МАТРИЧНЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА ПОЛЯРИЗАЦИОННЫХ АБЕРРАЦИЙ
ÐÀÑ×ÅÒ, ÏÐÎÅÊÒÈÐÎÂÀÍÈÅ È ÏÐÎÈÇÂÎÄÑÒÂÎ ÎÏÒÈ×ÅÑÊÈÕ ÑÈÑÒÅÌ
ÓÄÊ 681.7.012
ÌÀÒÐÈ×ÍÛÉ ÌÅÒÎÄ ÐÀÑ×ÅÒÀ ÏÎËßÐÈÇÀÖÈÎÍÍÛÕ ÀÁÅÐÐÀÖÈÉ
© 2008 ã.
À. Ë. Ñîêîëîâ, äîêòîð òåõí. íàóê Ìîñêîâñêèé ýíåðãåòè÷åñêèé èíñòèòóò (òåõíè÷åñêèé óíèâåðñèòåò), Ìîñêâà Å-mail: sokol@netvox.ru
Ïîäðîáíî èçëàãàåòñÿ ìàòðè÷íûé ìåòîä äëÿ ðàñ÷åòà ïîëÿðèçàöèîííûõ àáåððàöèé ñâåòîâûõ ïó÷êîâ. Èçëó÷åíèå ïðåäñòàâëÿåòñÿ êîãåðåíòíîé ñîâîêóïíîñòüþ ìîä Ýðìèòà–Ãàóññà ñ îïðåäåëåííûìè àìïëèòóäîé, ôàçîé è ñîñòîÿíèåì ïîëÿðèçàöèè, ïðè ýòîì ó÷èòûâàåòñÿ ïðîäîëüíûé êîìïîíåíò ïîëÿ. Ðàññìîòðåíû ïîëÿðèçàöèîííûå àáåððàöèè ïó÷êà ïðè ïðîõîæäåíèè òîíêîé ëèíçû ñ ó÷åòîì âëèÿíèÿ êðóãëîé äèàôðàãìû.
Êîäû OCIS: 080.2730.
Ïîñòóïèëà â ðåäàêöèþ 14.05.2007.
Ââåäåíèå
Òåîðåòè÷åñêèå è ýêñïåðèìåíòàëüíûå èññëåäîâàíèÿ ïîêàçûâàþò [1–8], ÷òî èçëó÷åíèå â îïòè÷åñêèõ ïðèáîðàõ ÿâëÿåòñÿ ïîëÿðèçàöèîííî-íåîäíîðîäíûì, ò. å. åãî ñîñòîÿíèå ïîëÿðèçàöèè íåïðåðûâíî èçìåíÿåòñÿ â ïðîñòðàíñòâå è õàðàêòåðèçóåòñÿ îïðåäåëåííîé çàêîíîìåðíîñòüþ – ïîëÿðèçàöèîííîé ñòðóêòóðîé. Êîìïîíåíòû âåêòîðà íàïðÿæåííîñòè Å ïîëÿðèçàöèîííî-íåîäíîðîäíîãî èçëó÷åíèÿ èìåþò ðàçëè÷íûå àìïëèòóäíî-ôàçîâûå ðàñïðåäåëåíèÿ; äðóãèìè ñëîâàìè, ïîâåðõíîñòè èõ ðàâíîé ôàçû, êàê è ðàâíîé àìïëèòóäû, íå ñîâïàäàþò.
Îñîáîå çíà÷åíèå äëÿ ïðàêòèêè èìåþò ïîëÿðèçàöèîííî-íåîäíîðîäíûå ïó÷êè (ÏÍÏ), äëÿ êîòîðûõ àìïëèòóäà ïðîäîëüíîãî êîìïîíåíòà Ez çíà÷èòåëüíî ìåíüøå àìïëèòóäû ïîïåðå÷íûõ êîìïîíåíòîâ Ex, Ey.  ýòîì ñëó÷àå ïîëÿðèçàöèîííóþ ñòðóêòóðó ìîæíî õàðàêòåðèçîâàòü çàâèñèìîñòüþ ïîëÿðèçàöèîííîé ïåðåìåííîé Γyx(x, y) = Ey/Ex îò ïîïåðå÷íûõ êîîðäèíàò è ôóíêöèÿìè àçèìóòà ψ(x, y) è óãëà ýëëèïòè÷íîñòè χ(x, y). Ïîëÿðèçàöèîííûå ñòðóêòóðû ïîäîáíû, åñëè äëÿ êàæäîé ïàðû òî÷åê äâóõ ðàçëè÷íûõ xy-ïëîñêîñòåé ìîæíî ïîäîáðàòü òàêîå ÷èñëî m, ïðè êîòîðîì Γ(x, y) = Γ(mx, my).
Ïðè ðàñïðîñòðàíåíèè ïîëÿðèçàöèîííî-íåîäíîðîäíîãî ñâåòîâîãî ïó÷êà ïîëÿðèçàöèîííàÿ ñòðóêòóðà â îáùåì ñëó÷àå èçìåíÿåòñÿ [9]. Ïðè÷èíîé èñêàæåíèÿ ïîëÿðèçàöèîííîé ñòðóêòóðû ìîæåò ÿâëÿòüñÿ ëþáîå îïòè÷åñêîå óñòðîéñòâî, âêëþ÷àÿ íå òîëüêî äèàôðàãìû, íî è ó÷àñòêè îäíîðîäíîé èçîòðîïíîé ñðåäû. Íàïðèìåð, ïëîñêèå îïòè÷åñêèå ïîâåðõíîñòè èñêàæàþò ïîëÿðèçàöèîííóþ ñòðóêòóðó âîëí ñî ñôåðè÷åñêèì âîëíîâûì ôðîíòîì [10]. Ìàëûå èñêàæåíèÿ ïîëÿðèçàöèîííîé ñòðóêòóðû ïðåäñòàâëÿþò ñî-
16
áîé ïîëÿðèçàöèîííûå àáåððàöèè (ÏÀ) [11, 12]. Öåëü íàñòîÿùåé ðàáîòû – äåòàëüíîå îïèñàíèå ìàòðè÷íîãî ìåòîäà äëÿ ðàñ÷åòà ÏÀ îïòè÷åñêèõ ñèñòåì, ïðè ýòîì â êà÷åñòâå ïðèìåðà ðàññìàòðèâàþòñÿ ÏÀ òîíêîé ëèíçû ñ ó÷åòîì âëèÿíèÿ äèàôðàãìû.
Ïîëÿðèçàöèîííûå àáåððàöèè
 îïòè÷åñêîé ñèñòåìå ñ ÏÀ èçîáðàæåíèå ìîæåò ïðåäñòàâëÿòü ñîáîé ñóììó ïîëÿðèçîâàííûõ èçîáðàæåíèé, íå ñîâïàäàþùèõ ìåæäó ñîáîé êàê ïî ïîëîæåíèþ, òàê è ïî âåëè÷èíå.  îïòè÷åñêèõ ðåçîíàòîðàõ ÏÀ ïðèâîäÿò ê íåîäíîðîäíîìó ñîñòîÿíèþ ïîëÿðèçàöèè ïî ñå÷åíèþ ïó÷êà; êðèâèçíà âîëíîâîãî ôðîíòà, ðàçìåð ïó÷êà è ïîëîæåíèå ïåðåòÿæåê îêàçûâàþòñÿ ðàçëè÷íûìè äëÿ îðòîãîíàëüíûõ êîìïîíåíòîâ âåêòîðà Å, ïðè ýòîì èõ ìàêñèìóìû ñìåùåíû â ïîïåðå÷íîì íàïðàâëåíèè, âîçíèêàþò äîïîëíèòåëüíûå ïîòåðè [7].  êîëüöåâûõ ëàçåðàõ ïîÿâëÿåòñÿ íåâçàèìíîñòü âñòðå÷íûõ âîëí [13].
 íàñòîÿùåå âðåìÿ îòñóòñòâóåò åäèíàÿ êëàññèôèêàöèÿ ïîëÿðèçàöèîííûõ àáåððàöèé. Äëÿ ïîëíîñòüþ ïîëÿðèçîâàííîãî èçëó÷åíèÿ ìîæíî îïðåäåëèòü øåñòü òèïîâ ÏÀ.
Àìïëèòóäíûå ÏÀ – ðàçëè÷íîå ïðîïóñêàíèå êîìïîíåíòîâ ïîëÿ â çàâèñèìîñòè îò ïîïåðå÷íûõ êîîðäèíàò îïòè÷åñêèõ ýëåìåíòîâ; îäíîé èç ïðè÷èí àìïëèòóäíûõ ÏÀ ÿâëÿåòñÿ íåñîâïàäåíèå êðèâèçíû îïòè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè ñ êðèâèçíîé âîëíîâîé ïîâåðõíîñòè ïàäàþùåé âîëíû (ëèíçû, áðþñòåðîâñêèå ïëàñòèíêè [10]).
Ôàçîâûå ÏÀ – ðàçëè÷íûå ñäâèãè ôàç êîìïîíåíòîâ ïîëÿ, çàâèñÿùèå îò ïîïåðå÷íûõ êîîðäèíàò (íåîäíîðîäíîå äâóëó÷åïðåëîìëåíèå); âîëíîâûå àáåððà-
“Îïòè÷åñêèé æóðíàë”, òîì 75, ¹ 2, 2008
öèè ñâåòà, åñëè îíè ðàçëè÷íû äëÿ êîìïîíåíòîâ âåêòîðà Å, îòíîñÿòñÿ ê ôàçîâûì ÏÀ.
Âðàùàòåëüíûå ÏÀ – ïðîñòðàíñòâåííîå èçìåíåíèå àçèìóòà, êîòîðîå ìîæåò áûòü îáóñëîâëåíî äâóìÿ ïðè÷èíàìè: íåîäíîðîäíûì åñòåñòâåííûì èëè ìàãíèòíûì âðàùåíèåì (íåîäíîðîäíîå ìàãíèòíîå ïîëå, íåîäíîðîäíàÿ êîíöåíòðàöèÿ ñàõàðà).
ÏÀ êðèâèçíû âîëíîâîé ïîâåðõíîñòè – ýòî èñêàæåíèå ïîëÿðèçàöèîííîé ñòðóêòóðû, îáóñëîâëåííîå èçìåíåíèåì êðèâèçíû âîëíîâîé ïîâåðõíîñòè (ñôåðè÷åñêîå çåðêàëî, ëèíçà).
Äèôðàêöèîííûå ÏÀ – íåîäèíàêîâîå îãðàíè÷åíèå ïðîñòðàíñòâåííîãî ðàñïðåäåëåíèÿ êîìïîíåíòîâ ïîëÿ èëè ðàçëè÷íîå èçìåíåíèå êîìïîíåíòîâ ïîëÿ â èçîòðîïíîì ïðîñòðàíñòâå âñëåäñòâèå èõ ðàçëè÷íîãî àìïëèòóäíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ (äèàôðàãìû).
Àñòèãìàòè÷åñêèå ÏÀ – ðàçëè÷íîå ïðåîáðàçîâàíèå êîìïîíåíòîâ ïîëÿ â èçîòðîïíîì ïðîñòðàíñòâå âñëåäñòâèå ðàçëè÷íîé êðèâèçíû èõ âîëíîâûõ ïîâåðõíîñòåé.
Ïîëÿðèçàöèîííûå àáåððàöèè îïòè÷åñêèõ ñèñòåì ìîãóò áûòü óìåíüøåíû èëè ñêîìïåíñèðîâàíû [9, 14], ïîýòîìó èõ èññëåäîâàíèå è ñîçäàíèå àäåêâàòíûõ ðàñ÷åòíûõ ìåòîäîâ ÿâëÿþòñÿ àêòóàëüíûì ýòàïîì ðàçâèòèÿ ïîëÿðèçàöèîííîé îïòèêè [8].
Ìàòðè÷íûé ìåòîä ðàñ÷åòà ïîëÿðèçàöèîííîé ñòðóêòóðû
îïòè÷åñêîãî èçëó÷åíèÿ (ìåòîä ïîëÿðèçàöèîííî-âîëíîâûõ ìàòðèö)
Ðàñ÷åò ïîëÿðèçàöèîííîé ñòðóêòóðû ñâåòà îáû÷íî ïðîâîäèòñÿ ïóòåì ïðåäñòàâëåíèÿ åãî â âèäå ñîâîêóïíîñòè áîëåå ïðîñòûõ ñîñòàâëÿþùèõ, íàïðèìåð, ëó÷åé èëè ïëîñêèõ âîëí. Òàê, â [1, 4, 5, 11] èçëó÷åíèå ðàññìàòðèâàåòñÿ êàê ñîâîêóïíîñòü ëó÷åé ñ ðàçëè÷íûìè ñîñòîÿíèÿìè ïîëÿðèçàöèè è ïðîñëåæèâàåòñÿ ýâîëþöèÿ ñîñòîÿíèÿ ïîëÿðèçàöèè êàæäîãî ëó÷à ñ ïîìîùüþ ìåòîäà Äæîíñà. Î÷åâèäíî, ÷òî “ëó÷åâîé” ìåòîä íå ïîçâîëÿåò ó÷èòûâàòü äèôðàêöèîííûå ýôôåêòû è ðåøàòü ñîáñòâåííóþ çàäà÷ó äëÿ îïòè÷åñêèõ ðåçîíàòîðîâ.
 ëàçåðíîé òåõíèêå áîëåå ðàöèîíàëüíûì ñïîñîáîì ÿâëÿåòñÿ ðàçëîæåíèå êîìïëåêñíîé àìïëèòóäû ïîëÿ ñâåòîâûõ ïó÷êîâ ïî ìîäàì Ýðìèòà–Ãàóññà [3, 8, 15, 16].  ìåòîäå ïîëÿðèçàöèîííî-âîëíîâûõ ìàòðèö [8, 16] ïîëÿðèçàöèîííî-íåîäíîðîäíîå èçëó÷åíèå ïðè îòñóòñòâèè äåïîëÿðèçàöèè ïðåäñòàâëÿåòñÿ ñîâîêóïíîñòüþ êîãåðåíòíûõ ìîä Ýðìèòà–Ãàóññà, îáëàäàþùèõ ðàçëè÷íûìè ñîñòîÿíèåì ïîëÿðèçàöèè, àìïëèòóäîé è ôàçîé.  òî æå âðåìÿ ïàðàìåòðû ãàóññîâà ðàñïðåäåëåíèÿ ρx, ρy (êðèâèçíà) è wx, wy (ïîïåðå÷íûé ðàäèóñ – ðàññòîÿíèå äî îñè, ïðè êîòîðîì àìïëèòóäà óìåíüøàåòñÿ â å ðàç) ïðèíèìàþòñÿ îäèíàêîâûìè äëÿ âñåõ ìîä (èíäåêñû x, y îáîçíà÷à-
“Îïòè÷åñêèé æóðíàë”, òîì 75, ¹ 2, 2008
þò ïðèíàäëåæíîñòü ê ìåðèäèîíàëüíûì ïëîñêîñòÿì xOz è yOz ñîîòâåòñòâåííî).
