбрав какой-то параметр из исходных, например, диаметр конструктивного элемента, можно из-
менять его значения в сторону увеличения или уменьшения и соответственно получать значения технико-
экономических параметров для каждого изменения, т.е. получать семейства зависимостей pi f (I1) ,
i 1, ..., n и I2 f (I1) для выбранного изменяющегося входного параметра.
Затем технико-экономические параметры разделяются по конструкциям, сортируются по интере-
сующему параметру ( I1 ). Проводится интерполяция кубическим сплайном в виде
yi
ai
bi
x
xi1 ci
x
x 2 i 1
di
x
xi1 3 ,
где ai , bi , ci , di – коэффициенты кубического сплайна, x xi1, xi , i 2, ..., n .
Коэффициенты сплайна можно определить, если принять в узлах непрерывность первой и второй
производных и нулевую кривизну в граничных точках x0 и xn . Последнее предположение не может существенно отразиться на точности определения оптимальной области, поскольку относится к контуру
рабочей характеристики. Интерполяция проводится для выходных параметров р1 от интересующего па-
раметра I1 , р2 от I1 , р3 от I1 , …, рn от I1 , а также I2 от I1 .
Получаем зависимости p1 f (n, I1) , p2 f (n, I1) , p3 f (n, I1), ..., pn f (n, I1) и I2 f (n, I1) , где n – варианты изменения входного параметра (рис. 2). Все эти зависимости характерны тем, что каждая
из них построена при изменении некоторого входного параметра, влияние которого исследуется при из-
менении скорости протекания технологического процесса, а все остальные входные параметры имеют
постоянные значения. Количество семейств диаграмм на характеристике определяется количеством вари-
антов, которых должно быть не менее пяти, поскольку при таком значении можно определить вид графи-
ка достаточно точно.
Далее определяем интервалы изменения выходных параметров, они могут иметь верхнюю границу
p1в – считаем, что большие значения этого параметра могут негативно сказаться на качестве готовой продукции или привести к быстрому износу оборудования и т.п. (рис. 2, а). Параметры могут иметь нижнюю
границу p3н – меньшие значения данного параметра нецелесообразны (рис. 2, в). Значения параметров могут также находиться в интервале p2в–p2н, как показано на рис. 2, б, или не иметь ограничений, когда весь диапазон представленной характеристики удовлетворяет заданным требованиям (рис. 2, г).
Если прямая ограничений не пересекает все варианты зависимости p1 f (n, I1) , то нас будут интересовать первая и последняя точки на этих кривых. Если ветвь кривой параллельна оси абсцисс, то мо-
жет быть два варианта решения. В первом случае, если ограничения на данный параметр выполняют все
конструкции, то на основном графике они отображаются согласно своим граничным значениям по I1 . Во
158
Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики Scientific and Technical Journal of Information Technologies, Mechanics and Optics
2014, № 3 (91)
Т.М. Зубкова, Е.Н. Ишакова, М.А. Токарева
втором случае, если какие-то конструкции не попадают в заданный интервал, на основном графике они просто отбрасываются.
р1 n р2 n
р1в
5 4 3
12
5 4
р2в 3
2
1
р2н
I1 I1
аб р3 рn
n 5 4 3
2 1 р3н
n 5 4 3 2 1
I1 в
I1 г
Рис. 2. Схематическое изображение зависимостей p1 f (n, I1 ) , p2 f (n, I1) , p3 f (n, I1), pn f (n, I1)
и промежуточные построения для границ оптимальной области: параметры имеют верхнюю границу (а); параметры находятся в интервале (б); параметры имеют нижнюю границу (в); параметры не имеют ограничений (г); 1–n – номера вариантов конструкций
Таким образом, в результате вышеописанных действий получаем от первого параметра I1 матрицу размерностью (n×2) значений, аналогичные матрицы получаем от второго и третьего параметров и т.д.
