ВЛИЯНИЕ ДЕЦЕНТРИРОВКИ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВРАЩЕНИЯ НА ПОЛОЖЕНИЕ ПЛОСКОСТИ ИЗОБРАЖЕНИЯ
РАСЧЕТ, ПРОЕКТИРОВАНИЕ И ПРОИЗВОДСТВО ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ
УДК 535.317.1: 618.7.028
ВЛИЯНИЕ ДЕЦЕНТРИРОВКИ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВРАЩЕНИЯ НА ПОЛОЖЕНИЕ ПЛОСКОСТИ ИЗОБРАЖЕНИЯ
© 2010 г. В. А. Зверев, доктор техн. наук; Е. С. Рытова; И. Н. Тимощук, канд. техн. наук
Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики
Дано определение децентрировки оптических поверхностей вращения сферической и несферической формы, составляющих оптическую систему, определено влияние децентрировки поверхностей на положение образованного изображения. Изложенные соотношения применимы как для преломляющих, так и для отражающих поверхностей.
Ключевые слова: децентрировка, аберрации, качество изображения.
Коды OCIS: 200.0200, 220.0220.
Поступила в редакцию 25.11.2009.
При проектировании оптических систем, состоящих из сферических и несферических преломляющих и (или) отражающих поверхностей вращения, в качестве конструкторской базы принимается линия, называемая оптической осью. На этой линии, по замыслу конструктора, должны располагаться центры кривизны сферических и геометрические оси несферических поверхностей. В качестве конструкторской базы, определяющей относительное положение поверхностей в направлении оптической оси, принимаются их осевые точки (вершины).
В процессе изготовления оптических систем центры кривизны смещаются относительно базовой линии (оптической оси). Поперечное смещение центра кривизны поверхности относительно оптической оси называется ее децентрировкой.
На рис. 1а представлено сечение двояковыпуклой линзы меридиональной плоскостью, в которой расположены центры кривизны поверхностей, смещенные относительно оптической оси O0−O0 на расстояния δ1 и δ2 соответственно. Очевидно, что поперечное смещение плоской поверхности относительно оптической оси не влияет ни на положение изображения, ни на ход лучей. Дополним сферические поверхности линзы плоскими поверхностями, перпендикулярными оптической оси, образовав выпуклоплоскую и плосковыпуклую линзы [1], оптические оси
которых O1−O1 и O2−O2 параллельны оптической оси O0−O0 оптической системы в целом и смещены относительно нее на расстояния δ1 и δ2 соответственно, как показано на рис. 1б. При
(а)
С2 O0 2
С02
С01
–1 С1
O0
(б)
O2 С2
O0 2 С02
O1
O2
С01 O0 – 1 O1
С1
Рис. 1. Вариант интерпретации децентрировки сферических поверхностей отдельной линзы в воздухе.
8 “Оптический журнал”, 77, 6, 2010
такой интерпретации децентрировки поверхностей линзы естественно ожидать лишь поперечного смещения изображения, образованного децентрированной линзой.
Пусть осевая точка A0i предмета y0i = y0′ i – 1 расположена на оптической оси O0−O0 системы, а центр кривизны Ci i-й поверхности смещен в поперечном направлении на расстояние δi, как показано на рис. 2. Следуя [2], рассмотрим влияние децентрировки i-й поверхности на положение изображения предмета y0i. Для этого через центр кривизны Ci i-й поверхности проведем линию Oi−Oi, параллельную оптической оси O0−O0. При этом осевой точкой предмета для i-й поверхности будет точка Ai, смещенная относительно точки A0i на расстояние δi. В этом случае величина предмета yi = y0i − δi.
Тогда величина изображения этого предмета, образованного i-й поверхностью, y′i = Viyi, где Vi − поперечное увеличение изображения, образованного i-й поверхностью.
И в этом случае осевая точка изображения A′i будет смещена относительно соответствующей точки A0′ i = A0i + 1 на оптической оси на расстояние, равное δi. При этом yi′ = y′0i − δi. Тогда
y0′ i = y′i + δi = y0iVi + (1 − Vi)δi.
При δi = 0 имеем y′0i(0) = Viy0i. В результате получаем, что поперечное смещение изображения предмета y0i, образованного децентрированной i-й поверхностью оптической системы, –
Δy0′ i = y′0i − y′0i(0) = (1 − Vi)δi.
Пересчитанное в пространство изображений оптической системы, содержащей k поверхностей, это смещение составит
∏ ∏k−1 k−1
Δy0′ ik = Δy0′ i Vi+1 = δi (1− Vi ) Vi+1,
ii
а обусловленное суммарным действием децентрировок поверхностей оптической системы –
y0iyi Ai
Oi
O0 i = –mi
A0i Oi+1
di– i
mi + 1
Ci Oi
O0 –δi+1 Oi+1
Ci + 1
di
Рис. 2. Оптическая система децентрированных сферических поверхностей.
∑ ∏i=k k−1
Δy′= δi (1− Vi ) Vi+1.
i=1 i
Заметим, однако, что если луч, исходящий из осевой точки предмета, направить вдоль оптической оси (базовой линии), то в общем случае, пройдя систему децентрированных поверхностей, он выйдет под некоторым углом к ней. Действительно, легко показать, что угол ϕ, образованный нормалью к сферической поверхности в точке падения луча с оптической осью, равен
ϕ = σ − ε = σ′ − ε′,
(1)
где ε и ε′ − углы падения и преломления луча, σ и σ′ − углы, образованные лучом с оптической осью в пространстве предметов и изображений.