Âìåñòå ñ òåì äàííûé ìåòîä ïîçâîëÿåò ðàññ÷èòûâàòü ÏÀ ñâåòîâûõ ïó÷êîâ íå òîëüêî â îïòè÷åñêèõ ðåçîíàòîðàõ, íî è â áîëåå îáùåì ñëó÷àå, íàïðèìåð, äëÿ çåðêàëüíî-ëèíçîâûõ îïòè÷åñêèõ ñèñòåì [8]. Ìåòîä èìååò óäîâëåòâîðèòåëüíóþ òî÷íîñòü â îïòè÷åñêèõ ñèñòåìàõ ñ D/f < 1, ãäå D – ïîïåðå÷íûé ðàçìåð îïòè÷åñêîãî ýëåìåíòà, à f – ôîêóñíîå ðàññòîÿíèå. Íà ïàðàìåòðû ìîä íàêëàäûâàåòñÿ îñíîâíîå óñëîâèå
w0 > λ,
(1)
ãäå w0 – ïîïåðå÷íûé ðàäèóñ â ïåðåòÿæêå, λ – äëèíà âîëíû.
Îðòîãîíàëüíûå êîìïîíåíòû êîìïëåêñíîé àìïëèòóäû ÏÍÏ çàïèøåì â âèäå
[⎛
⎜ ⎝
Ex Ey
⎞ ⎟ ⎠
=
D00G00 + … + DM 0GM 0 +
+ D01G01 + … + DM1GM1 + …DMN GMN ⎤⎦ .
(2)
Ñîñòîÿíèå ïîëÿðèçàöèè êàæäîé ìîäû îïðåäåëÿåòñÿ âåêòîðîì Äæîíñà
Dmn
=
U
mn
⎛ ⎜ ⎝
1 Γmn
⎞ ⎟ ⎠
,
(3)
ãäå Umn(z) – àìïëèòóäíî-ôàçîâûé êîýôôèöèåíò, Γmn(z) – ïîëÿðèçàöèîííàÿ ïåðåìåííàÿ äëÿ êàæäîé ìîäû, m, n – èíäåêñû ìîä; m = 0, 1, …, M; n = = 0, 1, …, N; Gmn – ïîëèíîìû Ýðìèòà–Ãàóññà [17]:
Gmn
=
gmn Hm
⎛ ⎜
⎝
2
x wx
⎞ ⎟ ⎠
×
( )⎛
× Hn ⎜⎜⎝
2
y wy
⎞ ⎟⎠⎟
exp
⎣⎢⎡−
ik 2
Qx x2 + Qy y2
⎤ ⎥⎦
.
(4)
Çäåñü Hm, Hn – ïîëèíîìû Ýðìèòà; Qx = ρx – iβx, Qy = ρy – iβy, β – ïàðàìåòð ãàóññîâà ðàñïðåäåëåíèÿ, èìåþùèé òàêóþ æå ðàçìåðíîñòü, ÷òî è êðèâèçíà ρ, è
îïðåäåëÿåìûé â êàæäîì ñå÷åíèè èç ñîîòíîøåíèÿ β = 2/kw2; k = 2π/λ. Èìååì ρ/β = β0z, ãäå β0 – çíà÷åíèå â ïåðåòÿæêå, à z – ðàññòîÿíèå, îòñ÷èòûâàåìîå îò ïåðåòÿæêè. Êîýôôèöèåíòû gmn = (2m +nn!m!wxwyπ/2)–1/2 íàõîäÿòñÿ èç óñëîâèÿ íîðìèðîâêè
∞∞
∫ ∫ GmnGm*ndxdy = 1.
−∞ −∞
(5)
Ïðè èçâåñòíîé çàâèñèìîñòè êîìïîíåíòîâ ÏÍÏ îò ïîïåðå÷íûõ êîîðäèíàò Ex(x, y) è Ey(x, y) äàííûå êîýôôèöèåíòû âû÷èñëÿþòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì
17
+∞ +∞
∫ ∫Umn =
Ex (x, y)Gmndxdy,
−∞ −∞
+∞ +∞
∫ ∫ Ey (x, y) Gmndxdy
Γmn
=
−∞ −∞ +∞ +∞
.
∫ ∫ Ex (x, y)Gmndxdy
−∞ −∞
(6)
Ïîëÿðèçàöèîííàÿ ñòðóêòóðà ïîëÿðèçàöèîííîíåîäíîðîäíîãî ïó÷êà õàðàêòåðèçóåòñÿ ìàòðèöåé ïîëÿðèçàöèîííîé ñòðóêòóðû
⎛ D00 D01 … D0N ⎞
M
=
⎜ ⎜ ⎜
D10
D11
… …
D1N
⎟
⎟ ⎟
=
(
V0
V1
…
VN ).
⎜⎜⎝ DM0 DM1 … DMN ⎟⎟⎠
(7)
Ìàòðèöà (7) ïîëíîñòüþ îïèñûâàåò ïîëÿðèçàöèîííî-íåîäíîðîäíîå èçëó÷åíèå, è öåëüþ ðàñ÷åòà ÿâëÿåòñÿ îïðåäåëåíèå ïàðàìåòðîâ Umn è Γmn äëÿ âñåõ ìîä â êàæäîì ñå÷åíèè îïòè÷åñêîãî òðàêòà.
Âåêòîðû-ñòîëáöû èç (7) îáðàçóþò ïîëÿðèçàöèîííî-âîëíîâîé âåêòîð (çäåñü îí çàïèñàí â òðàíñïîíèðîâàííîì âèäå)
V = (V0 V1 … VN )–1,
(8)
ãäå
⎛ D00 ⎞
⎛ D01 ⎞
⎛ D0N ⎞
V0
=
⎜ ⎜ ⎜
D10 …
⎟ ⎟⎟ ,
V1
=
⎜ ⎜ ⎜
D11 …
⎟
⎟ ⎟
,
…
VN
=
⎜ ⎜ ⎜
D1N …
⎟
⎟ ⎟
.
⎜ ⎝
DM
0
⎟ ⎠
⎜ ⎝
DM
1
⎟ ⎠
⎜ ⎝
DMN
⎟ ⎠
(9)
Çäåñü êîìïîíåíòàìè âåêòîðîâ V0, V1, …, VN ÿâëÿþòñÿ âåêòîðû Dmn (3). ×åì áîëüøå ìàêñèìàëüíûé ïîðÿäîê ìîä K (K = M + N), òåì áî′ëüøóþ òî÷íîñòü ìîæåò îáåñïå÷èòü ìåòîä. Îáùåå ÷èñëî ìîä J = = (M + 1)(N + 1).
Ëþáîé îïòè÷åñêèé ýëåìåíò, êîòîðûé èçìåíÿåò ïîëÿðèçàöèîííî-âîëíîâîé âåêòîð V, îïèñûâàåòñÿ áëî÷íîé ïîëÿðèçàöèîííî-âîëíîâîé ìàòðèöåé S ðàçìåðà N×N, êîòîðàÿ, êàê è âåêòîð (8), èìååò òðåõóðîâíåâóþ ñòðóêòóðó
⎛ S00 S10 … SN 0 ⎞
S
=
⎜ ⎜ ⎜
S01 …
S11 …
… …
SN1 …
⎟ ⎟ ⎟
,
⎜ ⎝
S0
N
S1N
…
S NN
⎟ ⎠
ãäå
S00
=
⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜
S
00 00
S1000
…
S1000 S1100 …
… … …
S0M00 S1M0 0 …
⎞
⎟
⎟ ⎟
,
⎟
…
Snk
=
⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜
S00kn S10kn …
S10nk S11nk …
… … …
S0Mkn S1Mkn …
⎞ ⎟ ⎟⎟. ⎟
⎝⎜ S0M00
S1M0 0
…
S
M M
0 0
⎠⎟
⎝⎜ S0Mnk
S1Mnk
…
S
Mk Mn
⎠⎟
(10)
Çäåñü ìàòðèöà Snk ðàçìåðà M×M îïðåäåëÿåò âëèÿíèå âåêòîðà Vn íà âåêòîð Vk , à êàæäàÿ ìàòðèöà Smikn – âêëàä ìîäû ñ èíäåêñîì mn íà âõîäíîé xy-ïëîñêîñòè â êîìïëåêñíóþ àìïëèòóäó ìîäû ñ èíäåêñîì ik íà âûõîäíîé ïëîñêîñòè:
Simkn
=
⎛ ⎜⎝⎜
Amikn Cmikn
Bmikn Dmikn
⎞ ⎟⎠⎟
.
(11)
Ïîëÿðèçàöèîííî-âîëíîâûå ìàòðèöû èçîòðîïíûõ îïòè÷åñêèõ ïðîìåæóòêîâ ìåæäó ÏÍÏ ÿâëÿþòñÿ äèàãîíàëüíûìè, ïðè÷åì êàæäûé áëî÷íûé ýëåìåíò ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïðîèçâåäåíèå åäèíè÷íîé ìàòðèöû íà êîýôôèöèåíò exp{iΦmn}, ó÷èòûâàþùèé ñäâèã ôàçû êàæäîé èç ïîïåðå÷íûõ ìîä: Φmn = = (m + n + 1)arctg[βz/(1 + ρz)], ãäå β, ρ – ïàðàìåòðû ìîäû â íà÷àëå îïòè÷åñêîãî ïðîìåæóòêà, à z – åãî
18
äëèíà. Åñëè èçëó÷åíèå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñîâîêóïíîñòü ìîä îäíîãî ïîðÿäêà, èìåþùèõ îäèíàêîâûå ñäâèãè ôàç (íàïðèìåð, ðàäèàëüíî-ïîëÿðèçîâàííûé ïó÷îê [17]), òî åãî ïîëÿðèçàöèîííàÿ ñòðóêòóðà ñîõðàíÿåòñÿ â èçîòðîïíîì ïðîñòðàíñòâå. Äëÿ äèàôðàãì ìàòðèöû (10) íå ÿâëÿþòñÿ äèàãîíàëüíûìè, íî ìàòðèöû (11) – äèàãîíàëüíûå.
Ïîëÿðèçàöèîííî-îäíîðîäíûå óñòðîéñòâà â äàííîì ïîëÿðèçàöèîííîì áàçèñå îïèñûâàþòñÿ äèàãîíàëüíûìè ïîëÿðèçàöèîííî-âîëíîâûìè ìàòðèöàìè, ýëåìåíòû êîòîðûõ – ìàòðèöû Äæîíñà.
Ðàñ÷åò ïîëÿðèçàöèîííîé ñòðóêòóðû èçëó÷åíèÿ ïðîâîäèòñÿ â òðè ýòàïà. Íà ïåðâîì ýòàïå îïòè÷åñêèé òðàêò ðàçáèâàåòñÿ íà ïîëÿðèçàöèîííî-íåîäíîðîäíûå ýëåìåíòû è îïòè÷åñêèå ó÷àñòêè ìåæäó íèìè. Ïîñëå êàæäîãî i-ãî ýëåìåíòà îïðåäåëÿþòñÿ ïàðàìåòðû ìîä ρi, wi.  êîíöå ó÷àñòêà
“Îïòè÷åñêèé æóðíàë”, òîì 75, ¹ 2, 2008
ïàðàìåòðû ρi′, w′i ðàññ÷èòûâàþòñÿ ìåòîäîì ëó÷åâûõ ìàòðèö [18].
Åñëè ÷èñëî ìîä îãðàíè÷åíî, òî âûáîð ρi, wi â íà÷àëå êàæäîãî ó÷àñòêà äîëæåí áûòü îïòèìàëüíûì. Ïàðàìåòð wxi, îïðåäåëÿþùèé ðàñïðåäåëåíèå àìïëèòóäû âäîëü îñè x, ñëåäóåò âûáèðàòü ñ ó÷åòîì ìàêñèìàëüíîãî ïîðÿäêà ìîä M è ïîïåðå÷íîãî ðàçìåðà ïó÷êà èëè ðàäèóñà äèàôðàãìû a [19], ïðè ýòîì ïîëåçíûì ìîæåò îêàçàòüñÿ ñîîòíîøåíèå äëÿ êîîðäèíàòû x = wxM, ïðè êîòîðîé ïîñëåäíèé ìàêñèìóì èíòåíñèâíîñòè ìîäû ïîðÿäêà M óìåíüøàåòñÿ â e2 ðàç: wxM/wxi ≈ M + 1/ 2. Àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿåòñÿ ïàðàìåòð wyi äëÿ îñè y. Åñëè wxM < a, òî äèàôðàãìà íå îêàçûâàåò âëèÿíèÿ íà ïó÷îê. Âûáèðàÿ êðèâèçíó âîëíîâîé ïîâåðõíîñòè ρi, ñëåäóåò ó÷èòûâàòü îïòè÷åñêóþ ñèëó i-ãî ýëåìåíòà Φi: ρi + 1 = ρi – Φi.
Íà âòîðîì ýòàïå ñîñòàâëÿþòñÿ ïîëÿðèçàöèîííîâîëíîâûå ìàòðèöû Si âñåõ îïòè÷åñêèõ ýëåìåíòîâ, âêëþ÷àÿ îïòè÷åñêèå ïðîìåæóòêè, è ïîëÿðèçàöèîííî-âîëíîâîé âåêòîð V ïàäàþùåãî ïó÷êà, îïðåäåëÿþùèé ïîëÿðèçàöèîííóþ ñòðóêòóðó èçëó÷åíèÿ íà âõîäå â îïòè÷åñêóþ ñèñòåìó.