Затем по сплайнам зависимостей второго основного параметра от первого I2 f (I1) и найденным значе-
ниям первого основного параметра I1(n, 2) находим значения второго основного параметра. По вновь
полученным точкам строим кубический сплайн I2 f (I1) при постоянном значении первого основного
параметра p1 const , по этим кривым определим оптимальную область выбранного входного параметра
согласно условиям (1)–(3). Далее по полученным данным возможно построение графических зависимостей. Строятся оси ко-
ординат первого и второго основных параметров, координатная сетка по оси Ox , проводится масштаби-
рование и разбивка по осям Ox и Oy . Строятся кривые I2 f (n, I1) , p1=const, p2=const, p3=const и т.д.,
затем с учетом ограничений определяется оптимальная область. На ней видно, при каких значениях входного параметра интересующий нас технико-экономический параметр (выходной параметр) становится максимальным с учетом ограничений других параметров. Согласно ограничениям, показанным на рис. 2, получаем оптимальную область (рис. 3).
На рис. 3 видно, что конструкции 1 и 2 не попадают в оптимальную область, т.е. не удовлетворяют заданным требованиям по некоторым параметрам. В оптимальную область входят конструкции 3, 4 и 5 в определенных кинематических ограничениях.
Далее фиксируем значение этого входного параметра и переходим к нахождению оптимального значения другого параметра. Этот процесс продолжается до тех пор, пока не будут исследованы все входные параметры, для которых есть смысл проводить параметрический синтез.
Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики Scientific and Technical Journal of Information Technologies, Mechanics and Optics 2014, № 3 (91)
159
РАЗРАБОТКА ПРОГРАММНОГО ОБЕСПЕЧЕНИЯ ВИЗУАЛИЗАЦИИ ПРОЦЕДУРЫ... .
I2 р2н р1в
1 2 3 45 n
р3н р2в
I1
Рис. 3. Построение оптимальной области
Результаты применения разработанной методики
По данной методике разработана программная система (ПС), которая позволяет автоматизировать процесс оптимизации [18]. На рис. 4, а, показана работа ПС.
аб Рис. 4. Работа программной системы (а); идентификация параметров (б)
В закладке «Задание» можно ввести новые данные (например, полученные с помощью физического эксперимента) или открыть данные, сохраненные в результате вычислительного эксперимента (рис 4, а). В закладке «Параметры» можно ввести названия исследуемых переменных, как основных, так и вспомогательных (рис. 4, б). В нижней части основного окна вводятся ограничения параметров, которые по семантике могут задавать границу сверху и снизу или диапазон. Можно построить зависимости выбранных параметров в виде графиков, как показано на рис. 5, а (закладка «Графики»). С учетом ограничений, показанных на рис. 4, а, оптимальная область исследуемого объекта имеет вид, представленный на рис. 5, б. Панель инструментов дублирует наиболее частые действия основного меню.
Графики зависимостей параметров выполняются разными цветами для улучшения визуального восприятия идентифицируемых параметров.
Заключение
Таким образом, на основании рассмотренной методики векторной оптимизации у исследователя появляется возможность получить технологическую машину с заранее заданными свойствами и характеристиками. Разработанная программная система позволяет повысить производительность труда инженера-конструктора. Данный метод также может быть успешно применен для решения задач оптимизации в других научных областях.
160
Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики Scientific and Technical Journal of Information Technologies, Mechanics and Optics
2014, № 3 (91)
Т.М. Зубкова, Е.Н. Ишакова, М.А. Токарева
Рис. 5. Построение графических зависимостей (а); оптимальная область исследуемого объекта (б)
Литература
1. Зубкова Т.М. Параметрический синтез технологических объектов с использованием программных средств // Вестник Оренбургского государственного университета. 2006. № 5. С. 150–157.
2. Никонов О.И., Медведев М.А. Методы векторной оптимизации в работе с контрагентами предприятий // Экономика региона. 2011. № 3. С. 217–224.
3. Охрущак Д.В., Скоблилова Н.М., Стасюк В.И., Мухин А.М. Векторная оптимизация комбинированных систем фазовой автоподстройки // Известия высших учебных заведений. Радиоэлектроника. 2003. Т. 46. № 8. С. 30–34.
4. Северин B.П. Векторная оптимизация интегральных квадратичных оценок систем автоматического управления // Известия РАН. Теория и системы управления. 2005. № 2. С. 52–61.
5. Сизиков А.П. Разработка предметно-ориентированных систем оптимизации (на примере нефтеперерабатывающего производства) // Управление большими системами: сборник трудов. 2012. Т. 40. С. 291–310.
6. Бахтин В.И., Гороховик В.В. Условия оптимальности первого и второго порядка в задачах векторной оптимизации на метрических пространствах // Труды института математики и механики УрО РАН. 2009. Т. 15. № 4. С. 32–43.