При этом
sinϕ = m/r,
(2)
где r − радиус кривизны сферической поверхности, m − расстояние от оптической оси до точки падения луча на поверхность. В соответствии с законом преломления nsinε = n′sinε′. Применив выражение (1), получаем
nsin(σ − ϕ) = n′sin(σ′ − ϕ).
(3)
В рассмотренном случае углы ϕ, σ и σ′ малы, что позволяет выражение (3) записать в виде
n(σ − ϕ) = n′(σ′ − ϕ),
(4)
где ϕ = m/r. Преобразуем выражение (4) к виду
n′σ′−
nσ
=
m
n′− r
n
.
(5)
Для луча, исходящего из осевой точки пред-
мета в направлении оптической оси, имеем σi =
= 0, вид
σmi′ =i =−δ−iδni.ni+Пi1+р−1rиni iэ.тоИмз
формула (5) принимает рис. 2 следует, что для
(i + 1)-й поверхности угол σi + 1 = σi′, а высота
mi + 1 = −δi + 1 − σi + 1di. Подставив соответствую-
щие величины в формулу (5), получаем
σi′+1
=
σi+2
=
ni+1 ni+2
σi+1 −
ni+2 −ni+1 ni+2
δi+1
+ σi+1di ri+1
.
Очевидно, что продолжая расчет хода луча через систему из k поверхностей, найдем значение угла σk′ и высоту mk точки пересечения луча с последней поверхностью.
Среди поверхностей оптической системы могут оказаться и плоские, поперечное смещение которых не влияет ни на положение образован-
“Оптический журнал”, 77, 6, 2010
9
ного изображения, ни на ход осевого луча. Очевидной и неизбежной погрешностью положения (децентрировкой) плоских поверхностей является их наклон (поворот) относительно нормали к оптической оси.
На рис. 3а осевая точка A предмета y и центр кривизны сферической поверхности плосковыпуклой линзы расположены на оптической оси O–O, а плоская поверхность образует с нормалью к оси угол γ. Очевидно, что такую линзу можно заменить эквивалентной оптической системой, состоящей из центрированной плосковыпуклой линзы и клина с углом при вершине, равным γ. Угол γ будем считать положительным, если ребро P клина расположено над оптической осью, и отрицательным в противном случае. Предположим, что предыдущая система в сочетании с центрированной плосковыпуклой линзой образует безаберрационное изображение предмета, которое становится для клина предметом yk, расположенным на расстоянии s0k1 от его первой поверхности, как показано на рисунке 3б.
Осевая симметрия световых пучков лучей, формирующих изображение предмета, нарушается клином, что приводит к появлению аберраций изображения. Полагая пучки лучей узкими, рассмотрим влияние наклона плоской поверхности на астигматизм изображения. Положение
(а)
y О
A
P
O С1
(б) O
P K Ok
Ak Ak yk
A0k
A0k
O
k
s0k1
Рис. 3. Влияние децентрировки плоской поверхности на положение изображения предмета.
точки предмета и ее изображения, образованного бесконечно тонким меридиональным пучком лучей, определяется формулой Юнга–Аббе [3] как
n′cos2ε sm′
′
−
ncos2ε sm
=
n
′cosε
′− r
ncosε
,
(6)
а образованное бесконечно тонким сагиттальным пучком –
n′ ss′
−
n ss
=
n′cosε′ − r
ncosε
,
(7)
где sm и ss – расстояния от точки предмета до точки падения луча на поверхность оптической
системы в меридиональной и в сагиттальной
плоскостях, s′m и s′s – расстояния от точки падения луча на поверхность оптической системы
до изображения точки предмета, образованного
тонкими пучками лучей в меридиональной и в
сагиттальной плоскостях.
Учитывая равенство правых частей выраже-
ний (6) и (7), при ss = sm = s0 находим
1 ss′
−
cos2ε′ sm′
=
nsin2ε n′s0
.
(8)
Это выражение легко преобразовать к виду
sm′ ss′
−1 =
n2 n′2
⎜⎝⎛⎜⎜nn′
sm′ s0
−1⎟⎠⎞⎟⎟⎟sin2ε.
(9)
Без заметной потери точности можно принять
sm′ s0
≈
s0′ s0
.
В
результате
получаем
sm′ ss′
−1 =
⎜⎜⎛⎜⎜⎝V0
−
n2 n′2
⎞⎟⎟⎟⎟⎠sin2ε.
(10)
При малых значениях углов ε это выражение
принимает вид
sm′ ss′
−1 = ⎝⎜⎜⎜⎜⎛V0
−
n2 n′2
⎟⎟⎠⎟⎞⎟ε2,
где V0 – поперечное увеличение изображения, образованного преломляющей поверхностью.
В случае плоской поверхности V0 = 1× и тогда
sm′ ss′
−1 =
n ′2 − n2 n′2
ε2.
Пренебрегая величиной второго порядка малости, получаем ss′ = sm′ = s′0.
Заметим, что в рассматриваемом случае интерес представляет лишь ориентация изображения, образованного клином, относительно оптической оси. Поэтому размер предмета можно принять достаточно малым, чтобы ход главного
10 “Оптический журнал”, 77, 6, 2010
луча в пространстве предметов считать телецент-
рическим. Расстояние от предмета до первой
плоской поверхности клина (рис. 3б) KA0k =
= PAk = s0k1 = sk1. Его изображение определим,
применив формулу Аббе, в соответствии с кото-
рой,
при
r
=
∞ отрезок
s0′ k1
=
n′ n
s0k1
=
sk′1;
отрезок
s0k2 = sk′1 − ykγ, а отрезок sk2 = sk′1. Применив фор-
мулу Аббе,
sk′ 2
=
n′′ n
s0k1.