Íà òðåòüåì ýòàïå âñå ìàòðèöû ïåðåìíîæàþòñÿ è íàõîäèòñÿ ðåçóëüòèðóþùàÿ ìàòðèöà S. Îñíîâíîå ñîîòíîøåíèå ìåòîäà ñâÿçûâàåò âåêòîð V′ íà âûõîäå èç îïòè÷åñêîé ñèñòåìû ñ âåêòîðîì V íà âõîäå
V′ = SV.
(12)
Ðàñ÷åò ïîëÿðèçàöèîííûõ àáåððàöèé
Èçëó÷åíèå â îïòè÷åñêîì ïðèáîðå, îáëàäàþùåì ÏÀ, ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê âåêòîðíóþ ñóïåðïîçèöèþ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ ñ íîìèíàëüíîé ïîëÿðèçàöèîííîé ñòðóêòóðîé è ìàëîãî ïî èíòåíñèâíîñòè àáåððàöèîííîãî ïîëÿ. Íîìèíàëüíîå ïîëå ôîðìèðóåòñÿ áàçîâûìè ìîäàìè Ýðìèòà–Ãàóññà è ñîîòâåòñòâóþùåé ìàòðèöåé M0 (7), à àáåððàöèîííîå – ïàðàçèòíûìè ìîäàìè è MΑ. Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷àåì
M = M0 + MΑ.
(13)
Ïàðàçèòíûå ìîäû íàõîäÿòñÿ èç ñðàâíåíèÿ ïîëÿðèçàöèîííî-âîëíîâîãî âåêòîðà íà âõîäå è âûõîäå èç îïòè÷åñêîé ñèñòåìû.
 êà÷åñòâå èíòåãðàëüíîé õàðàêòåðèñòèêè ïîëÿðèçàöèîííûõ àáåððàöèé ïðåäëàãàåòñÿ êîýôôèöèåíò ïîëÿðèçàöèîííîé íåîäíîðîäíîñòè, ðàâíûé îòíîøåíèþ èíòåíñèâíîñòè ïàðàçèòíûõ ìîä íà âûõîäå èç îïòè÷åñêîé ñèñòåìû ê èíòåíñèâíîñòè áàçîâûõ ìîä.  äàííîé òî÷êå ïðîñòðàíñòâà ìîæíî èñïîëüçîâàòü ýíåðãåòè÷åñêèé êîýôôèöèåíò ïîëÿðèçàöèîííûõ àáåððàöèé Α, ðàâíûé îòíîøåíèþ èíòåíñèâíîñòè îðòîãîíàëüíîãî êîìïîíåíòà àáåððàöèîííîãî ïîëÿ ê èíòåíñèâíîñòè íîìèíàëüíîãî ïîëÿ.
“Îïòè÷åñêèé æóðíàë”, òîì 75, ¹ 2, 2008
Ðàñ÷åò ïðîäîëüíûõ êîìïîíåíòîâ ïîëÿ Ïðîäîëüíûå êîìïîíåíòû ýëåêòðè÷åñêîãî Ez è ìàãíèòíîãî Hz ïîëåé îïðåäåëÿþòñÿ èç ïðèáëèæåííûõ âûðàæåíèé (ν – ÷àñòîòà îïòè÷åñêîãî èçëó÷åíèÿ)
Ez
≈
i k
⎛ ⎜ ⎝
∂Ex ∂x
+
∂Ey ∂y
⎞ ⎟
,
⎠
Hz
≈
i ⎛ ∂Ey
μμ0
2πν
⎜ ⎝
∂x
−
∂Ex ∂y
⎟⎞. ⎠
(14)
Âêëàä â ïðîäîëüíûé êîìïîíåíò ïîëÿ îò ìîäû ñ èíäåêñîì îïðåäåëÿåòñÿ âûðàæåíèåì
Ezmn ≈
2iλ 2πw
⎡ ⎢⎣
E0
x
⎛ ⎝⎜
mGm−1n
−
1 2
Gm+1n
⎞ ⎠⎟
+
+
E0
y
⎛ ⎝⎜
nGmn−1
−
1 2
Gmn+1
⎞⎤ ⎟⎠⎦⎥
exp
(iΦmn
),
(15)
ãäå Φmn – ôàçà ìîäû. Ïðîäîëüíûé êîìïîíåíò Ez îñíîâíîé ìîäû â ïå-
ðåòÿæêå ñäâèíóò ïî ôàçå îòíîñèòåëüíî ïîïåðå÷íûõ êîìïîíåíòîâ íà π/2:
( ) ( )Ez ≈ −iβ0
xEx0 + yEy0
exp ⎣⎡−
x2 + y2
/w02
⎤ ⎦
.
(16)
 ïåðåòÿæêå ãàóññîâà ïó÷êà Ez äîñòèãàåò ñâîåãî ìàêñèìóìà, íàïðèìåð, ïðè x = 2w0/2, y = 0, à â äàëüíåé çîíå (β0z >> 1) ïðîäîëüíûé êîìïîíåíò íàõîäèòñÿ â ôàçå ñ ïîïåðå÷íûìè êîìïîíåíòàìè ïîëÿ.  ìåðèäèîíàëüíûõ ïëîñêîñòÿõ xOz è yOz ýëëèïñîìåòðè÷åñêèå ïàðàìåòðû ãàóññîâà ïó÷êà èçìåíÿþòñÿ êàê â ïîïåðå÷íîì, òàê è â ïðîäîëüíîì íàïðàâëåíèÿõ. Íîðìàëü ê ïîëÿðèçàöèîííîìó ýëëèïñó íå ñîâïàäàåò ñ îñüþ ïó÷êà.
Êàê ñëåäóåò èç (14), (15), ïðîäîëüíûé êîìïîíåíò Ez äëÿ ìîä Ýðìèòà–Ãàóññà ÷åòíîãî ïîðÿäêà îïèñûâàåòñÿ ñîâîêóïíîñòüþ ìîä ñ íå÷åòíûì ïîðÿäêîì è íàîáîðîò. Èíòåðåñíî, ÷òî äëÿ ðàäèàëüíî-ïîëÿðèçîâàííûõ ïó÷êîâ [17] ïðîäîëüíûé êîìïîíåíò ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ íå ðàâåí íóëþ íà îñè ïó÷êà.
Ïîëÿðèçàöèîííûå àáåððàöèè òîíêîé ñîáèðàþùåé ëèíçû
Ðàññìîòðèì ÏÀ òîíêîé ïëîñêîâûïóêëîé ëèíçû, ïîïåðå÷íûé ðàçìåð êîòîðîé îãðàíè÷åí äèàôðàãìîé r ≤ a. Èñïîëüçóåì ïîëÿðíóþ ñèñòåìó êîîðäèíàò r, ϕ ïðè÷åì x = rcosϕ, y = rsinϕ.
Ñ ïîëÿðèçàöèîííîé òî÷êè çðåíèÿ, ëèíçà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñîâîêóïíîñòü ÷àñòè÷íûõ ïîëÿðèçàòîðîâ, îðèåíòàöèÿ îñåé êîòîðûõ èìååò ðàäèàëüíóþ ñèììåòðèþ. Ïðîïóñêàíèå ðàäèàëüíîãî êîìïîíåíòà
19
ïîëÿ âíà÷àëå âîçðàñòàåò îò öåíòðà ëèíçû ê ïåðèôåðèè, à çàòåì ðåçêî óìåíüøàåòñÿ ïðè óãëàõ ïàäåíèÿ, áëèçêèõ ê 90°. Ïðîïóñêàíèå êîìïîíåíòà Ex ïàäàþùåãî èçëó÷åíèÿ âîçðàñòàåò âäîëü îñè x è óìåíüøàåòñÿ âäîëü îñè y, ïðè ýòîì ðàçâîðîò ïëîñêîñòè ïàäåíèÿ ïðèâåäåò ê âîçíèêíîâåíèþ êîìïîíåíòa Ey.
Ïóñòü íà ëèíçó ïàäàåò ïëîñêàÿ ëèíåéíî ïîëÿðèçîâàííàÿ âîëíà, ïðè÷åì âåêòîð Å ðàñïîëîæåí â ïëîñêîñòè xOz (Ey = 0). Îïðåäåëèì ïîëÿðèçàöèîííóþ ñòðóêòóðó èçëó÷åíèÿ â ôîêàëüíîé ïëîñêîñòè ëèíçû, ïðè ýòîì ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ n = 2, ôîêóñíîå ðàññòîÿíèå f = 6 ìì, a = 3 ìì (ðèñ. 1).
 äàííîì ñëó÷àå îïòè÷åñêèé òðàêò ñîñòîèò èç òîíêîé ëèíçû è îïòè÷åñêîãî ïðîìåæóòêà äëèíîé z ≈ f. Êîìïîíåíò Ex ïîëÿ, ïðîøåäøåãî ëèíçó, ïðåäñòàâèì â âèäå 36 ìîä Ýðìèòà–Ãàóññà ñ ÷åòíûìè èíäåêñàìè (ìîäû ñ íå÷åòíûìè èíäåêñàìè ïðîïàäàþò âñëåäñòâèå ðàäèàëüíîé ñèììåòðèè). Ïðè M = N = 12 èìååì wx = wy ≈ a/3,3 ≈ 0,9 ìì.
Ïîëÿðèçàöèîííî-âîëíîâàÿ ìàòðèöà ëèíçû èìååò ðàçìåð 6×6 è îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì. Âíà÷àëå çàïèñûâàåòñÿ ìàòðèöà, êîòîðàÿ ñâÿçûâàåò îðòîãîíàëüíûå êîìïîíåíòû ìîäû íà xy-ïëîñêîñòè, ñîâïàäàþùåé ñ ãëàâíîé ïëîñêîñòüþ òîíêîé ëèíçû,
T
=
T0
⎛ ⎜ ⎝
A C
B D
⎞ ⎟ ⎠
=
T0
⎛ ⎜ ⎝
cosϕcos θ′ sinϕcos θ′
−sin ϕ cos ϕ
⎞ ⎟ ⎠
×
×
⎛ ⎜ ⎝
Tp 0
0 Ts
⎞ ⎟ ⎠
⎛ ⎜ ⎜⎜⎝
cos ϕ
cos θ − sin ϕ
sin ϕ ⎞
cos cos
θ ϕ
⎟⎟⎠⎟.
(17)
Çäåñü Tp(r), Ts(r) – àìïëèòóäíûå êîýôôèöèåíòû ïðîïóñêàíèÿ êîìïîíåíòîâ âåêòîðà Å, ïàðàëëåëüíûõ (p) è ïåðïåíäèêóëÿðíûõ (s) ïëîñêîñòè ïàäåíèÿ, îðèåíòàöèÿ êîòîðîé â äàííîì ñëó÷àå çàäàåòñÿ óãëîì ϕ; sinθ = rρ, sinθ′ = rρ′, ãäå ρ, ρ′ – êðèâèçíà âîëíîâîé ïîâåðõíîñòè ïó÷êà ïåðåä ëèíçîé è ïîñëå ëèíçû ñîîòâåòñòâåííî, ïðè÷åì â äàííîì ñëó÷àå ρ = 0, à ρ′ –1/f; T0 – îïèñûâàåò äèàôðàãìó è ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ðàäèàëüíóþ êóñî÷íî-íåïðåðûâíóþ ôóíêöèþ T0(r): ïðîïóñêàíèå τ = 1, åñëè r < a, è τ = 0, åñëè r > a.
Ïîñêîëüêó âñå ìîäû èìåþò îäèíàêîâóþ êðèâèçíó âîëíîâîé ïîâåðõíîñòè, ìàòðèöà (17) äëÿ íèõ îäèíàêîâà. Êîýôôèöèåíòû Tp, Ts ðàññ÷èòûâàþòñÿ ïî ôîðìóëàì Ôðåíåëÿ ñ ó÷åòîì çàâèñèìîñòè óãëà ïàäåíèÿ îò ðàäèóñà r.
Ýëåìåíòû ìàòðèöû (11) íàõîäÿòñÿ ñ èñïîëüçîâàíèåì ñîîòâåòñòâóþùèõ ýëåìåíòîâ ìàòðèöû T (17):
+∞ +∞
∫ ∫Amikn =
A(x, y)Gmn (w,ρ)Gi*k (w,ρ′)dxdy. (18)
−∞ −∞
Àíàëîãè÷íî íàõîäÿòñÿ äðóãèå ýëåìåíòû ìàòðèöû (11).
20
Èíòåñèâíîñòü, îòí. åä.
y
a
Î
f θ′
z
r ϕx
E
Ðèñ. 1. Cèñòåìà êîîðäèíàò äëÿ îïðåäåëåíèÿ êîìïîíåíòîâ ïîëÿ.
1 0,08
0,5 0 0,2
0,04
0 2
23 1
1 32
1 1,5 2
3
1 0,6 1
1,4 1,8 2,2 r/λ
Ðèñ. 2. Ðàñïðåäåëåíèå èíòåíñèâíîñòè ïîïåðå÷íîãî êîìïîíåíòà ïîëÿ ñ èñõîäíûì ñîñòîÿíèåì ïîëÿðèçàöèè â ôîêàëüíîé ïëîñêîñòè ëèíçû. 1 – Ix(r, 0)/ Ix(0), 2 – Ix(r, π/2)/Ix(0), 3 – I0(r) = J1(kar/f ). (Ïîÿñíåíèÿ ñì. â òåêñòå.)
 ôîêàëüíîé ïëîñêîñòè ëèíçû ìîäû ñ ñóììîé èíäåêñîâ, îòëè÷àþùèõñÿ íà 2, ñêëàäûâàþòñÿ â ïðîòèâîôàçå. Ïîëÿðèçàöèîííûå àìïëèòóäíûå àáåððàöèè ïðèâîäÿò ê òîìó, ÷òî íà âûõîäå èç ëèíçû èíòåíñèâíîñòü Ix(r, 0) âîçðàñòàåò âäîëü îñè x áîëüøå, ÷åì Ix(r, π/2) âäîëü îñè y.  ðåçóëüòàòå ðàñïðåäåëåíèå èíòåíñèâíîñòè â ôîêàëüíîé ïëîñêîñòè ëèíçû òàêæå îêàçûâàåòñÿ ðàçëè÷íûì: ïîëóøèðèíà çàâèñèìîñòè Ix(r, 0)/Ix(0) (êðèâàÿ 1 íà ðèñ. 2) ìåíüøå ïîëóøèðèíû Ix(r, π/2)/Ix(0) (êðèâàÿ 2). Êðèâàÿ 3 ñîîòâåòñòâóåò äèôðàêöèè ïëîñêîé âîëíû áåç ó÷åòà ïîëÿðèçàöèîííûõ àáåððàöèé I0(r) = J1(kar/f ), ãäå J1 – ôóíêöèÿ Áåññåëÿ ïåðâîãî ðîäà.