7. Брусов B.C., Суздальцев А.Л. Применение теоретико-множественного подхода к учету неопределенностей при решении задач векторной оптимизации // Автоматика и телемеханика. 2008. № 4. С. 94– 100.
8. Гавалец М., Гад М., Циммерман К. Задачи оптимизации при (max, min) -линейных ограничениях в виде равенств и/или неравенств // Фундаментальная и прикладная математика. 2012. Т. 17. № 6. С. 3–21.
9. Кутателадзе С.С. Многоцелевые задачи выпуклой геометрии // Сибирский математический журнал. 2009. Т. 50. № 5. С. 1123–1137.
10. Титаренко В.Н., Ягола А.Г. Метод отсечения выпуклых многогранников и его применение к некорректным задачам // Вычислительные методы и программирование. 2000. Т. 1. № 1. С. 8–13.
11. Пиуновский А.Б. Управляемые случайные последовательности: методы выпуклого анализа и задачи с функциональными ограничениями // Успехи математических наук. 1998. Т. 53. № 6 (324). С. 129–192.
12. Емеличев В.А., Кузьмин К.Г., Леонович А.М. Устойчивость в векторных комбинаторных задачах оптимизации // Автоматика и телемеханика. 2004. № 2. С. 79–92.
13. Лебедева Т.Т., Семенова Н.В., Сергиенко Т.И. Устойчивость векторных задач целочисленной оптимизации: взаимосвязь с устойчивостью множеств оптимальных и неоптимальных решений // Кибернетика и системный анализ. 2005. Т. 41. № 4. С. 89–100.
Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики Scientific and Technical Journal of Information Technologies, Mechanics and Optics 2014, № 3 (91)
161
РАЗРАБОТКА ПРОГРАММНОГО ОБЕСПЕЧЕНИЯ ВИЗУАЛИЗАЦИИ ПРОЦЕДУРЫ... .
14. Рабинович Я.И. О сравнении приближенных решений в задачах векторной оптимизации // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2006. Т. 46. № 10. С. 1790–1801.
15. Михайлов Г.А., Медведев И.Н. Векторные оценки метода Монте-Карло: двойственные представления и оптимизация // Сибирский журнал вычислительной математики. 2010. Т. 13. № 4. С. 423–438.
16. Руднев В.Е., Володин К.М., Лучанский В.Б., Петров В.Б. Формирование технических объектов на основе системного анализа. М.: Машиностроение, 1991. 318 с.
17. Карташов Л.П., Зубкова Т.М. Параметрический и структурный синтез технологических объектов на основе системного подхода и математического моделирования. Екатеринбург: УрО РАН, 2009. 225 с.
18. Зубкова Т.М., Ишакова Е.Н., Кузьмин М.И. Программная система проведения параметрической векторной оптимизации: Свидетельство о государственной регистрации программ для ЭВМ №2013660216. Заявлено 02.09.2013. Опубл. 28.10.2013.
Зубкова Татьяна Михайловна Ишакова Елена Николаевна
Токарева Марина Афанасьевна
– доктор технических наук, профессор, Оренбургский государственный университет, Оренбург, Россия, bars87@mail.ru
– кандидат педагогических наук, доцент, Оренбургский государственный университет Оренбург, Россия; Академия при Президенте Российской
Федерации, РАНХиГС, доцент, en_ischa@mail.ru
– кандидат технических наук, доцент, зав. кафедрой, Оренбургский государственный университет, Оренбург, Россия, tokareva@unpk.osu.ru
Tatiana M. Zubkova Elena N. Ishakova
Marina A. Tokareva
– Professor, D.Sc., Professor, Orenburg State University, Orenburg, Russia, bars87@mail.ru
– Associate professor, PhD, Associate professor, Orenburg State University, Orenburg, Russia; Associate professor, Russian Presidential Academy of National Economy and Public Administration, Orenburg, Russia;
en_ischa@mail.ru – PhD, Associate professor, Department head, Orenburg State University,
Orenburg, Russia, tokareva@unpk.osu.ru
Принято к печати 03.03.2014 Accepted 03.03.2014
162
Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики Scientific and Technical Journal of Information Technologies, Mechanics and Optics
2014, № 3 (91)