находим, что s0′k2 Малая величина
=
n′′ n′
угла
s0k2
−
n′′ n′
yk γ,
а
γ определяет
малые угловые отклонения падающих лучей.
Поэтому, полагая отрезки равными их проек-
циям, отклонение изображения относительно
предмета определим углом ψ, равным
ψ
=
KOk
+ s0′ k2 − sk′2 KP
=
=
yk′ γ
+
n′′ n
s0k1
−
n′′ n′
yk
yk γ
−
n′′ n
s0k1
=
n ′ − n ′′ n′
γ.
В рассматриваемом случае n′ = n, n″ = 1. При
этом
ψ
=
n
−1 n
γ.
(11)
Очевидно, что осевой луч отклоняется клином от оптической оси на угол
σ′ = (n – 1)γ.
(12)
Отклонение изображения предмета от нормали к этому лучу определяется углом
ψk
=
ψ
+
σ′
=
n2 −1 n
γ.
(13)
“Вопрос об установлении допусков на изготовление и взаимное расположение деталей в оптической системе можно рассматривать, опираясь на введение в том или ином месте оптической системы некоторого “деформирующего элемента”, возникающего при нарушении номинальных размеров или расположения той или иной детали” [4]. В рассматриваемом случае отклонение плоской поверхности от номинального положения привело к появлению деформирующего элемента в виде клина, определившего наклон изображения предмета и преломление осевого луча. Деформирующим элементом децентрированной сферической поверхности можно считать отклонение положения ее центра кривизны от номинального.
На рис. 4 представлено сечение меридиональной плоскостью децентрированной сферической
Ai
O yi Oi A~i O0i
i
C~i C0i
O
i –i
Ci
Рис. 4. “Деформирующий элемент” сферической поверхности.
поверхности, центр кривизны которой располо-
жен в точке Ci, смещенной относительно оптической оси O−O системы на расстояние, равное – δi.
Возьмем на следе поверхности произвольную
точку Ai и повернем поверхность вокруг оси, проходящей через точку Ai нормально к поверхности рисунка, до совмещения центра кривизны
с оптической осью O−O в точке C0i. В результате получаем, что деформирующим элементом
децентрированной сферической поверхности
является криволинейный клин OiAiO0i [5, 6], величина и знак которого для i-й линзы в воз-
духе определяется углом γij
γij
= (−1)j
δij rij
,
(14)
где j = 1, 2.
Как показано в [6], при соблюдении условия Ai Ai = δyi ≤ δi продольное смещение центра кривизны C0i поверхности относительно точки Ci , равное отрезку CiC0i = Δi, будет величиной второго порядка малости, а угол между касатель-
ными к поверхности в исходном и повернутом
положениях в точках Оi и О0i будет определяться тем же соотношением (14).
Оптические системы, как правило, состоят из
линз, образованных сферическими поверхностя-
ми. Децентрировка поверхностей линз приводит
к тому, что их оптические оси не совпадают с
линией, принятой в качестве базовой (т. е. с опти-
ческой осью системы), занимая в общем случае
некоторое наклонное положение, как показано
на рис. 5. На этом рисунке оптическая ось лин-
зы Оi–Оi образует с оптической осью О0–О0 системы угол γi, который определяется очевидным выражением вида
“Оптический журнал”, 77, 6, 2010
11
γi
=
−
δi2 ri2 −
− δi1 ri1 + di
.
(15)
При этом θi = ψi − γi. Повернем первую поверхность вокруг точки Оi1 до совмещения центра кривизны Ci1 поверхности с оптической осью системы в точке C0i1. При этом можно считать, что отрезок O0i1A0i = −s0i1, а отрезок O0i1K = Oi1K. Тогда из треугольника A0iK ACi находим, что
s0i1 − O0i1K cosθi
=
si1 − Oi1K cosψi
.
(16)
Учитывая, что углы cosθi = 1−0,5θ2i , cosψi =1
ψi и θi малы, имеем −0,5ψ2i и с погрешно-
стью, не превышающей второго порядка малости,
получаем, что s0i1 = si1, а следовательно, поперечное увеличение изображения, образованного
децентрированной линзой, Vi = V0i. Введем обозначения: Aci Aci = −δzi, Ac′i Ac′i = −δzi′; Aci Ai = yi,
Ac′i Ai′ = −yi′.
При
этом
θi
=
δzi yi
,
θi′
=
δzi′ yi′
и yi′ =
= V0iyi, а δzi′ = Q0iδzi, где Q0i – продольное увели-
чение [7]. Для изображения, образованного лин-
зой в воздухе, Q0i = V20i и тогда (см. рис. 5)
θi′ = V0iθi,
(17)
ψi′ = ψi+1 = θi′ + γi.
(18)
Луч, исходящий из осевой точки предмета A0i в направлении оптической оси O0−O0 системы, падает в точку O0i1 первой поверхности линзы на расстоянии Oi1O0i1 = −mi1 от оптической оси Oi−Oi линзы под углом σi1 = −γi к ней. При этом
−mi1 = ri1γi + δi1.
(19)
В соответствии с формулой (5) в рассматриваемом случае угол
σi′1 =
σi2 =
ni1 ni2
σi1 + mi1
ni2 −ni1 ni2ri1
=
= −γi −
ni2 −ni1 ni2
δi1 ri1
.
(20)
На второй поверхности линзы расстояние
и угол
mi2 = mi1− σi′1di
(21)
σi′2
=
ni2 ni3
σi2
+
mi2
ni3 −ni2 ni3ri2
.