Ðàñïðåäåëåíèå èíòåíñèâíîñòè ïðîäîëüíîãî êîìïîíåíòà ïîëÿ â ôîêàëüíîé ïëîñêîñòè ëèíçû ïîêàçàíî íà ðèñ. 3 â âèäå Iz(r)/Ix(0). Îòíîøåíèå ýíåðãèè
“Îïòè÷åñêèé æóðíàë”, òîì 75, ¹ 2, 2008
Iz(r)/Ix(0) 0,03
0,02
0,01
0 1 2 r/λ 3
Ðèñ. 3. Ðàñïðåäåëåíèå èíòåíñèâíîñòè ïðîäîëüíîãî êîìïîíåíòà ïîëÿ â ôîêàëüíîé ïëîñêîñòè ëèíçû.
IyI(xr(,0ϕ) )×104, îòí. åä.
1
62
4
23 4
01
2 r/λ 3
Ðèñ. 4. Ðàñïðåäåëåíèå èíòåíñèâíîñòè ïîïåðå÷íîãî êîìïîíåíòà ïîëÿ ñ îðòîãîíàëüíûì ñîñòîÿíèåì ïîëÿðèçàöèè â ôîêàëüíîé ïëîñêîñòè ëèíçû. 1 – ϕ = π/4, 2 – ϕ = π/6, 3 – ϕ = 0,417π, 4 – ϕ = π/18.
ïðîäîëüíîãî êîìïîíåíòà ê ýíåðãèè ïîïåðå÷íîãî xêîìïîíåíòà óâåëè÷èâàåòñÿ ñ ðîñòîì a/f [20]. Íà ðèñ. 4 ïîêàçàíî ðàñïðåäåëåíèå Iy(r, ϕ)/Ix(0).
Òàêèì îáðàçîì, ïó÷îê ñòàíîâèòñÿ àñòèãìàòè÷íûì, à åãî ðàçìåð â ôîêóñå ëèíçû çàâèñèò îò ñîñòîÿíèÿ ïîëÿðèçàöèè ïàäàþùåãî èçëó÷åíèÿ. Ñóùåñòâóþò äâà ôàêòîðà, êîòîðûå ïðèâîäÿò ê èñêàæåíèþ ðàñïðåäåëåíèÿ îáùåé èíòåíñèâíîñòè â ôîêóñå îòíîñèòåëüíî íàïðàâëåíèÿ âåêòîðà Å: óøèðåíèå çà ñ÷åò âûòÿíóòîé ôîðìû ïÿòíà ïðîäîëüíîãî êîìïîíåíòà è ñóæåíèå âñëåäñòâèå àìïëèòóäíûõ ÏÀ.
Èçëó÷åíèå ïîñëå ëèíçû ñòàíîâèòñÿ ïîëÿðèçàöèîííî-íåîäíîðîäíûì.  ôîêàëüíîé ïëîñêîñòè àçèìóò âåêòîðà Å çàâèñèò îò ïîïåðå÷íûõ êîîðäèíàò, à ïðè óäàëåíèè îò ôîêóñà âîçíèêàåò ýëëèïòè÷íîñòü. Èíòåðåñíî, ÷òî â ñëó÷àå ïðÿìîóãîëüíîé äèàôðàãìû, êîãäà âåêòîð Å ïàäàþùåãî èçëó÷åíèÿ íå ïàðàëëåëåí íè îäíîé èç ñòîðîí äèàôðàãìû, àçèìóò èçëó-
“Îïòè÷åñêèé æóðíàë”, òîì 75, ¹ 2, 2008
÷åíèÿ èçìåíÿåòñÿ äàæå íà îïòè÷åñêîé îñè (r = 0), íåñìîòðÿ íà òî ÷òî â ýòîì ñëó÷àå êîýôôèöèåíòû ïðîïóñêàíèÿ äëÿ îáîèõ êîìïîíåíòîâ ïîëÿ ñîâïàäàþò.
Çàêëþ÷åíèå
Ïðåäëàãàåìûé ìàòðè÷íûé ìåòîä ïîçâîëÿåò ðàññ÷èòûâàòü èñêàæåíèÿ ïîëÿðèçàöèîííîé ñòðóêòóðû èçëó÷åíèÿ (ïîëÿðèçàöèîííûõ àáåððàöèé) äëÿ îïòè÷åñêèõ ñèñòåì ñ äèàôðàãìàìè, îòíîñèòåëüíîå îòâåðñòèå êîòîðûõ íå ïðåâûøàåò åäèíèöó. Ïðèìåíåíèå äàííîãî ìåòîäà ê ðàçëè÷íûì îïòè÷åñêèì ñèñòåìàì ïîçâîëÿåò ñäåëàòü ñëåäóþùèå âûâîäû:
1. Âñëåäñòâèå àìïëèòóäíûõ ïîëÿðèçàöèîííûõ àáåððàöèé ëèíçû èçìåíÿþòñÿ ðàçìåð è ôîðìà ïÿòíà â ôîêóñå ëèíçû. Ïó÷îê ðàñøèðÿåòñÿ âäîëü âåêòîðà Å ïàäàþùåãî èçëó÷åíèÿ íåïîñðåäñòâåííî çà ëèíçîé è, íàïðîòèâ, ñóæàåòñÿ â ôîêàëüíîé ïëîñêîñòè ëèíçû. Íà ðàññòîÿíèè îò ôîêàëüíîé ïëîñêîñòè âîçíèêàåò ýëëèïòè÷íîñòü.
2. Ñîñòîÿíèå ïîëÿðèçàöèè ìîæåò èçìåíÿòüñÿ íà îñè ïó÷êà, ãäå îòñóòñòâóåò àíèçîòðîïèÿ.
3. Äèàôðàãìû èñêàæàþò ïîëÿðèçàöèîííóþ ñòðóêòóðó ïó÷êà, äåéñòâóÿ êàê ôèëüòð ìîä âûñîêîãî ïîðÿäêà.
4. Ïîëÿðèçàöèîííûå è ïðîñòðàíñòâåííûå õàðàêòåðèñòèêè ñîáñòâåííûõ âîëí îïòè÷åñêîãî ðåçîíàòîðà ñ ïîëÿðèçàöèîííî-íåîäíîðîäíûìè ïàðàìåòðàìè âçàèìîñâÿçàíû: ïîëÿðèçàöèîííàÿ ñòðóêòóðà çàâèñèò îò êðèâèçíû çåðêàë è ðàññòîÿíèÿ ìåæäó íèìè; ðàçìåð è ôîðìà ïó÷êà, êðèâèçíà âîëíîâîãî ôðîíòà, à òàêæå ïîëîæåíèÿ ïåðåòÿæåê íå ñîâïàäàþò äëÿ îðòîãîíàëüíûõ êîìïîíåíòîâ ïîëÿ.
5. Ðàñïðåäåëåíèå èíòåíñèâíîñòè ïðîäîëüíîãî êîìïîíåíòà íàïðÿæåííîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî è ìàãíèòíîãî ïîëåé â ïîïåðå÷íîé ïëîñêîñòè ñâÿçàíî ñ ñîñòîÿíèåì ïîëÿðèçàöèè è ìîäîâûì ñîñòàâîì ïîïåðå÷íûõ êîìïîíåíòîâ.
ËÈÒÅÐÀÒÓÐÀ
11. Âèòðèùàê È.Á., Ñîìñ Ë.Í., Òàðàñîâ À.À. Î ñîáñòâåííûõ ïîëÿðèçàöèÿõ ðåçîíàòîðà ñ òåðìè÷åñêè äåôîðìèðîâàííûì àêòèâíûì ýëåìåíòîì // ÆÒÔ. 1974. Ò. 44. ¹ 5. Ñ. 1055–1062.
12. Áåëüñêèé À.Ì., Õàïàëþê À.Ï. Ïðåëîìëåíèå ëàçåðíîãî èçëó÷åíèÿ íà ãðàíèöå ðàçäåëà èçîòðîïíûõ äèýëåêòðèêîâ // Îïò. è ñïåêòð. 1975. Ò. 38. ¹ 1. Ñ. 154–158.
13. Ëåäíåâà Ã.Ï., ×åêàëèíñêàÿ Þ.È. Ðàñ÷åò ñîáñòâåííûõ òèïîâ êîëåáàíèé êîëüöåâîãî ðåçîíàòîðà ñ èçìåíÿþùåéñÿ â ïîïåðå÷íîì ñå÷åíèè àíèçîòðîïèåé // ÆÏÑ. 1980. Ò. 33. ¹ 3. Ñ. 430–433.
14. Ìàêñèìîâà Í.Ô. Âëèÿíèå êðèâèçíû ïðåëîìëÿþùåé ïîâåðõíîñòè íà ïîëÿðèçàöèîííûå ïàðàìåòðû èçëó÷åíèÿ // Èçâ. âóçîâ. Ïðèáîðîñòðîåíèå. 1982. ¹ 6. Ñ. 78–82.
21
15. Ëàìåêèí Ï.È. Èçìåíåíèå ïîëÿðèçàöèîííîé ñòðóêòóðû îñåâûõ ïó÷êîâ ïîëÿðèçîâàííîãî ñâåòà ëèíçîâûìè ñèñòåìàìè // Îïò. è ñïåêòð. 1986. Ò. 60. ¹ 1. Ñ. 137–141.
16. Ëèâøèö À.À., Ñîêîëîâ À.Ë. Èçìåíåíèå ýëëèïòè÷íîñòè ñâåòà ïðè ïðîõîæäåíèè íàïðÿæåííîé ïðèçìû ïåðåìåííîé òîëùèíû // Ñá. íàó÷í. òðóäîâ ÌÝÈ. 1988. ¹ 164. Ñ. 92–97.
17. Ñîêîëîâ À.Ë. Ìåòîä ïîëÿðèçàöèîííî-ëó÷åâûõ ìàòðèö // Ëàçåðíàÿ òåõíèêà è îïòîýëåêòðîíèêà. 1993. Â. 3–4. Ñ. 98–105.
18. Èùåíêî Å.Ô., Ñîêîëîâ À.Ë. Ïîëÿðèçàöèîííàÿ îïòèêà. Ì: Èçä.-âî ÌÝÈ. 2005. 336 ñ.
19. Ñîêîëîâ À.Ë. Òðàíñôîðìàöèÿ ïîëÿðèçàöèîííîé ñòðóêòóðû ëàçåðíîãî èçëó÷åíèÿ â îïòè÷åñêèõ ñèñòåìàõ // Îïò. è ñïåêòð. 2003. Ò. 95. ¹ 5. Ñ. 816–820.
10. Ñîêîëîâ À.Ë. Ïîëÿðèçàöèÿ ñôåðè÷åñêèõ âîëí // Îïò. è ñïåêòð. 2002. Ò. 92. ¹ 6. Ñ. 1000–1006.
11. McGuire J.P., Chipman R.A. Polarization aberrations // Appl. opt. 1994. V. 33. ¹ 22. P. 5080–5100.
12. Ñîêîëîâ À.Ë. Ïîëÿðèçàöèîííûå àáåððàöèè ëàçåðíîãî èçëó÷åíèÿ // Îïò. è ñïåêòð. 2000. Ò. 89. ¹. 3. Ñ. 518–518.
13. Êóðÿòîâ Â.Í., Ñîêîëîâ À.Ë. Ïîëÿðèçàöèîííàÿ íåîäíîðîäíîñòü êîëüöåâîãî ðåçîíàòîðà è íåâçàèìíîñòü
âñòðå÷íûõ âîëí // Êâàíò. ýëåêòðîí. 2002. Ò. 32. ¹ 4. Ñ. 324–328.
14. Shribak M., Inoue S., Oldenbourg R. Polarization aberrations caused by differential transmission and phase shift in high-numerical-aperture lenses: theory, measurement and rectification // Opt. Eng. 2002. V. 41. ¹ 5. P. 943–954.
15. Ïåòðóíüêèí Â.Þ., Êîæåâíèêîâ Í.Ì. Ìàòðè÷íûé ìåòîä ðàñ÷åòà ñôåðè÷åñêèõ ðåçîíàòîðîâ ñ íåîäíîðîäíîé ïî ñå÷åíèþ ïîëÿðèçàöèîííîé àíèçîòðîïèåé // Òð. ËÏÈ: Êâàíòîâàÿ ýëåêòðîíèêà. 1979. ¹ 366. Ñ. 12–15.
16. Ñîêîëîâ À.Ë. Ìåòîä ðàñ÷åòà ñîáñòâåííûõ âîëí ðåçîíàòîðà ñ ïîëÿðèçàöèîííî-íåîäíîðîäíûìè ýëåìåíòàìè // Îïò. è ñïåêòð. 1997. Ò. 83. ¹ 6. Ñ. 1005–1012.
17. Íåñòåðîâ À.Â., Íèçüåâ Â.Ã., Ñîêîëîâ À.Ë. Òðàíñôîðìàòèâíàÿ çàäà÷à äëÿ èçëó÷åíèÿ ñ ðàäèàëüíîé ïîëÿðèçàöèåé // Îïò. è ñïåêòð. 2001. Ò. 90. ¹ 6. Ñ. 1018–1022.
18. Àíàíüåâ Þ.À. Îïòè÷åñêèå ðåçîíàòîðû è ïðîáëåìà ðàñõîäèìîñòè ëàçåðíîãî èçëó÷åíèÿ. Ì.: Íàóêà, 1979. 328 ñ.
19. Ñîêîëîâ À.Ë. Ïîëÿðèçàöèîííûå àáåððàöèè èçëó÷åíèÿ â ôîêóñå ëèíçû // Ïèñüìà â ÆÒÔ. 2005. Ò. 31. ¹ 17. Ñ. 77–82.
20. Dorn R., Quabis S., Leuchs G. Sharper Focus for a Radially Polarized Light Beam // Physical review letters. 2003. V. 91. ¹ 23. P. 233901–233904.
22 “Îïòè÷åñêèé æóðíàë”, òîì 75, ¹ 2, 2008
ÓÄÊ 681.7.012
ÌÀÒÐÈ×ÍÛÉ ÌÅÒÎÄ ÐÀÑ×ÅÒÀ ÏÎËßÐÈÇÀÖÈÎÍÍÛÕ ÀÁÅÐÐÀÖÈÉ
© 2008 ã.
À. Ë. Ñîêîëîâ, äîêòîð òåõí. íàóê Ìîñêîâñêèé ýíåðãåòè÷åñêèé èíñòèòóò (òåõíè÷åñêèé óíèâåðñèòåò), Ìîñêâà Å-mail: sokol@netvox.ru
Ïîäðîáíî èçëàãàåòñÿ ìàòðè÷íûé ìåòîä äëÿ ðàñ÷åòà ïîëÿðèçàöèîííûõ àáåððàöèé ñâåòîâûõ ïó÷êîâ. Èçëó÷åíèå ïðåäñòàâëÿåòñÿ êîãåðåíòíîé ñîâîêóïíîñòüþ ìîä Ýðìèòà–Ãàóññà ñ îïðåäåëåííûìè àìïëèòóäîé, ôàçîé è ñîñòîÿíèåì ïîëÿðèçàöèè, ïðè ýòîì ó÷èòûâàåòñÿ ïðîäîëüíûé êîìïîíåíò ïîëÿ. Ðàññìîòðåíû ïîëÿðèçàöèîííûå àáåððàöèè ïó÷êà ïðè ïðîõîæäåíèè òîíêîé ëèíçû ñ ó÷åòîì âëèÿíèÿ êðóãëîé äèàôðàãìû.
Êîäû OCIS: 080.2730.
Ïîñòóïèëà â ðåäàêöèþ 14.05.2007.
Ââåäåíèå
Òåîðåòè÷åñêèå è ýêñïåðèìåíòàëüíûå èññëåäîâàíèÿ ïîêàçûâàþò [1–8], ÷òî èçëó÷åíèå â îïòè÷åñêèõ ïðèáîðàõ ÿâëÿåòñÿ ïîëÿðèçàöèîííî-íåîäíîðîäíûì, ò. å. åãî ñîñòîÿíèå ïîëÿðèçàöèè íåïðåðûâíî èçìåíÿåòñÿ â ïðîñòðàíñòâå è õàðàêòåðèçóåòñÿ îïðåäåëåííîé çàêîíîìåðíîñòüþ – ïîëÿðèçàöèîííîé ñòðóêòóðîé. Êîìïîíåíòû âåêòîðà íàïðÿæåííîñòè Å ïîëÿðèçàöèîííî-íåîäíîðîäíîãî èçëó÷åíèÿ èìåþò ðàçëè÷íûå àìïëèòóäíî-ôàçîâûå ðàñïðåäåëåíèÿ; äðóãèìè ñëîâàìè, ïîâåðõíîñòè èõ ðàâíîé ôàçû, êàê è ðàâíîé àìïëèòóäû, íå ñîâïàäàþò.
Îñîáîå çíà÷åíèå äëÿ ïðàêòèêè èìåþò ïîëÿðèçàöèîííî-íåîäíîðîäíûå ïó÷êè (ÏÍÏ), äëÿ êîòîðûõ àìïëèòóäà ïðîäîëüíîãî êîìïîíåíòà Ez çíà÷èòåëüíî ìåíüøå àìïëèòóäû ïîïåðå÷íûõ êîìïîíåíòîâ Ex, Ey.  ýòîì ñëó÷àå ïîëÿðèçàöèîííóþ ñòðóêòóðó ìîæíî õàðàêòåðèçîâàòü çàâèñèìîñòüþ ïîëÿðèçàöèîííîé ïåðåìåííîé Γyx(x, y) = Ey/Ex îò ïîïåðå÷íûõ êîîðäèíàò è ôóíêöèÿìè àçèìóòà ψ(x, y) è óãëà ýëëèïòè÷íîñòè χ(x, y). Ïîëÿðèçàöèîííûå ñòðóêòóðû ïîäîáíû, åñëè äëÿ êàæäîé ïàðû òî÷åê äâóõ ðàçëè÷íûõ xy-ïëîñêîñòåé ìîæíî ïîäîáðàòü òàêîå ÷èñëî m, ïðè êîòîðîì Γ(x, y) = Γ(mx, my).
Ïðè ðàñïðîñòðàíåíèè ïîëÿðèçàöèîííî-íåîäíîðîäíîãî ñâåòîâîãî ïó÷êà ïîëÿðèçàöèîííàÿ ñòðóêòóðà â îáùåì ñëó÷àå èçìåíÿåòñÿ [9]. Ïðè÷èíîé èñêàæåíèÿ ïîëÿðèçàöèîííîé ñòðóêòóðû ìîæåò ÿâëÿòüñÿ ëþáîå îïòè÷åñêîå óñòðîéñòâî, âêëþ÷àÿ íå òîëüêî äèàôðàãìû, íî è ó÷àñòêè îäíîðîäíîé èçîòðîïíîé ñðåäû. Íàïðèìåð, ïëîñêèå îïòè÷åñêèå ïîâåðõíîñòè èñêàæàþò ïîëÿðèçàöèîííóþ ñòðóêòóðó âîëí ñî ñôåðè÷åñêèì âîëíîâûì ôðîíòîì [10]. Ìàëûå èñêàæåíèÿ ïîëÿðèçàöèîííîé ñòðóêòóðû ïðåäñòàâëÿþò ñî-
16
áîé ïîëÿðèçàöèîííûå àáåððàöèè (ÏÀ) [11, 12]. Öåëü íàñòîÿùåé ðàáîòû – äåòàëüíîå îïèñàíèå ìàòðè÷íîãî ìåòîäà äëÿ ðàñ÷åòà ÏÀ îïòè÷åñêèõ ñèñòåì, ïðè ýòîì â êà÷åñòâå ïðèìåðà ðàññìàòðèâàþòñÿ ÏÀ òîíêîé ëèíçû ñ ó÷åòîì âëèÿíèÿ äèàôðàãìû.
Ïîëÿðèçàöèîííûå àáåððàöèè
 îïòè÷åñêîé ñèñòåìå ñ ÏÀ èçîáðàæåíèå ìîæåò ïðåäñòàâëÿòü ñîáîé ñóììó ïîëÿðèçîâàííûõ èçîáðàæåíèé, íå ñîâïàäàþùèõ ìåæäó ñîáîé êàê ïî ïîëîæåíèþ, òàê è ïî âåëè÷èíå.  îïòè÷åñêèõ ðåçîíàòîðàõ ÏÀ ïðèâîäÿò ê íåîäíîðîäíîìó ñîñòîÿíèþ ïîëÿðèçàöèè ïî ñå÷åíèþ ïó÷êà; êðèâèçíà âîëíîâîãî ôðîíòà, ðàçìåð ïó÷êà è ïîëîæåíèå ïåðåòÿæåê îêàçûâàþòñÿ ðàçëè÷íûìè äëÿ îðòîãîíàëüíûõ êîìïîíåíòîâ âåêòîðà Å, ïðè ýòîì èõ ìàêñèìóìû ñìåùåíû â ïîïåðå÷íîì íàïðàâëåíèè, âîçíèêàþò äîïîëíèòåëüíûå ïîòåðè [7].  êîëüöåâûõ ëàçåðàõ ïîÿâëÿåòñÿ íåâçàèìíîñòü âñòðå÷íûõ âîëí [13].
 íàñòîÿùåå âðåìÿ îòñóòñòâóåò åäèíàÿ êëàññèôèêàöèÿ ïîëÿðèçàöèîííûõ àáåððàöèé. Äëÿ ïîëíîñòüþ ïîëÿðèçîâàííîãî èçëó÷åíèÿ ìîæíî îïðåäåëèòü øåñòü òèïîâ ÏÀ.
Àìïëèòóäíûå ÏÀ – ðàçëè÷íîå ïðîïóñêàíèå êîìïîíåíòîâ ïîëÿ â çàâèñèìîñòè îò ïîïåðå÷íûõ êîîðäèíàò îïòè÷åñêèõ ýëåìåíòîâ; îäíîé èç ïðè÷èí àìïëèòóäíûõ ÏÀ ÿâëÿåòñÿ íåñîâïàäåíèå êðèâèçíû îïòè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè ñ êðèâèçíîé âîëíîâîé ïîâåðõíîñòè ïàäàþùåé âîëíû (ëèíçû, áðþñòåðîâñêèå ïëàñòèíêè [10]).
Ôàçîâûå ÏÀ – ðàçëè÷íûå ñäâèãè ôàç êîìïîíåíòîâ ïîëÿ, çàâèñÿùèå îò ïîïåðå÷íûõ êîîðäèíàò (íåîäíîðîäíîå äâóëó÷åïðåëîìëåíèå); âîëíîâûå àáåððà-
“Îïòè÷åñêèé æóðíàë”, òîì 75, ¹ 2, 2008
öèè ñâåòà, åñëè îíè ðàçëè÷íû äëÿ êîìïîíåíòîâ âåêòîðà Å, îòíîñÿòñÿ ê ôàçîâûì ÏÀ.
Âðàùàòåëüíûå ÏÀ – ïðîñòðàíñòâåííîå èçìåíåíèå àçèìóòà, êîòîðîå ìîæåò áûòü îáóñëîâëåíî äâóìÿ ïðè÷èíàìè: íåîäíîðîäíûì åñòåñòâåííûì èëè ìàãíèòíûì âðàùåíèåì (íåîäíîðîäíîå ìàãíèòíîå ïîëå, íåîäíîðîäíàÿ êîíöåíòðàöèÿ ñàõàðà).
ÏÀ êðèâèçíû âîëíîâîé ïîâåðõíîñòè – ýòî èñêàæåíèå ïîëÿðèçàöèîííîé ñòðóêòóðû, îáóñëîâëåííîå èçìåíåíèåì êðèâèçíû âîëíîâîé ïîâåðõíîñòè (ñôåðè÷åñêîå çåðêàëî, ëèíçà).
Äèôðàêöèîííûå ÏÀ – íåîäèíàêîâîå îãðàíè÷åíèå ïðîñòðàíñòâåííîãî ðàñïðåäåëåíèÿ êîìïîíåíòîâ ïîëÿ èëè ðàçëè÷íîå èçìåíåíèå êîìïîíåíòîâ ïîëÿ â èçîòðîïíîì ïðîñòðàíñòâå âñëåäñòâèå èõ ðàçëè÷íîãî àìïëèòóäíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ (äèàôðàãìû).
Àñòèãìàòè÷åñêèå ÏÀ – ðàçëè÷íîå ïðåîáðàçîâàíèå êîìïîíåíòîâ ïîëÿ â èçîòðîïíîì ïðîñòðàíñòâå âñëåäñòâèå ðàçëè÷íîé êðèâèçíû èõ âîëíîâûõ ïîâåðõíîñòåé.
Ïîëÿðèçàöèîííûå àáåððàöèè îïòè÷åñêèõ ñèñòåì ìîãóò áûòü óìåíüøåíû èëè ñêîìïåíñèðîâàíû [9, 14], ïîýòîìó èõ èññëåäîâàíèå è ñîçäàíèå àäåêâàòíûõ ðàñ÷åòíûõ ìåòîäîâ ÿâëÿþòñÿ àêòóàëüíûì ýòàïîì ðàçâèòèÿ ïîëÿðèçàöèîííîé îïòèêè [8].
Ìàòðè÷íûé ìåòîä ðàñ÷åòà ïîëÿðèçàöèîííîé ñòðóêòóðû
îïòè÷åñêîãî èçëó÷åíèÿ (ìåòîä ïîëÿðèçàöèîííî-âîëíîâûõ ìàòðèö)
Ðàñ÷åò ïîëÿðèçàöèîííîé ñòðóêòóðû ñâåòà îáû÷íî ïðîâîäèòñÿ ïóòåì ïðåäñòàâëåíèÿ åãî â âèäå ñîâîêóïíîñòè áîëåå ïðîñòûõ ñîñòàâëÿþùèõ, íàïðèìåð, ëó÷åé èëè ïëîñêèõ âîëí. Òàê, â [1, 4, 5, 11] èçëó÷åíèå ðàññìàòðèâàåòñÿ êàê ñîâîêóïíîñòü ëó÷åé ñ ðàçëè÷íûìè ñîñòîÿíèÿìè ïîëÿðèçàöèè è ïðîñëåæèâàåòñÿ ýâîëþöèÿ ñîñòîÿíèÿ ïîëÿðèçàöèè êàæäîãî ëó÷à ñ ïîìîùüþ ìåòîäà Äæîíñà. Î÷åâèäíî, ÷òî “ëó÷åâîé” ìåòîä íå ïîçâîëÿåò ó÷èòûâàòü äèôðàêöèîííûå ýôôåêòû è ðåøàòü ñîáñòâåííóþ çàäà÷ó äëÿ îïòè÷åñêèõ ðåçîíàòîðîâ.
 ëàçåðíîé òåõíèêå áîëåå ðàöèîíàëüíûì ñïîñîáîì ÿâëÿåòñÿ ðàçëîæåíèå êîìïëåêñíîé àìïëèòóäû ïîëÿ ñâåòîâûõ ïó÷êîâ ïî ìîäàì Ýðìèòà–Ãàóññà [3, 8, 15, 16].  ìåòîäå ïîëÿðèçàöèîííî-âîëíîâûõ ìàòðèö [8, 16] ïîëÿðèçàöèîííî-íåîäíîðîäíîå èçëó÷åíèå ïðè îòñóòñòâèè äåïîëÿðèçàöèè ïðåäñòàâëÿåòñÿ ñîâîêóïíîñòüþ êîãåðåíòíûõ ìîä Ýðìèòà–Ãàóññà, îáëàäàþùèõ ðàçëè÷íûìè ñîñòîÿíèåì ïîëÿðèçàöèè, àìïëèòóäîé è ôàçîé.  òî æå âðåìÿ ïàðàìåòðû ãàóññîâà ðàñïðåäåëåíèÿ ρx, ρy (êðèâèçíà) è wx, wy (ïîïåðå÷íûé ðàäèóñ – ðàññòîÿíèå äî îñè, ïðè êîòîðîì àìïëèòóäà óìåíüøàåòñÿ â å ðàç) ïðèíèìàþòñÿ îäèíàêîâûìè äëÿ âñåõ ìîä (èíäåêñû x, y îáîçíà÷à-
“Îïòè÷åñêèé æóðíàë”, òîì 75, ¹ 2, 2008
þò ïðèíàäëåæíîñòü ê ìåðèäèîíàëüíûì ïëîñêîñòÿì xOz è yOz ñîîòâåòñòâåííî).