(22)
Расстояние от точки пересечения оптической
оси O0−O0 со второй поверхностью i-й линзы до вершины поверхности на оптической оси Oi−Oi равно m0i2 = ri2γi + δi2. При этом расстояние от оптической оси O0−O0 до точки пересечения рассматриваемого луча с первой поверхностью
(i + 1)-й линзы
m0i+1,1 = m0i2 + mi2 − di, i+1σ0′ i2,
где di, i + 1 – расстояние между второй поверхностью i-й линзы и первой поверхностью (i + 1)-й
линзы, σ0′ i2 = γi + σi′2. Предположим, что в результате децентри-
ровки поверхностей (i + 1)-й линзы ее оптическая
ось Oi + 1 − Oi + 1 повернулась относительно оптической оси O0−O0 на угол γi + 1, равный
γi+1
=
δi+1,2 − δi+1,1 ri+1,1 − di+1 − ri+1,2
.
(23)
Ai –θi A~i
Oi A~Ci
ACi Ci2
O0 i
A0i C0i2
i
–i –si1
–ri2 Oi1
O0i1
K
di
– i1 ri1
si2
C0i1 A0i +1
Ci1
A~0i
i+
A0i
1
Ai A~i
O0 Oi
i
Рис. 5. Положение изображения, образованного децентрированной линзой. 12 “Оптический журнал”, 77, 6, 2010
При этом расстояние от осевой точки (от вершины) первой поверхности (i+1)-й линзы до точки пересечения с ней рассматриваемого луча равно
mi+1,1 = m0i+1,1 − ri+1,1γi+1 − δi+1,1
и может быть представлено в виде
mi+1,1 = mi2 + ri2i γi − ri+1,1γi+1 − − di,i+1(σi′2 + γi ) + δi2 − δi+1,1.
(24)
Полученные соотношения (15)–(24) позволя-
ют определить наклон изображения, образо-
ванного оптической системой из k децентриро-
ванных линз, и ход осевого луча через нее. По-
скольку изображение осевой точки A0i должно быть расположено на этом луче, то в результате
его расчета можно определить поперечное сме-
щение изображения предмета относительно ба-
зовой линии (оптической оси) O0−O0. Действительно, в результате расчета хода луча получаем
значение угла σk′ и положение точки пересечения луча с последней поверхностью системы, опреде-
ляемое расстоянием mk2. При этом поперечное смещение изображения точки A0i относительно оси O0−O0 определится как
Δy0′ = mk2− s0′k (σk′ 2 + γk )+ rk2γk + δk2. (25)
Поперечное смещение центра кривизны от-
дельной поверхности относительно оптической
оси системы, т. е. децентрировка поверхности,
определяется не только величиной, но и направ-
лением, т. е. векторной величиной. Вектор дессцотеиснттиарви–δлрiяsою–вщквииумпсоилв:ое–δврiнmхон–йовссмтаигеир–δитiтдмаиоложьнннаолойьпнпроелйдоспстклаоовссикттиоь,перпендикулярной меридиональной и содержа-
щей оптическую ось. При этом должно соблюдаться очевидное условие δi2m + δi2s = δ2i ≤ (δCi), где δCi – допустимая (наибольшая) величина модуля вектора децентрировки.
Наибольшая абсолютная величина угла по-
ворота оптической оси Oi−Oi децентрированной i-й линзы равна
γi
=
δCi + δCi+1 ri1− di − ri2
.
(26)
В частном случае, когда знаменатель выраже-
ния – малая величина, угол γi может оказаться сколь угодно большим и применение формулы
(26) теряет практический смысл. Так, например,
когда поверхности линзы концентричны друг другу, ri1 − di − ri2 = 0. При малом расстоянии между центрами кривизны поверхностей децентрировку линзы определяют максимальной разностью толщин (разнотолщинностью, косиной линзы) на ее диаметре. Для анализа влияния децентрировки такой линзы на положение изображения линзу можно заменить эквивалентной системой, состоящей из центрированной линзы и соответствующих криволинейных клиньев.
Потребность в создании оптических систем, формирующих изображения высокого качества при “форсированных” значениях относительного отверстия и углового поля, определяет необходимость применения несферических поверхностей вращения. Возможны два вида децентрировки несферической поверхности: поперечное смещение вершины поверхности (оси вращения) и наклон оси вращения на малый угол относительно оптической оси системы. При этом в общем случае ось вращения и оптическая ось системы могут и не пересекаться. Однако в области малых величин влияние обоих видов децентрировки несферической поверхности можно рассматривать независимо друг от друга.
Итак, изложенные соображения дают наглядное представление о децентрировке оптических поверхностей и о ее влиянии на положение образованного оптической системой изображения.
ЛИТЕРАТУРА
1. Хопкинс Р. Сборка и центрировка объективов. В сб. “Проектирование оптических систем” / Пер. с англ. М.: Мир, 1983. 432 с.
2. Иванова Т.А., Кирилловский В.К. Проектирование и контроль оптики микроскопов. Л.: Машиностроение, 1984. 231 с.
3. Слюсарев Г.Г. Методы расчета оптических систем. Л.: Машиностроение, 1969. 672 с.
4. Русинов М.М. Юстировка оптических приборов. М.: Недра, 1969. 328 с.
5. Погарев Г.В. Юстировка оптических приборов. Л.: Машиностроение, 1982. 237 с.
6. Губель Н.Н. Аберрации децентрированных оптических систем. Л.: Машиностроение, 1975. 272 с.