Âìåñòå ñ òåì äàííûé ìåòîä ïîçâîëÿåò ðàññ÷èòûâàòü ÏÀ ñâåòîâûõ ïó÷êîâ íå òîëüêî â îïòè÷åñêèõ ðåçîíàòîðàõ, íî è â áîëåå îáùåì ñëó÷àå, íàïðèìåð, äëÿ çåðêàëüíî-ëèíçîâûõ îïòè÷åñêèõ ñèñòåì [8]. Ìåòîä èìååò óäîâëåòâîðèòåëüíóþ òî÷íîñòü â îïòè÷åñêèõ ñèñòåìàõ ñ D/f < 1, ãäå D – ïîïåðå÷íûé ðàçìåð îïòè÷åñêîãî ýëåìåíòà, à f – ôîêóñíîå ðàññòîÿíèå. Íà ïàðàìåòðû ìîä íàêëàäûâàåòñÿ îñíîâíîå óñëîâèå
w0 > λ,
(1)
ãäå w0 – ïîïåðå÷íûé ðàäèóñ â ïåðåòÿæêå, λ – äëèíà âîëíû.
Îðòîãîíàëüíûå êîìïîíåíòû êîìïëåêñíîé àìïëèòóäû ÏÍÏ çàïèøåì â âèäå
[⎛
⎜ ⎝
Ex Ey
⎞ ⎟ ⎠
=
D00G00 + … + DM 0GM 0 +
+ D01G01 + … + DM1GM1 + …DMN GMN ⎤⎦ .
(2)
Ñîñòîÿíèå ïîëÿðèçàöèè êàæäîé ìîäû îïðåäåëÿåòñÿ âåêòîðîì Äæîíñà
Dmn
=
U
mn
⎛ ⎜ ⎝
1 Γmn
⎞ ⎟ ⎠
,
(3)
ãäå Umn(z) – àìïëèòóäíî-ôàçîâûé êîýôôèöèåíò, Γmn(z) – ïîëÿðèçàöèîííàÿ ïåðåìåííàÿ äëÿ êàæäîé ìîäû, m, n – èíäåêñû ìîä; m = 0, 1, …, M; n = = 0, 1, …, N; Gmn – ïîëèíîìû Ýðìèòà–Ãàóññà [17]:
Gmn
=
gmn Hm
⎛ ⎜
⎝
2
x wx
⎞ ⎟ ⎠
×
( )⎛
× Hn ⎜⎜⎝
2
y wy
⎞ ⎟⎠⎟
exp
⎣⎢⎡−
ik 2
Qx x2 + Qy y2
⎤ ⎥⎦
.
(4)
Çäåñü Hm, Hn – ïîëèíîìû Ýðìèòà; Qx = ρx – iβx, Qy = ρy – iβy, β – ïàðàìåòð ãàóññîâà ðàñïðåäåëåíèÿ, èìåþùèé òàêóþ æå ðàçìåðíîñòü, ÷òî è êðèâèçíà ρ, è
îïðåäåëÿåìûé â êàæäîì ñå÷åíèè èç ñîîòíîøåíèÿ β = 2/kw2; k = 2π/λ. Èìååì ρ/β = β0z, ãäå β0 – çíà÷åíèå â ïåðåòÿæêå, à z – ðàññòîÿíèå, îòñ÷èòûâàåìîå îò ïåðåòÿæêè. Êîýôôèöèåíòû gmn = (2m +nn!m!wxwyπ/2)–1/2 íàõîäÿòñÿ èç óñëîâèÿ íîðìèðîâêè
∞∞
∫ ∫ GmnGm*ndxdy = 1.
−∞ −∞
(5)
Ïðè èçâåñòíîé çàâèñèìîñòè êîìïîíåíòîâ ÏÍÏ îò ïîïåðå÷íûõ êîîðäèíàò Ex(x, y) è Ey(x, y) äàííûå êîýôôèöèåíòû âû÷èñëÿþòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì
17
+∞ +∞
∫ ∫Umn =
Ex (x, y)Gmndxdy,
−∞ −∞
+∞ +∞
∫ ∫ Ey (x, y) Gmndxdy
Γmn
=
−∞ −∞ +∞ +∞
.
∫ ∫ Ex (x, y)Gmndxdy
−∞ −∞
(6)
Ïîëÿðèçàöèîííàÿ ñòðóêòóðà ïîëÿðèçàöèîííîíåîäíîðîäíîãî ïó÷êà õàðàêòåðèçóåòñÿ ìàòðèöåé ïîëÿðèçàöèîííîé ñòðóêòóðû
⎛ D00 D01 … D0N ⎞
M
=
⎜ ⎜ ⎜
D10
D11
… …
D1N
⎟
⎟ ⎟
=
(
V0
V1
…
VN ).
⎜⎜⎝ DM0 DM1 … DMN ⎟⎟⎠
(7)
Ìàòðèöà (7) ïîëíîñòüþ îïèñûâàåò ïîëÿðèçàöèîííî-íåîäíîðîäíîå èçëó÷åíèå, è öåëüþ ðàñ÷åòà ÿâëÿåòñÿ îïðåäåëåíèå ïàðàìåòðîâ Umn è Γmn äëÿ âñåõ ìîä â êàæäîì ñå÷åíèè îïòè÷åñêîãî òðàêòà.
Âåêòîðû-ñòîëáöû èç (7) îáðàçóþò ïîëÿðèçàöèîííî-âîëíîâîé âåêòîð (çäåñü îí çàïèñàí â òðàíñïîíèðîâàííîì âèäå)
V = (V0 V1 … VN )–1,
(8)
ãäå
⎛ D00 ⎞
⎛ D01 ⎞
⎛ D0N ⎞
V0
=
⎜ ⎜ ⎜
D10 …
⎟ ⎟⎟ ,
V1
=
⎜ ⎜ ⎜
D11 …
⎟
⎟ ⎟
,
…
VN
=
⎜ ⎜ ⎜
D1N …
⎟
⎟ ⎟
.
⎜ ⎝
DM
0
⎟ ⎠
⎜ ⎝
DM
1
⎟ ⎠
⎜ ⎝
DMN
⎟ ⎠
(9)
Çäåñü êîìïîíåíòàìè âåêòîðîâ V0, V1, …, VN ÿâëÿþòñÿ âåêòîðû Dmn (3). ×åì áîëüøå ìàêñèìàëüíûé ïîðÿäîê ìîä K (K = M + N), òåì áî′ëüøóþ òî÷íîñòü ìîæåò îáåñïå÷èòü ìåòîä. Îáùåå ÷èñëî ìîä J = = (M + 1)(N + 1).
Ëþáîé îïòè÷åñêèé ýëåìåíò, êîòîðûé èçìåíÿåò ïîëÿðèçàöèîííî-âîëíîâîé âåêòîð V, îïèñûâàåòñÿ áëî÷íîé ïîëÿðèçàöèîííî-âîëíîâîé ìàòðèöåé S ðàçìåðà N×N, êîòîðàÿ, êàê è âåêòîð (8), èìååò òðåõóðîâíåâóþ ñòðóêòóðó
⎛ S00 S10 … SN 0 ⎞
S
=
⎜ ⎜ ⎜
S01 …
S11 …
… …
SN1 …
⎟ ⎟ ⎟
,
⎜ ⎝
S0
N
S1N
…
S NN
⎟ ⎠
ãäå
S00
=
⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜
S
00 00
S1000
…
S1000 S1100 …
… … …
S0M00 S1M0 0 …
⎞
⎟
⎟ ⎟
,
⎟
…
Snk
=
⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜
S00kn S10kn …
S10nk S11nk …
… … …
S0Mkn S1Mkn …
⎞ ⎟ ⎟⎟. ⎟
⎝⎜ S0M00
S1M0 0
…
S
M M
0 0
⎠⎟
⎝⎜ S0Mnk
S1Mnk
…
S
Mk Mn
⎠⎟
(10)
Çäåñü ìàòðèöà Snk ðàçìåðà M×M îïðåäåëÿåò âëèÿíèå âåêòîðà Vn íà âåêòîð Vk , à êàæäàÿ ìàòðèöà Smikn – âêëàä ìîäû ñ èíäåêñîì mn íà âõîäíîé xy-ïëîñêîñòè â êîìïëåêñíóþ àìïëèòóäó ìîäû ñ èíäåêñîì ik íà âûõîäíîé ïëîñêîñòè:
Simkn
=
⎛ ⎜⎝⎜
Amikn Cmikn
Bmikn Dmikn
⎞ ⎟⎠⎟
.
(11)
Ïîëÿðèçàöèîííî-âîëíîâûå ìàòðèöû èçîòðîïíûõ îïòè÷åñêèõ ïðîìåæóòêîâ ìåæäó ÏÍÏ ÿâëÿþòñÿ äèàãîíàëüíûìè, ïðè÷åì êàæäûé áëî÷íûé ýëåìåíò ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïðîèçâåäåíèå åäèíè÷íîé ìàòðèöû íà êîýôôèöèåíò exp{iΦmn}, ó÷èòûâàþùèé ñäâèã ôàçû êàæäîé èç ïîïåðå÷íûõ ìîä: Φmn = = (m + n + 1)arctg[βz/(1 + ρz)], ãäå β, ρ – ïàðàìåòðû ìîäû â íà÷àëå îïòè÷åñêîãî ïðîìåæóòêà, à z – åãî
18
äëèíà. Åñëè èçëó÷åíèå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñîâîêóïíîñòü ìîä îäíîãî ïîðÿäêà, èìåþùèõ îäèíàêîâûå ñäâèãè ôàç (íàïðèìåð, ðàäèàëüíî-ïîëÿðèçîâàííûé ïó÷îê [17]), òî åãî ïîëÿðèçàöèîííàÿ ñòðóêòóðà ñîõðàíÿåòñÿ â èçîòðîïíîì ïðîñòðàíñòâå. Äëÿ äèàôðàãì ìàòðèöû (10) íå ÿâëÿþòñÿ äèàãîíàëüíûìè, íî ìàòðèöû (11) – äèàãîíàëüíûå.
Ïîëÿðèçàöèîííî-îäíîðîäíûå óñòðîéñòâà â äàííîì ïîëÿðèçàöèîííîì áàçèñå îïèñûâàþòñÿ äèàãîíàëüíûìè ïîëÿðèçàöèîííî-âîëíîâûìè ìàòðèöàìè, ýëåìåíòû êîòîðûõ – ìàòðèöû Äæîíñà.
Ðàñ÷åò ïîëÿðèçàöèîííîé ñòðóêòóðû èçëó÷åíèÿ ïðîâîäèòñÿ â òðè ýòàïà. Íà ïåðâîì ýòàïå îïòè÷åñêèé òðàêò ðàçáèâàåòñÿ íà ïîëÿðèçàöèîííî-íåîäíîðîäíûå ýëåìåíòû è îïòè÷åñêèå ó÷àñòêè ìåæäó íèìè. Ïîñëå êàæäîãî i-ãî ýëåìåíòà îïðåäåëÿþòñÿ ïàðàìåòðû ìîä ρi, wi.  êîíöå ó÷àñòêà
“Îïòè÷åñêèé æóðíàë”, òîì 75, ¹ 2, 2008
ïàðàìåòðû ρi′, w′i ðàññ÷èòûâàþòñÿ ìåòîäîì ëó÷åâûõ ìàòðèö [18].
Åñëè ÷èñëî ìîä îãðàíè÷åíî, òî âûáîð ρi, wi â íà÷àëå êàæäîãî ó÷àñòêà äîëæåí áûòü îïòèìàëüíûì. Ïàðàìåòð wxi, îïðåäåëÿþùèé ðàñïðåäåëåíèå àìïëèòóäû âäîëü îñè x, ñëåäóåò âûáèðàòü ñ ó÷åòîì ìàêñèìàëüíîãî ïîðÿäêà ìîä M è ïîïåðå÷íîãî ðàçìåðà ïó÷êà èëè ðàäèóñà äèàôðàãìû a [19], ïðè ýòîì ïîëåçíûì ìîæåò îêàçàòüñÿ ñîîòíîøåíèå äëÿ êîîðäèíàòû x = wxM, ïðè êîòîðîé ïîñëåäíèé ìàêñèìóì èíòåíñèâíîñòè ìîäû ïîðÿäêà M óìåíüøàåòñÿ â e2 ðàç: wxM/wxi ≈ M + 1/ 2. Àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿåòñÿ ïàðàìåòð wyi äëÿ îñè y. Åñëè wxM < a, òî äèàôðàãìà íå îêàçûâàåò âëèÿíèÿ íà ïó÷îê. Âûáèðàÿ êðèâèçíó âîëíîâîé ïîâåðõíîñòè ρi, ñëåäóåò ó÷èòûâàòü îïòè÷åñêóþ ñèëó i-ãî ýëåìåíòà Φi: ρi + 1 = ρi – Φi.
Íà âòîðîì ýòàïå ñîñòàâëÿþòñÿ ïîëÿðèçàöèîííîâîëíîâûå ìàòðèöû Si âñåõ îïòè÷åñêèõ ýëåìåíòîâ, âêëþ÷àÿ îïòè÷åñêèå ïðîìåæóòêè, è ïîëÿðèçàöèîííî-âîëíîâîé âåêòîð V ïàäàþùåãî ïó÷êà, îïðåäåëÿþùèé ïîëÿðèçàöèîííóþ ñòðóêòóðó èçëó÷åíèÿ íà âõîäå â îïòè÷åñêóþ ñèñòåìó.