7. Вычислительная оптика. Справочник. Под. общ. ред. М.М. Русинова. Л.: Машиностроение, 1984. 423 с.
“Оптический журнал”, 77, 6, 2010
13
УДК 535.317.1: 618.7.028
ВЛИЯНИЕ ДЕЦЕНТРИРОВКИ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВРАЩЕНИЯ НА ПОЛОЖЕНИЕ ПЛОСКОСТИ ИЗОБРАЖЕНИЯ
© 2010 г. В. А. Зверев, доктор техн. наук; Е. С. Рытова; И. Н. Тимощук, канд. техн. наук
Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики
Дано определение децентрировки оптических поверхностей вращения сферической и несферической формы, составляющих оптическую систему, определено влияние децентрировки поверхностей на положение образованного изображения. Изложенные соотношения применимы как для преломляющих, так и для отражающих поверхностей.
Ключевые слова: децентрировка, аберрации, качество изображения.
Коды OCIS: 200.0200, 220.0220.
Поступила в редакцию 25.11.2009.
При проектировании оптических систем, состоящих из сферических и несферических преломляющих и (или) отражающих поверхностей вращения, в качестве конструкторской базы принимается линия, называемая оптической осью. На этой линии, по замыслу конструктора, должны располагаться центры кривизны сферических и геометрические оси несферических поверхностей. В качестве конструкторской базы, определяющей относительное положение поверхностей в направлении оптической оси, принимаются их осевые точки (вершины).
В процессе изготовления оптических систем центры кривизны смещаются относительно базовой линии (оптической оси). Поперечное смещение центра кривизны поверхности относительно оптической оси называется ее децентрировкой.
На рис. 1а представлено сечение двояковыпуклой линзы меридиональной плоскостью, в которой расположены центры кривизны поверхностей, смещенные относительно оптической оси O0−O0 на расстояния δ1 и δ2 соответственно. Очевидно, что поперечное смещение плоской поверхности относительно оптической оси не влияет ни на положение изображения, ни на ход лучей. Дополним сферические поверхности линзы плоскими поверхностями, перпендикулярными оптической оси, образовав выпуклоплоскую и плосковыпуклую линзы [1], оптические оси
которых O1−O1 и O2−O2 параллельны оптической оси O0−O0 оптической системы в целом и смещены относительно нее на расстояния δ1 и δ2 соответственно, как показано на рис. 1б. При
(а)
С2 O0 2
С02
С01
–1 С1
O0
(б)
O2 С2
O0 2 С02
O1
O2
С01 O0 – 1 O1
С1
Рис. 1. Вариант интерпретации децентрировки сферических поверхностей отдельной линзы в воздухе.
8 “Оптический журнал”, 77, 6, 2010
такой интерпретации децентрировки поверхностей линзы естественно ожидать лишь поперечного смещения изображения, образованного децентрированной линзой.
Пусть осевая точка A0i предмета y0i = y0′ i – 1 расположена на оптической оси O0−O0 системы, а центр кривизны Ci i-й поверхности смещен в поперечном направлении на расстояние δi, как показано на рис. 2. Следуя [2], рассмотрим влияние децентрировки i-й поверхности на положение изображения предмета y0i. Для этого через центр кривизны Ci i-й поверхности проведем линию Oi−Oi, параллельную оптической оси O0−O0. При этом осевой точкой предмета для i-й поверхности будет точка Ai, смещенная относительно точки A0i на расстояние δi. В этом случае величина предмета yi = y0i − δi.
Тогда величина изображения этого предмета, образованного i-й поверхностью, y′i = Viyi, где Vi − поперечное увеличение изображения, образованного i-й поверхностью.
И в этом случае осевая точка изображения A′i будет смещена относительно соответствующей точки A0′ i = A0i + 1 на оптической оси на расстояние, равное δi. При этом yi′ = y′0i − δi. Тогда
y0′ i = y′i + δi = y0iVi + (1 − Vi)δi.
При δi = 0 имеем y′0i(0) = Viy0i. В результате получаем, что поперечное смещение изображения предмета y0i, образованного децентрированной i-й поверхностью оптической системы, –
Δy0′ i = y′0i − y′0i(0) = (1 − Vi)δi.
Пересчитанное в пространство изображений оптической системы, содержащей k поверхностей, это смещение составит
∏ ∏k−1 k−1
Δy0′ ik = Δy0′ i Vi+1 = δi (1− Vi ) Vi+1,
ii
а обусловленное суммарным действием децентрировок поверхностей оптической системы –
y0iyi Ai
Oi
O0 i = –mi
A0i Oi+1
di– i
mi + 1
Ci Oi
O0 –δi+1 Oi+1
Ci + 1
di
Рис. 2. Оптическая система децентрированных сферических поверхностей.
∑ ∏i=k k−1
Δy′= δi (1− Vi ) Vi+1.
i=1 i
Заметим, однако, что если луч, исходящий из осевой точки предмета, направить вдоль оптической оси (базовой линии), то в общем случае, пройдя систему децентрированных поверхностей, он выйдет под некоторым углом к ней. Действительно, легко показать, что угол ϕ, образованный нормалью к сферической поверхности в точке падения луча с оптической осью, равен
ϕ = σ − ε = σ′ − ε′,
(1)
где ε и ε′ − углы падения и преломления луча, σ и σ′ − углы, образованные лучом с оптической осью в пространстве предметов и изображений.
При этом
sinϕ = m/r,
(2)
где r − радиус кривизны сферической поверхности, m − расстояние от оптической оси до точки падения луча на поверхность. В соответствии с законом преломления nsinε = n′sinε′. Применив выражение (1), получаем
nsin(σ − ϕ) = n′sin(σ′ − ϕ).