Íà òðåòüåì ýòàïå âñå ìàòðèöû ïåðåìíîæàþòñÿ è íàõîäèòñÿ ðåçóëüòèðóþùàÿ ìàòðèöà S. Îñíîâíîå ñîîòíîøåíèå ìåòîäà ñâÿçûâàåò âåêòîð V′ íà âûõîäå èç îïòè÷åñêîé ñèñòåìû ñ âåêòîðîì V íà âõîäå
V′ = SV.
(12)
Ðàñ÷åò ïîëÿðèçàöèîííûõ àáåððàöèé
Èçëó÷åíèå â îïòè÷åñêîì ïðèáîðå, îáëàäàþùåì ÏÀ, ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê âåêòîðíóþ ñóïåðïîçèöèþ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ ñ íîìèíàëüíîé ïîëÿðèçàöèîííîé ñòðóêòóðîé è ìàëîãî ïî èíòåíñèâíîñòè àáåððàöèîííîãî ïîëÿ. Íîìèíàëüíîå ïîëå ôîðìèðóåòñÿ áàçîâûìè ìîäàìè Ýðìèòà–Ãàóññà è ñîîòâåòñòâóþùåé ìàòðèöåé M0 (7), à àáåððàöèîííîå – ïàðàçèòíûìè ìîäàìè è MΑ. Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷àåì
M = M0 + MΑ.
(13)
Ïàðàçèòíûå ìîäû íàõîäÿòñÿ èç ñðàâíåíèÿ ïîëÿðèçàöèîííî-âîëíîâîãî âåêòîðà íà âõîäå è âûõîäå èç îïòè÷åñêîé ñèñòåìû.
 êà÷åñòâå èíòåãðàëüíîé õàðàêòåðèñòèêè ïîëÿðèçàöèîííûõ àáåððàöèé ïðåäëàãàåòñÿ êîýôôèöèåíò ïîëÿðèçàöèîííîé íåîäíîðîäíîñòè, ðàâíûé îòíîøåíèþ èíòåíñèâíîñòè ïàðàçèòíûõ ìîä íà âûõîäå èç îïòè÷åñêîé ñèñòåìû ê èíòåíñèâíîñòè áàçîâûõ ìîä.  äàííîé òî÷êå ïðîñòðàíñòâà ìîæíî èñïîëüçîâàòü ýíåðãåòè÷åñêèé êîýôôèöèåíò ïîëÿðèçàöèîííûõ àáåððàöèé Α, ðàâíûé îòíîøåíèþ èíòåíñèâíîñòè îðòîãîíàëüíîãî êîìïîíåíòà àáåððàöèîííîãî ïîëÿ ê èíòåíñèâíîñòè íîìèíàëüíîãî ïîëÿ.
“Îïòè÷åñêèé æóðíàë”, òîì 75, ¹ 2, 2008
Ðàñ÷åò ïðîäîëüíûõ êîìïîíåíòîâ ïîëÿ Ïðîäîëüíûå êîìïîíåíòû ýëåêòðè÷åñêîãî Ez è ìàãíèòíîãî Hz ïîëåé îïðåäåëÿþòñÿ èç ïðèáëèæåííûõ âûðàæåíèé (ν – ÷àñòîòà îïòè÷åñêîãî èçëó÷åíèÿ)
Ez
≈
i k
⎛ ⎜ ⎝
∂Ex ∂x
+
∂Ey ∂y
⎞ ⎟
,
⎠
Hz
≈
i ⎛ ∂Ey
μμ0
2πν
⎜ ⎝
∂x
−
∂Ex ∂y
⎟⎞. ⎠
(14)
Âêëàä â ïðîäîëüíûé êîìïîíåíò ïîëÿ îò ìîäû ñ èíäåêñîì îïðåäåëÿåòñÿ âûðàæåíèåì
Ezmn ≈
2iλ 2πw
⎡ ⎢⎣
E0
x
⎛ ⎝⎜
mGm−1n
−
1 2
Gm+1n
⎞ ⎠⎟
+
+
E0
y
⎛ ⎝⎜
nGmn−1
−
1 2
Gmn+1
⎞⎤ ⎟⎠⎦⎥
exp
(iΦmn
),
(15)
ãäå Φmn – ôàçà ìîäû. Ïðîäîëüíûé êîìïîíåíò Ez îñíîâíîé ìîäû â ïå-
ðåòÿæêå ñäâèíóò ïî ôàçå îòíîñèòåëüíî ïîïåðå÷íûõ êîìïîíåíòîâ íà π/2:
( ) ( )Ez ≈ −iβ0
xEx0 + yEy0
exp ⎣⎡−
x2 + y2
/w02
⎤ ⎦
.
(16)
 ïåðåòÿæêå ãàóññîâà ïó÷êà Ez äîñòèãàåò ñâîåãî ìàêñèìóìà, íàïðèìåð, ïðè x = 2w0/2, y = 0, à â äàëüíåé çîíå (β0z >> 1) ïðîäîëüíûé êîìïîíåíò íàõîäèòñÿ â ôàçå ñ ïîïåðå÷íûìè êîìïîíåíòàìè ïîëÿ.  ìåðèäèîíàëüíûõ ïëîñêîñòÿõ xOz è yOz ýëëèïñîìåòðè÷åñêèå ïàðàìåòðû ãàóññîâà ïó÷êà èçìåíÿþòñÿ êàê â ïîïåðå÷íîì, òàê è â ïðîäîëüíîì íàïðàâëåíèÿõ. Íîðìàëü ê ïîëÿðèçàöèîííîìó ýëëèïñó íå ñîâïàäàåò ñ îñüþ ïó÷êà.
Êàê ñëåäóåò èç (14), (15), ïðîäîëüíûé êîìïîíåíò Ez äëÿ ìîä Ýðìèòà–Ãàóññà ÷åòíîãî ïîðÿäêà îïèñûâàåòñÿ ñîâîêóïíîñòüþ ìîä ñ íå÷åòíûì ïîðÿäêîì è íàîáîðîò. Èíòåðåñíî, ÷òî äëÿ ðàäèàëüíî-ïîëÿðèçîâàííûõ ïó÷êîâ [17] ïðîäîëüíûé êîìïîíåíò ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ íå ðàâåí íóëþ íà îñè ïó÷êà.
Ïîëÿðèçàöèîííûå àáåððàöèè òîíêîé ñîáèðàþùåé ëèíçû
Ðàññìîòðèì ÏÀ òîíêîé ïëîñêîâûïóêëîé ëèíçû, ïîïåðå÷íûé ðàçìåð êîòîðîé îãðàíè÷åí äèàôðàãìîé r ≤ a. Èñïîëüçóåì ïîëÿðíóþ ñèñòåìó êîîðäèíàò r, ϕ ïðè÷åì x = rcosϕ, y = rsinϕ.
Ñ ïîëÿðèçàöèîííîé òî÷êè çðåíèÿ, ëèíçà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñîâîêóïíîñòü ÷àñòè÷íûõ ïîëÿðèçàòîðîâ, îðèåíòàöèÿ îñåé êîòîðûõ èìååò ðàäèàëüíóþ ñèììåòðèþ. Ïðîïóñêàíèå ðàäèàëüíîãî êîìïîíåíòà
19
ïîëÿ âíà÷àëå âîçðàñòàåò îò öåíòðà ëèíçû ê ïåðèôåðèè, à çàòåì ðåçêî óìåíüøàåòñÿ ïðè óãëàõ ïàäåíèÿ, áëèçêèõ ê 90°. Ïðîïóñêàíèå êîìïîíåíòà Ex ïàäàþùåãî èçëó÷åíèÿ âîçðàñòàåò âäîëü îñè x è óìåíüøàåòñÿ âäîëü îñè y, ïðè ýòîì ðàçâîðîò ïëîñêîñòè ïàäåíèÿ ïðèâåäåò ê âîçíèêíîâåíèþ êîìïîíåíòa Ey.
Ïóñòü íà ëèíçó ïàäàåò ïëîñêàÿ ëèíåéíî ïîëÿðèçîâàííàÿ âîëíà, ïðè÷åì âåêòîð Å ðàñïîëîæåí â ïëîñêîñòè xOz (Ey = 0). Îïðåäåëèì ïîëÿðèçàöèîííóþ ñòðóêòóðó èçëó÷åíèÿ â ôîêàëüíîé ïëîñêîñòè ëèíçû, ïðè ýòîì ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ n = 2, ôîêóñíîå ðàññòîÿíèå f = 6 ìì, a = 3 ìì (ðèñ. 1).
 äàííîì ñëó÷àå îïòè÷åñêèé òðàêò ñîñòîèò èç òîíêîé ëèíçû è îïòè÷åñêîãî ïðîìåæóòêà äëèíîé z ≈ f. Êîìïîíåíò Ex ïîëÿ, ïðîøåäøåãî ëèíçó, ïðåäñòàâèì â âèäå 36 ìîä Ýðìèòà–Ãàóññà ñ ÷åòíûìè èíäåêñàìè (ìîäû ñ íå÷åòíûìè èíäåêñàìè ïðîïàäàþò âñëåäñòâèå ðàäèàëüíîé ñèììåòðèè). Ïðè M = N = 12 èìååì wx = wy ≈ a/3,3 ≈ 0,9 ìì.
Ïîëÿðèçàöèîííî-âîëíîâàÿ ìàòðèöà ëèíçû èìååò ðàçìåð 6×6 è îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì. Âíà÷àëå çàïèñûâàåòñÿ ìàòðèöà, êîòîðàÿ ñâÿçûâàåò îðòîãîíàëüíûå êîìïîíåíòû ìîäû íà xy-ïëîñêîñòè, ñîâïàäàþùåé ñ ãëàâíîé ïëîñêîñòüþ òîíêîé ëèíçû,
T
=
T0
⎛ ⎜ ⎝
A C
B D
⎞ ⎟ ⎠
=
T0
⎛ ⎜ ⎝
cosϕcos θ′ sinϕcos θ′
−sin ϕ cos ϕ
⎞ ⎟ ⎠
×
×
⎛ ⎜ ⎝
Tp 0
0 Ts
⎞ ⎟ ⎠
⎛ ⎜ ⎜⎜⎝
cos ϕ
cos θ − sin ϕ
sin ϕ ⎞
cos cos
θ ϕ
⎟⎟⎠⎟.
(17)
Çäåñü Tp(r), Ts(r) – àìïëèòóäíûå êîýôôèöèåíòû ïðîïóñêàíèÿ êîìïîíåíòîâ âåêòîðà Å, ïàðàëëåëüíûõ (p) è ïåðïåíäèêóëÿðíûõ (s) ïëîñêîñòè ïàäåíèÿ, îðèåíòàöèÿ êîòîðîé â äàííîì ñëó÷àå çàäàåòñÿ óãëîì ϕ; sinθ = rρ, sinθ′ = rρ′, ãäå ρ, ρ′ – êðèâèçíà âîëíîâîé ïîâåðõíîñòè ïó÷êà ïåðåä ëèíçîé è ïîñëå ëèíçû ñîîòâåòñòâåííî, ïðè÷åì â äàííîì ñëó÷àå ρ = 0, à ρ′ –1/f; T0 – îïèñûâàåò äèàôðàãìó è ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ðàäèàëüíóþ êóñî÷íî-íåïðåðûâíóþ ôóíêöèþ T0(r): ïðîïóñêàíèå τ = 1, åñëè r < a, è τ = 0, åñëè r > a.
Ïîñêîëüêó âñå ìîäû èìåþò îäèíàêîâóþ êðèâèçíó âîëíîâîé ïîâåðõíîñòè, ìàòðèöà (17) äëÿ íèõ îäèíàêîâà. Êîýôôèöèåíòû Tp, Ts ðàññ÷èòûâàþòñÿ ïî ôîðìóëàì Ôðåíåëÿ ñ ó÷åòîì çàâèñèìîñòè óãëà ïàäåíèÿ îò ðàäèóñà r.
Ýëåìåíòû ìàòðèöû (11) íàõîäÿòñÿ ñ èñïîëüçîâàíèåì ñîîòâåòñòâóþùèõ ýëåìåíòîâ ìàòðèöû T (17):
+∞ +∞
∫ ∫Amikn =
A(x, y)Gmn (w,ρ)Gi*k (w,ρ′)dxdy. (18)
−∞ −∞
Àíàëîãè÷íî íàõîäÿòñÿ äðóãèå ýëåìåíòû ìàòðèöû (11).
20
Èíòåñèâíîñòü, îòí. åä.
y
a
Î
f θ′
z
r ϕx
E
Ðèñ. 1. Cèñòåìà êîîðäèíàò äëÿ îïðåäåëåíèÿ êîìïîíåíòîâ ïîëÿ.
1 0,08
0,5 0 0,2
0,04
0 2
23 1
1 32
1 1,5 2
3
1 0,6 1
1,4 1,8 2,2 r/λ
Ðèñ. 2. Ðàñïðåäåëåíèå èíòåíñèâíîñòè ïîïåðå÷íîãî êîìïîíåíòà ïîëÿ ñ èñõîäíûì ñîñòîÿíèåì ïîëÿðèçàöèè â ôîêàëüíîé ïëîñêîñòè ëèíçû. 1 – Ix(r, 0)/ Ix(0), 2 – Ix(r, π/2)/Ix(0), 3 – I0(r) = J1(kar/f ). (Ïîÿñíåíèÿ ñì. â òåêñòå.)
 ôîêàëüíîé ïëîñêîñòè ëèíçû ìîäû ñ ñóììîé èíäåêñîâ, îòëè÷àþùèõñÿ íà 2, ñêëàäûâàþòñÿ â ïðîòèâîôàçå. Ïîëÿðèçàöèîííûå àìïëèòóäíûå àáåððàöèè ïðèâîäÿò ê òîìó, ÷òî íà âûõîäå èç ëèíçû èíòåíñèâíîñòü Ix(r, 0) âîçðàñòàåò âäîëü îñè x áîëüøå, ÷åì Ix(r, π/2) âäîëü îñè y.  ðåçóëüòàòå ðàñïðåäåëåíèå èíòåíñèâíîñòè â ôîêàëüíîé ïëîñêîñòè ëèíçû òàêæå îêàçûâàåòñÿ ðàçëè÷íûì: ïîëóøèðèíà çàâèñèìîñòè Ix(r, 0)/Ix(0) (êðèâàÿ 1 íà ðèñ. 2) ìåíüøå ïîëóøèðèíû Ix(r, π/2)/Ix(0) (êðèâàÿ 2). Êðèâàÿ 3 ñîîòâåòñòâóåò äèôðàêöèè ïëîñêîé âîëíû áåç ó÷åòà ïîëÿðèçàöèîííûõ àáåððàöèé I0(r) = J1(kar/f ), ãäå J1 – ôóíêöèÿ Áåññåëÿ ïåðâîãî ðîäà.