(3)
В рассмотренном случае углы ϕ, σ и σ′ малы, что позволяет выражение (3) записать в виде
n(σ − ϕ) = n′(σ′ − ϕ),
(4)
где ϕ = m/r. Преобразуем выражение (4) к виду
n′σ′−
nσ
=
m
n′− r
n
.
(5)
Для луча, исходящего из осевой точки пред-
мета в направлении оптической оси, имеем σi =
= 0, вид
σmi′ =i =−δ−iδni.ni+Пi1+р−1rиni iэ.тоИмз
формула (5) принимает рис. 2 следует, что для
(i + 1)-й поверхности угол σi + 1 = σi′, а высота
mi + 1 = −δi + 1 − σi + 1di. Подставив соответствую-
щие величины в формулу (5), получаем
σi′+1
=
σi+2
=
ni+1 ni+2
σi+1 −
ni+2 −ni+1 ni+2
δi+1
+ σi+1di ri+1
.
Очевидно, что продолжая расчет хода луча через систему из k поверхностей, найдем значение угла σk′ и высоту mk точки пересечения луча с последней поверхностью.
Среди поверхностей оптической системы могут оказаться и плоские, поперечное смещение которых не влияет ни на положение образован-
“Оптический журнал”, 77, 6, 2010
9
ного изображения, ни на ход осевого луча. Очевидной и неизбежной погрешностью положения (децентрировкой) плоских поверхностей является их наклон (поворот) относительно нормали к оптической оси.
На рис. 3а осевая точка A предмета y и центр кривизны сферической поверхности плосковыпуклой линзы расположены на оптической оси O–O, а плоская поверхность образует с нормалью к оси угол γ. Очевидно, что такую линзу можно заменить эквивалентной оптической системой, состоящей из центрированной плосковыпуклой линзы и клина с углом при вершине, равным γ. Угол γ будем считать положительным, если ребро P клина расположено над оптической осью, и отрицательным в противном случае. Предположим, что предыдущая система в сочетании с центрированной плосковыпуклой линзой образует безаберрационное изображение предмета, которое становится для клина предметом yk, расположенным на расстоянии s0k1 от его первой поверхности, как показано на рисунке 3б.
Осевая симметрия световых пучков лучей, формирующих изображение предмета, нарушается клином, что приводит к появлению аберраций изображения. Полагая пучки лучей узкими, рассмотрим влияние наклона плоской поверхности на астигматизм изображения. Положение
(а)
y О
A
P
O С1
(б) O
P K Ok
Ak Ak yk
A0k
A0k
O
k
s0k1
Рис. 3. Влияние децентрировки плоской поверхности на положение изображения предмета.
точки предмета и ее изображения, образованного бесконечно тонким меридиональным пучком лучей, определяется формулой Юнга–Аббе [3] как
n′cos2ε sm′
′
−
ncos2ε sm
=
n
′cosε
′− r
ncosε
,
(6)
а образованное бесконечно тонким сагиттальным пучком –
n′ ss′
−
n ss
=
n′cosε′ − r
ncosε
,
(7)
где sm и ss – расстояния от точки предмета до точки падения луча на поверхность оптической
системы в меридиональной и в сагиттальной
плоскостях, s′m и s′s – расстояния от точки падения луча на поверхность оптической системы
до изображения точки предмета, образованного
тонкими пучками лучей в меридиональной и в
сагиттальной плоскостях.
Учитывая равенство правых частей выраже-
ний (6) и (7), при ss = sm = s0 находим
1 ss′
−
cos2ε′ sm′
=
nsin2ε n′s0
.
(8)
Это выражение легко преобразовать к виду
sm′ ss′
−1 =
n2 n′2
⎜⎝⎛⎜⎜nn′
sm′ s0
−1⎟⎠⎞⎟⎟⎟sin2ε.
(9)
Без заметной потери точности можно принять
sm′ s0
≈
s0′ s0
.
В
результате
получаем
sm′ ss′
−1 =
⎜⎜⎛⎜⎜⎝V0
−
n2 n′2
⎞⎟⎟⎟⎟⎠sin2ε.
(10)
При малых значениях углов ε это выражение
принимает вид
sm′ ss′
−1 = ⎝⎜⎜⎜⎜⎛V0
−
n2 n′2
⎟⎟⎠⎟⎞⎟ε2,
где V0 – поперечное увеличение изображения, образованного преломляющей поверхностью.
В случае плоской поверхности V0 = 1× и тогда
sm′ ss′
−1 =
n ′2 − n2 n′2
ε2.
Пренебрегая величиной второго порядка малости, получаем ss′ = sm′ = s′0.
Заметим, что в рассматриваемом случае интерес представляет лишь ориентация изображения, образованного клином, относительно оптической оси. Поэтому размер предмета можно принять достаточно малым, чтобы ход главного
10 “Оптический журнал”, 77, 6, 2010
луча в пространстве предметов считать телецент-
рическим. Расстояние от предмета до первой
плоской поверхности клина (рис. 3б) KA0k =
= PAk = s0k1 = sk1. Его изображение определим,
применив формулу Аббе, в соответствии с кото-
рой,
при
r
=
∞ отрезок
s0′ k1
=
n′ n
s0k1
=
sk′1;
отрезок
s0k2 = sk′1 − ykγ, а отрезок sk2 = sk′1. Применив фор-
мулу Аббе,
sk′ 2
=
n′′ n
s0k1.
находим, что s0′k2 Малая величина
=
n′′ n′
угла
s0k2
−
n′′ n′
yk γ,
а
γ определяет
малые угловые отклонения падающих лучей.
Поэтому, полагая отрезки равными их проек-
циям, отклонение изображения относительно
предмета определим углом ψ, равным
ψ
=
KOk
+ s0′ k2 − sk′2 KP
=
=
yk′ γ
+
n′′ n
s0k1
−
n′′ n′
yk
yk γ
−
n′′ n
s0k1
=
n ′ − n ′′ n′
γ.
В рассматриваемом случае n′ = n, n″ = 1. При
этом
ψ
=
n
−1 n
γ.
(11)
Очевидно, что осевой луч отклоняется клином от оптической оси на угол
σ′ = (n – 1)γ.
(12)
Отклонение изображения предмета от нормали к этому лучу определяется углом
ψk
=
ψ
+
σ′
=
n2 −1 n
γ.
(13)
“Вопрос об установлении допусков на изготовление и взаимное расположение деталей в оптической системе можно рассматривать, опираясь на введение в том или ином месте оптической системы некоторого “деформирующего элемента”, возникающего при нарушении номинальных размеров или расположения той или иной детали” [4]. В рассматриваемом случае отклонение плоской поверхности от номинального положения привело к появлению деформирующего элемента в виде клина, определившего наклон изображения предмета и преломление осевого луча. Деформирующим элементом децентрированной сферической поверхности можно считать отклонение положения ее центра кривизны от номинального.
На рис. 4 представлено сечение меридиональной плоскостью децентрированной сферической
Ai
O yi Oi A~i O0i
i
C~i C0i
O
i –i
Ci
Рис. 4. “Деформирующий элемент” сферической поверхности.
поверхности, центр кривизны которой располо-
жен в точке Ci, смещенной относительно оптической оси O−O системы на расстояние, равное – δi.
Возьмем на следе поверхности произвольную
точку Ai и повернем поверхность вокруг оси, проходящей через точку Ai нормально к поверхности рисунка, до совмещения центра кривизны
с оптической осью O−O в точке C0i. В результате получаем, что деформирующим элементом
децентрированной сферической поверхности
является криволинейный клин OiAiO0i [5, 6], величина и знак которого для i-й линзы в воз-
духе определяется углом γij
γij
= (−1)j
δij rij
,
(14)
где j = 1, 2.
Как показано в [6], при соблюдении условия Ai Ai = δyi ≤ δi продольное смещение центра кривизны C0i поверхности относительно точки Ci , равное отрезку CiC0i = Δi, будет величиной второго порядка малости, а угол между касатель-
ными к поверхности в исходном и повернутом
положениях в точках Оi и О0i будет определяться тем же соотношением (14).
Оптические системы, как правило, состоят из
линз, образованных сферическими поверхностя-
ми. Децентрировка поверхностей линз приводит
к тому, что их оптические оси не совпадают с
линией, принятой в качестве базовой (т. е. с опти-
ческой осью системы), занимая в общем случае
некоторое наклонное положение, как показано
на рис. 5. На этом рисунке оптическая ось лин-
зы Оi–Оi образует с оптической осью О0–О0 системы угол γi, который определяется очевидным выражением вида
“Оптический журнал”, 77, 6, 2010
11
γi
=
−
δi2 ri2 −
− δi1 ri1 + di
.
(15)
При этом θi = ψi − γi. Повернем первую поверхность вокруг точки Оi1 до совмещения центра кривизны Ci1 поверхности с оптической осью системы в точке C0i1. При этом можно считать, что отрезок O0i1A0i = −s0i1, а отрезок O0i1K = Oi1K. Тогда из треугольника A0iK ACi находим, что
s0i1 − O0i1K cosθi
=
si1 − Oi1K cosψi
.
(16)
Учитывая, что углы cosθi = 1−0,5θ2i , cosψi =1
ψi и θi малы, имеем −0,5ψ2i и с погрешно-
стью, не превышающей второго порядка малости,
получаем, что s0i1 = si1, а следовательно, поперечное увеличение изображения, образованного
децентрированной линзой, Vi = V0i. Введем обозначения: Aci Aci = −δzi, Ac′i Ac′i = −δzi′; Aci Ai = yi,
Ac′i Ai′ = −yi′.
При
этом
θi
=
δzi yi
,
θi′
=
δzi′ yi′
и yi′ =
= V0iyi, а δzi′ = Q0iδzi, где Q0i – продольное увели-
чение [7]. Для изображения, образованного лин-
зой в воздухе, Q0i = V20i и тогда (см. рис. 5)
θi′ = V0iθi,
(17)
ψi′ = ψi+1 = θi′ + γi.
(18)
Луч, исходящий из осевой точки предмета A0i в направлении оптической оси O0−O0 системы, падает в точку O0i1 первой поверхности линзы на расстоянии Oi1O0i1 = −mi1 от оптической оси Oi−Oi линзы под углом σi1 = −γi к ней. При этом
−mi1 = ri1γi + δi1.
(19)
В соответствии с формулой (5) в рассматриваемом случае угол
σi′1 =
σi2 =
ni1 ni2
σi1 + mi1
ni2 −ni1 ni2ri1
=
= −γi −
ni2 −ni1 ni2
δi1 ri1
.
(20)
На второй поверхности линзы расстояние
и угол
mi2 = mi1− σi′1di
(21)
σi′2
=
ni2 ni3
σi2
+
mi2
ni3 −ni2 ni3ri2
.