Ðàñïðåäåëåíèå èíòåíñèâíîñòè ïðîäîëüíîãî êîìïîíåíòà ïîëÿ â ôîêàëüíîé ïëîñêîñòè ëèíçû ïîêàçàíî íà ðèñ. 3 â âèäå Iz(r)/Ix(0). Îòíîøåíèå ýíåðãèè
“Îïòè÷åñêèé æóðíàë”, òîì 75, ¹ 2, 2008
Iz(r)/Ix(0) 0,03
0,02
0,01
0 1 2 r/λ 3
Ðèñ. 3. Ðàñïðåäåëåíèå èíòåíñèâíîñòè ïðîäîëüíîãî êîìïîíåíòà ïîëÿ â ôîêàëüíîé ïëîñêîñòè ëèíçû.
IyI(xr(,0ϕ) )×104, îòí. åä.
1
62
4
23 4
01
2 r/λ 3
Ðèñ. 4. Ðàñïðåäåëåíèå èíòåíñèâíîñòè ïîïåðå÷íîãî êîìïîíåíòà ïîëÿ ñ îðòîãîíàëüíûì ñîñòîÿíèåì ïîëÿðèçàöèè â ôîêàëüíîé ïëîñêîñòè ëèíçû. 1 – ϕ = π/4, 2 – ϕ = π/6, 3 – ϕ = 0,417π, 4 – ϕ = π/18.
ïðîäîëüíîãî êîìïîíåíòà ê ýíåðãèè ïîïåðå÷íîãî xêîìïîíåíòà óâåëè÷èâàåòñÿ ñ ðîñòîì a/f [20]. Íà ðèñ. 4 ïîêàçàíî ðàñïðåäåëåíèå Iy(r, ϕ)/Ix(0).
Òàêèì îáðàçîì, ïó÷îê ñòàíîâèòñÿ àñòèãìàòè÷íûì, à åãî ðàçìåð â ôîêóñå ëèíçû çàâèñèò îò ñîñòîÿíèÿ ïîëÿðèçàöèè ïàäàþùåãî èçëó÷åíèÿ. Ñóùåñòâóþò äâà ôàêòîðà, êîòîðûå ïðèâîäÿò ê èñêàæåíèþ ðàñïðåäåëåíèÿ îáùåé èíòåíñèâíîñòè â ôîêóñå îòíîñèòåëüíî íàïðàâëåíèÿ âåêòîðà Å: óøèðåíèå çà ñ÷åò âûòÿíóòîé ôîðìû ïÿòíà ïðîäîëüíîãî êîìïîíåíòà è ñóæåíèå âñëåäñòâèå àìïëèòóäíûõ ÏÀ.
Èçëó÷åíèå ïîñëå ëèíçû ñòàíîâèòñÿ ïîëÿðèçàöèîííî-íåîäíîðîäíûì.  ôîêàëüíîé ïëîñêîñòè àçèìóò âåêòîðà Å çàâèñèò îò ïîïåðå÷íûõ êîîðäèíàò, à ïðè óäàëåíèè îò ôîêóñà âîçíèêàåò ýëëèïòè÷íîñòü. Èíòåðåñíî, ÷òî â ñëó÷àå ïðÿìîóãîëüíîé äèàôðàãìû, êîãäà âåêòîð Å ïàäàþùåãî èçëó÷åíèÿ íå ïàðàëëåëåí íè îäíîé èç ñòîðîí äèàôðàãìû, àçèìóò èçëó-
“Îïòè÷åñêèé æóðíàë”, òîì 75, ¹ 2, 2008
÷åíèÿ èçìåíÿåòñÿ äàæå íà îïòè÷åñêîé îñè (r = 0), íåñìîòðÿ íà òî ÷òî â ýòîì ñëó÷àå êîýôôèöèåíòû ïðîïóñêàíèÿ äëÿ îáîèõ êîìïîíåíòîâ ïîëÿ ñîâïàäàþò.
Çàêëþ÷åíèå
Ïðåäëàãàåìûé ìàòðè÷íûé ìåòîä ïîçâîëÿåò ðàññ÷èòûâàòü èñêàæåíèÿ ïîëÿðèçàöèîííîé ñòðóêòóðû èçëó÷åíèÿ (ïîëÿðèçàöèîííûõ àáåððàöèé) äëÿ îïòè÷åñêèõ ñèñòåì ñ äèàôðàãìàìè, îòíîñèòåëüíîå îòâåðñòèå êîòîðûõ íå ïðåâûøàåò åäèíèöó. Ïðèìåíåíèå äàííîãî ìåòîäà ê ðàçëè÷íûì îïòè÷åñêèì ñèñòåìàì ïîçâîëÿåò ñäåëàòü ñëåäóþùèå âûâîäû:
1. Âñëåäñòâèå àìïëèòóäíûõ ïîëÿðèçàöèîííûõ àáåððàöèé ëèíçû èçìåíÿþòñÿ ðàçìåð è ôîðìà ïÿòíà â ôîêóñå ëèíçû. Ïó÷îê ðàñøèðÿåòñÿ âäîëü âåêòîðà Å ïàäàþùåãî èçëó÷åíèÿ íåïîñðåäñòâåííî çà ëèíçîé è, íàïðîòèâ, ñóæàåòñÿ â ôîêàëüíîé ïëîñêîñòè ëèíçû. Íà ðàññòîÿíèè îò ôîêàëüíîé ïëîñêîñòè âîçíèêàåò ýëëèïòè÷íîñòü.
2. Ñîñòîÿíèå ïîëÿðèçàöèè ìîæåò èçìåíÿòüñÿ íà îñè ïó÷êà, ãäå îòñóòñòâóåò àíèçîòðîïèÿ.
3. Äèàôðàãìû èñêàæàþò ïîëÿðèçàöèîííóþ ñòðóêòóðó ïó÷êà, äåéñòâóÿ êàê ôèëüòð ìîä âûñîêîãî ïîðÿäêà.
4. Ïîëÿðèçàöèîííûå è ïðîñòðàíñòâåííûå õàðàêòåðèñòèêè ñîáñòâåííûõ âîëí îïòè÷åñêîãî ðåçîíàòîðà ñ ïîëÿðèçàöèîííî-íåîäíîðîäíûìè ïàðàìåòðàìè âçàèìîñâÿçàíû: ïîëÿðèçàöèîííàÿ ñòðóêòóðà çàâèñèò îò êðèâèçíû çåðêàë è ðàññòîÿíèÿ ìåæäó íèìè; ðàçìåð è ôîðìà ïó÷êà, êðèâèçíà âîëíîâîãî ôðîíòà, à òàêæå ïîëîæåíèÿ ïåðåòÿæåê íå ñîâïàäàþò äëÿ îðòîãîíàëüíûõ êîìïîíåíòîâ ïîëÿ.
5. Ðàñïðåäåëåíèå èíòåíñèâíîñòè ïðîäîëüíîãî êîìïîíåíòà íàïðÿæåííîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî è ìàãíèòíîãî ïîëåé â ïîïåðå÷íîé ïëîñêîñòè ñâÿçàíî ñ ñîñòîÿíèåì ïîëÿðèçàöèè è ìîäîâûì ñîñòàâîì ïîïåðå÷íûõ êîìïîíåíòîâ.
ËÈÒÅÐÀÒÓÐÀ
11. Âèòðèùàê È.Á., Ñîìñ Ë.Í., Òàðàñîâ À.À. Î ñîáñòâåííûõ ïîëÿðèçàöèÿõ ðåçîíàòîðà ñ òåðìè÷åñêè äåôîðìèðîâàííûì àêòèâíûì ýëåìåíòîì // ÆÒÔ. 1974. Ò. 44. ¹ 5. Ñ. 1055–1062.
12. Áåëüñêèé À.Ì., Õàïàëþê À.Ï. Ïðåëîìëåíèå ëàçåðíîãî èçëó÷åíèÿ íà ãðàíèöå ðàçäåëà èçîòðîïíûõ äèýëåêòðèêîâ // Îïò. è ñïåêòð. 1975. Ò. 38. ¹ 1. Ñ. 154–158.
13. Ëåäíåâà Ã.Ï., ×åêàëèíñêàÿ Þ.È. Ðàñ÷åò ñîáñòâåííûõ òèïîâ êîëåáàíèé êîëüöåâîãî ðåçîíàòîðà ñ èçìåíÿþùåéñÿ â ïîïåðå÷íîì ñå÷åíèè àíèçîòðîïèåé // ÆÏÑ. 1980. Ò. 33. ¹ 3. Ñ. 430–433.
14. Ìàêñèìîâà Í.Ô. Âëèÿíèå êðèâèçíû ïðåëîìëÿþùåé ïîâåðõíîñòè íà ïîëÿðèçàöèîííûå ïàðàìåòðû èçëó÷åíèÿ // Èçâ. âóçîâ. Ïðèáîðîñòðîåíèå. 1982. ¹ 6. Ñ. 78–82.
21
15. Ëàìåêèí Ï.È. Èçìåíåíèå ïîëÿðèçàöèîííîé ñòðóêòóðû îñåâûõ ïó÷êîâ ïîëÿðèçîâàííîãî ñâåòà ëèíçîâûìè ñèñòåìàìè // Îïò. è ñïåêòð. 1986. Ò. 60. ¹ 1. Ñ. 137–141.
16. Ëèâøèö À.À., Ñîêîëîâ À.Ë. Èçìåíåíèå ýëëèïòè÷íîñòè ñâåòà ïðè ïðîõîæäåíèè íàïðÿæåííîé ïðèçìû ïåðåìåííîé òîëùèíû // Ñá. íàó÷í. òðóäîâ ÌÝÈ. 1988. ¹ 164. Ñ. 92–97.
17. Ñîêîëîâ À.Ë. Ìåòîä ïîëÿðèçàöèîííî-ëó÷åâûõ ìàòðèö // Ëàçåðíàÿ òåõíèêà è îïòîýëåêòðîíèêà. 1993. Â. 3–4. Ñ. 98–105.
18. Èùåíêî Å.Ô., Ñîêîëîâ À.Ë. Ïîëÿðèçàöèîííàÿ îïòèêà. Ì: Èçä.-âî ÌÝÈ. 2005. 336 ñ.
19. Ñîêîëîâ À.Ë. Òðàíñôîðìàöèÿ ïîëÿðèçàöèîííîé ñòðóêòóðû ëàçåðíîãî èçëó÷åíèÿ â îïòè÷åñêèõ ñèñòåìàõ // Îïò. è ñïåêòð. 2003. Ò. 95. ¹ 5. Ñ. 816–820.
10. Ñîêîëîâ À.Ë. Ïîëÿðèçàöèÿ ñôåðè÷åñêèõ âîëí // Îïò. è ñïåêòð. 2002. Ò. 92. ¹ 6. Ñ. 1000–1006.
11. McGuire J.P., Chipman R.A. Polarization aberrations // Appl. opt. 1994. V. 33. ¹ 22. P. 5080–5100.
12. Ñîêîëîâ À.Ë. Ïîëÿðèçàöèîííûå àáåððàöèè ëàçåðíîãî èçëó÷åíèÿ // Îïò. è ñïåêòð. 2000. Ò. 89. ¹. 3. Ñ. 518–518.
13. Êóðÿòîâ Â.Í., Ñîêîëîâ À.Ë. Ïîëÿðèçàöèîííàÿ íåîäíîðîäíîñòü êîëüöåâîãî ðåçîíàòîðà è íåâçàèìíîñòü
âñòðå÷íûõ âîëí // Êâàíò. ýëåêòðîí. 2002. Ò. 32. ¹ 4. Ñ. 324–328.
14. Shribak M., Inoue S., Oldenbourg R. Polarization aberrations caused by differential transmission and phase shift in high-numerical-aperture lenses: theory, measurement and rectification // Opt. Eng. 2002. V. 41. ¹ 5. P. 943–954.
15. Ïåòðóíüêèí Â.Þ., Êîæåâíèêîâ Í.Ì. Ìàòðè÷íûé ìåòîä ðàñ÷åòà ñôåðè÷åñêèõ ðåçîíàòîðîâ ñ íåîäíîðîäíîé ïî ñå÷åíèþ ïîëÿðèçàöèîííîé àíèçîòðîïèåé // Òð. ËÏÈ: Êâàíòîâàÿ ýëåêòðîíèêà. 1979. ¹ 366. Ñ. 12–15.
16. Ñîêîëîâ À.Ë. Ìåòîä ðàñ÷åòà ñîáñòâåííûõ âîëí ðåçîíàòîðà ñ ïîëÿðèçàöèîííî-íåîäíîðîäíûìè ýëåìåíòàìè // Îïò. è ñïåêòð. 1997. Ò. 83. ¹ 6. Ñ. 1005–1012.
17. Íåñòåðîâ À.Â., Íèçüåâ Â.Ã., Ñîêîëîâ À.Ë. Òðàíñôîðìàòèâíàÿ çàäà÷à äëÿ èçëó÷åíèÿ ñ ðàäèàëüíîé ïîëÿðèçàöèåé // Îïò. è ñïåêòð. 2001. Ò. 90. ¹ 6. Ñ. 1018–1022.
18. Àíàíüåâ Þ.À. Îïòè÷åñêèå ðåçîíàòîðû è ïðîáëåìà ðàñõîäèìîñòè ëàçåðíîãî èçëó÷åíèÿ. Ì.: Íàóêà, 1979. 328 ñ.
19. Ñîêîëîâ À.Ë. Ïîëÿðèçàöèîííûå àáåððàöèè èçëó÷åíèÿ â ôîêóñå ëèíçû // Ïèñüìà â ÆÒÔ. 2005. Ò. 31. ¹ 17. Ñ. 77–82.
20. Dorn R., Quabis S., Leuchs G. Sharper Focus for a Radially Polarized Light Beam // Physical review letters. 2003. V. 91. ¹ 23. P. 233901–233904.
22 “Îïòè÷åñêèé æóðíàë”, òîì 75, ¹ 2, 2008