(22)
Расстояние от точки пересечения оптической
оси O0−O0 со второй поверхностью i-й линзы до вершины поверхности на оптической оси Oi−Oi равно m0i2 = ri2γi + δi2. При этом расстояние от оптической оси O0−O0 до точки пересечения рассматриваемого луча с первой поверхностью
(i + 1)-й линзы
m0i+1,1 = m0i2 + mi2 − di, i+1σ0′ i2,
где di, i + 1 – расстояние между второй поверхностью i-й линзы и первой поверхностью (i + 1)-й
линзы, σ0′ i2 = γi + σi′2. Предположим, что в результате децентри-
ровки поверхностей (i + 1)-й линзы ее оптическая
ось Oi + 1 − Oi + 1 повернулась относительно оптической оси O0−O0 на угол γi + 1, равный
γi+1
=
δi+1,2 − δi+1,1 ri+1,1 − di+1 − ri+1,2
.
(23)
Ai –θi A~i
Oi A~Ci
ACi Ci2
O0 i
A0i C0i2
i
–i –si1
–ri2 Oi1
O0i1
K
di
– i1 ri1
si2
C0i1 A0i +1
Ci1
A~0i
i+
A0i
1
Ai A~i
O0 Oi
i
Рис. 5. Положение изображения, образованного децентрированной линзой. 12 “Оптический журнал”, 77, 6, 2010
При этом расстояние от осевой точки (от вершины) первой поверхности (i+1)-й линзы до точки пересечения с ней рассматриваемого луча равно
mi+1,1 = m0i+1,1 − ri+1,1γi+1 − δi+1,1
и может быть представлено в виде
mi+1,1 = mi2 + ri2i γi − ri+1,1γi+1 − − di,i+1(σi′2 + γi ) + δi2 − δi+1,1.
(24)
Полученные соотношения (15)–(24) позволя-
ют определить наклон изображения, образо-
ванного оптической системой из k децентриро-
ванных линз, и ход осевого луча через нее. По-
скольку изображение осевой точки A0i должно быть расположено на этом луче, то в результате
его расчета можно определить поперечное сме-
щение изображения предмета относительно ба-
зовой линии (оптической оси) O0−O0. Действительно, в результате расчета хода луча получаем
значение угла σk′ и положение точки пересечения луча с последней поверхностью системы, опреде-
ляемое расстоянием mk2. При этом поперечное смещение изображения точки A0i относительно оси O0−O0 определится как
Δy0′ = mk2− s0′k (σk′ 2 + γk )+ rk2γk + δk2. (25)
Поперечное смещение центра кривизны от-
дельной поверхности относительно оптической
оси системы, т. е. децентрировка поверхности,
определяется не только величиной, но и направ-
лением, т. е. векторной величиной. Вектор дессцотеиснттиарви–δлрiяsою–вщквииумпсоилв:ое–δврiнmхон–йовссмтаигеир–δитiтдмаиоложьнннаолойьпнпроелйдоспстклаоовссикттиоь,перпендикулярной меридиональной и содержа-
щей оптическую ось. При этом должно соблюдаться очевидное условие δi2m + δi2s = δ2i ≤ (δCi), где δCi – допустимая (наибольшая) величина модуля вектора децентрировки.
Наибольшая абсолютная величина угла по-
ворота оптической оси Oi−Oi децентрированной i-й линзы равна
γi
=
δCi + δCi+1 ri1− di − ri2
.
(26)
В частном случае, когда знаменатель выраже-
ния – малая величина, угол γi может оказаться сколь угодно большим и применение формулы
(26) теряет практический смысл. Так, например,
когда поверхности линзы концентричны друг другу, ri1 − di − ri2 = 0. При малом расстоянии между центрами кривизны поверхностей децентрировку линзы определяют максимальной разностью толщин (разнотолщинностью, косиной линзы) на ее диаметре. Для анализа влияния децентрировки такой линзы на положение изображения линзу можно заменить эквивалентной системой, состоящей из центрированной линзы и соответствующих криволинейных клиньев.
Потребность в создании оптических систем, формирующих изображения высокого качества при “форсированных” значениях относительного отверстия и углового поля, определяет необходимость применения несферических поверхностей вращения. Возможны два вида децентрировки несферической поверхности: поперечное смещение вершины поверхности (оси вращения) и наклон оси вращения на малый угол относительно оптической оси системы. При этом в общем случае ось вращения и оптическая ось системы могут и не пересекаться. Однако в области малых величин влияние обоих видов децентрировки несферической поверхности можно рассматривать независимо друг от друга.
Итак, изложенные соображения дают наглядное представление о децентрировке оптических поверхностей и о ее влиянии на положение образованного оптической системой изображения.
ЛИТЕРАТУРА
1. Хопкинс Р. Сборка и центрировка объективов. В сб. “Проектирование оптических систем” / Пер. с англ. М.: Мир, 1983. 432 с.
2. Иванова Т.А., Кирилловский В.К. Проектирование и контроль оптики микроскопов. Л.: Машиностроение, 1984. 231 с.
3. Слюсарев Г.Г. Методы расчета оптических систем. Л.: Машиностроение, 1969. 672 с.
4. Русинов М.М. Юстировка оптических приборов. М.: Недра, 1969. 328 с.
5. Погарев Г.В. Юстировка оптических приборов. Л.: Машиностроение, 1982. 237 с.
6. Губель Н.Н. Аберрации децентрированных оптических систем. Л.: Машиностроение, 1975. 272 с.
7. Вычислительная оптика. Справочник. Под. общ. ред. М.М. Русинова. Л.: Машиностроение, 1984. 423 с.
“Оптический журнал”, 77, 6, 2010
13